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[K12学习]2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数(一)学案 苏教版选修1-1

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[K12学习]2018版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.2 瞬时变化率——导数(一)学案 苏教版选修1-1

3.1.2 瞬时变化率——导数(一) 学习目标 1.理解曲线的切线的概念,会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度.

知识点一 曲线上一点处的切线

思考 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n =1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么?

梳理 可以用逼近的方法来计算切线的斜率,

设P (x ,f (x )),Q (x +Δx ,f (x +Δx )),

则割线PQ 的斜率为k PQ =f x +Δx -f x Δx

. 当Δx 无限趋近于0时,____________无限趋近于点P (x ,f (x ))处的切线的________.

知识点二 瞬时速度与瞬时加速度

思考 瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系?

梳理 (1)如果当Δt 无限趋近于0时,运动物体位移s (t )的平均变化率s t 0+Δt -s t 0

Δt 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t =t 0时的________________,即位移对于时间的________________.

(2)如果当Δt 无限趋近于0时,运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0+Δt -v t 0Δt

无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t =t 0时的________________,即速度对于时间的________________.

知识点三 函数的导数

思考1 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系?

思考2 导数f ′(x 0)有什么几何意义?

梳理 设函数y =f (x )在区间(a ,b )上有定义,x 0∈(a ,b ),当Δx 无限趋近于0时,比值Δy Δx

=________________无限趋近于一个常数A ,则称f (x )在点x =x 0处________,并称常数A 为函数f (x )在x =x 0处的导数,记作________.

类型一 求曲线在某点处的切线斜率

例1 如图,已知曲线y =13x 3上一点P ? ??

??2,83,求:

(1)点P 处的切线的斜率;

(2)点P 处的切线方程.

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