阿波罗尼斯圆性质及其应用探究

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究

背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。

1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足

,λ=PB

PA

当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明.

.

角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()，

不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22

222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PB

λλλ??=∴==∴++=-+??Q

()(

)()()

0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ

(

)

()

2

22

2

222222

221211,01112??? ??-=+???

? ??-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=??? ??-=+???? ?

?-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2

22

2

221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=???? ??-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质.

性质1

点A 、点B 在圆心C 的同侧；

当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。

().

,1

1

,012111122222的右侧当然也在点的右侧，

在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ

.

,1212112

22

22

22的内部在圆点的关系

与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴???

??-

?-=???? ??-+-λλλλλΘ

.,1212112

22

22222的外部在圆点C A a a a a ∴??? ?

?->???? ??-=???? ??-+--λλλλλλΘ

()().

,1

1

,01211210222222的左侧当然也在点的左侧，

在点点所示，时，如图当B A C a a a a a ∴-<-+∴<-=---+<<λλλλλλλ .

,1212112

22

22

22的外部在圆点的关系

与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴???

??->??? ?

?-=???? ??-+-λλλλλΘ .,1212112

22

22222的内部在圆点C A a a a a ∴???

??-

.的同侧在圆心、综上可得定点C B A

当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。

.

,.

2121221121P P B A AB P P B P A P B P A P AB P P x C 也调和分割、同时调和分割、此时，我们称尼斯圆的定义可得：称为外分点，由阿波罗在线段外，内，称为内分点，一点两点，一点在线段、轴交于与设圆=

性质2.

.212121的内、外角平分线分别是、则，、、、的任意一点，连接、上不同于点是圆设点APB

PP PP PP PB PP PA P P C P ∠

.,111APB PP B P A

P PB PA ∠∴=平分的定义可知，证明：由阿波罗尼斯圆

.,222的外角平分同理可知，APB PP B

P A

P PB PA ∠∴=

性质3 .2r BC AC =?.

()

()

()

()222

2

2

2

22

2

2

24242

22224222241

41

1

21211211111r PC BC AC r a a a a a a a a BC AC ==?=-=

--+-++=

--++=?

??

? ??--+???? ??+-+=?>其几何特征如图

时，证明：当λ

λλ

λλλλλλλλλλλλ

性质4.21AP AP AC AB ?=?

()()().

3212222AP AP r AC r AC r AC AC AB r AB AC AC AB AC AC BC AC ?=+-=-=?∴=?-=-?=?可得，证明：由性质.B A 的对应点利用此性质可以作出点

.

,,,为所求则点垂足为作的切线，切点为作圆外，过点在圆若点B B AC PB P C A C A ⊥

().

,42

1212即为所求点点，证明：如图B AP AP AC AB AC AB AP AP AP ∴?=?∴?=?=Θ

性质5..,21EAF AB EF P P C B ∠平分则重合的弦不与作圆过点

().,,5EAF AB FB

EB

FA EA FB FA EB EA ∠∴=∴=平分所示，证明：如图Θ

4.阿波罗尼斯圆的应用

()()().

,2010206.1K K K K K 面积是的轨迹所围成的图形的则点满足，如果动点，，，已知两定点四川例P PB PA P B A =-.

4,236,2,231πλ=∴====s r a P 的轨迹是阿斯圆，知，点：利用阿斯圆的性质可解法()()()()().

420,2,

42,04.4142,2,,222

2222

22

π轨迹所围成的面积为为半径的圆，为圆心，以的轨迹是以点：设解法∴∴=+-∴=+-+-=++∴=P y x y x x y x y x PB PA y x P Θ

().

2208.2K K K K 的面积的最大值是的，满足条件江苏例ABC BC AC AB ?=

=.222

1

,221

2,12.1max 2

=??=

∴=-==∴=?r AB s a

r a B A C ABC λλλ时的阿斯圆，为定点，、的轨迹是以此题点解法()()()()()().

222

1,83,016,21212,,,0,1,0,1.

.2max 22

222222=??=∴=+-∴=++-∴+-=++=-?r AB s y x y x x y x y x CB

CA

y x C B A y AB ABC 得，

由设则轴建立平面直角坐标系为的中点为原点，中垂线以线段解法 ()().?2

1

16402.322

明理由的坐标；若不存在，说若存在，求出点使得

，

面上是否存在一点上的任意一点，问在平：是圆，，已知例B PB PA B y x C P A ==++-().

048163.1，，，可得，利用性质解法B BC BC AC ∴=∴=?().0,4,6,3,412,4211.22

B AB a a r ∴=∴=∴=-∴==λλλ，可得，利用性质解法

()()

()().

0,4,4,62,3

3

232,0,,33,3232322.,,,7,43B b b b k b B k k P B B x PC PB CP P C x AP PB PB cp ∴=∴=+∴-=--=-=∴==∴-⊥⊥则设，，即为所求点轴与点交作所示，连接如图交于点轴，与圆，作利用解法Θ()()()()()()()()()()()[]().0,4,4,0

160

82,0,8,0168212,28,164,101616233,4242

1,,,0,.42

22222

22222

22B b b b x b x b x y x y x b x b y x y b x y x PB PA y x P b B ∴=∴???=-=-∴-∈=-+--=+∴=++=-++++∴+-=++=

得，

代入把得，由一般解法，设解法ΛΘΛ

().2

1

,16422

明理由的坐标；若不存在，说、，若存在，求出点都有

任意一点上，使得对于圆、轴上是否存在定点，问在：

变式：已知圆B A PB PA P C B

A x y x C ==++()()()()()()()().0,4,0,2,4,221282,2

1882112,21

21,0,02,0,,0,,,B A b a a b b a DB DA a b b a OB OA b a b B a A AB D O B A D x C -∴=-=+=∴=++=-=∴=-=><<-得，由得：由得：由

其中设的内外分点，分别是线段、使得点、此题就是寻找定点轴交于另一点于解：设圆ΛΛΛΛΛΛΛ

()()()()()()().

.21,4116164441644162422

1

,222

2222222B A PB PA x x x x x x y x y x PB PA PB PA y x P C 、存在符合条件的点，都满足上的任意一点下面证明圆∴=∴=--=+-+-+-++=+-++==Θ.3,.4的面积的最大值，求的中点，为中，在等腰例ABC BD AC D AC AB ABC ?==?()所示，

系，如图轴，建立平面直角坐标为的中点为原点，中垂线解：以线段9y BD ()()()()6

23

2321,4250

495,4234232,,,2023023max max max 222

222

22

==∴=??=∴=+??? ?

?

-∴=+-+∴+??? ??-=+??? ??+==??? ????? ??-???ABD ABC ABD S S AC D S y x x y x y x y x AD AB y x A AD AB D B 的中点，是得，

由设，，，，则Θ()3,2,0,25,232max =∴=???

??=

=?ABD S r a D B A 圆心的阿斯圆，为定点，、的轨迹是以注释：点λ

()()

的最小值为上动点，则为圆，，，点已知圆例PM PB O P M B y x O +???

?

?

-

=+2,11021,1:.522

6

.A

7

.B

10

.C

11

.D

()()1

11020,2

,

OP OB A PA POB AOP OA OP BOP AOP -==∠=∠∴??Q :解：如图所示，取，，连接，C AM PA PM PB PM PB AP OA OP PA BP 答案为，∴=≥+=+∴=∴==∴

102,221

.

,

,PB PM PB OB

OP

M B O B λλλ造可以利用相似三角形构求在圆外，当圆内，点，点阿斯圆注释：已知定点+=

()()().

102,0,2,2,22

11,2,0,11.21

11=≥+=+∴-∴-=∴=--==MA PA PM PB PM A a a B P A P P x O PB

PA

P O a A x 则

，轴交于点与圆都满足上任一点对于圆轴上，设如图解法()()()().

202,00,111:.62

2

的最小值求上的动点，为圆，其中，，定点已知圆例PB PO C P B O y x C +=-+-

()().

5222212

32

2

112,2,22,12.1

1111=≥+=+∴???

??∴∴-=∴-====AO PA PO PB PO A BC A A P B P A P B P P BC C PA PB PA

PB

P C BC A BC ，，的中点，是点，，则交于点与直线设圆即，都满足

上的任一点上，对于圆在直线点所示，做直线如图解Θ ?2,PD PO D OC OC =，满足上找一点在直线注释：此题能否连接

()().

2121短线段与外分点相对应段与内分点相对应，较因此，可以认为较长线在左侧，较长时，内分点在左侧，当较长时，内分点所示，当如图P PB P PA ().

,214212221不符合题意都是内分点，，的延长线上，此时在线段点的内分点，是线段点所示，两点，如图

、相交于与直线符合条件，设圆假设存在点P P OP D OD P PO PD P P OC C D ∴∴=Θ

()(){

}22

221110.2cos sin cos sin ,

22,f R f m

αααααααφ???

?=++-+- ? ?????∈>≠已知函数若集合求实数m 的取值范围.

()()()()()11111cos ,sin ,,0,0,,22=2,,0,22,

11

1

21,0,2,2,0,

121717

2,.22

P B M P PA

f PB PM A a PA PB PB

PB O a A P A a PB PM PA PM AM m ααα????

- ? ?????

-=∴=-+-==∴=-∴---∴-=-≤=

∴<解：设则点在以原点O 为圆心的单位圆上,

设满足圆O 上的任意一点P 都有，设圆与x 轴交于点P ，则

()()()()()0000211.62,,,,

2,,,x y

BC AC AB D AD AB AC f x y AD x y x y f x y f x y f x y ===+=++≥uuu r uu u r uuu r uuu r 已知，点满足设若恒成立，求的最大值.

()()()()()()

()()

2

2

222222

0max

2,2,2,2,,616,,0,3,0,3,234431090,516,4

AE AB AC AF AC AB AE AF ACB AEF EF AC EF x EF x y E F AE AF x y x y x y y x y AD ===∴=???∴==-=++=+-∴+-+=∴+-=∴=Q uuu u r 以线段所在的直线为轴，线段的中点O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示设A 由得，

()()

()()()()00002112,2,,

222,1,,,,,+16,,,x y x y AD AB AC AB AC AB AE AC AF x y x y x y x y x y x y AD AE AF D E F AD EF D x y x y x y x y

f x y f x y f x y AD A ??=+=+== ?++++??=++=∴⊥+++≥=≥uuu r uu u r uuu r uu u r uuu

r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r Q uuu r Q 解：设则三点共线，作垂足为如图所示，恒成立，()0000,.

D f x y AD ∴=uuu u r uuu u r

M

A

P

B 15()

y

x

O 17()

y

x

O

D C M B

A

y

D 0

F E A

C

16()

x

B

O

1,,22a b c a b c c b c a

+-=-+-r r r r r r r r r r

K K K K

12.已知是相互垂直的单位向量，平面向量满足则的最小值为

()()17,,,1,1,,,

11

,,

22

1122,,22

OA a OB b a b OM M OC C a b c CM CM c b BC c a AC MD MC c b c a CB CA AM D CMD AMC MC MA CMD AMC ==+==+-==-=-=∴-+-=+==∠=∠∴??uu r r uu u r r r r uuu r uuu r u r r r r uuu r

uuu r r r uu u r r r uuu r r r r r 解.如图所示，设则依题意，所以点C 在以M 为圆心，r=的圆上，在上取点，∽满足

，又1

2,22222

1224422DC MC AC CD CB CA CB CD BD

CA MA MD BD CB CA c b c a ∴==∴=∴+=+≥=∴==∴+≥∴-+-r r r r Q ，，的最小值为

(

)

111111,.36.24B C D M BC P DCC D APD MPC P BCD A B C D ∠=∠-13.在棱长为6的正方体ABCD-A 中，是的中点，点是正方形内的动点，且满足则三棱锥的体积最大值为

()()()()()()0011112

2

22229090,,,221930,30,,2,3434,1090DCC D ADP MC DCC D PCM PD AD

APD MPC APD MPC APD MPC PC MC

PD PC DC DC y C x y PD PC x y x y x y x ⊥∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠∠=∠∴??∴

==∴=-=∴++=-+∴+

-+=Q Q Q Q 解.AD 平面

，，平面，，

又如图所示，以线段的中点为原点，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则D ，∽，，设P ()()(()2

2111max

,516504113,66.32

P BCD x y P E r DCC D P V B --+==∴=????=∴Q 即点的轨迹是以，为圆心，的圆在正方形内的部分，答案为

18()

1

()14.21,3ABC AC AB mBC m ABC m π

?==>?在中，，恰好当B=时， 的面积最大，

求的值.

()()()()()()2

2

22222

2

2222

22222222201010,,,11,12112,0,,,

11111121,11AC y C x y BA mBC x y m x m y m m m m m x y D BD AC B m m m m m m m BA m m -=∴++=-+??????+++??∴-+=∴⊥ ? ? ? ?-----?????????+∴=--- --?

Q uu r 解.如图所示，以线段的中点为原点，中垂线为轴建立平面直角坐标系，则A ，，，，设B 圆心当时，()

()()

2222222222222222,1112221,,,

11118,141,cos 1m m m m m m m BC m m m m m BA BC BA BC m m m BA BC BA BC B BA m ???--=? ?

--??

???+--??=--= ? ?----????∴?====-+??=∴=?-uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu r ，

又，()()(

)

2

22222

2

28121,1241141021,2m m m

m m m BC m

m m m m m -===++-∴-+=∴=±∴>∴=+uu u r

20()

21()

15.,62A BCD AB AC

BC AD BD CD

-⊥===在四面体CDABCD 中，已知AD ，BC=2，且

，求V 的最大值. ()21,,1

,,23

1

22A BCD BCE BCE

A BCD BCE BC BE BC

B AD BCE AD CE V S AD S BA CA PA BD CD PD B

C A

D V S -??-?⊥⊥⊥=∴⊥∴⊥∴=??=∴∴∴⊥∴==?Q I Q 解.如图，作B

E AD,垂足为E,连接CE,AD BE,AD 平面==2,B 、C 在以A 、D 为定点，且满足=2的阿波罗尼斯球上，、在以点E 为圆心，且与垂直的小圆上，BE=CE,取BC 的中点F,连接EF,则EF

BC,()()()()()(

)(

)2

2

222

2max max 222

3,0,30,,2,3434,516,4,A BCD A BCD EF EF D x y BA BD x y x y x y BE V V --??==-=∴++=-+-+=∴=∴=≤∴=Q 以AD 所在的直线为x 轴，AD 的中点为原点建立平面直角坐标系，则A ，，设B 即

(完整版)阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用 数学理论 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ 证 （以1>λ为例） 设λ===QB AQ PB AP a AB ,，则 1 ,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知 ,1,1222222222 -=+=-=?=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC a BC .λ=BC AC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ 性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。 性质2.因AQ AP AC ?=2 ，过AC 是圆O 的一条切线。 若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.12 2?? ? ??-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。 性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠

阿氏圆问题归纳

阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下: 阿氏圆定理(全称:阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点Ａ、Ｂ的距离之比等于定比 n m (≠1),则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简 称阿氏圆. 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA ＋ｋPB,(ｋ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系xOy 中,在x 轴、y 轴分别有点C(m,０）,D(0，ｎ）.点P 是平面内一动点,且ＯP=r,求P Ｃ+kPD 的最小值. 阿氏圆一般解题步骤: 第一步:确定动点的运动轨迹(圆)，以点Ｏ为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步:连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接），即连接O Ｐ、ＯＤ； 第三步:计算出所连接的这两条线段OP 、ＯD 长度； 第四步:计算这两条线段长度的比k ； 第五步:在ＯD 上取点M ，使得O Ｍ：OP ＝OP:OD=k; 第六步:连接CM,与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值. 【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算,不能直接构造△相似计算的，先把k 提到括号外边,将其中一条线段的系数化成 k 1 ,再构造△相似进行计算】

构造母子型相似解决阿氏圆题型

2019 届初中数学总复习微专题 构造母子型相似解决阿氏圆题型 何求 阿氏圆题型是这几年在中考中也是逐渐火热 , 出题频率越来越高 , 成为近 几年中考填空、解答的压轴热点题型。阿氏圆题型 ,很多同学感觉困难 ,但是掌握 、阿氏圆题型： 例、在 Rt △ABC 中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙O 的 半径为 2，P 为⊙ O 上一动点 ,则 PA 1 PB 的最小值为 2 二、阿氏圆题型特点： 动点 P 在圆 （圆弧）上运动且圆心 O 到动点 P 的距离 OP 与圆心 O 到定点 B 的距离 OB 的比值为定值 k,求 PA+k ·PB （k ≠1）最小值的题型 . 三、阿氏圆解题方法： 初中数学解决阿氏圆问题 ,要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方 法。构造母子型三角形相似，结合两点之间线段最短进行求解就是解决阿氏圆 题型的核心武器 ! 步骤如下：（口诀：找母作子定最值） 1. 找母三角形：标出半径（圆心到动点的线段 OP ）与定线段 （圆心到定点的线段 OB ）及其夹角 （∠BOP ）的三角形； 2. 作子三角形：利用标出两边的夹角 ,构造一条线段 ,使其长度与半径比为 K,构造 出子三角形 ,由于共角 ,那么母子三角形相似 ; 3. 得到去除系数 k 的线段 ,结合两点之间线段最短进行求解 . 了特点和方法 ,困难就能迎刃而解 ! A O

例1、在Rt△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=4，⊙ O的半径为2，P为⊙ O上一动点,则PA 1 PB的最小值为. 2 基本思路：

构造母子型三角形相似，将 （1/2）PB 转化成 （PE/PB ）=（1/2）, 只需求 PA+PE 最小，结合两点之间线段最短进行求解 . 解：在 OB 上截取 OE=(1/2)OP,连接 PE. ∵(OP/OB)=(OE/OP)=(/12),∠POB=∠EOP ∴△ POB ∽△ EOP ∴PE=(1/2)PB=1 ∴PA+(1/2)PB=PA+PE 当点 E 、P 、A 三 点共线时， 即 PA+(1/2)PB 的最小值为√ ((1^2)+(3^2))=√(10) 练习 1、已知正方形 ABCD 的边长为 4，圆 B 的半径为 2点 P 是 圆 B 上的个动点 , 求 PD+PC 的最小值 . 练习 2、在正方形 ABCD 中,G 为正方形内一点 ,AD=4, 1 P 为BC 中点,且 BG=BP,则DG 1 GC 的最小值是 例 2、在平面直角坐标系中 ,A （2,0）,B （0，2）,C （4,0）,D （3，2）,P 是 △AOB 外部的第一象限内一动点 ,且∠BPA=135°,则 2PD+PC 的最小值是 PA+PE 最小， A

阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)

阿波罗尼斯圆性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M 的轨迹方程。 （人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点 距离的比是一个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ）。 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数（ ）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆 类型一：求轨迹方程 1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程 2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA ，试分析M 点的轨迹 3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件 ，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ． B. C. D.9 类型二：求三角形面积的最值 4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰 ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD=3，则 ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时 ABC 面积的最大，m=

阿氏圆

C 阿氏圆模型专题训练 阿氏圆(阿波罗尼斯圆)： 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足P A /PB =k (k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A "型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。 观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，P A 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。 如图，在△ABC 的边AC 上找一点D ，使得AD /AB =AB /AC ，则此时△ABD ∽△ACB 。 那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目: 已知∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点. (1) 求1 2 AP BP +的最小值为 (2) 求 1 3 AP BP +的最小值为 ※（由 AD AB BD k AB AC BC ===可知，那个AD 只能取k AB ，而k BC BD =。 这种方法只能解固定的问题，问题里的分数是AB k AC =，不能随意变更的。 阿氏圆是以△BCD 为基础，构造△ABC 证明结论。 而这儿的应用是用逆向思维从△ABC 入手对阿氏圆的结论进行应用） 实战练习： 1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC =1，BD =2，P 为弧AB 试求2 PC PD +的最小值 2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求1 2 AP BP +的最小值

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究

阿波罗尼斯圆性质及其应用探究 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足 ,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明. . 角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()， 不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22 222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PB λλλ??=∴==∴++=-+??Q ()( )()() 0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ ( ) () 2 22 2 222222 221211,01112??? ??-=+??? ? ??-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=??? ??-=+???? ? ?-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2 22 2 221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=???? ??-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质. 性质1 点A 、点B 在圆心C 的同侧； 当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。 (). ,1 1 ,012111122222的右侧当然也在点的右侧， 在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ

(完整版)高考数学文化题目：阿波罗尼斯圆问题

高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题 一、高考考试大纲数学大纲分析及意义： 普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议： 建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。 其主要意义为： （1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. （2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求. 二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测： 往年新课标高考实例分析： 分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景 近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景． （1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合． （2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”． （3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出. 分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景 从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等. 数学文化题型背景预测： 预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目. 预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接. 预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。 预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。

“阿波罗尼斯圆”的应用举例

“阿波罗尼斯圆”的应用举例 【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为 λ（0λ>， 1λ≠） ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ??- ??? ，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11答案 C 解析 令2=MA MC ，则12 MA MC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2 λ。 设点C 坐标为(),C m n ， 则()()2 2221212 x y MA MC x m y n ??++ ???==-+-。 整理得2222 2421333m n m n x y x y ++-+++=。

由题意得该圆的方程为221x y +=， ∴2224020113m n m n +==+-????? =???? ，解得2{ 0m n =-=。 ∴点C 的坐标为（-2,0）。 ∴2MA MB MC MB +=+, 因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C. 【练习】 1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一个圆

2019中考数学热点,阿氏圆问题讲义无答案.doc

定义：已知平面上两点A,B,则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P 到两定点A、B 的距离之比等于定比m：n，则 P 点的轨迹，是以定比m： n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。 解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似） “阿氏圆”一般解题步骤 第一步 :连接动点至圆心0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 0P、 OB; 第二步 :计算出所连接的这两条线段OP、 OB 长度 ; 第三步 :计算这两条线段长度的比=k; 第四步 :在 0B 上取点 C,使得; 第五步 :连接 AC,与圆 0 交点即为点P. 阿氏圆最值问题例题精讲 例 1:问题提出 :如图 1,在 R△ ABC中 ,∠ ACB=90 ,CB=4,AC=6圆. C 半经为 2,P 为圆上一助点,连结 AP,BP求 AP+ BP 的最小值 尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接 CP,在 CB 上取点D,使 CD=1 则有 ,又∵∠ PCD=∠BCP,∴△ PCD △ BCP,

∴，∴ PD=,∴ AP+AP+PD 请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为。 自主探索 :在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为。 拓展延伸 :已知扇形COD中 ,∠ COD=90 ,0C=6,OA=3,0B=5,点 P 是弧 CD 上一点 ,求 2A+PB 的最小值。 强化训练 向内构造类型 1,如图 ,已知 AC=6,BC=8,AB=10,圆 C 的半经为4,点 D 是圆 C 上的动点 ,连接 AD、 BD, 则 AD+ BD 的最小值为。 2.在 Rt△ABC 中 ,∠ ACB=90° AC=4,BC=3,点 D 为△ ABC内一动点 ,且满足 CD=2， 则 AD+ BD 的最小值为。 3、如图 ,在 R△ ABC中 ,∠C=90° ,CA=3,CB=4⊙.C 的半径为2,点 P 是⊙ C 上一 动点 ,则 AP+ PB 的最小值为。 4、如图 ,四边形 ABCD为边长为 4 的正方形 , ⊙ B 的半径为 2,P是⊙ B 上一动点 ,则 PD+ PC的最小值为。 PD+4PC的最小值为。

阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆 一、适用题型 1、已知两个线段长度之比为定值； 2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等； 3、向量的定比分点公式结合角平分线； 4、线段的倍数转化； 二、基本理论 （一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式） 设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则： 2 2222 222222222 1221221c b a m c b a m b c a m a c b +=++=++= + （二）阿波罗尼斯圆 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆” ()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ ()()2222y a x y a x +-=++λ 化简得：2 22 2 221211??? ??-=+???? ? ?-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-??? ? ??-+λλλλ，半径为，的圆

（三）阿波罗尼斯圆的性质 1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点； 2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角； 3、 BN AN BM AM = 4、CN CM ⊥ 5、内在圆点内； 在圆时，点O A O B ,101<<>λλ； 6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ； 7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠； 三、补充说明 1、关于性质1的证明 定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。 证明：不妨设1>λ 1 ,1,1,1,-= -=+=+==λλλλλλa BQ a AQ a BP a AP CD PQ O B a AB ，则 垂直的弦的与直径作圆过点设 由相交弦定理及勾股定理得：

(完整word版)专题：阿氏圆与线段和最值问题(含答案),推荐文档

专题：阿氏圆与线段和最值问题 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、 B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆． 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有 ＝ ＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴ ＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A +PB 的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝ ；

高中数学阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯（Apollonius）圆

法二： 设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得 k PB PA = 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。

这个定理的证明方法很多。下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。 如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。 下面先证明两个定理： 一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC， 求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理） 证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC ∵AB：AC＝BM：MC， ∴AB：AD ＝AB：AC， ∴AC＝AD，∴∠D＝∠3， ∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。 二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD. ∵BN：CN＝AB：AC ∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4. ∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 ∴∠1＝∠2 ∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下： 连结PM、PN，∵M为AB的内分点 PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB ∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n ∴PN平分∠BPE ∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2 ∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90o ∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆

阿波罗尼斯圆性质及其应用 1

阿波罗尼斯圆性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教A版124页B组第3题）已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M的轨迹方程。 （人教A版144页B组第2题）已知点M与两个定点距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m）。 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点A，B距离之比为常数（）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆

类型一：求轨迹方程 1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为2 1 ，求点M 的轨迹方程 2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA ，试分析M 点的轨迹 3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ． B. C. D.9 类型二：求三角形面积的最值 4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD= 3，则ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时 ABC 面积的最大，m= 类型三：定点定值问题

从课本中的阿波罗尼斯圆问题

从课本中的阿波罗尼斯圆问题 探讨数学文化在教学中的渗透 靖江市第一高级中学 数学组 印栋 E-mail: yde2003@https://www.sodocs.net/doc/189433704.html, 邮编：214500 克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵．因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断进化的文化”．正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉．在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中． 新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题： 习题2.2（1）10.已知点)(y x M ，与两个定点)03()00(，，， A O 的距离之比为2/1，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线． 分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题，解法如下． 解析：由题知2/1/=MA MO ，将距离公式代入可得 12 =， 化简整理即得到该曲线的方程为： 4)1(22=++y x . 因此，所求点M 所形成的曲线是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）． 这道题实际上源自约公元前262～前190的古希腊人阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A 、B ，设P 点在同一平面上且满足λ=PB PA /，当λ大于0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”． 同上题一样，我们用解析法完全可以证明：与A 、B 距离之比等于λ的动点轨迹为圆．但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能 否找出阿 波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明 确答案． 定理：A 、B 为两已知点，P 、Q 分别为 线段A B 的定比为λ(λ≠1)的内、外分点，则以P 、Q 为直径的

完整阿氏圆问题归纳2

阿氏圆题型的解题方法和技巧对于此类问以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，. 题的归纳和剖析显得非常重要具体内容如下：的距离P到两定点A、B(阿氏圆定理全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点mm nn的两个分点的连内分和外分定线段是以定比之比等于定比≠(1)，则P点的轨迹，AB简线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，称阿氏圆．1)P≠，(k定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB. 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 母子三角形相似阿氏圆基本解法：构造是平面n).点PC(m，0)，D(0，轴分别有点问题【】在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y. ，求PC+kPD的最小值内一动点，且OP=r 阿氏圆一般解题步骤：若圆已经画出则可省为半径画圆；(，以点O为圆心、r)第一步：确定动点的运动轨迹(圆) 略这一步 OD；即连接OP、的线段的固定端点与圆心相连接第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1)，长度；OP、OD第三步：计算出所连接的这两条线段；第四步：计算这两条线段长度的比k OM:OP=OP:OD=k，使得；第五步：在OD上取点M. 即所求的最小值P交点即为点．此时CMCM第六步：连接，与圆O提到先把k直接计算，【补充：若能直接构造△相似计算的，不能直接构造△相似计算的，1，再构造△相似进行计算】括号外边，将其中一条线段的系数化成k 1 习题的中点，将线段为BDACB=90°，D为AC的中点，MRt【旋转隐圆】如图，在△ABC中，∠，那么在旋转，BC=3点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4AAD绕 ___________. CM长度的取值范围是过程中，线段2BD为△ABC内一动点，满足CD=2，则AD+ABC1.Rt△中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D3_______. 的最小值为上任取一，在⊙A与°，⊙ABC相切于点E2.如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为603________. 的最小值为点P，则PDPB+2

超级名圆—阿波罗尼斯圆及应用

超级名圆——阿波罗尼斯圆 一、问题背景 1.（苏教版选修2-1，P63例2）求平面内到两个定点A,B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹. 【解】以B A ,所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 令a AB 2=,则B A ,两点的坐标分别为()()0,,0,a a -. 设M 点坐标为()y x ,，依题意，点M 满足 2=MB MA , 由2 2 22)(,)(y a x MB y a x MA +-=++=得2)()(2 2 22=+-++y a x y a x ， 化简整理，得0310332 2 2 =+-+a ax y x ， 所以动点M 的轨迹方程为0310332 22=+-+a ax y x . 2.(苏教版必修2，P112第12题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为1:2， 那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线. 【解】由两点间距离公式得22y x MO += ，22)3(y x MA +-=， 则2:1)3(:2 222=+-+y x y x ，化简得4)1(2 2 =++y x ， 即点M 是以（-1，0）为圆心,2=r 的圆.（图略） 二、阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back ）,古希腊人（262BC~190BC ），与阿基米德、欧几里德一起被誉为古希腊三大数学家，他写了八册《圆锥曲线论》（Conics ），其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，圆锥曲线的性质几乎囊括殆尽，阿波罗尼斯曾研究了众多的平面轨迹问题，阿氏圆是他的论著中的一个著名问题： 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足 ()1≠=λλPB PA 的点P 的轨迹是一个以定比n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆. 这是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以内外分点为直径的圆被后人称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.

2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)

2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆) 【知识背景】 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。 【定 义】 阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。即： )1(≠=k k PB PA ，如下图所示： 上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。 【几何证明】 证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理

若AD 是∠BAC 的角平分线，则有： CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。 知识点2：外角平分线定理及其逆定理 若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有 CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。 【阿氏圆的证明】 有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

阿波罗尼斯圆问题

A P B 阿波罗尼斯圆问题 一【问题背景】 苏教版《数学必修2》第12题： 已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为1 2 ，那么点M 的坐标应满足什么关系画出满足条件的点M 所构成的曲线． 二、【阿波罗尼斯圆】 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果： 到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=， 则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆． 证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -） ，（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2 2 2 2 )()(y m x y m x +-=++λ， 两边平方并化简整理得）（）（）（）（2 22222211121λλλλ-=-++--m y x m x ， 当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线； 当1>λ时，2 2 2 22222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆． 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理． 三、【范例】 例1 满足条件BC AC AB 2,2= =的三角形ABC 的面积的最大值是 ． 解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则）， ，（01-A ） ，（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得22 22121y x y x +-?=++）（）（，

中考专题训练阿氏圆

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆． 如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆． 以下给出两种证明 法一：构造角分线 先复习两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC． 证明：利用等积法 ，即AB:AC=DB:DC （2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC 的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC． 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC． 接下来开始证明：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k ，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点； 又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆． 中考专题训练 阿氏圆模型 阿氏圆（阿波罗尼斯圆）： 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足 ） （1≠=k k PB PA 的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆. 在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A ”型相似（也叫“母子型相似”）＋两点间线段最短，解决带系数两线段之和．．．．．．．． 的最值问题. 观察下面的图形，当P 在⊙O 上运动时，用P A 、PB 的长在不断的发生变化，但PB PA 的比值却始终保持不变. 解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法. 那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢？我们来看一道基本题目： 例.已知∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点. （1）求BP AP 2 1 +的最小值为 . （2）求 BP AP +3 1 的最小值为 .

阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆的应用 【例1】(2008·江苏13)满足条件2AB =，2AC BC =的三角形ABC 的面积的最大值为_________. 【解析】法一：设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 由题知，2c =，2b a =. 由余弦定理可知，2222242cos 322cos c a b ab C a a C ==+?=?，解得22cos 22C a = ?， ∴2222242132sin 1cos 1822C C a a a ??=?=??=?+? ? ??? . 设△ABC 的面积为S ，则有2 222242111sin sin sin 242S ab C a b C a C ??=== ??? 42221311(12)816216a a a =?+?=??+，当23a =，26b =时，有max 22S =. 法二：以线段AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标 系. 可记(10)A ?， ，(10)B ，. 设()(0)C x y y ≠，，由2AC BC =可知2222(1)2(1)x y x y ++=??+，化简可得22(3)8(0)x y y ?+=≠，可 知点C 的轨迹是以点P (3，0)为圆心，22为半径的圆(去掉左、右顶点). 当点C 为该圆的上、下顶点时，不妨假设(322)C ，，△ABC 的面积S 最 大，此时max 112222222 S AB PC ==??=. 【总结】本题法一运用解三角形的知识，以边长a 为参数，建立△ABC 的面积S 关于a 的函数讨论S 的最大值，虽说思路明确但是计算量相对较为庞大；法二灵活运用2AC BC =的关系，通过解析几何的手法探讨出点C 的运动轨迹是一个圆，通过数形结合的思想求出S 的最大值，使得计算相对简单. 本题法二中的圆我们可以称之为阿波罗尼斯圆，其机理是到两定点距离比值为定值(不为1)的点的轨迹为圆. 运用这种思路，我们也可以解决类似的题型例2. 【例2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a b +=，4c =，求△ABC 面积S 的最大值. 【解析】法一：由题知22236a b ab ++=，222cos 16a b ab C +?=，联立两式，可解得 10cos 1C ab =?，∴2 22221010020sin 1cos 11C C ab a b ab ??=?=??=?+ ??? . 于是有22222211sin sin 525525592520242a b S ab C a b C ab +????===?≤?=??= ? ????? ，当且仅当3a b ==时，取“＝”；即max 25S =. 法二：由题知6CB CA +=，4AB =，以线段AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直 角坐标系. 可记(20)A ?，，(20)B ，. 由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，6为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其方程为22 1(0)95 x y y +=≠. 当点C 为该椭圆的短轴端点时，不妨假设(05)C ，，△ABC 的面积S 最大，此 时max 11452522 S AB OC ==??=. 【总结】类似地，我们可以灵活运用6CB CA +=的关系，推知点C 的轨迹是一个椭圆，从而可以运用类似阿波罗尼斯圆的方法讨论△ABC 的面积S 的最大值.

阿氏圆作法及应用(20201124095748)

阿氏圆几何画板作法及应用 我们知道，到两定点 F 1、F 2 的距离之和为定值（大于 F 1F 2）的点 M 的轨迹为椭圆，而距离之差为定值 （小于 F 1F 2）的点 M 的轨迹为双曲线，那么圆是否有相类似的结论呢？答案是肯定的，事实上满足到两定 点 F 1、F 2 的距离之比为定值 t(t>0 且 t ≠ 1) 点 M 的轨迹为圆， 这个结论是阿波罗尼 (Apollonius ，约前 260～ 前 190) 发现的，所以往往称为阿波罗尼圆。但圆的这一性质比较“隐晦” ，为帮助学生直观理解需要我们 创设“所见即所得”的教学情境，本文以几何画板 5.0 为例谈谈在画板环境中阿波罗尼圆的构造方式，并 与读者分享画板中自定义工具功能的实现与应用。 一、阿波罗尼圆的画板实现 1. 几何构造法实现阿波罗尼圆 步骤 1、构造一直线上两点 F 、 F ，新建参数 t ，其初值赋为 2； 1 2 步骤 2、度量计算 t 并标记为比 值，双击 t 1 点 F 标记为中心， 选中 F 按标记比值缩放 得 到 点 1 2 P ； 步骤 3、度量计算 t 并标记为比 值，双击 t 1 点 F 标记为中心， 选中 F 按标记比值缩放 得到点得 1 2 到点 Q ； 图 1 步骤 4、构造线段 PQ 并构造线段 PQ 的 中 点 C ，以 C 为圆心以 P 为圆上一点构造圆 C 。 试试效果如何？取圆 C 上任意一点 M 构造线段 MF 1、MF 2，并先后选中两线段度量比值，拖动点 M 会 发 现比值不变并且与参数 t 值恒相等（如图 1 所示）。 2. 解析构造法实现阿波罗尼圆 步骤 1、在 x 轴上任取两点 F 1、 F 2， 度量其横 坐标将标签分别设为 x 1、 x 2，新建参数 t 初值赋为 3； 步骤 2、计算 x 1 tx 2 ，选中后点击 〖绘图〗 1 t 菜单中的〖在轴上绘制点〗命令，在弹出 窗口中选 择“绘制”按纽得到点 P ； 图 2 步骤 3、计算 x 1 tx 2 ，重复步骤 2 可得到点 Q ； 1 t 步骤 4、同方法一，以 PQ 为直径构造圆 C 。 我们也可仿照方法一验证效果（如图 2 所示）。 3. 实现方法构造详解及比较 从以上构造过程我们可以发现，确实阿波罗尼圆关键在于找到 圆与直线 F F 的交点 P 、Q （因为圆 C 以 PQ 为直径）。事实上， P 、 Q 两点一个在 线段 FF 内 1 2 1 2 一个在线段 F 1F 2 外，于是这两个点便称为圆的内分点、外分点；更进 一步地，如 果参数 t>1 ，则 Q 点在 F 1F 2 的延长线上，此时圆 C 偏向 F 2 一侧；如果 0