数学 第一讲 最终版

模块

热门考点

相似三角形 相似三角形的性质、判定和位似 相似三角形的应用（影子问题） 求线段长 动点与存在性问题

四边形

四边形的性质与判定 四边形与代几综合 动点问题 求线段长

几何变换——翻折、旋转 四边形综合

一、 相似三角形的性质、判定和位似

【例1】（上海·

2014）已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ． （1） 求证：四边形ACED 是平行四边形；

【小结】考察平行四边形的5条判定。注意标注已知条件，观察是否出现判定的条件，然后确定使用哪条判定。

例题讲解

知识框架

第一讲

（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：

DG DF

GB DB

=

．

【小结】对应边成比例的证明问题，首先观察这4条边是否能放进两个三角形内：若能，直接证相似；若不能，即中间桥梁法。

【例2】（2014?武汉）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(6, 6)，B(8, 2)，以原点O 为

位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的2

1

后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（ ）

A. (3, 3)

B. (4, 3)

C. (3, 1)

D. (4, 1)

二、 相似三角形的应用（影子问题）

【例3】（深外2013期中考试）清晨外国语学校的旗杆在太阳照射下的影子落在食堂的门口

的斜坡和台阶上，如图，25=BD 米，36=DE 米，2=EC 米。此时1米的直立竹竿影长4米，DE 和地面成30度夹角，求旗杆AB 的高度？

【例4】（百合外国语2013期中考）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知

斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的

影长为2米，则树的高度为（）

A．（6+3）米B．12米C．（4-23）米D．10米

【小结】影子问题解决方法：假设在没有墙或斜坡的情况下，确定影子顶端原本的位置，延长光线。

三、相似三角形求线段长&比例

【例5】（2014?天津）如图，在ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）

A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2

【例6】（2014?杭州）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则

（）

A. 1+tan∠ADB=2

B. 2BC = 5CF

C. ∠AEB+22°=∠DEF

D. 4cos∠AGB=6

【小结】求线段长的方法：1、构造直角三角形，使用勾股定理；2、相似三角形对应边成比例。

四、 相似三角形动点与存在性问题

【例7】（山东）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一

个动点（不与B ，C 重合），EF ⊥

AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F ，G. （1）求证：

CD

CG

AD EG ； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB=AC 时，△FDG 为等腰直角三角形吗？并说明理由。

【小结】1.一题多问的大题中，要注意利用前面已证问题中的结论；2.三角形全等是证明线段相等最主要的方法；3.总结证明角相等的方法。

【例8】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC﹣3AB=0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移

动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？

五、四边形的性质与判定

【例9】（深圳高级中学2013期中考试）顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.平行四边形

【例10】（深外2013期中考试）下列命题中错误的是( )

A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B、对角线相等的平行四边形是矩形

C、一组邻边相等的平行四边形是菱形

D、一组对边平行的四边形是梯形

【例11】（上海·2014）如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．

(A)△ABD与△ABC的周长相等；

(B)△ABD与△ABC的面积相等；

(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；

(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．

【例12】（2014?杭州）下列命题中，正确的是（）

A．梯形的对角线相等B．菱形的对角线不相等

C．矩形的对角线不能相互垂直D．平行四边形的对角线可以互相垂直【注意】概念问题，必须确定每个选项正确或错误的原因。

【题1】（百合外国语2013期中考）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．邻边相等D．对边平行

【题2】（深圳高级中学2013期中考试）如图，点D是△ABC中BC边上的重点，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为E、F，且BF=CE。

（1）求证：△ABC是等腰三角形

（2）当∠A=90时，试判断四边形AEDF是怎样的四边形，并证明你的结论。

六、 四边形与代几综合

【例13】（沈阳）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上且AE=EF=FA ，

下列结论：①

；②

CE=CF ；③∠AEB=；④

BE+DF=EF ；⑤CEF AD F ABE S S S ???=+，其中正确的是___________（只填写序号）

【例14】如图3，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、

DE ，DE 和FG 相交于点O ．设AB a =，()CG b a b =>．

下列结论：

①BCG DCE ???； ②BG DE ⊥； ③

DG GO

GC CE

=； ④22()EFO DGO a b S b S ??-?=?． 其中结论正确的个数是 ( ) A ．4个

B ．3 个

C ．2个

D ．1个

七、 四边形动点问题

【例15】（深圳高级中学2013期中考试）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，

AC=8，点F 是AB 的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，则四边形CDFE 的面积是（ ）

A. 32

B. 16

C. 82

D. 无法确定

【例16】（2014?广东）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ．点

P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．

（1）当t =2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；

（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．

【例17】（深外2013期中考试）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三

角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）

A ．6

B ．62

C ．3

D ．32

【小结】若图形为对称的、或存在垂直条件，可建立平面直角坐标系，用坐标运算的方式解决动点问题。

A B C D

E F 八、 四边形求线段长

【例18】（实验中学2014期中考）如图，矩形ABCD 中，点E F 、分别在AD DC 、上，

ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．

【例19】 (2014年深圳)如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，

AD ∥BC ，AB=CD ，AD=2，E 为CD 中点，连接AE ，且AE=32，∠DAE=30°

，作AE ⊥AF 交BC 于F ，则BF=（ ）

A ．1

B ． 33-

C ．15-

D ．224-

【例20】 (2014年深圳)已知BD 垂直平分AC ，∠

BCD=∠ADF ，AF ⊥AC ， （1）证明ABDF 是平行四边形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC 的长．

【小结】再复习一次，求线段长的方法：1、构造直角三角形，使用勾股定理；2、相似三角形对应边成比例。

【题3】（2014?重庆）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为_________．

九、几何变换——翻折、旋转

【例21】（广州·2014）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当90

B

∠=?时，如图2-①，测得2

AC=．当60

B

∠=?时，如图2-②，AC=( )

A ．2B．2C ．6D ．22

图2-①

图2-②

【例22】（上海·2014）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、

D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，

那么△EFG的周长为—___________（用含t的代数式表示）．

【例23】（长沙·

2014）如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O, (1) 求证：△AEO ≌△CDO ；

(2) 若∠OCD=30°，AB=3,求△ACO 的面积；

【注意】翻折或旋转，必然出现很多对应相等的边和角，注意标识角度和线段边长等条件。

【题4】 （百合外国语2013期中考）如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

且AC 在直线l 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=2+ 3 ；

将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=3+ 3 ；

…按此规律继续旋转，直到点P 2012为止，则AP 2012等于（ ）

A ．2011+671 3

B ．2012+6713

C ．2013+6713

D ．2014+6713

A

B E

O C D

十、 四边形综合

【例24】（北京·

2014）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠

ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ．PD ． （1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan ∠

ADP 的值．

【例25】（2014?重庆）已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=

3

20

，AE ⊥

BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AE 和BE 的长；

（2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．

1、

（深圳高级中学

2013期中考试）下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是 （ ）

A.一组邻角互补，一组对角相等

B.一组对边平行，一组邻角相等。

C.一组对边相等，一组对角相等

D.一组对边相等，一组邻角相等。

2、如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则CD

FC

的值是（ ） A. 1

B.

2

1 C.

3

1

D. 4

1

3、（深圳高级中学2013期中考试）如下图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75，使点B 落在抛物线2(0)y ax a =的

图像上，则该抛物线的解析式为（ ）

A.2

23

y x =-

B.2

23y x =-

C.2

2y x =-

D.212

y x =-

4、（百合外国语2013期中考）将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C′处，BC′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（ ） A ．sin ∠ABE=AE /ED B ．∠EBD=∠EDB C ．AD=BC′ D ．△ABE ∽△CBD

测试题

5、（六盘水）如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点EF分别是边ABBC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是__________.

6、（百合外国语2013期中考）把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC

分别落在x轴，y轴上，连OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A′的位置，若OB= 5，tan∠BOC=1/2 ，则点A′的坐标

7、（梅州·2014）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

8、（北京·2014）阅读下面材料：

小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，

AD=2，BD=2DC ，求AC 的长．

E 图1 图2

小腾发现，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，通过构造△ACE ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：∠ACE 的度数为___________，AC 的长为_____________． 参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD 中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC 与BD 交于点E ，

AE=2，BE=2ED ，求BC 的长．

错题号（比例） 错误原因

错误知识点小结

测试题

错题本

小学数学课堂教学中渗透数学文化之我见

小学数学课堂教学中渗透数学文化之我见 发表时间：2020-03-02T18:53:41.730Z 来源：《中小学教育》2020年第396期作者：王烁烁 [导读] 数学是小学阶段的基础课程，对夯实学生的数学基础以及提高学生的数学综合能力具有非常重要的意义。数学是一种文化，数学教育是数学文化的教育。 山东省滨州市博兴县乔庄镇中心学校256503 摘要：数学是小学阶段的基础课程，对夯实学生的数学基础以及提高学生的数学综合能力具有非常重要的意义。数学是一种文化，数学教育是数学文化的教育。数学文化对于一个人全面和谐的发展，具有极为重要的意义。《数学课程标准》明确指出:“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”“数学教学应承担向学生传递数学文化的重要职责。”数学从本质上讲是一种文化，数学教育不仅是知识的传授、能力的培养，而且还应是一种文化熏陶，因此优质的数学课堂需要一些文化底蕴。 关键词：数学文化小学数学课堂教学基础课程 数学学科，不仅是一门理性与系统性很强的学科，其与艺术性学科一样，也有着自己的文化背景与文化内涵，加强数学文化教育，是促进数学学科长久发展的必然之计。数学是小学阶段的基础课程，对夯实学生的数学基础以及提高学生的数学综合能力具有非常重要的意义。尽管数学是一门理科课程，但是其中具有的数学文化对学生充分理解数学知识具有非常重要的促进作用。如何有效地在小学数学课堂教学的过程中渗透数学文化已经成为了小学数学教师面临的重要课题和研究对象。小学阶段是学生接受系统性数学教育的起点，对学生打下坚实的数学基础具有重要的作用。传统的教学模式下，大多数教师过度重视数学公式以及计算方法的讲解过程，忽略了在教学中渗透传统文化的重要性，这样的教学方法已经无法完全适应现代小学数学课堂教学的发展。因此，小学数学教师应该对新课改教育政策的内容进行深度解读和学习，并将其作为主要的指导原则，根据学生的年龄特点以及认知能力选择合适的教学方法在数学课堂教学的过程中渗透数学文化，从而真正发挥小学数学的教学意义。下面本人就如何在小学数学课堂教学中科学地渗透数学文化的相关策略研究和大家交流探讨。 一、注重利用数学问题，努力渗透数学文化 解答数学题是小学数学教师的教学难点，对提高小学生运用数学知识的综合能力具有非常重要的作用。解答数学题的过程是学生运用数学知识的过程，因此，小学数学教师可以在带领学生解答数学题的过程中向其渗透数学文化，这样的教学方法有利于学生对数学问题形成更加深入的认识，从而提高学生解答数学的效率。这样的解题方法在很大的程度上体现了数学文化之间的转换，有利于帮助学生构建更加完善的数学思维，从而促进数学文化的渗透。 二、注重讲述数学史话，努力渗透人文教育 小学数学文化的内涵既表现在知识与方法本身，还寓于它的历史。中国有着五千年的古老文明，孕育了灿烂的数学文化。历史上，出现过刘徽、祖冲之等伟大的数学家，有《九章算术》等经典的数学传世之作。在教学过程中，教师可充分利用这些独有的宝贵资源，通过一些数学史实，如圆周率、勾股定理等史料的介绍，让学生了解数学知识的历史渊源，了解古人的聪明智慧，增强民族自豪感。因此我们在平时的教学中，应注意搜集和积累与数学内容有关的数学史话和数学故事，在课堂教学中，讲到相关内容、和学生进行对话交流、数学课外活动时就可以信手拈来，随时插入对学生进行数学文化的人文价值教育。 我们都知道兴趣是最好的老师，小学阶段的学生正处于活泼好动的年龄段，故事是小学生比较喜欢的内容，将一些数学故事融入到数学课堂教学当中为小学数学教师提供了更多的教学思路。在数学文化中，有很多的数学家，通过自己的努力在数学领域不断得到新的突破，推动着数学事业的发展。根据小学数学课程的内容，将一些数学家的故事融入到课堂当中，有利于激发学生对数学课程的学习兴趣，同时还能在很大的程度上使其成为学生学习的榜样，从而发挥德育教育的作用。 三、注重利用数学活动，努力渗透数学文化 数学活动是数学学习过程中的重要组成部分，教师可以利用丰富多彩的数学活动使学生了解数学文化。游戏与竞赛是小学生喜爱的活动类型，老师可以利用竞赛小游戏引导学生对数学文化进行学习。在进行数学知识的讲解时，教师可以就与学习知识相关的数学文化进行提问，当有学生回答出时，教师给予奖励，并告诉学生，在下节课，教师还要就数学知识相关的数学文化进行提问，请同学们做好准备。在第二节课，教师可以利用抢答的形式组织学生对数学文化问题进行回答，抢答正确的学生可以获得小红花一枚。在这样的活动之下，学生的数学文化学习积极性会得到提高，学习的热情也会随之高涨。 总之，数学是小学阶段的基础课程之一，对学生未来的发展具有非常重要的作用。小学数学教师应该充分意识到数学文化对学生理解数学知识的重要性和影响性，并在实际的教学过程中通过利用丰富多彩的数学活动形式渗透数学文化，在课堂中融入数学故事、挖掘生活素材，以及利用数学问题渗透数学文化的方式为学生开展数学教学活动。通过本文对如何在小学数学课堂教学中渗透数学文化的相关内容展开的一系列探讨研究，希望能为提高我国小学数学课堂教学的效率提供有价值的参考。让我们共同携手来，同文化一起飞翔，与数学共同成长，在数学文化的天空中自由翱翔！ 参考文献 [1]王晓青数学文化在小学数学课堂教学中运用的实践探索[J].中国教师（教育教学刊），2019，7，（12），116。 [2]戴耀亮浅谈数学文化在小学数学教学中的渗透策略研究[J].读与写（教育教学刊），2017，14，（10），57。

第五讲 组合图形面积

组合图形的面积 方法与技巧 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1．切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2．仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3．适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4．采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 回顾与复习： 长方形面积= 三角形面积= 正方形面积= 梯形面积= A级 基础点睛 典型例题1：一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？

【巩固练习1】：已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 典型例题2：如图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘 米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 【巩固练习2】：如图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在 边的中点，求三角形AEF的面积。

典型例题3：求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 【巩固练习3】：求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

典型例题4：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？ 【巩固练习4】：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？

B级 培优拓展 典型例题5：四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 【巩固练习5】：图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。

排列组合讲解

解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）

第八讲-组合数学

第八讲 组合数学 组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开 例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？ 解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是 ?j ∈N *?{0}，使得a 0?2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ① 这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时 2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800), 而对?k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以 2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。 注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多. 例2．集合X 的覆盖是指X 的一族互不相同的非空子集A 1、A 2、…、A k ，它们的并集A 1∪A 2∪…∪A k =X ，现有集合X={1,2,…,n}，若不考虑A 1, A 2,…, A k 的顺序，试求X 的覆盖有多少个？ 解：首先，X 的非空子集共有2n -1个，它们共组成了n 2 1 2--1个非空子集族.其次， 这些子集族中，不合某一元素i 的非空子集组成的非空子集族有( ) n 121 21---个；不含两 个元素的子集组成的族有( ) n 2 2 1 21---个；依次类推，则由容斥原理，X 的覆盖共有 ()() --+--------)12 ()12 ()12 (1 22 1 21 1 221n n n n n =())12()1(1 2 1 ---=-∑n n j n j j 个. 注：有些组合计数问题直接计数较难，但从反面考虑简洁明了.

关于数学文化的论文正文

数学文化之我见 数学和其他科学一样，是人类共同的精神财富，数学是人类智慧的结晶。它表达了人类思维中生动活泼的意念，表达了人类对客观世界深入细致的思考，以及人类追求完美和谐的愿望。早在古希腊时代，哲学家柏拉图把数学看作是文化的最高理想。他说：“几何学可以将灵魂引向真理，并且创造出理性精神”。他认为学习数学不只是为了求真，也是为了求善、求美。他认为人通过研究几何同时也不断地塑造自己，使自己成为更高尚、更丰富、也更有力量的人。既人们在认识宇宙同时，也认识人类自己。在这个认识过程中，数学起着独特的作用。现在它几乎是任何科学都不可缺少的，它是现代科学技术的语言和工具，它的成果为众多学科所共识，积极推动着这些学科理论的建立和深化，它的思维方式和方法渗透到各学科，为这些学科的发展增添了活力。 数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学的对象必须是明确无误的概念，作为以推理为出发点的命题必须明确、清晰，推理过程的每一步骤都必须明确可靠、容不得半点的含糊，整个认识过程必须前后一贯而不容许自相矛盾。当然，任何一个法律文件、一篇有说服力的学术文章也必须概念清晰、逻辑严谨，但是数学对知识可靠性的要求更高、更明确。正因为如此，数学方法成为人们一种典范的认识方法，帮助人们正确地、客观地认识宇宙和人类自己。几千年来，人类的思想发生了巨大变化，人类的知识在不断地增长。而在由历史积累而形成的人类知识文化宝藏中，数学思想和方法却一直延

续发展了几千年，表现出了强大的生命力。 数学不断地追求最简单、最深层次这是认识的根本。用简洁的数学公式来表示复杂的事物、理解变化的客观规律。在科学技术领域内，人们现在己经能习惯地用非常简洁的数学公式来表示牛顿定律，以此来描述物体多种多样的运动，解释各种现象，同时借助于数学探求事物的机理，预测事物未来的发展变化，探求超出人类感官所及的宇宙的根本。人们借助计算机通过建立数学模型进行数学计算，在数学思想方法的启发和帮助下，解决各式各样的问题。人们在认识客观世界的探索中越来越相信，世界的合理性可以用数学来描述。 数学不仅研究客观世界的数量关系和空间形式，而且也研究它自己。数学史中出现过的一个又一个悖论，记录了数学在研究自身的过程中所经历的一次又一次的危机，危机似乎动摇了数学的基础，而数学正是在不断严格地审视自己、不断地克服自身一个又一个矛盾的过程中夯实了自己的基础，使之变得更为扎实、牢靠。一些公理化体系就是数学对自己的基础出现多次“危机”后深思熟虑的结果。在探讨数学自身的过程中，也形成了像数理逻辑这样的数学新分支，推动了数学自身的发展。数学发展的历史正是体现了人类追求真理而不断探索的精神。 数学的基础是逻辑和直觉、分析和推理、共性和个性，这种思维方式是数学外在的表现。而实质上也和其他文化领域一样，其自身的发展受到不同的时代精神、不同的思维方式的影响。反过来它也影响着人的精神和思维，影响一个民族文化进步。解析几何和微积

高中数学排列组合说课讲解

高中数学排列组合

模块九 排列与组合、二项式定理 第一部分：排列、组合 一。计数原理 加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。（又称分类计数原理） 乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1?N 2?N 3?…..?N m 种方法。（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。排列数、组合数的定义 ①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有m n A 种排法。 A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A n n = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有m n C 种取法。 C m n = ! )!(!m m n n -特别地：1,10==n n n C C 组合数的两个性质： （1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1 -m n . 三。解决排列、组合问题的四大原则及基本方法 1. 特殊优先原则 该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．

作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） Ａ．90种 Ｂ．89种 Ｃ．60种 Ｄ．59种 解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有2 5C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有2 4C 种；③仅剩2天安排丙有2 2C 种．由分步乘法计数原理可得一共有 222 54260C C C =··种，即选Ｃ． 评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则 该原则充分体现了m m m n m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不 必要的重复与遗漏． 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种 解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有2 4C 种分法，再将这三组分 配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有23 4336C A =·种不同分 配方案． 评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种

组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)

组合数学第01讲_比赛中的推理 知识图谱 组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关 一：比赛中的推理 知识精讲 比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理． 在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了． 1．比赛分类： （1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名． （2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场． （3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场． 2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法： （1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”． （2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”． 三点剖析 重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局． 题模精讲 题模一场次计算 例、 某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛 答案： 4

解析： 该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场． 例、 为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加 答案： 6 解析： 由于，故应该邀请6个篮球队参加． 例、 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘． 答案： 2 解析： 由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接． 由图看出小明赛了2盘．

第一讲负数(少年宫六年级下册趣味数学讲稿)

第一讲 负 数 教学目标： 1.使学生在现实情境中了解负数产生的背景，初步认识负数，知道正数和负数的读写方法。知道0既不是正数，也不是负数，负数都小于0。 2.使学生初步体验数学与日常生活的密切联系，进一步激发学习数学的兴趣。 教学重点： 知道正数、负数和0之间的关系。 教学难点： 在现实情境中了解负数的产生与应用。 一、填空不困难，全对不简单。 （1）如果20m 表示向东走20m ，那么—20m 表示（ ）。 （2）如果水位升高2m 时，水位变化记作+2m ，那么水位下降2m 时，水位变化记 作（ ），水位不升不降时，水位变化记作（ ）。 （3）—5 2读作（ ），+1.2读作（ ）。 （4）所有的负数都在0的（ ）边，也就是负数都比0（ ），而正数都比0（ ），负数都比正数（ ）。 （5）零下8℃，表示为（ ），比0℃低2℃的温度是（ ）。 （6）“后退5步”可以说成前进（ ）步。 （7）如果规定向东为正，则向东行驶4km ，记作（ ），向西行驶3km ，记作（ ）。 （8）在温度计上显示的两个温度，（ ）的温度总比（ ）的温度高。（填“上边”或“下边”） （9）在数轴上表示两个数，（ ）的数总比（ ）的数大。（填“左边”“右边”） 二、我是小法官，对错我会判。 （1）0既是正数，也是负数。 （ ） （2）若a 是正数，则—a 不一定就是负数。 （ ） （3）一个数前面加上“—”号，这个数就是负数。 （ ）

（4）若规定收入为“+”，那么—30元表示支出了30元。 （ ） （5）一个数如果不是正数，必是负数。 （ ） （6）正数大于负数。 （ ） （7）一条直线是一条数轴。 （ ） （8）数轴是一条射线。 （ ） 三、脑筋转转转，答案全发现。 （1）下列结论中正确的是（ ） A.0既是正数，也是负数 B.0是最大的负数 C.0既不是正数，也不是负数 D.0是最小的负数 （2）在—3，0，+5，—321，+3.1，—2 1，2003，+2008中是负数的有（ ）。 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 （3）若规定向西行进为“+”，—50m 表示的意义是（ ）。 A.向东行进50m B.向北行进50m C.向南行进50m D.向西行进50m 四、指出列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ —5 +131 0 104 —0.01 +3.2 —27 1 正数： 负数 五、写出点A 、B 、C 、D 表示的数。 里填上“＞”“＜”或“＝”。 ——5 21212 1 — 3.5 七、把下面各数从小到大排列起来。 1、 3.7 5.4 0 —1.2 —7 —3

小学数学课堂教学中渗透数学文化之我见

小学数学课堂教学中渗透数学文化之我见 摘要：数学是小学阶段的基础课程，对夯实学生的数学基础以及提高学生的数 学综合能力具有非常重要的意义。数学是一种文化，数学教育是数学文化的教育。数学文化对于一个人全面和谐的发展，具有极为重要的意义。《数学课程标准》 明确指出:“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的 重要组成部分。”“数学教学应承担向学生传递数学文化的重要职责。”数学从本质上讲是一种文化，数学教育不仅是知识的传授、能力的培养，而且还应是一种文 化熏陶，因此优质的数学课堂需要一些文化底蕴。 关键词：数学文化小学数学课堂教学基础课程 数学学科，不仅是一门理性与系统性很强的学科，其与艺术性学科一样，也 有着自己的文化背景与文化内涵，加强数学文化教育，是促进数学学科长久发展 的必然之计。数学是小学阶段的基础课程，对夯实学生的数学基础以及提高学生 的数学综合能力具有非常重要的意义。尽管数学是一门理科课程，但是其中具有 的数学文化对学生充分理解数学知识具有非常重要的促进作用。如何有效地在小 学数学课堂教学的过程中渗透数学文化已经成为了小学数学教师面临的重要课题 和研究对象。小学阶段是学生接受系统性数学教育的起点，对学生打下坚实的数 学基础具有重要的作用。传统的教学模式下，大多数教师过度重视数学公式以及 计算方法的讲解过程，忽略了在教学中渗透传统文化的重要性，这样的教学方法 已经无法完全适应现代小学数学课堂教学的发展。因此，小学数学教师应该对新 课改教育政策的内容进行深度解读和学习，并将其作为主要的指导原则，根据学 生的年龄特点以及认知能力选择合适的教学方法在数学课堂教学的过程中渗透数 学文化，从而真正发挥小学数学的教学意义。下面本人就如何在小学数学课堂教 学中科学地渗透数学文化的相关策略研究和大家交流探讨。 一、注重利用数学问题，努力渗透数学文化 解答数学题是小学数学教师的教学难点，对提高小学生运用数学知识的综合 能力具有非常重要的作用。解答数学题的过程是学生运用数学知识的过程，因此，小学数学教师可以在带领学生解答数学题的过程中向其渗透数学文化，这样的教 学方法有利于学生对数学问题形成更加深入的认识，从而提高学生解答数学的效率。这样的解题方法在很大的程度上体现了数学文化之间的转换，有利于帮助学 生构建更加完善的数学思维，从而促进数学文化的渗透。 二、注重讲述数学史话，努力渗透人文教育 小学数学文化的内涵既表现在知识与方法本身，还寓于它的历史。中国有着 五千年的古老文明，孕育了灿烂的数学文化。历史上，出现过刘徽、祖冲之等伟 大的数学家，有《九章算术》等经典的数学传世之作。在教学过程中，教师可充 分利用这些独有的宝贵资源，通过一些数学史实，如圆周率、勾股定理等史料的 介绍，让学生了解数学知识的历史渊源，了解古人的聪明智慧，增强民族自豪感。因此我们在平时的教学中，应注意搜集和积累与数学内容有关的数学史话和数学 故事，在课堂教学中，讲到相关内容、和学生进行对话交流、数学课外活动时就 可以信手拈来，随时插入对学生进行数学文化的人文价值教育。 我们都知道兴趣是最好的老师，小学阶段的学生正处于活泼好动的年龄段， 故事是小学生比较喜欢的内容，将一些数学故事融入到数学课堂教学当中为小学 数学教师提供了更多的教学思路。在数学文化中，有很多的数学家，通过自己的 努力在数学领域不断得到新的突破，推动着数学事业的发展。根据小学数学课程

数学分析第三版答案下册

数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2

因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42

☆排列组合解题技巧归纳总结89231资料讲解

排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 1 m种不同的方法，在第2类办法中有2 m种不同的方法，…，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3 C 然后排首位共有1 4 C 最后排其它位置共有3 4 A 由分步计数原理得113 434288 C C A=

组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)

知识图谱 组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关 一：比赛中的推理 知识精讲 比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理． 在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了． 1．比赛分类： （1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名． （2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场． （3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法： （1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”． （2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”． 三点剖析

重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局． 题模精讲 题模一场次计算 例1.1.1、 某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛？ 答案： 4 解析： 该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场． 例1.1.2、 为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加？ 答案： 6 解析： 由于，故应该邀请6个篮球队参加．

数学分析教材和参考书-推荐下载

教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983）

（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修

数学趣味故事讲解

数学趣味故事讲解 一、指导思想： 人人收集趣味数学故事，人人讲解趣味数学故事，培养自信、阳光、具体一定数学视野的领袖儿童。 二、讲解标准： 自然大方，站立不动摇，双手自然下垂； 声音洪亮，吐字清晰，语速适当； 故事具有数学味，能引起人的思考； 有问有答，能边讲边板书。 三、故事来源：三至六年级数学读本中选择；从网络上找；寒假作业上等 四、实施安排： 1、第一阶段：用一节领素课指导学生熟悉自己准备的数学故事，准备好了能够在小组内讲解，组员相互提意见。 2、第二阶段：用一节领素课指导部分准备好的同学讲解，边讲解边就学生讲解的故事指导讲解的具体细节，让其明白怎样讲全班同学能听清楚，能明白其中的道理。 具体细节记录： （1）教师讲要求：具体见上面的评价标准。 （2）王锦秋讲《一封数字信》。 （3）指导：能够先出示0至9这9个数字让学生说一说日常生活中人们是怎样来趣读这些数字的？让学生学觉得数字好玩；介绍故事中的人物 及事件；出示数字信的内容，学生试着翻译；给出准确的解释；学生 自主创作。 （4）胡杨永讲《常见的12》 （5）细节指导：先出示12，问学生：“生活中，哪些地方用到12？”让学生举例；讲解12的妙用。 （6）自主练习，个别指导。 3、第三阶段：从第三周开始，每天数学课前一名同学讲解；周五领素课时集中组织讲解，3月21日前第一轮讲完。讲解结束后组织评价，师生共同给出

修改建议。 第一轮学生讲解故事记录如下： 王锦秋一封数字信 胡杨永常见的12 洪文龙二百五的来历 殷昌鑫分遗产 谭世博一条没有尽头的直线 王鹏乘法分配律在名字中的应用陈帅伟大的数学家 杨姝高斯奖 李雪梅我的数学七彩梦 汪岩松分巧克力 张庆航淘淘上当了 刘梦婷别开生面的数学比赛 周陈杰老财主的儿子 胡义锋爱因斯坦调钟 张化锋有多少级台阶 王博文考100的原因 朱缘缘狡猾的狐狸 万洋洋阿凡提巧解19提油 张金凤三角形的特性 李健铭龙须面中的数学问题 杨泠小数点的作用 梁明昆著名的数学家 张金金扔石头的问题 王芳猴妈妈分香蕉 陈杰游泳 张继伟无意中的发现 李翠做寿

排列组合概率专题讲解

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

第一章 什么是组合数学

第一章什么是组合数学 组合学问题在生活中随处可见。例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。创建幻方。在纸上画一个网络。用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。所有这些都是组合学问题。正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。 组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。 组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。如下两类一般性问题反复出现： 排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满 足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。这是最根本的问题。如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？ 排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种 方法去实现它。此时，人们就可以计数并将它们分类。 虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。然而，如果指定的排列问题的存在性容易解决，那么计算实现该排列的方法的数目则是可能的。在例外的情形下(即当它们的数目较小时)，这些排列可以被列出来，理解列出所有的排列与确定它们的数目之间的区别很重要。一旦这些排列被列出，它们就可通过与整数集{1，2，3，…，n}之间建立一一对应而被数出，其中n 是某个整数。我们计数的方法就是：1，2，3…，n。但是，我们主要关心的是事先不列出指定类型的排列而确定它们的数目的方法。当然，这些排列的总数也许很大以至于不可能把它们部列出来，概括地说，许多组合学问题常呈现下列形式：“能否排列…?” “存在一个……吗?” “能用多少方法—…?” “计算……的数目。”

六下趣味数学校本课程

六年级下学期教学内容 第一讲负数3第二讲圆柱的表面积（1）5第三讲圆柱的表面积（2） (7) 第四讲圆柱的体积（1） (9) 第五讲圆柱的体积（2） 11第六讲比例的意义和基本性质13第七讲正、反比例的意义 (15) 第八讲比的应用（1）17第九讲比的应用（2） 19第十讲抽屉原理21第十一讲数与代数 (23) 第十二讲空间与图形25第十三讲统计与概率28第十四讲综合应用32

第十五讲整理复习36

第一讲负数（讲卷） 3. 如果水位下降2cm 时水位变化记作-2 cm ,那么水位上升1 cm 时，水位变化 记作（ ），水位不升不降时水位变化记作（ ）。 4 ?某品牌家用冰箱的冷冻室的温度是零下 18C ，冷藏室比冷冻室的温度高 22 C,则冷藏室 的温度是 C 5. 二月份，妈妈在银行存入 5000元，存折上应记作（ ）元。三月一日妈妈又取出1000 元，存折上应记作（ ）元。 ☆☆趣味冲浪，发展思维 6 .写出 A B 、C 、D E 、F 点表示的数。 A B CD R F I ■ I ? | ■ ? ? ? ? | i ■ ? ? ■ H il - 9 ( ) - I ( ) -5 -4 ( ) ( )-1 0 1 2 3 ( J f ) 6 7 S 7.在数轴上表示下列各数。 1 4 1.5 -- — 3 - 5 — 5 2 3 &下面是林林家二月份收支情况。 2月8日：妈妈领工资1000元 2月10日：交水电费、管理费 180元 2月12日：林林买衣服用去 60元 2月15日：爸爸领工资 1200元 2月18日：去公园游玩用去 50元 2月20日：妈妈买衣服用去 150元 2月22日：爸爸买书报杂志用去 130元 2月28日：本月伙食费合计用去 820元 ⑴ 你用正负数的知识填写后表。 ⑵ 尝试计算林林家2月份的结余。 ☆☆☆扬帆远航，提升能力 9. 一个点从数轴上某点出发，先向右移动 5个单位长度，再 日期 收支惰观 2月g 日 + 1000 2 10 0 2 12 0 2 J9 u B 2 J31S B 2月20日 2 J 22 0 2 J 2S a 1.右图中温度计中显示的温度是（ ）C 。2008年3月14日某市的气 温为-8C ~2C,这一天该地的温差是（ ）。 4 2 2 .在 1,2.5, 3.6,0.6,, 中，( 3 7 ）是正数， （ ）是负数，（ ）既不是正数也不是负数。 ☆快乐启航，走进生活