高中数学竞赛试卷
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一选择题
1.如果集合.A B 同时满足{}1.
2.
3.4A B = {}1A B = ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”
。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862A
B C D
２.设函数()()
lg 101x
f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )
()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101
A B C D --++
3.设100101102499500A = 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )
783660A B C D
4.在直角ABC 中, 90C ∠= ,CD 为斜边上的高,D
为垂足. ,,1
AD a BD b CD a b ===-=.
设数列
{}
k u 的通
项
为
()1221,1,2,3,,k
k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-= 则( )
20082007200620082007200620082007
20082007 2007200820082007
.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==
5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的
顺序排成一个新的数列
{}
n a ,易见123451,3,7,9,13
a a a a a ===== 那么2007____________a =
192759.. 55 .. A B C D 2831 9597
6.设
00
1cos31cos3A B =+-= 0000
1+cos7+1+cos111+cos871-cos7+1-cos111-cos87 + + + +则():A B =
..
.. A B C D 2
2
2-12+12
2
2-2+
二.填空题
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n 为使得(
)
n
n i a +=
2-22+2取实数值的最小正整数,则对应此n 的
n a 为( ).
9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体
1111ABCD A B C D -中,顶点
A 出发的三条棱1,,A
B AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60
那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________
11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12
,,f x f x f x f
f x ==
(
)
()(
)
()(
)()()()()()()()()()()()()
1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --=
=== 其中n =2,3,4…
设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()
()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ?=??=??=??
的解为_________________
12.设平行四边形ABCD 中，3,4,2,2AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线
AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________
三解答题
13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),
4,q =试确定l 的斜率的取值范围.
2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.
14.数列
{}
n x 由下式确定:
112
,1,2,3,,121
n
n n x x n x x +=
==+ ,试求[]2007
2007
l g l g .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)
15.设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足
,ayz bzx cxy
p x y z
++=其中p 为给定的正实数,试求()()()2
2
2
s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.
解 答
一、 选择题
1.C.
2.A.
3.C.
4.A.
5.B
6.D.
1.逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .
元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .
同理，元素3和4也有2种选择.
但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .
所以4个元素满足条件的选择共有62222=-??种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.
2.令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x
10110
=+-，11010-=-y x ，
)110lg(-=-y x ，
)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .
令t x
=2，则题设方程为 )()(1
t f
t f -=-，即 )110lg()110lg(--=+t t ，
故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t
， 2lg 2=t ，
解得 2lg 212=
=t x
. 从而 1)2(l g l o g )2lg 2
1
(log 22-==x . 答：A. 3. 注意 972126??=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A
500102101100
++++≡ 2401500100÷?+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以 6≡A （mod18）. （1）
又
因
为
1
103-≡，
n
n )1(103-≡（mod7）, 所以
i
i i A 34
10)500(?-=∑=i i i ）
（1)500(4000
-?-≡∑= 100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）.
(2)
由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.
另解：632126?=，99999963，1109999996
-=，
）（）（11011066--n ，
,3,2,1=n .所以
499500104974981010310410101102101006118811941200+?++?+?+?= A
+
-?++-?+-?+-?=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200
）（499500497498103104101102100+++++
2200499500101102100999999÷?+++=）（B 60060200100999999++=B 60060300999999+=B 60360999999+=C ，
其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的
余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C.
4.易见BD AD CD ?=2，即
ab b a =-2
）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .
显然k u 是首项为k
a ，公比为a
b
q -
=的等比数列的前1+k 项和.故 b
a b a q q a u k k k k k +--=
--=+++1
11)(1)1(， 3,2,1=k . 从而
b
a b a b a b a u u k k k k k k +--+
+--=++++++2
2111
)()(])()([1
1212++++----++=
k k k k b b a a b
a )]1()()1([111+---++=++
b b a a b a k k ])([12121b b a a b a k k ?--?+=++ 233])([1+++=--+=k k k u b a b
a ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）
另解：易见BD AD CD ?=2，即
ab b a =-2
）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222
=?+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得
21
5+=
a ， 2
1
5-=b . 显然k u 是首项为k
a ，公比为a
b
q -
=的等比数列的前1+k 项和，故 b
a b a q q a u k k k k k +--=
--=+++1
11)(1)1(]
)251()251[(5
1
1
1++--+=
k k ，
,3,2,1=k .
于是数列{}k u 就是斐波那契数列
1，2，3，5，8，13，21，…，
它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A.
5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，
m 中不能被2，5或11整除的项的个数为
??
?
???-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中??a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.
估
值
：
设
110
10225511522007m m m m m m m m x m -+++---
≈=)111
1)(511)(211(---?=m 11105421?
??=m m 114=，故 5519411
2007≈?≈m . 又因为
?
?
????-??????+??????+??????+??????-??????-??????-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x
=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，
并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.
又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的
数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±
；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与
110互质的数的个数，等于4011
1151121
1110110=-?-?-?=?）（）（）（）（
.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=?中，不能被2，5，11整除的数有20005040=?个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .
6.显然 287cos 127cos 123cos 12
++
++++=A
5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；
287cos 127cos 123cos 12
-+
+-+-=B
5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到
)1sin()1sin(1sin cos 2
--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2
+--=θθθ, 所以
+-+-+-=?
)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 2
1sin 2A
)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，
+-+-+-=?
)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 2
1sin 2B
)5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.
故
5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()2
1sin 2(:)2
1sin 2(:==?
?
=B A B A
12+=. 答：D.
另解：
2
A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，
2
B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，
++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 2
2
i i B i
A )5.43sin 5.43(cos i ++
∑=++=21
)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i
)
2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22
i i i +-+-+= )
2sin 2(cos 1)
44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cos
i i i +-+-+=
1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=
)
1sin 1)(cos 1sin 2()
22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+=
=)5.22sin 5.22(cos 1
sin 22sin
i +.
因为2A 和2B 是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，
1sin 5.22sin 22sin 2
=B , 122222
222
145
sin 45
cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2
:
2
:2
+=+=+
=+===
=
B A B A .
答：D.
二、 填空题（满分54分，每小题9分）
7.解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，
c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，2
22a c b <+.
易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；2
2
2
c a b -<
))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，
即
26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a
)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.
8.注意到22-=
x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，
0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜
2
π.从而22c o s 42
-=θ，-
2cos 422-=θ，-
θπ
θ2cos 4
3cos 1cos 2222==-=，故83πθ=
，
83cos )83sin 83(cos
π
ππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当08
3sin
=πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 82008
3cos 2008-====ππx a a n .
答：-1.
9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3
p （p 是质数）；第二类是两个不同质
数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得
3327=是奇异数（第一类）； 73242??=不是奇异数； 23369?=是奇异数（第二类）；
373111?=是奇异数（第二类）；
35125=是奇异数（第一类）； 137是质数，不是奇异数；
37343=是奇异数（第一类）；
221301900899-=-=）（130+=2931130?=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160?=-）（是奇异数（第二类）；
42119)12020)(120(120180007999233?=++-=-=-=是奇异数（第二类）. 答：8.
10. 解：将向量1AA ，AB ，AD 分别记为a ，b ，c . 则2==a a ，3==b b ，
4==c c ，且易见
c b a AC ++=1， c b a C A ++-=1， c b a BD +-=1， c b a DB -+=1.
所以)(2)(2
222
2
1
a c c
b b a
c b a c b a AC ?+?+?+++=++=
022260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=2
2
2
2443324322
2
2
?+?+?+++==55， 故551=
AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.
答：55，19，15，33.
11.令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，
)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，
2
)1(323)(+-=+=s y y g 1
3-=s ，
,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，
13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为
??
???-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)
1(,1)1(33)3(2696
969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得
??
???-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)
4(),(3)(2696
969y x x z x z z y z y y x
所
以
)
()23()()23()(233
9629696y x x z z y y x -=-=-=-?0
0=-?=-z y y x z y x ==?.
代入（1）得
1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，
7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31
323
-
=x . 所以原方程组的解为31323-
===z y x . 答：31
323
-===z y x . 12.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.
记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作
l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中
点.由对称性，易见所求旋转体体积为
)(2l NPQ D l AD N l ABCD V V V V --?-+==平行四边形平行四边形.
由于2324===AD BD AB ，，，易见
3090=∠=∠DBA ADB ，，
73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，
FN DF >.
且
21727322==?==
?AO DO AD AO S DF ADO ，
7
4
716712422=
=-
=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749
167716747123312==??=???=
=-?-?AF DF V V l ADF l ADN . 又
7
1074147472=-=-=-=AF AC CF ，
7
==AO CO ，
QO DF CO CF ::=，
2151
7
1021727=÷?=?=
CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得
CO
QO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ??-??=-==-?-?--223
1
31ππ梯形平行四边形
ππππ71225
657122534310007)2574940(7)725217
10
712(
3=-?=-=?-
?=
.从而 175
73021225105772)12256574916(72)7122565774916(
2π
ππππ=
?=+=+=V . 答：所求体积为
175
7302π
：
13.解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是
y 的一元二次方程，由判别式0≥?解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则
4324221+-=
+m m y y ，4
336
2
21+=m y y . 由题设条件，02121<+=?y y x x OB OA ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，
得 016)(4)1(21212
<++++y y m y y m ，即0164
32444336)1(222
<++-?++?
+m m
m m m ，
即 0)43(424)1(92
22<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 25
3)1(2 5 3 53< <- m . 故l 的斜率的取值范围为)5 3 ,53(- . 因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x FB -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=---- 04 324343362)(322 22121=+-?++? =++=m m m m y y y my . ∴1FA 与FB 共线， 即1A 与F 、B 三点共线. III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 14.解：n n n n n x x x x x 121212 1+=+=+， 22 211441n n n x x x ++=+， )1(411 2 221 +=- +n n n x x x ， 3,2,1=n . 故 ∑∑==++=-2006 1 2 2006 1221)1(4)11(n n n n n x x x ，亦即 80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得 802541 2006 1 2 2 2007 ∑=+=n n x x . （*） 由于 11 21 21<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31 12211 2=+= x x x ，11319 23 1122 223=+=+=x x x ， 故 ∑∑==++=20063 222006 1 2)31(1n n n n x x 15120041219911)113(911200632 由（*）式得 8629 80251514180252 2007 =+?<< x ， ,802518629122007< 1lg lg 86291lg 2 2007< 3lg 22007-<<-x ， ∴??2lg 2007-==x k . 15.证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知 222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+ )()(21)()(21)()(212222 22222222222222222222x y y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 2 22222222222z y x c y x z b x z y a ++=)(2)(2 222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从 而 22 222222222)( ])[(])[(])[(P z cxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即 2 )(P S c b a ≤++，c b a P S ++≤2 . 上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即= ==z y x c b a P ++.因此所求的S 的最大值为 c b a P ++2 ，当S 取最大值时，===z y x c b a P ++. （第13题答图） （第10题答图） （第12 题答图） （命题：吴 康，黄宗明.具体分工：黄宗明命第4，10，13题，吴 康命其余各题） y y A B x o Q A B x o Q A 1 F l l A A 1 B 1 C 1 D 1 B C D A B C D Q M P N O F E 高中数学竞赛试卷 考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。 一、 选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．命题甲：10031002≠≠y x 或；命题乙：2005≠+y x ，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2，如果圆222n y x =+至少覆盖函数n x x f πsin 3)(=的一个最大点和一个最小点，则正 整数n 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ） A ．43 B ．32 C ．53 D ． 10 9 4．对于,R x ∈ 函数)()2()2(x f x f x f =-++，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．函数)(x f y =的图象为C ，而C 关于直线1=x 对称的图象为1C ，将1C 向左平移1个单后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为（ ） A ．)(x f y -= B ．)1(x f y -= C ．)2(x f y -= D ．)3(x f y -= 6．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（ ） A ．2)1()1)(1(ab ab b b a a +>++ B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++ C ．b a b a b a b a ++>++222233 D ． 2 23 322b a b a b a b a -->-- 7．记xy y x A xy )1)(1(22--=，若abc c b a =++，则ab ac bc A A A A ++=的值为（ ） A ．3 B ． 3- C ． 4 D ．4- 8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（ ） A ．17043 B ．17044 C ．17045 D ． 17046 高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。 二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2 历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个 高中数学竞赛模拟试卷 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0! 1! 2! 100!i +i +i + +i = ．（i 表示虚数单位） 2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合 是 ．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是 ． 4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ， 2CF =cm ，则线段EF 的长为 cm ． 5．若关于x 的方程4(3)250x x a ++?+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为 ． 6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为 ． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n 的表达式 ． 8．实数x 、y 、z 满足0 x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2 x 、2 y 、2 z 中最大者， 则m 的最小值为 ． 二、（本题满分14分） 设()f x = a 的值：至少有一个正数 b ，使()f x 的 定义域和值域相同． i x 1 A B F D E 三、（本题满分14分） 已知双曲线22221x y a b -=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2 b a c =．,P Q 是双曲线上 任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ?的值． 四、（本题满分16分） 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ?????? =≤≤∈?????????? N 的元素个数． 五、（本题满分16分） 数列{}n f 的通项公式为1122n n n f ??????=- ??????? ?，n ∈+Z ． 记1212C +C +C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除． 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公 比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =. 1 1 高中数学竞赛试卷A 及答案 考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A ( ) A ．(－2，2) B ．[－2，2] C ．}1,3{- D ．}1,3{- 2．若()()2006 34554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则??? ? ??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007 3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6] 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱 AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面 ABCD 和平面ABC 1D 1均成 30角，则这样的直 线条数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且 椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ． 124y 246x 22=++ B ．1243y 246x 22=+++ C ．1246y 24x 2 2 =++ D ． 12 46y 243x 22=++ + （注：原卷中答案A 、D 是一样的，这里做了改动） 6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( ) A ．1372 B ． 2024 C ． 3136 D ．4495 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。） A C D 2009年全国高中数学联赛试题及答案 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围. 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 高中数学竞赛试卷A 及答案 考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．记[x]为不大于x 的最大整数，设有集合}2]x [x |x {A 2=-=，}2|x ||x {B <=，则=B A ( ) A ．(－2，2) B ．[－2，2] C ．}1,3{- D ．}1,3{- 2．若()()200634554x 57x 53x 2x 2x f +--+=，则??? ? ??-21111f = ( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2005 D ．2007 3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t ，则t 的取值区间是 ( ) A ．[1，2] B ．[2，4] C ．[1，3] D ．[3，6] 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为棱 AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面 ABCD 和平面ABC 1D 1均成 30角，则这样的直 线条数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 5．等腰直角三角形?ABC 中，斜边BC=24，一个 椭圆以C 为其焦点，另一个焦点在线段AB 上，且 椭圆经过A ，B 两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x 轴上） ( ) A ．124y 246x 22=++ B ．1243y 246x 22 =+++ C ．1246y 24x 22=++ D ． 12 46y 243x 22=+++ （注：原卷中答案A 、D 是一样的，这里做了改动） 6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( ) A ．1372 B ． 2024 C ． 3136 D ．4495 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。） A C D 2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的 顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, 最新高中数学奥数竞赛竞赛试题 总分200分 一、选择题（50分） 1、已知i 是虚数单位，则复数 122 i i +-=（ ） A i B i - C 4355i -- D 4355 i -+ 2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间(,)-∞+∞上单调递增的函数是（ ） A 2y x x =+ B 2sin y x x =+ C 3y x x =+ D tan y x = 3、已知,a b r r 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:1p a b ->r r 是命题5:[,)26 q ππ θ∈的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 4、已知集合{}{}|12,|21P x x M x a x a = ≤≤=-≤≤+，若P M P =I ，则实 数a 的取值范围是（ ） A (,1]-∞ B [1,)+∞ C [1,1]- D [1,)-+∞ 5、函数3sin()cos()226 y x x ππ = ++-的最大值是（ ） A 134 B 134 C 132 D 13 6、如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A A B SA ⊥ B B C P 平面SAD C BC 与SA 所成的角等于A D 与SC 所成的角 D SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 7、程序框图如图所示，若 22(),()log f x x g x x ==，输入x 的 值为0.25，则输出的结果是（ ） A 0.24 B 2- C 2 D 0.25- 8、设,i j r r 分别表示平面直角坐标系,x y 轴上的单位向量，且 上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++=== -=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 C D 1 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小 值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）4 3 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A 2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．高中数学竞赛试卷
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