概率论和数理统计答案2~10

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

35

35

24

35

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

==== 故所求分布律为 X 3 4 5 P

0.1

0.3

0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；

（2） X 的分布函数并作图； (3)

133

{},{1},{1},{12}222

P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.

【解】

3

1331512213

3151133

150,1,2.

C 22

(0).

C 35C C 12(1).

C 35

C 1

(2).C 35

X P X P X P X ========== 故X 的分布律为 X 0

1

2

P

22

35 1235 135

（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0

当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=

2235

当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435

当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数

0,

022

,0135()34,12351,2x x F x x x

(3)

1122

()(),

2235333434

(1)()(1)0

223535

3312

(1)(1)(1)2235

341

(12)(2)(1)(2)10.

3535

P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤=

<<=--==--=

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.

312

32

2

3

3(0)(0.2)0.008

(1)C 0.8(0.2)0.096

(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512

P X P X P X P X ============

故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P

0.008

0.096

0.384

0.512

分布函数

0,

00.008,01()0.104,120.488,231,

3x x F x x x x

=≤

≥??

(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==

4.（1） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

k

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知

1()e !

k

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故 e

a λ

-=

(2) 由分布律的性质知

1

1

1()N

N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)

(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+

(3,3)P X Y ==

331212

33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++

222233

33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+

0.32076=

(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==

123223

33C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 332212

33(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各

飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，

则有

()0.01P X N ><

即 200

200200

1

C (0.02)(0.98)0.01k k k

k N -=+<∑

利用泊松近似

2000.02 4.np λ==?=

41

e 4()

0.01!k

k N P X N k -∞

=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）

(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=

0.1

0.11e

0.1e --=--?

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

14223

55C (1)C (1)p p p p -=-

故 1

3

p =

所以 4

451210

(4)C ()

33243

P X ===

. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）

5

553(3)C (0.3)(0.7)0.16308k

k k k P X -=≥==∑

(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）

7

773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑

10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）3

2

(0)e

P X -== (2) 52

(1)1(0)1e

P X P X -

≥=-==-

11.设P {X =k }=k

k

k

p p --22)

1(C , k =0,1,2

P {Y =m }=m

m

m

p p --44)

1(C , m =0,1,2,3,4

分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5

9

，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=

，故4(1)9

P X <=. 而 2

(1)(0)(1)P X P X p <===-

故得 2

4

(1),9p -=

即 1

.3

p =

从而 4

65

(1)1(0)1(1)0.8024781

P Y P Y p ≥=-==--=

≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,

20000.0012np λ==?=

得 25

e 2(5)0.00185!

P X -=≈= 13.进行某种试验，成功的概率为

34，失败的概率为1

4

.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,

,,

X k =

113

()()44

k P X k -==

(2)(4)(2)P X P X P X k =+=+

+=+

321131313()()444444

k -=

++++

21314145

1()4

==-

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为

(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤

由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有

514

e 5(15)10.000069!k

k P X k -=>≈-≈∑

(2) P (保险公司获利不少于10000)

(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤

510

e 50.986305!k

k k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%

P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤

55

e 50.615961!k

k k -=≈≈∑ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X 的密度函数为

f (x )=A e -|x |, -∞

求：（1）A 值；（2）P {0

()d 1f x x ∞

-∞

=?

得

||0

1e d 2e d 2x x A x A x A ∞

∞

---∞

===??

故 1

2

A =

. (2) 11

011(01)e d (1e )22

x p X x --<<==-?

(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==? 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x

x F x x x x ---∞-∞==+??? 11e 2

x

-=-

故 1e ,0

2

()11e 0

2x

x x F x x -?

?-≥??

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为

f (x )=?????<≥.100,

0,

100,1002

x x x

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F （x ）. 【解】

（1） 150

2

1001001

(150)d .3P X x x ≤=

=? 33128

[(150)]()327

p P X =>==

(2) 12

23124C ()339

p ==

(3) 当x <100时F （x ）=0

当x ≥100时()()d x

F x f t t -∞=

?

100

100

()d ()d x f t t f t t -∞

=+??

2

100100100

d 1x

t t x

=

=-? 故 100

1,100()0,

0x F x x

x ?-

≥?=??

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为

1

,0()0,

x a

f x a

?≤≤?=???其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时0

1()()d ()d d x

x x

x F x f t t f t t t a a

-∞

====?

??

当x >a 时，F （x ）=1

即分布函数

0,0(),

01,

x x F x x a a x a

?? 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即

1

,25

()3

0,x f x ?≤≤?=???其他 53

12

(3)d 33

P X x >==?

故所求概率为

223333

21220C ()C ()33327

p =+= 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1

()5

E .某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5

X E ，即其密度函数为

5

1e ,0

()5

0,x

x f x -?>?=??≤?

x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为

25

101(10)e d e 5

x P X x -∞

->==?

2~(5,e )Y b -,即其分布律为

225525

()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5

(1)1(0)1(1e )0.5167

k

k k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服

从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则

406040(60)(2)0.9772710

10x P X P Φ--??

<=<== ???

若走第二条路，X~N （50，42），则

506050(60)(2.5)0.99384

4X P X P Φ--??

<=<== ???++

故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N （40，102），则

404540(45)(0.5)0.691510

10X P X P Φ--??

<=<== ???

若X~N （50，42），则

504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--??

<=<=- ???

1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X ~N （3，22），

（1） 求P {2

22X P X P ---??

<≤=<≤

???

11(1)(1)1220.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ????

=--=-+ ? ?

????=-+=

433103(410)2

22X P X P ----??

-<≤=<≤ ???

770.999622ΦΦ????

=--=

? ?????

(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-

323323222215151122220.691510.99380.6977

X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ?

????????????

=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=

333

(3)(

)1(0)0.522

X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,

求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.06

0.06X P X P ?-?

->=>

???

1(2)(2)2[1(2)]

0.0456

ΦΦΦ=-+-=-=

23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200

＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---??

<≤=<≤

??? 404040210.8ΦΦΦσσσ-??????=-=-≥

? ? ???????

故

40

31.251.29

σ≤

= 24.设随机变量X 分布函数为

F （x ）=e ,0,

(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?

（1） 求常数A ，B ；

（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.

【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞

→+

→-=???=??得11A B =??=-?

（2） 2(2)(2)1e

P X F λ

-≤==-

33(3)1(3)1(1e

)e P X F λ

λ-->=-=--=

(3) e ,0

()()0,

0x x f x F x x λλ-?≥'==?

25.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

?

??<≤-<≤.

,0,21,

2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.

【解】当x <0时F （x ）=0

当0≤x <1时0

()()d ()d ()d x

x

F x f t t f t t f t t -∞

-∞

=

=+?

?

?

2

0d 2

x

x t t ==?

当1≤x<2时()()d x

F x f t t -∞

=

?

10

1

1

1

22

()d ()d ()d d (2)d 13222221

2

x

x f t t f t t f t t

t t t t

x x x x -∞==+=+-=+--=-+-?

????

当x ≥2时()()d 1x

F x f t t -∞

=

=?

故 22

0,0,01

2

()21,1221,

2

x x x F x x x x x

26.设随机变量X 的密度函数为

（1） f (x )=a e -|x |,λ>0;

(2) f (x )=?

????<≤<<.

,0,21,1

,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由

()d 1f x x ∞

-∞

=?

知||0

21e d 2e d x x a

a x a x λλλ

∞∞

---∞

===

??

故 2

a λ=

即密度函数为 e ,02

()e 02

x

x x f x x λλλλ-?>??=??≤??

当x ≤0时1()()d e d e 22

x

x

x x F x f x x x λλλ

-∞

-∞===?

?

当x >0时0

()()d e d e d 2

2

x

x

x

x F x f x x x x λλλ

λ

--∞

-∞

=

=+?

??

11e 2

x

λ-=-

故其分布函数

11e ,02

()1e ,02

x

x x F x x λλ-?->??

=??≤?? (2) 由12

20

1

11

1()d d d 22

b f x x bx x x x ∞

-∞

=

=+=+?

??

得 b =1

即X 的密度函数为

2,011(),120,

x x f x x x

<

=≤

当x ≤0时F （x ）=0 当0

()()d ()d ()d x

x

F x f x x f x x f x x -∞

-∞

=

=+?

?

?

2

d 2

x

x x x =

=?

当1≤x <2时012

1

1()()d 0d d d x x

F x f x x x x x x x -∞

-∞

==++????

312x

=

- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为

20,0,01

2

()31,1221,2

x x x F x x x x ≤???<

27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=

即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ=

故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得

1()0.003z αΦ-=

即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得

/21()0.0015z α-Φ=

即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α= 28.设随机变量X 的分布律为 X -2 -1 0 1 3 P k

1/5 1/6 1/5 1/15 11/30

求Y =X 2的分布律.

【解】Y 可取的值为0，1，4，9

1(0)(0)5

117(1)(1)(1)61530

1

(4)(2)511

(9)(3)30

P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X ====

===-+==+====-=

====

故Y 的分布律为

Y 0 1 4 9 P k

1/5 7/30 1/5 11/30

29.设P {X =k }=(

12

)k

, k =1,2,…,令 1,1,.

X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时

求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=+

+=+

242111()()()222

111()/(1)443

k =++++=-=

2

(1)1(1)3

P Y P Y =-=-==

30.设X ~N （0，1）.

（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.

【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时，()()(e )(ln )x

Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤

ln ()d y

X f x x -∞

=

?

故 2/2

ln d ()111()(ln )e ,0d 2π

y Y Y x F y f y f y y y y y -=

==> (2)2

(211)1P Y X =+≥=

当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=

当y >1时2

()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤

2

111222y y y P X P X ??

---??=≤=-≤≤ ? ? ??

???

(1)/2

(1)/2

()d y X y f x x ---=

?

故 d 1

211()()d 4

122Y Y X

X y y f y F y f f y y ?

?

????--==+-?? ? ? ? ?-???????

?

(1)/4

1

21e ,1212π

y y y --=>-

(3) (0)1P Y ≥=

当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=

当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤

()d y

X y

f x x -=

?

故d

()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y

=

=+- 2/2

2e ,02π

y y -=

> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：

（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=

故 (1e e )1X

P Y <=<=

当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=

当1

Y F y P y P X y =≤=≤

ln 0

d ln y

x y ==?

当y ≥e 时()(e )1X

Y F y P y =≤=

即分布函数

0,

1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??

=<

故Y 的密度函数为

1

1e ,

()0,Y y y f y ?<

=???

其他 （2） 由P （0

(0)1P Z >=

当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=

当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤

/2

(ln )(e

)2

z z

P X P X -=≤-=≥

/21

/2

e d 1e z z x --==-?

即分布函数

-/2

0,

0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0

故Z 的密度函数为

/2

1e ,0

()20,

z Z z f z z -?>?=??≤?0

32.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=22,0π,π0,

.x

x ?<

试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=

当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=

当0

(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<

arcsin π220πarcsin 22d d ππy

y x x x x -=

+??

22

2211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）

2

arcsin π

y =

当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为

2

2

1,01π()10,Y y f y y

?<

其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：

???

??≥

<+=.

)3(,

)2(,

)1(,11

)(2

x x x x F

试填上(1),(2),(3)项.

【解】由lim ()1x F x →∞

=知②填1。

由右连续性+

0lim ()()1x x F x F x →==知00x =，故①为0。 从而③亦为0。即

2

1

,0()11,

0x F x x x ?

=+??≥? 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X 的分布律. 【解】设A i ={第i 枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P (A i )=

1

6

.且A 1与A 2相互独立。再设C ={每次抛掷出现6点}。则

1

21212()()()()()()P C P A A P A P A P A P A ==+-

111111

666636

=

+-?=

故抛掷次数X 服从参数为11

36

的几何分布。

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X 为0出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则

X~b (n ,0.1)

00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9n

n P X P X ≥=-==-≥

即 (0.9)0.1n

≤ 得 n ≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

F （x ）=????

?

????≥<≤+<.

2

1,1,21

0,

21,0,0x x x x

则F （x ）是（ ）随机变量的分布函数.

（A ） 连续型； （B ）离散型； （C ） 非连续亦非离散型.

【解】因为F （x ）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且lim ()0x F x →-∞

=

lim ()1x F x →+∞

=,所以F （x ）是一个分布函数。

但是F （x ）在x =0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F （x ）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C ）

37.设在区间[a ,b ]上，随机变量X 的密度函数为f (x )=sin x ，而在[a ,b ]外，f (x )=0，则区间 [a ,b ]

等于（ ）

(A ) [0,π/2]; (B ) [0,π]; (C ) [-π/2,0]; (D) [0,π2

3]. 【解】在π[0,]2

上sin x ≥0，且

π/2

sin d 1x x =?

.故f (x )是密度函数。

在[0,π]上π

sin d 21x x =≠?

.故f (x )不是密度函数。

在π

[,0]2-

上sin 0x ≤，故f (x )不是密度函数。 在3[0,π]2上，当3

ππ2

x <≤时，sin x <0，f (x )也不是密度函数。

故选（A ）。

38.设随机变量X ~N （0，σ2），问：当σ取何值时，X 落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为2

1

3

~(0,),(13)(

)X

X N P X P σσ

σ

σ

<<=<

<

3

1

(

)()()g σσ

σ

=Φ-Φ令

利用微积分中求极值的方法，有

22

3

311()()()()g σσ

σσσ

'''=-

Φ+Φ

22

2

2

9/21/22

2

1/28/22

3

111e e 221e [13e ]02σσσσσσπ

π

πσ

----=-

+=

-=令

得2

04

ln 3σ=

,则 02ln 3

σ= 又 0()0g σ''< 故02

ln 3

σ<

为极大值点且惟一。 故当2

ln 3

σ=

时X 落入区间（1，3）的概率最大。 39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X 服从泊松分布P （λ），每个顾客购买某种物

品的概率为p ，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y 的分布律.

【解】e (),0,1,2,!

m

P X m m m λλ-==

=

设购买某种物品的人数为Y ，在进入商店的人数X =m 的条件下，Y ~b (m ,p )，即

(|)C (1)

,0,1,,k k m k

m P Y k X m p p k m -===-=

由全概率公式有

()()(|)m k

P Y k P X m P Y k X m ∞

======∑

(1)e C (1)!e

(1)!()!()[(1)]e

!

()!()e e

!

()e ,0,1,2,

!

m k k

m k

m m k

m

k

m k

m k k m k m k

k p k p p p m p

p k m k p p k m k p k p k k λλ

λ

λλλλλλλλλ-∞

-=∞

--=-∞

-=---=-=---=-===∑∑

∑

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为

22e ,0

()0,

0x X x f x x -?>=?

≤? 由于P （X >0）=1，故0<1-e -2X <1，即P （0

当y ≤0时，F Y （y ）=0 当y ≥1时，F Y （y ）=1

当0

Y F y P Y y P y -=≤=≥-

1

ln(1)220

1

(ln(1))

22e d y x P X y x y

---=≤--==?

即Y 的密度函数为

1,01

()0,Y y f y <

?其他

即Y~U （0，1）

41.设随机变量X 的密度函数为

f (x )=????

?????≤≤≤≤.,

0,63,9

2

,10,31

其他x x

若k 使得P {X ≥k }=2/3，求k 的取值范围. (2000研考) 【解】由P （X ≥k ）=

23知P （X

3

若k <0,P (X

若0≤k ≤1,P (X

d 333k

k x =≤? 当k =1时P （X

3

若1≤k ≤3时P （X

d 0d 33k x x +=??

若3

d d 39933

k x x k +=-≠??

若k >6,则P （X

故只有当1≤k ≤3时满足P （X ≥k ）=2

3

. 42.设随机变量X 的分布函数为

F (x )=???????≥<≤<≤--<.3,

1,31,8.0,11,4.0,1,

0x x x x

求X 的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系，可知X 的概率分布为 X -1 1 3 P

0.4

0.4

0.2

43.设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求A

在一次试验中出现的概率.

【解】令X 为三次独立试验中A 出现的次数，若设P （A ）=p ,则

X ~b (3,p )

由P （X ≥1）=1927知P （X =0）=（1-p ）3=827

故p =

1

3

44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？ 【解】

概率论与数理统计公式表

第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∞ = ∞ = = 1 1i i i i A A B A B A =，B A B A =

概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题（每空2分，共20分） 1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）. 5、已知随机变量X ～N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题（每题12分，共48分） 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ

概率论与数理统计 重要公式

一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()(

一般正态分布的概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ ， 连续型： ①分布函数法， ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律：(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：?? ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( 性质：2(,) (,)1, (,),F x y F f x y x y ?+∞+∞==??((,))(,)G P x y G f x y dxdy ∈=?? ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()(' x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

《概率论与数理统计》期末考试题及答案

西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案 一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为 1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为： ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ??

概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

概率论和数理统计期末考试题库Word版

数理统计练习 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为 8180，则此射手的命中率3 2。 3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)] ([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。 5、一次试验的成 功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。 6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(2 22121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(2 11σμN 。 7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (X )=3 4。 8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。 9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。 10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2 ?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。 2、设X B (2,p )，Y B (3,p )，且P {X ≥ 1}=9 5，则P {Y ≥ 1}=27 19。 3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。 4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5、设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α=0.6 。 6、利用正态分布的结论，有 ? ∞ +∞ ---=+-dx e x x x 2 )2(22 )44(21 π 1 。

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

最新概率论与数理统计期末考试卷附答案

概率论与数理统计期末考试卷 课程名称： 概率论与数理统计 考试时间 专业 班 学号 姓名 一、填空题（每格3分，共18分） 1. 设 3 1)()()(321= ==A P A P A P ，321,,A A A 相互独立，则（1）321,,A A A 至少出现一 个的概率为_ __；（2）321,,A A A 恰好出现一个的概率为_ _ _。 2. 设)2,1(~2N X ，)1(~P Y ，6.0=XY ρ，则=+-2)12(Y X E __ ____。 3．设Y X ,是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y 则 },max{Y X Z =的分布函数是 。 4．若随机变量X 服从正态分布),(2 σμN ，20 21,,,X X X Λ是来自X 的一个样本，令 ∑∑==-=20 11 101 43i i i i X X Y ，则Y 服从分布 。 5. 若对任意给定的0>x ,随机变量y 的条件概率密度???>=-其它 ,00,)(y xe x y f xy z y 则 y 关于x 的回归函数==)(x x y μμ . 二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上等于x sin ，而在此区间外等于0，若)(x f 可以做为某连续型随机变量X 的密度函数，则区间],[b a 为（ ）。 (A) ]2,0[π ； (B) ],0[π； (C) ]0,2 [π - ； (D) ]2 3, 0[π 。 2. 假设随机变量X 的概率密度为)(x f ，即)(~x f X ，期望μ与方差2 σ都存在，样本)1(,,,21>n X X X n Λ取自X ，X 是样本均值，则有（ ） (A) )(~x f X ； (B) )(~min 1x f X i n i ≤≤； (C) )(~max 1x f X i n i ≤≤ ； (D) )(~ ),,,(1 21∏=n i i n x f X X X Λ。 3. 总体2 ~(,)X N μσ，2σ已知，n ≥（ ）时，才能使总体均值μ的置信度为0.95 的置信区间长不大于L 。(975.0)96.1(=Φ) （A ）2215/L σ； （B ）22 15.3664/L σ； （C ）22 16/L σ； （D ）16。 4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，-F 检验法 和-t 检验法，下列说法正确的（ ）。 (A) F 检验法最有效； (B) t 检验法最有效； (C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的； （D) F 检验法和t 检验法，可以代替相关系数的检验法。 5．设n X X X ,,,21Λ来自正态总体),(2 σμN 的样本(2 σ已知),令n X u /σμ -= ,并且2 1α - u 满足 απ αα-=?- - --121 2 12 122 /dx e u u x (10<<α),则在检验水平α下, 检验00:μμ=H 时,第

概率论与数理统计公式定理整理汇编

概率论与数理统计公式集锦 一、随机事件与概率

二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt 2、离散型随机变量及其分布 3、连续型随机变量及其分布

4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,j i i j g x y P Y y p i L ， 连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y 单调 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j L 分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ()j j ij i p P Y y p 条件分布律：(),1,2,ij i j j p P X x Y y i p L ，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p L 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数： x y dudv v u f y x F ),(),( 性质：2(,) (,)1,(,),F x y F f x y x y ((,))(,)G P x y G f x y dxdy ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数： x X dvdu v u f x F ),()(密度函数： dv v x f x f X ),()( y Y dudv v u f y F ),()( du y u f y f Y ),()( ③条件概率密度 y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(， x y f y x f y x f Y Y X ,) () ,()(

概率论与数理统计期末考试题及答案

模拟试题 填空题(每空3分，共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为：W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2，则常数A= 0, x>2

分布函数F(x)= ，概率P{—0.51} =5/ 9，贝U p = 若X与丫独立，则Z=max(X,Y)的分布律: 6、设X ~ B(200,0.01), Y - P(4),且X 与丫相互独立，则D(2X-3Y)= COV(2X-3Y , X)= 7、设X1,X2,III,X5是总体X ~ N(0,1)的简单随机样本，则当k = 时, 丫"⑶； 8、设总体X~U(0,巧日：>0为未知参数，X i,X2,lil,X n为其样本, -1n X =—S X i为 n i 二 样本均值，则日的矩估计量为: 9、设样本X i,X2，川，X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值X = 10，求参 数a的置信度为95%的置信区间: 计算题(35分) 1、(12分)设连续型随机变量X的密度函数为:

概率论与数理统计期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).

(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩

概率论与数理统计公式总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关 系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ) () ()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1 ) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λ λ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞ ∞ -+∞ ∞ -dxdy y x f 1 ),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程 期末复习资料 注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差与相关系数. 16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值与方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5．会用中心极限定理解题。 6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

概率论与数理统计 重要公式

一、随机事件与概率 公式名称 公式表达式 德摩根公式 B A B A =，B A B A = 古典概型 ()m A P A n = =包含的基本事件数基本事件总数 几何概型 () ()()A P A μμ= Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 P(A ∪B)= P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0（A 、B 互斥）时，P(A ∪B)=P(A)+P(B) 减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ?时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 乘法公式 )() ()(A P AB P A B P = ()()()()()P AB P A P B A P B P A B == ()()()()P ABC P A P B A P C AB = 全概率公式 1 ()()()n i i i P A P B P A B ==∑ 从原因计算结果 贝叶斯公式 （逆概率公式） 1 ()() ()()() i i i n i i i P B P A B P B A P B P A B == ∑ 从结果找原因 两个事件 相互独立 ()()()P AB P A P B =；()()P B A P B =；)()(A B P A B P =；

二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 分布名称 分布律 0-1分布 X ～b(1,p) 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布(贝努利分布) X ～B(n,p) n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 泊松分布 X ～p(λ) (),0,1,2,! k P X k e k k λλ-== = 3、续型型随机变量及其分布 分布名称 密度函数 分布函数 均匀分布 x ～U(a,b) ?? ?? ?<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f 0, (),1, =-0 , 00,)(x x e x f x λλ ???? ?≤>-=-0 , 00 , 1)(x x e x F x λ 正态分布 x ～N(2,σμ) 2 2 ()21()2μσπσ -- = -∞<<+∞ x f x e x 22 ()21 ()d 2μσπσ -- -∞ = ?t x F x e t 标准正态分布 x ～N(0,1) 2 2 1()2?π - = -∞<<+∞ x x e x 212 1 ()2t x x e dt π --∞ Φ= ? 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()(

概率论与数理统计期末考试试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = () A 、A B B 、AB C 、AB D 、A B 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则ABC 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B = ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P AB = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+ C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c =( ) A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

#概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》、《概率论和数理统计》、《随机数学》课程 期末复习资料 注：以下是测试的参考内容，不作为实际测试范围，测试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间和事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和使用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式和乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差和相关系数. 16、了解矩和协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值和样本方差及样本矩概念，掌握χ2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值和样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性和有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值和方差的置信区间。会求双正态总体均值和方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。 24、掌握正态总体均值和方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的使用；掌握事件独立性的概念及性质。3．准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数和分布函数的关系，联合分布和边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。5．会用中心极限定理解题。 6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型