苏教版七年级上册数学 压轴解答题培优测试卷汇编经典
苏教版七年级上册数学 压轴解答题培优测试卷汇编经典
一、压轴题
1．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”。如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.
（1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得a=_______（含b 的代数式表示）； （2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________; （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b 的值。（写出具体求解过程）
2．（阅读理解）如果点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，在数轴上M ，N 两点之间的距离表示为MN m n(m n)=->或MN n m(n m)=->或m n -．
利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A 与点B 的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．
()1点A 表示的数为______，点B 表示的数为______．
()2用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA =______，PC =______．
()3当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒4个单位的速度向C 点运动，Q 点到
达C 点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后，P 、Q 两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．
3．如图，数轴上点A ，B 表示的有理数分别为6-，3，点P 是射线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点．
（1）若点P 表示的有理数是0，那么MN 的长为________；若点P 表示的有理数是6，那么MN 的长为________；
（2）点P 在射线AB 上运动（不与点A ，B 重合）的过程中，MN 的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN 的长的过程；若改变，请说明理由．
4．已知线段AB ＝m （m 为常数），点C 为直线AB 上一点，点P 、Q 分别在线段BC 、AC 上，且满足CQ ＝2AQ ，CP ＝2BP ．
（1）如图，若AB ＝6，当点C 恰好在线段AB 中点时，则PQ ＝ ；
（2）若点C 为直线AB 上任一点，则PQ 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点C 在点A 左侧，同时点P 在线段AB 上（不与端点重合），请判断2AP+CQ ﹣2PQ 与1的大小关系，并说明理由． 5．问题情境：
在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），小明在学习中发现，若x 1=x 2，则AB ∥y 轴，且线段AB 的长度为|y 1﹣y 2|；若y 1=y 2，则AB ∥x 轴，且线段AB 的长度为|x 1﹣x 2|； （应用）：
（1）若点A （﹣1，1）、B （2，1），则AB ∥x 轴，AB 的长度为 ． （2）若点C （1，0），且CD ∥y 轴，且CD=2，则点D 的坐标为 ． （拓展）：
我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的折线距离为d （M ，N ）=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|；例如：图1中，点M （﹣1，1）与点N （1，﹣2）之间的折线距离为d （M ，N ）=|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|=2+3=5． 解决下列问题：
（1）已知E （2，0），若F （﹣1，﹣2），求d （E ，F ）；
（2）如图2，已知E （2，0），H （1，t ），若d （E ，H ）=3，求t 的值；
（3）如图3，已知P （3，3），点Q 在x 轴上，且三角形OPQ 的面积为3，求d （P ，Q ）．
6．如图，OC 是AOB ∠的角平分线，OD OB ⊥，OE 是BOD ∠的角平分线，
85AOE ∠=
（1）求COE ∠；
（2）COE ∠绕O 点以每秒5的速度逆时针方向旋转t 秒（013t <<），t 为何值时
AOC DOE ∠=∠；
（3）射线OC 绕O 点以每秒10的速度逆时针方向旋转，射线OE 绕O 点以每秒5的速度顺时针方向旋转，若射线OC OE 、同时开始旋转m 秒（024.5m <<）后得到
4
5
AOC EOB ∠=
∠，求m 的值． 7．定义：若90αβ-=，且90180α<<，则我们称β是α的差余角．例如：若
110α=，则α的差余角20β=．
（1）如图1，点O 在直线AB 上，射线OE 是BOC ∠的角平分线，若COE ∠是AOC ∠的差余角，求∠BOE 的度数．
（2）如图2，点O 在直线AB 上，若BOC ∠是AOE ∠的差余角，那么BOC ∠与∠BOE 有什么数量关系．
（3）如图3，点O 在直线AB 上，若COE ∠是AOC ∠的差余角，且OE 与OC 在直线
AB 的同侧，请你探究
AOC BOC
COE
∠-∠∠是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说
明理由．
8．如图1，在数轴上A 、B 两点对应的数分别是6，-6，∠DCE=90°（C 与O 重合，D 点在数轴的正半轴上）
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF=_______;
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0 ①当t=1时，α=_________; ②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明； （3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0 9．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD． （1）如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值； （2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． （3）在（2）的条件下，当∠COF＝14°时，t＝秒． 10．射线OA、OB、OC、OD、OE有公共端点O． （1）若OA与OE在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角； （2）若∠AOC＝108°，∠CO E ＝n°（0＜n ＜72），OB 平分∠AOE，OD 平分∠COE（如图2），求∠BOD 的度数； （3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC 绕点O 在∠AOD 内部旋转（不与OA 、OD 重合）．探求：射线OC 从OA 转到OD 的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由． 11．如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点分别从P 、B 出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上） （1）若C 、D 运动到任一时刻时，总有PD ＝2AC ，请说明P 点在线段AB 上的位置： （2）在（1）的条件下，Q 是直线AB 上一点，且AQ ﹣BQ ＝PQ ，求 PQ AB 的值． （3）在（1）的条件下，若C 、D 运动5秒后，恰好有1 CD AB 2 = ，此时C 点停止运动，D 点继续运动（D 点在线段PB 上），M 、N 分别是CD 、PD 的中点，下列结论：①PM ﹣PN 的值不变；②MN AB 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 12．观察下列各等式： 第1个：2 2 ()()a b a b a b -+=-； 第2个：2 2 3 3 ()()a b a ab b a b -++=-； 第3个：3 2 2 3 4 4 ()()a b a a b ab b a b -+++=- …… （1）这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用发现的规律猜想并填空：若n 为大于1的正整数，则1 2322321()( )n n n n n n a b a a b a b a b ab b -------++++++=______； （2）利用（1）的猜想计算：1233212222221n n n ---+++++++（n 为大于1的正整 数）； （3）拓展与应用：计算1233213333331n n n ---+++ ++++（n 为大于1的正整数）． 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、压轴题 1．（1）-b;(2) ：a=-2，b=2;(3)9. 【解析】 【分析】 （1）由每行、每列的3个代数式的和相等，列出关系式，即可确定a 与b 的关系； （2）由第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a 与b 的值； （3）根据“等和格"的定义列方程，然后整理代入，即可求出b 的值. 【详解】 解：（1）由题意得：-2a+a=3b+2a ，即a=-b ； 故答案为：-b ； （2）由题意得： 2322283a a b a a a b b -+=+?? -+=-+? 解得：22a b =-??=? 故答案为：a=-2，b=2 （3）由题意得：2222223a a a a a a a ++-=+++，即：23a a +=- 22223322a a a b a a a a +++=++++，可得： 2223b a a =--+;() 2 232(3)39b a a =-+=?-+=+ 故答案为9. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等"列出等式. 2．（1）2412--； ；（2）2t ；362t -；（3）P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226 ,33 ． 【解析】 【分析】 ()1因为点A 在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A 表示数24-；点B 在点A 右侧且与点A 的距离为12个单位长度，故点B 表示：241212-+=-；()2因为点P 从点A 出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C 运动，则t 秒后点P 表示数 242t(0t 18-+≤≤，令242t 12-+=，则t 18=时点P 运动到点C)，而点A 表示数 24-，点C 表示数12，所以()PA 242t 242t =-+--=， PC 242t 12362t =-+-=-；()3以点Q 作为参考，则点P 可理解为从点B 出发，设点 Q 运动了m 秒，那么m 秒后点Q 表示的数是244m -+，点P 表示的数是122m -+，再分两种情况讨论：①点Q 运动到点C 之前；②点Q 运动到点C 之后． 【详解】 ()1设A 表示的数为x ，设B 表示的数是y ． x 24=，x 0< ∴x 24=- 又 y x 12-= y 241212.∴=-+=- 故答案为24-；12-． ()2由题意可知： t 秒后点P 表示的数是()242t 0t 18-+≤≤，点A 表示数24-，点C 表示数12 ()PA 242t 242t ∴=-+--=，PC 242t 12362t =-+-=-． 故答案为2t ；362t -． ()3设点Q 运动了m 秒，则m 秒后点P 表示的数是122m -+． ①当m 9≤，m 秒后点Q 表示的数是244m -+，则 ()PQ 24m 4m 122m 2=-+--+=，解得m 5=或7， 当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2， ∴此时P 表示的是2-或2； ②当m 9>时，m 秒后点Q 表示的数是()124m 9--， 则()()PQ 124m 9122m 2=----+=， 解得2931m 33 或=， 当m=293时，-12+2m=223， 当m= 313时，-12+2m=263 ， 此时点P 表示的数是 2226 33 或． 答：P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226 ,33 ． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示 出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析 【解析】 【分析】 （1）由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度，根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度，再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP），即可求出MN的长度； （2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况考虑，由点P表示的有理数可得出AP、BP的长度（用含字母a的代数式表示），根据三等分点的定义可得出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示），再由MN=MP+NP（或MN=MP-NP），即可求出MN=6为固定值． 【详解】 解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=2 3 AP=4，NP= 2 3 BP=2， ∴MN=MP+NP=6； 若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=2 3 AP=8，NP= 2 3 BP=2， ∴MN=MP-NP=6． 故答案为：6；6． （2）MN的长不会发生改变，理由如下： 设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）． 当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=2 3 AP= 2 3 （a+6），NP= 2 3 BP= 2 3 （3-a）， ∴MN=MP+NP=6； 当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3． ∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． ∴MP=2 3 AP= 2 3 （a+6），NP= 2 3 BP= 2 3 （a-3）， ∴MN=MP-NP=6． 综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6． 【点睛】 本题考查了两点间的距离，解题的关键是：（1）根据三点分点的定义找出MP、NP的长度；（2）分-6＜a＜3及a＞3两种情况找出MP、NP的长度（用含字母a的代数式表示）． 4．（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数2 3 m；（3）2AP+CQ﹣2PQ＜1，见解析． 【解析】 【分析】 （1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答； （2）由题意根据已知条件AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP进行分析即可；（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系． 【详解】 解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝2 3AC，CP＝ 2 3 BC， ∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC＝1 2 AB， ∵AB＝6， ∴PQ＝CQ+CP＝2 3AC+ 2 3 BC＝ 2 3 × 1 2 AB+ 2 3 × 1 2 AB＝ 2 3 ×AB＝ 2 3 ×6＝4； 故答案为：4； （2）①点C在线段AB上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝2 3AC，CP＝ 2 3 BC， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CQ+CP=2 3AC+ 2 3 BC＝ 2 3 ×（AC+BC）＝ 2 3 AB= 2 3 m； ②点C在线段BA的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝2 3AC，CP＝ 2 3 BC， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CP﹣CQ＝2 3BC﹣ 2 3 AC＝ 2 3 ×（BC﹣AC）＝ 2 3 AB＝ 2 3 m； ③点C在线段AB的延长线上： ∵CQ＝2AQ，CP＝2BP， ∴CQ＝2 3AC，CP＝ 2 3 BC， ∵AB＝m（m为常数）， ∴PQ＝CQ﹣CP＝2 3AC﹣ 2 3 BC＝ 2 3 ×（AC﹣BC）＝ 2 3 AB＝ 2 3 m； 故PQ是一个常数，即是常数2 3 m； （3）如图： ∵CQ＝2AQ， ∴2AP+CQ﹣2PQ ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ） ＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ ＝CQ﹣2AQ ＝2AQ﹣2AQ ＝0， ∴2AP+CQ﹣2PQ＜1． 【点睛】 本题主要考查线段上两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 5．【应用】：（1）3；（2）（1，2）或（1，﹣2）；【拓展】：（1）5；（2）t=±2；（3）d（P，Q）的值为4或8． 【解析】 【分析】 （1）根据若y1=y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1-x2|，代入数据即可得出结论；（2）由CD∥y轴，可设点D的坐标为（1，m），根据CD=2即可得出|0-m|=2，解之即可得出结论； 【拓展】：（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （2）根据两点之间的折线距离公式结合d（E，H）=3，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点Q在x轴上，可设点Q的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合三角形OPQ的面积为3即可求出x的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论． 【详解】 解：【应用】： （1）AB 的长度为|﹣1﹣2|=3． 故答案为：3． （2）由CD ∥y 轴，可设点D 的坐标为（1，m ）， ∵CD=2， ∴|0﹣m|=2，解得：m=± 2， ∴点D 的坐标为（1，2）或（1，﹣2）． 【拓展】 ： （1）d （E ，F ）=|2﹣（﹣1）|+|0﹣（﹣2）|=5． 故答案为：5． （2）∵E （2，0），H （1，t ），d （E ，H ）=3， ∴|2﹣1|+|0﹣t |=3， 解得：t =±2． （3）由点Q 在x 轴上，可设点Q 的坐标为（x ，0）， ∵三角形OPQ 的面积为3， ∴ 1 2 |x |×3=3，解得：x =±2． 当点Q 的坐标为（2，0）时，d （P ，Q ）=|3﹣2|+|3﹣0|=4； 当点Q 的坐标为（﹣2，0）时，d （P ，Q ）=|3﹣（﹣2）|+|3﹣0|=8 综上所述，d （P ，Q ）的值为4或8． 【点睛】 本题考查了两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 6．（1）∠COE =20°；（2）当t =11时，AOC DOE ∠=∠；（3）m=296或10114 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义和垂直定义即可求出∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE =45°，即可求出∠AOB ，再根据角平分线的定义即可求出∠BOC ，从而求出∠COE ； （2）先分别求出OC 与OD 重合时、OE 与OD 重合时和OC 与OA 重合时运动时间，再根据t 的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出t 即可； （3）先分别求出OE 与OB 重合时、OC 与OA 重合时、OC 为OA 的反向延长线时运动时、OE 为OB 的反向延长线时运动时间，再根据m 的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，根据等量关系列出方程求出m 即可； 【详解】 解：（1）∵OD OB ⊥，OE 是BOD ∠的角平分线， ∴∠BOD=90°，∠BOE=∠DOE=1 2 ∠BOD =45° ∵85AOE ∠= ∴∠AOB=∠AOE ＋∠BOE=130° ∵OC 是AOB ∠的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC= 1 2 AOB ∠=65° ∴∠COE=∠BOC －∠BOE=20° （2）由原图可知：∠COD=∠DOE －∠COE=25°， 故OC 与OD 重合时运动时间为25°÷5°=5s ；OE 与OD 重合时运动时间为45°÷5°=9s ；OC 与OA 重合时运动时间为65°÷5°=13s ； ①当05t <<时，如下图所示 ∵∠AOD=∠AOB －∠BOD=40°，∠COE=20° ∴∠AOD ≠∠COE ∴∠AOD ＋∠COD ≠∠COE ＋∠COD ∴此时AOC DOE ∠≠∠； ②当59t <<时，如下图所示 ∵∠AOD=∠AOB －∠BOD=40°，∠COE=20° ∴∠AOD ≠∠COE ∴∠AOD －∠COD ≠∠COE －∠COD ∴此时AOC DOE ∠≠∠； ③当913t <<时，如下图所示： OC 和OE 旋转的角度均为5t 此时∠AOC=65°－5t ，∠DOE=5t －45° ∵AOC DOE ∠=∠ ∴65－5t=5t －45 解得：t=11 综上所述：当t =11时，AOC DOE ∠=∠． （3）OE 与OB 重合时运动时间为45°÷5°=9s ；OC 与OA 重合时运动时间为65°÷10°=6．5s ； OC 为OA 的反向延长线时运动时间为（180°＋65°）÷10=24．5s ；OE 为OB 的反向延长线时运动时间为（180°＋45°）÷5=45s ； ①当0 6.5m <<，如下图所示 OC 旋转的角度均为10m ， OE 旋转的角度均为5m ∴此时∠AOC=65°－10m ，∠BOE=45°－5m ∵4 5 AOC EOB ∠=∠ ∴65－10m =4 5 （45－5m ） 解得：m = 296 ； ②当6.59m <<，如下图所示 OC 旋转的角度均为10m ， OE 旋转的角度均为5m ∴此时∠AOC=10m －65°，∠BOE=45°－5m ∵4 5 AOC EOB ∠=∠ ∴10m －65=4 5 （45－5m ） 解得：m = 101 14 ； ③当924.5m <<，如下图所示 OC 旋转的角度均为10m ， OE 旋转的角度均为5m ∴此时∠AOC=10m －65°，∠BOE=5m －45° ∵4 5 AOC EOB ∠=∠ ∴10m －65=4 5 （5m －45） 解得：m = 29 6 ，不符合前提条件，故舍去； 综上所述：m=296或10114 ． 【点睛】 此题考查的是角的和与差和一元一次方程的应用，掌握各角之间的关系、用一元一次方程解动角问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 7．（1）30°；（2）BOC ∠+∠BOE =90°；（3）为定值2，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据差余角的定义，结合角平分线的性质可得∠BOE 的度数； （2）根据差余角的定义得到BOC ∠和AOE ∠的关系， （3）分当OE 在OC 左侧时，当OE 在OC 右侧时，根据差余角的定义得到COE ∠和 AOC ∠的关系，再结合余角和补角的概念求出 AOC BOC COE ∠-∠∠的值. 【详解】 解：（1）如图，∵COE ∠是AOC ∠的差余角 ∴AOC ∠-COE ∠=90°， 即AOC ∠=COE ∠+90°， 又∵OE 是BOC ∠的角平分线， ∴∠BOE =COE ∠， 则COE ∠+90°+COE ∠+COE ∠=180°， 解得COE ∠=30°； （2）∵BOC ∠是AOE ∠的差余角， ∴AOE ∠-BOC ∠=90°， ∵AOE ∠=AOC ∠+COE ∠，BOC ∠=∠BOE +COE ∠， ∴AOC ∠-∠BOE =90°， ∵AOC ∠=180° -BOC ∠， ∴180°-BOC ∠-∠BOE =90°， ∴BOC ∠+∠BOE =90°； （3）当OE 在OC 左侧时， ∵COE ∠是AOC ∠的差余角， ∴AOC ∠-COE ∠=90°， ∴∠AOE =∠BOE=90°， 则AOC BOC COE ∠-∠∠ = 90COE BOC COE ∠+?-∠∠ =COE COE COE ∠+∠∠ =2； 当OE 在OC 右侧时， 过点O 作OF ⊥AB ， ∵COE ∠是AOC ∠的差余角， ∴AOC ∠=90° +COE ∠， 又∵AOC ∠=90°+COF ∠， ∴COE ∠=COF ∠， ∴AOC BOC COE ∠-∠∠ = 90COE BOC COE ∠+?-∠∠ = 9090 COE COF COE ∠+?-?+∠ ∠ = COE COF COE ∠+∠ ∠ = COE COE COE ∠+∠ ∠ =2. 综上： AOC BOC COE ∠-∠ ∠ 为定值2. 【点睛】 本题属于新概念题，考查了余角、补角的知识，仔细观察图形理解两个角的差余角关系、互补关系是解题的关键． 8．（1）45°；（2）①30°；②∠BCE=2α，证明见解析；（3）α=45-15t ，β=45+15t，3 t 2 = 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的定义即可得出答案； （2）①首先由旋转得到∠ACE=120°，再由角平分线的定义求出∠ACF，再减去旋转角度即可得到∠DCF； ②先由补角的定义表示出∠BCE，再根据旋转和角平分线的定义表示出∠DCF，即可得出两者的数量关系； （3）根据α=∠FCA-∠DCA，β=∠AC1D1+∠AC1F1，可得到表达式，再根据|α-β|=45°建立方程求解. 【详解】 （1）∵∠ACE=90°，CF平分∠ACE ∴∠AOF=1 2 ∠ACE=45° 故答案为：45°； （2）①当t=1时，旋转角度为30°∴∠ACE=90°+30°=120° ∵CF平分∠ACE ∴∠ACF=60°，α=∠DCF=∠ACF-30°=30° 故答案为：30°； ②∠BCE=2α，证明如下： 旋转30t 度后，∠ACE=(90+30t)度 ∴∠BCE=180-(90+30t)=(90-30t)度 ∵CF 平分∠ACE ∴∠ACF= 1 2 ∠ACE=(45+15t)度 ∠DCF=∠ACF-30t=(45-15t)度 ∴2∠DCF=2(45-15t)= 90-30t=∠BCE 即∠BCE=2α （3）α=∠FCA-∠DCA= 1 2 (90+30t)-30t=45-15t β=∠AC 1D 1+∠AC 1F 1=30t+ 1 2 (90-30t)=45+15t ||45βα-=? |30t|=45° ∴3t 2= 【点睛】 本题考查了角平分线，角的旋转，角度的和差计算问题，熟练掌握角平分线的定义，找出图形中角度的关系是解题的关键. 9．（1）35°；（2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，理由详见解析；（3）4． 【解析】 【分析】 （1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE 和∠BOF 的度数，然后根据∠AOE ﹣∠BOF 求解； （2）首先由题意得∠BOC ＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC ＝∠AOB+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可； （3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°，故3 314202 t t +=+，解方程即可求出t 的值． 【详解】 解：（1）∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ， ∴11 AOE AOC 11022?∠= ∠=?＝55°，11AOF BOD 402022 ??∠=∠=?=， ∴∠AOE ﹣∠BOF ＝55°﹣20°＝35°； （2）∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值 由题意∠BOC ＝3t°， 则∠AOC ＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD ＝∠COD+3t°＝40°+3t°， ∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ， () 11AOE AOC 1103t =22??∴∠=∠=?+3 552 t ??+ ∴() 113 BOF BOD 403t 20t 222 ????∠= ∠=+=+， ∴33AOE BOF 55t 20t 3522? ????? ??? ∠-∠=+ -+= ? ?? ??? ， ∴∠AOE ﹣∠BOF 的值是定值，定值为35°； （3）根据题意得∠BOF ＝（3t+14）°， ∴3 314202 t t +=+， 解得4t =． 故答案为4． 【点睛】 本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 10．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE；（2）∠BOD＝54°；（3） ∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据角的定义即可解决； （2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD= 12∠AOC+1 2 ∠COE ，进而求出即可； （3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系，即可解题． 【详解】 （1）如图1中小于平角的角 ∠AOD ，∠AOC ，∠AOB ，∠BOE ，∠BOD ，∠BOC ，∠COE ，∠COD ，∠DOE ． （2）如图2， ∵OB 平分∠AOE ，OD 平分∠COE ，∠AOC ＝108°，∠COE ＝n°（0＜n ＜72）， ∴∠BOD＝1 2 ∠AOD﹣ 1 2 ∠COE+ 1 2 ∠COE＝ 1 2 ×108°＝54°； （3）如图3， ∠AOE＝88°，∠BOD＝30°， 图中所有锐角和为 ∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE ＝4∠AOB+4∠DOE＝6∠BOC+6∠COD ＝4（∠AOE﹣∠BOD）+6∠BOD ＝412°． 【点睛】 本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系是解题的关键， 11．（1）点P在线段AB上的1 3 处；（2） 1 3 ；（3）②MN AB 的值不变. 【解析】 【分析】 （1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在 线段AB上的1 3 处； （2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系； （3）当点C停止运动时，有CD＝1 2 AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB 表示的PM与PN的值，所以MN＝PN?PM＝ 1 12 AB． 【详解】 解：（1）由题意：BD=2PC ∵PD=2AC， ∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP. ∴点P在线段AB上的1 3 处； （2）如图： ∵AQ-BQ=PQ， ∴AQ=PQ+BQ， ∵AQ=AP+PQ， ∴AP=BQ， ∴PQ= 1 3 AB， ∴ 1 3 PQ AB = （3）②MN AB 的值不变. 理由：如图， 当点C停止运动时，有CD= 1 2 AB， ∴CM= 1 4 AB， ∴PM=CM-CP= 1 4 AB-5， ∵PD= 2 3 AB-10， ∴PN= 12 23 （AB-10）= 1 3 AB-5， ∴MN=PN-PM= 1 12 AB， 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变， 所以 1 1 12 12 AB MN AB AB ==. 【点睛】 本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 12．（1）n n a b -；（2）21 n-；（3） 31 2 n- ． 【解析】 【分析】 （1）利用题中已知等式的规律得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差； （2）将原式变形为123321 (21)(2222221) --- -+++++++ n n n，再利用所得规律计算可得；