高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版.doc

2012-2017 年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版

学科教师辅导教案

学员姓名年级高三辅导科目数学

授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日：

—：

历年高考试题汇编（文）——导数及应用

1．（2014 大纲理）曲线y xe x 1在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ）

A ．2e B．e C．2D．1

2.(2014 新标 2 理) 设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= （ D ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3.( 2013 浙江文 ) 已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图

象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ( B )

4．（2012 陕西文）设函数 f（x）= 2x +lnx 则（ D ）A ．x= 1为 f(x) 的极大值点B．x= 1为

f(x) 的极小值点

C．x=2 为 f(x) 的极大值点D．x=2 为 f(x) 的极小值点

5.(2014 新标 2 文) 函数f (x)在x x0 处导数存在，若p : f ( x0 )0 ：

q : x x0是 f ( x) 的极值点，则

A ．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是 q 的必要条件

C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D. p既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件

【答案】 C

6．（2012 广东理）曲线y x3 x 3 在点 1,3 处的切线方程为

___________________.

【答案】 2x-y+1=0

7．（2013 广东理）若曲线y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于

x 轴，则k

【答案】 -1

8．（2013 广东文）若曲线y ax2 ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a ．

【答案】1 2

9 ． ( 2014 广东文 ) 曲线y 5 e x 3 在点 (0, 2) 处的切线方程为.

【答案】 5x+y+2=0

10．（2013 江西文）若曲线 y= xα +1（α∈ R）在点（ 1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。

【答案】 2

11.(2012 新标文 ) 曲线y x(3ln x 1)在点（1,1）处的切线方程为____4x y 3 0 ____

12．（2014 江西理）若曲线y e x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 ，则点P的坐标是________.

【简解】设 P(x,e-x )，e x =- e x =-2,解得 x=-ln2 ，答案 (-

ln2,2) 13．（2014 江西文）若曲线y x ln x上点P处的切线平行于直线2x y 1 0, 则点 P 的坐标是_______.

【简解】设 P(x,xlnx), xln x =1+lnx=2,x=e ，答案 (e,e) 14．（2012 辽宁文）函数 y= 12 x2㏑ x 的单调递减区间为（ B ）

（A）（ 1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）

（D）（0，+∞）

15．(2014 新标 2 文) 若函数f x kx lnx 在区间 1,单调递增，则 k 的取值范围是（ D ）

（ A ）, 2 （ B）, 1 （ C）2, （D）1,

16. (2013 新标 1 文) 函数f ( x) (1 cos x)sin x在[ , ] 的图象大致为（）

【简解】y = sin 2 x (1 cos x) cos x =-2cos

2x-cosx+1=(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π/3

18.（2015 年陕西文）函数y xe x在其极值点处的切线方程为_____y1e _______.

19. （2015 年天津文）已知函数 f x ax ln x, x 0,, 其中 a

为实数 , f x 为 f x 的导函数,若 f 1 3 ,则a的值为

3．

20、(2017 ·全国Ⅰ文， 14)曲线 y＝x2＋1

在点 (1,2)处的切x

线方程为 ___x－y＋1＝0._____．

21、(2017 ·浙江， 7)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象

如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( D )

22、（2016 年天津高考）已知函数 f ( x) (2 x+1)e x , f ( x) 为 f (x) 的导函数，则 f (0) 的值为_____3_____.

23、（2016 年全国 III卷高考）已知 f x为偶函数，当x 0

时， f ( x) e x 1x ，则曲线y f x 在点(1,2)处的切线方程式

______________y 2x _______________. 24．（2012 福建理）已知函数 f(x)＝e x＋ax2－ex， a∈R．

(1)若曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线平行于 x 轴，求函数 f(x)的单调区间；

【解析】 (1)由于 f′(x)＝e x＋2ax－e，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率 k＝2a＝ 0，

所以 a＝0，即 f(x)＝e x－ex．此时 f′(x)＝e x－e，由 f′(x) ＝0 得 x＝1．

当x∈(－∞，1)时，有 f′(x)＜ 0；当 x∈(1，＋∞ )时，有 f′(x)＞0．

所以 f(x)的单调递减区间为 (－∞， 1)，单调递增区间为 (1，＋∞ )．

25.(2013 新标 1 文) 已知函数f ( x) e x(ax b) x24x，曲线y f (x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y 4x 4 。（Ⅰ）求 a, b 的值；（Ⅱ）讨

论 f (x) 的单调性，并求 f ( x) 的极大值。

【简解】(1)f ′＝(x)e x(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0) ＝4，f′(0)＝4，故 b＝4，a＋b＝8.从而 a＝4，b＝4. (2)由(1)知， f(x) ＝4e x(x＋1)－x2－4x. f ′(x) ＝4e x(x＋2)

－2x－4＝4(x＋2) e x－1 2 .

当x∈(－∞，－ 2)∪(－ln 2，＋∞ )时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ ln 2)时， f′ (x)<0.

故f(x) 在(－∞，－ 2)，(－ln 2，＋∞ )上单调递增，在(－2，－ ln 2)上单调递减．

当x＝－ 2 时，函数 f(x) 取得极大值，极大值为 f( －2)＝4(1 －e－2) ．

26.(2014 新标 1 文 ) 设函数f x a ln x 1 a x2 bx a 1 ，曲线

2

y f x 在点 1，f 1处的切线斜率为0。求 b; ⑵若存在x01,使得a，求a的取值范围。

f x0

a 1

⑴【解析】（I ）f'(x)a(1 a) x b，由题设知f'(1) 0，解得b 1.

x

（2）函数 f（x）的定义域为（ 0，+∞），由（ 1）可知：

f（x）=alnx+，

∴=．

①当 a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数 f（x）在（ 1，+∞）单调递增，

∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是，即，

解得；

②当a＜1 时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数 f（x）在上单调递减；

当 x∈时，f（′x）＞0，函数f（x）在上单调递增．

∴存在 x0≥1，使得 f（x0）＜的充要条件是，

而=+，不符合题意，应舍去．③若 a＞1 时， f（1）=，成立．

综上可得： a 的取值范围是．27.( 2013 新标 2 理) 已知函数 f(x)＝ e x－ln( x＋m)．

(1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m≤2 时，证明 f(x)>0.

【解析】 (1)f(x)＝ e x－ ln(x＋ m)? f′(x)＝e x－x＋1 m?

f′(0)＝e0－

1 ＝0? m＝1，定义域为{x|x>－1}，0＋m

f′(x)＝e x－

1

＝

e x x＋1－1

，显然f(x)在(－1,0]上x＋m x＋1

单调递减，在 [0，＋∞)上单调递增．

28．（2013 北京文）已知函数f (x) x2x sin x cos x

（1）若曲线y f ( x)在点(a, f ( a))处与直线y b相切，求a与b的值。

（2）若曲线y f ( x)与直线y b有两个不同的交点，求b的取值范围。

【解析】（1）f '(x) 2x x cos x x(2 cos x)，因为曲线y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处的切线为y b

所以

f '(a)

，即

2a

2

a cosa 0

，解得

a 0

f ( a) b a

a sin a cosa b

b 1

（2）因为 2

cosx 0

，所以当 x

时 f '( x) 0 ， f (x) 单调递增；当 x 0

时 f '( x) 0 ， f ( x) 单调递减，

所以当 x 0 时， f ( x) 取得最

小值 f (0) 1，

所以 b 的取值范围是 (1, )

29．（2012 山东）已知函数 f ( x) ln x x

k

(k 为常数，e=2.71828?

e

是自然对数的底数 )，曲线 y f (x)

在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴 平行 .(Ⅰ)求 k 的值；

(Ⅱ)求 f (x) 的单调区间；

1 k

【解析】 (I)

f (x)

ln x

f (1)

0 ，∴ k 1.

x

1 k

e

e

1

ln x 1

1

1

1

(II) 由(I) 知，

f ( x)

x

x

.设

ln x 1 ，则

k ( x)

0 ，即

k( x)

2

k( x)

在 (0,

)

上是减函数，由

k(1) 0

知，当 0

x 1

时 k( x) 0 ，从

而 f ( x) 0 ，当 x 1时 k( x) 0 ，从而 f (x) 0 .

综上可知，

f (x)

的单调递增区间是

(0,1)

，单调递减区间

是 (1, ) .

30. (2017 ·天津文， 10)已知 a ∈R ，设函数 f(x)＝ax －ln x

的图象在点 (1，f(1))处的切线为 l ，则 l 在 y 轴上的截距

为 _____1___．

31.（2015 年新课标 2 文）已知 f x

ln x a 1 x

.

（I ）讨论f x的单调性；（ II ）当f x有最大值 ,且最大值大于 2a 2 时,求a的取值范围.

x(e x－a)－a2x.

32.(2017 ·全国Ⅰ文， 21)已知函数 f(x)＝e

(1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x) ≥0，求 a 的取值范围．1．解(1)函数 f(x)的定义域为 (－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x －ae x－a2＝(2e x＋a)(e x－a)．

①若 a＝0，则 f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递

增．②若 a>0，则由 f′(x)＝0，得 x＝ln a.

当x∈(－∞，ln a)时， f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时， f′(x)>0.

故 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递

增．

a

③若 a<0，则由 f ′(x)＝0，得 x ＝ln －2 .

a

当 x ∈ －∞，ln －2 时， f ′(x)<0；

a

当 x ∈ ln －2 ，＋ ∞时， f ′(x)>0.

a

a

故 f(x)在 －∞，ln －2 上单调递减，在 ln －2 ，＋ ∞上单

调递增．

(2)①若 a ＝0，则 f(x)＝e 2x

，所以 f(x) ≥0.

②若 a>0，则由 (1)知，当 x ＝ln a 时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)＝－ a 2

ln a ，

从而当且仅当－ a 2

ln a ≥0，即 0＜a ≤1时， f(x) ≥ 0.

a

③若 a<0，则由 (1)知，当 x ＝ln －2 时，f(x)取得最小值， 最小值为 f

ln －a

＝a 2

3－ln －a

，从而当且仅当

2 4 2

a

2 3 a

3

4－ln －

2 ≥0，即 a ≥－2e 4

时 f(x) ≥ 0.

3

综上， a 的取值范围是 [－2e 4

，1]．

33、（2016 年北京高考）设函数 f x x3ax2bx c.

（I ）求曲线y f x .在点0, f 0处的切线方程；

（II ）设a b 4，若函数f x有三个不同零点，求 c 的取值范围；

解：（I ）由f x x3 ax2 bx c ，得 f x 3x2 2ax b ．因为 f 0 c ， f 0 b ，

所以曲线（II ）当y f x

在点 0, f 0 处的切线方程为 y bx c ．

a b 4

时， f x x3 4x2 4x c ，所以 f x 3x2 8x 4．

令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得x 2 或x 32．f x

与 f x 在区间, 上的情况如下：

x , 2 2

2 2 2 2,

3

,

3 3

f x 0 0

f x Z c ] c 32

Z 27

所以，当 c 0 且c 32 0 时，存在x1 4, 2 ， x2 2, 2 ，

27 3

x3 2

,0 ，使得 f x1 f x2 f x3 0 ．3

由 f x 的单调性知，当且仅当 c 0, 32 时，函数 f x x3 4x2 4x c

27

有三个不同零点．

34、（2016 年全国 II 卷高考）已知函数 f ( x) ( x 1)ln x a( x 1) .

（I ）当a 4 时，求曲线y f ( x) 在1, f (1) 处的切线方程；

（Ⅱ）若当 x 1, 时， f ( x)＞0 ，求 a 的取值范围 . 解

析：（I ） f ( x) 的定义域为 (0, ) .当 a 4 时，

1 f ( x) ( x 1)ln x 4( x 1), f ( x)

ln x

3 ， f (1)

2, f (1) 0.

x

所以曲线 y f ( x)

在 (1, f (1))处的切线方程为 2 x

y 2

0.

（II ）当 x

(1, )

时， f ( x) 0

a( x 1) 0.

等价于 ln x

x 1

令 g(x) ln x

a( x 1)

，则 1

2a

x 2 2(1 a) x 1

0 ，

g (x)

2

x( x 1) 2

, g(1)

x 1

x (x 1)

（i ）当 a 2 ， x (1, ) 时， x 2

2(1 a) x 1 x 2

2x

1 0

，

故 g (x) 0, g(x) 在 x (1,

)

上单调递增，因此 g ( x)

；

（ii ）当 a 2 时，令 g (x) 0得 x 1

a 1

( a 1)2 1, x 2 a 1 (a

1)2 1 ，由

x 2 1

和 x 1 x 2 1 得 x 1

1

，故当 x (1,x 2 ) 时， g ( x) 0 ， g( x) 在 x

(1,x 2 )

单调

递减，因此 g( x) 0 .综上， a 的取值范围是

,2 .

35．(2017 ·北京文， 20)已知函数 f(x)＝e x

cos x －x.

(1)求曲线 y ＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程；

π

(2)求函数 f(x)在区间 0，2 上的最大值和最小值．

4．解

(1)因为 f(x)＝e x cos x －x ，所以 f ′(x)＝e x

(cos x －

sin x)－1，f ′ (0)＝0.

又因为 f(0)＝1，所以曲线 y ＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线

方程为 y ＝1.

(2)设 h(x)＝ e x (cos x －sin x)－1，则 h ′(x)＝e x

(cos x －sin x

－sin x－cos x)＝－ 2e x sin x.

当 x∈，π

时， h′(x)＜0，所以 h(x)在区间，

π

上单调

2 0 2 递减，

所以对任意 x∈ 0，π

2有 h(x)＜h(0)＝0，即 f′(x)＜0，所π

以函数 f(x)在区间 0，2上单调递减，

ππ因此 f(x)在区间 0，2上的最大值为 f(0)＝1，最小值为 f 2 π

＝－2.

36．(2017 ·山东文， 20)已知函数 f(x)＝1

3x3－2

1

ax2，a∈R.

(1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 (3，f(3))处的切线方程；

(2)设函数 g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

6．解(1)由题意 f ′(x)＝x2－ax，所以当 a＝2 时， f(3) ＝0，f′(x)＝x2－2x，所以 f′(3)＝3，

因此曲线 y＝f(x)在点 (3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即 3x－y－9＝0.

37、

(2016 新课标 1) 已知函数 f(x)=(x -2)e x +a(x -1)2.

(Ⅰ )讨论 f(x)的单调性； (Ⅱ )若有两个零点，求 a 的取值范围 . 解： (Ⅰ ) f '(x)=(x -1)e x +a(2x -2)=(x -1)(e x +2a). x ∈ R ?2 分 (1)当 a ≥0 时，在 (-∞,1)上， f '(x)<0， f(x)单调递减； ? 分

在(1,+∞)上， f

，

f(x) 单调递增。

3

'(x)>0

(2)当 a<0 时，令 f ' (x)=0，解得 x =1 或 x=ln(-2 a).

①若 a=

e ， ln(-2a) =1，

f ' (x)≥0 恒成立，所以

f(x)在(- ∞ 上单调递增。

2

∞,+ )

②若 a>

e

， ln(-2a)<1，在 (ln(-2 a),1)上， f ' (x)<0，f(x)单调递减；

2

在 (-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上， f '(x)>0， f(x)单调递增。

③若 a<

e

， ln(-2a)>1，在 (1,ln(-2a))上， f ' (x)<0，f(x)单调递减；

2

在(-∞,1)与 (ln(-2 a),+∞)上， f '(x)>0，f(x)单调递增。? 7 分

(Ⅱ ) (1)当 a=0 时， f(x)=( x -2)e x 只有一个零点，不合要求。 ?8 分

(2)当 a>0 时，由 (Ⅰ)知 f(x)在 (-∞,1)上单调递减；在 (1,+∞)上单调递增。 最小值 f(1)=-e<0，又 f(2)= a>0，若取 b<0 且 b

b

a 2 ， e < .

2

从而 f(b)> a

(b 2) a(b 1)

2

a(b 2

3

b) 0 ，所以 f(x)有两个零点 . ?10 分

2 2

e

(3)当 a<0 时，在 (-∞,1]上， f(x)<0 恒成立；若 a ≥

，由 (Ⅰ)知 f(x)在(1,+∞)上单调递增，

不存在两个零点。若 a<

e ，

f(x) 在 (1,ln(-2 a)) 上单调递减；在 (ln(-2 a),+ ∞ 上单调递增，也不存

2

)

在两个零点。

综上 a 的取值范围是 (0,1).

? 12 分

38、(2015 年新课标 1 卷 )设函数 f x e 2x

a ln x

.

（I ）讨论 f x 的导函数 f x

的零点的个数；

（II ）证明：当 a 0 时 f x

2a a ln a 2

.

解：（I ） f x 的定义域为 0,

, f x 2e

2 x

a

( x 0)

.

x

当 a ≤0 时， f x 0，f x 没有零点；

当 a 0 时，因为 e 2 x

单调递增， a x 单调递减，所以 f x 在 0,

单调递增，又

f a 0 ，

当 b 满足 0＜b ＜ a 且 b ＜ 1

时， f (b) 0 ，故当 a ＜0 时 f x 存

4

4

在唯一零点 . ?? 6 分

（II ）由（I ），可设 f x 在 0, 的唯一零点为 x 0 ，当 x

0，x 0

时， f x ＜0；

当 x x 0， 时， f x ＞0.

故 f x 在 0， 单调递减，在 x 0，

单调递增，所以 x x

时，

f x 取得最小值，最小值为

f x 0 . 由于

2e 2 x 0

a 0 ，所以

x 0

f x 0

a

2ax 0 a1n

2

2a a1n 2

.

2x 0

a

a

故当 a 0时，f x

2a a1n a 2

.

?? 12 分