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正余弦定理与解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理：

1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A

（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b

sin A＝cos B＝a

，cos A＝sin B＝

，tan A＝

。 C B

2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a

如图6-29 ，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

3. 正弦定理：

a b c

2R 。（R为外接圆半径）sin A sin B sin C

a b c

＝

＝＝2R的常见变形：

sin A sin B sin C

(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

(2)

a b

＝＝

sin A sin B

＝

sin C

a＋b＋c

＝2R；

sin A＋sin B＋sin C

(3) a＝2R sin_ A，b＝2R sin_ B，c＝2R sin_ C；

a b c

(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.

2R 2R 2R

4. 三角形面积公式：S＝1

ab sin C＝

1 1

bc sin A＝ca sin B.

2 2

5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍。

2 2 2

a b c 2bccos A

2 2 2

b a

c 2accosB

2 2 2

c b a 2ba cosC 或

cos A

cos B

cos C

2 2 2

b c a

2bc

2 2 2

a c b

2ac

2 2 2

b a c

2ab

余弦定理的公式：.

6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2 、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.

题：1、已知三边求三角.

（2）两类余弦定理解三角形的问

2 、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

8. 解题中利用ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的

运算，

如：sin( A B) sin C, cos( A B) cos C, tan( A B) tan C,

A B C A B C A B C

sin cos ,cos sin , tan cot

2 2 2 2 2 2

9.解斜三角形的主要依据是：

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。

（1）角与角关系：A+B+C= π；

（2）边与边关系： a + b > c，b + c > a，c + a> b，a－b< c，b－c < a，c－a > b；

（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。

习题整理：

一．直接应用，解三角形：

1. 在ABC中，已知a 3,b 2,B 45 ，解三角形。A=60/120°

2. 在ABC中，已知B 30 , AB 2 3, AC 2, 求ABC的周长。a=2/4

3. △ABC 的三个内角A、B、C 所对边的长分别为a、b、c，已知B=2A,a=1,b= 3 ,则c=________.2

4.在△ABC 中，若A＝60°，a＝3，则

a＋b＋c

＝________. 2 sin A＋sin B＋sin C

4 **

a＋b＋c

.在△ABC 中，若A＝60°,b=1, S ABC 3 ,则＝________.（

sin A＋sin B＋sin C

2 39

）

5.(2010 北·京)在△ABC 中，若b＝1，c＝3，C＝2π

，则a＝________.1 3

6.在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________. 6 3

，a＝2b，则 b 7.△ABC 的三个内角A、B、C 所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝

的值为________. 3

8. （2012 年高考（重庆文））设△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c , 且

a =1，b=2，cosC , 则sin B ____

2 sin2 sin 2

9.在ABC中, 若sin A B C , 则ABC 的形状是（）c

A．钝角三角形. B．直角三角形. C．锐角三角形. D．不能确定.

10.在△ABC中,AC= 7 ,BC=2,B =60°, 则BC边上的高等于（）

A．

B．

3 3

C．

3 6

D．

339

11.在ABC 中, 若 A 60 , B 45 , BC 3 2 , 则AC （）

A．4 3 B．2 3 C． 3 D．

3 2

,c=2 3 , 则b=______ 12. 在三角形ABC中, 角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c, 若a=2 ,B=

10.在ABC 中, 已知BAC 60 , ABC 45 ,BC 3 , 则A C _______.

11.【2015 高考广东，文5】设 C 的内角，，C 的对边分别为a，b，c．若a 2，

c 2 3 ，cos

，且b c ，则b （）

A ． 3

B ．2 C．2 2 D． 3

【答案】 B

0 0

12.【2015 高考福建，文14】若ABC中，AC 3 ，A ，C ，则BC _______．

45 75

【答案】 2

13.【2015 高考重庆，文13】设ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a,b, c , 且

a = C = - 3sin A = 2sin B,则c=________.

2,cos ,

4 【答案】 4

14.（2016 年全国I 卷高考）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c.已知a 5 ，

c 2，cos

A ，则b=

（A ） 2 （B） 3 （C）2（D）3

【答案】 D

18、（2016 年全国II 卷高考）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cos 4

A ，

5 5

cos C，a=1，则b=____________ .

[

【答案】21 13

7. 在ABC中，若0

b 2, A 120 ，三角形的面积S 3 ，则三角形外接圆的半径为

A. 3

B.2

C.2 3

D.4

【答案】 B

8. ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c ．若a 13, b 3, A 60 ，则边c （）

A．1 B ．2 C ．4 D ．6

【答案】 C

二．变形应用：

15.在ABC中， 2 b bc c

2 2

a ，则角 A 等于_________.120

2 2

a (

b c)

16.（教材）已知三角形的三边满足条件 1

，求角 A. 60 bc

17.【2014 年高考江西】在ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，若

2 ( )2 6

c a b ，C ，则ABC的面积为（）

A．3 B ．9 3

C ．

3 3

D ．3 3

【答案】 C

18.在ABC中，三内角 A ，B ，C 的对边分别为a，b，c 且

2 2 2

a b c bc ，a= 3 ，

S为ABC的面积，则S 3 cos B cosC 的最大值为（）（A）1 （B） 3 1 （C） 3 （D） 3 【答案】 C

【解析】∵ 2 2 2

a b c bc ，∴cos A

2 2 2 1

b c a

2bc 2

，∴

A ，

设ABC外接圆的半径为R ，则

a 3

2R 2

sin

sin A

，∴R 1，

∴

1 3

S 3 cos B cos C bc sin A 3 cos B cos C bc 3 cos B cosC

2 4

3 sin B sin C 3 cos B cosC 3 cos( B C) ，故S 3 c o s B coCs 的最大值为3 ．故选C．

19.在ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b, c ，且 2 2 2 0

a b c ab ．若ABC的面积为

c ，则ab的最小值为（）

A．24 B ．12 C ．6 D ．4

【答案】 D

20.已知a,b,c 是ABC 的边长，满足(a b c)(a b c) ab，求C的大小。120

三．边角互化问题：

9. 在ABC中，内角A ，B，C 的对边分别为a，b，c，且b sin A= 3 a cosB．则B

A． B ． C ． D ．

6 4 3 2

【答案】 C

10. 已知△ABC中，a，b，c 分别为内角A，B，C的对边，且a?cosB+b?cosA=3c?cosC，则cosC=

．

11. a cosA bcosB, 试判断三角形的形状。等腰或直角。

12. 在ABC 中，

A ,a 3c,则

_________.1

13. （2013,辽宁）在ABC ，内角A, B,C 所对的边长分别为

a,b,c.

a B C c B A

b 且a b,则 B （）A sin cos sin cos ,

A．B．C．

6 3 2

D．

14.（2011）（4）△ABC的三个内角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos 2 A= 2a

则b

（）D

(A) 2 3 (B) 2 2 (C) 3 (D) 2 7．在△ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 且bsinA= 3 acosB.

(1) 求角 B 的大小;60 °

(2) 若b=3,sinC=2sinA, 求a,c 的值. 3,2 3

21.在ABC中，2a cos A c cosB b cosC ,求cosA=? 1 2

22.△ABC中, 角A,B,C 的对边分别为a,b,c. 已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

(1) 求cosA; （1 3）

(2) 若a=3,△ABC的面积为 2 2 , 求b,c. (2,3)(3,2)

23.ABC的周长为4( 2 1)，且sin B sin C 2 sin A

(1) 求边长 a 的值. 4

(2) 若S ABC 3sin A , 求COSA的值。（1 3）

24.（2016 年天津高考）在ABC 中，内角A, B,C 所对应的边分别为a,b,c，已知

a sin 2B 3

b sin A.

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若cos A 1

，求sinC 的值.

解析：（Ⅰ）解：在ABC 中，由

sin A

sin B

，可得as inB bs inA ，又由

a sin 2B 3

b sin A 得2a sin B cosB 3b s in A 3a sin B ，所以

cos B ，得

B ；

（Ⅱ）解：由

cos A 得

2 2

sin A ，则sin C sin[ ( A B)] sin( A B) ，所以

sin C sin( A )

sin A

cos A

2 6

25.（2016 年四川高考）在△A BC 中，角A，B，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，且

c osA c osB s inC

a b c

。

（I ）证明：sinAsinB=sinC ；

6 2 2 2

（II ）若b c a bc

，求tanB。

a b c

解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设( 0)

k k sin A sin B sin C

则a= k sin A，b=ksin B，c=ksinC.

代入c os A cos B sin C

a b c

中，有

cos A cos B sin C

k sin A k sin B k sin A

，可变形得

sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).

在△ABC 中，由A+ B+C=π，有sin (A+B)=sin ( πC–)=sin C，所以sin A sin B=sin C.

2+c2–a2= 6

（Ⅱ）由已知， b

bc，根据余弦定理，有

cos A

2 2

b2 c a 3

2bc 5

所以sin A= 1 cos2 4

A .

由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，

所以4

sin B=

cos B+

sin B，故tan B=

sin

cos

=4.

四．综合应用：

15.【2015 高考陕西，文17】ABC 的内角A, B,C 所对的边分别为a, b,c，向量m (a, 3b) 与n (cos A,sin B) 平行.

(I)求A；

(II)若a 7,b 2求ABC 的面积.

(I)因为m // n，所以asin B 3b cosA 0

由正弦定理，得sin Asin B 3sin B cosA 0，又

sin B 0，从而tan A 3 ，

由于0 A

所以A

(II)解法一：由余弦定理，得

2 2 2 2 cos

a b c bc A，而a 7, b 2 ，A ，

得 2

7 4 c 2c ，即 2 2 3 0

c c

因为c0，所以c 3，

故ABC 面积为 1 sin 3 3

bc A . 2

26.【2015 高考天津，文16】（本小题满分13 分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

已知△ABC的面积为3 15 ,

b c 2,cos A ,

（I）求 a 和sinC的值;

（II）求

cos 2A 的值.

试题解析:（I）△ABC中,由

cos A ,得

sin A , 由

bc sin A 3 15 ,得bc

24,

又由b c 2, 解得b 6,c 4. 由 2 2 2 2 cos

a b c bc A ,可得a=8.由

a c

sin A sin C

得sin

C .

（II ）πππ 3

cos 2A cos2Acos sin 2 Asin 2cos A 1 sin A cosA ,

6 6 6 2

15 7 3

27.【2015 高考新课标1，文17】（本小题满分12 分）已知a,b, c 分别是ABC内角A, B,C

的对边， 2

sin B 2sin A s in C .

（I）若a b，求cos B;

（II）若B 90 ，且a 2, 求ABC的面积.

试题解析：（I）由题设及正弦定理可得 2 2

b = a

c .

又a = b ，可得b = 2c, a = 2c,

由余弦定理可得cosB 2 2 2 1

a +c- b

= = .

2ac 4

（II）由(1)知 2 2

b = a

c .

因为B = 90°，由勾股定理得 2 2 2

a +c =

b .

故 2 2 2

a +c = ac ，得c = a =

2 .

所以D ABC的面积为 1.

2 2 2

28. (重庆卷) △ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,，且a b c

3bc

，（1）求角A，150°

（2）设a3, S 为ABC 的面积，求S 3 cosBcosC 的最大值，并指出此时的角 B 的值。3,15°。

（3）

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