一、多选题
1.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +>
B .若a b >,则cos2cos2A B <
C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径
D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2.在△ABC 中,a ,b ,c 是角A ,B ,C 的对边,已知A =3
π
,a =7,则以下判断正确的是( )
A .△ABC 的外接圆面积是493
π
; B .b cos C +c cos B =7;
C .b +c 可能等于16;
D .作A 关于BC 的对称点A ′,则|AA ′|的最大
值是
3.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且
AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )
A .1A
B CE ?=- B .0OE O
C +=
C .32
OA OB OC ++=
D .ED 在BC 方向上的投影为
76
4.下列结论正确的是( )
A .已知a 是非零向量,b c ≠,若a b a c ?=?,则a ⊥(-b c )
B .向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,则a 在b 上的投影向量为
12
b C .点P 在△ABC 所在的平面内,满足0PA PB PC ++=,则点P 是△ABC 的外心 D .以(1,1),(2,3),(5,﹣1),(6,1)为顶点的四边形是一个矩形 5.在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ,不解三角形,确定下列判断错误的是( )
A .
B =60°,c =4,b =5,有两解 B .B =60°,c =4,b =3.9,有一解
C .B =60°,c =4,b =3,有一解
D .B =60°,c =4,b =2,无解
6.在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=,则下列结论正确的是( )
A .sin :sin :sin 4:5:6A
B
C =
B .AB
C ?是钝角三角形
C .ABC ?的最大内角是最小内角的2倍
D .若6c =,则ABC ?外接圆半径为
7
7.设向量a ,b 满足1a b ==,且25b a -=,则以下结论正确的是( ) A .a b ⊥
B .2a b +=
C .2a b -=
D .,60a b =?
8.给出下列命题正确的是( ) A .一个向量在另一个向量上的投影是向量 B .a b a b a +=+?与b 方向相同 C .两个有共同起点的相等向量,其终点必定相同
D .若向量AB 与向量CD 是共线向量,则点,,,A B C D 必在同一直线上
9.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -.则第四个顶点的坐标为( ) A .(0,1)-
B .(6,15)
C .(2,3)-
D .(2,3)
10.在ABCD 中,设AB a =,AD b =,AC c =,BD d =,则下列等式中成立的是( ) A .a b c +=
B .a d b +=
C .b d a +=
D .a b c +=
11.对于ABC ?,有如下判断,其中正确的判断是( ) A .若sin 2sin 2A B =,则ABC ?为等腰三角形 B .若A B >,则sin sin A B >
C .若8a =,10c =,60B ?=,则符合条件的ABC ?有两个
D .若222sin sin sin A B C +<,则ABC ?是钝角三角形
12.点P 是ABC ?所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ?的形状不可能是( ) A .钝角三角形
B .直角三角形
C .等腰三角形
D .等边三角形
13.已知ABC ?的面积为3
2
,且2,b c ==,则A =( ) A .30°
B .60°
C .150°
D .120°
14.化简以下各式,结果为0的有( ) A .AB BC CA ++ B .AB AC BD CD -+- C .OA OD AD -+
D .NQ QP MN MP ++-
15.如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A .12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B .对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C .若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D .若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==
二、平面向量及其应用选择题
16.在ABC ?中,若cos cos a A b B =,则ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形
D .等腰或直角三角形
17.已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=,()cos ,sin b ββ=,则下列说法一定正确的是( )
A .a 与b 的夹角为αβ-
B .a b ?的最大值为1
C .2a b +≤
D .()()
a b a b +⊥-
18.在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B
,C 所对的边,若
lg lg lg sin a c B -==-,且0,2B π??
∈ ???
,则ABC 的形状是( )
A .等边三角形
B .锐角三角形
C .等腰直角三角形
D .钝角三角形
19.设θ为两个非零向量,a b →→
的夹角,已知对任意实数t ,||b t a →
→
-的最小值为1,则( )
A .若θ确定,则||a →
唯一确定 B .若θ确定,则||b →
唯一确定 C .若||a →
确定,则θ唯一确定
D .若||b →
确定,则θ唯一确定
20.已知,a b 是两个单位向量,则下列等式一定成立的是( ) A .0a b -=
B .1a b ?=
C .a b =
D .0a b ?=
21.在ABC 中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别为a ,b ,c ,过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ,90C ∠=?,1CD =.当直线CD AB ⊥时,+a b 值为M ;当D 为边
AB 的中点时,+a b 值为N .当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大
的数),则m 的最小值为( ) A .M
B .N
C .22
D .1
22.已知点O 是ABC 内部一点,并且满足2350OA OB OC ++=,OAC 的面积为
1S ,ABC 的面积为2S ,则
1
2
S S = A .310
B .38
C .
25
D .
421
23.在ABC ?中,D 为BC 中点,且1
2
AE ED =,若BE AB AC λμ=+,则λμ+=( ) A .1
B .23
-
C .13
-
D .34
-
24.下列命题中正确的是( ) A .若a b ,则a 在b 上的投影为a B .若(0)a c b c c ?=?≠,则a b =
C .若,,,A B C
D 是不共线的四点,则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D .若0a b ?>,则a 与b 的夹角为锐角;若0a b ?<,则a 与b 的夹角为钝角 25.在△ABC 中,AB =a ,BC =b ,且a b ?>0,则△ABC 是( ) A .锐角三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .钝角三角形
26.设ABC ?中BC 边上的中线为AD ,点O 满足2AO OD =,则OC =( )
A .1233
AB AC -+ B .2133AB AC -
C .1233AB AC -
D .2133
AB AC -+
27.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若1c =,45B =?,
3
cos 5
A =,则b 等于( )
A .
35
B .
107
C .
57
D .
52
28.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若222sin sin sin 0A B C +-=,
2220a c b ac +--=,2c =,则a =( )
A 3
B .1
C .
12
D 329.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若
()()(23)a b c a c b ac +++-=+,则cos sin A C +的取值范围为
A .33)2
B .3
(
3)2 C .3(3]2
D .3
(3)2
30.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则DF =( )
A .13
24
AB AD -+ B .12
23AB AD + C .
11
32
AB AD - D .
13
24
AB AD - 31.已知D ,E ,F 分别是△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC a CA b ==,,AB c =,则①AD =-b -
12a ;②BE =a +12b ;③CF =-12a +1
2
b ;④AD +BE +CF =0.其中正确的等式的个数为( ) A .1
B .2
C .3
D .4
32.已知O ,N ,P 在ABC ?所在平面内,且,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且
???PA PB PB PC PC PA ==,则点O ,N ,P 依次是ABC ?的( )
(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) A .重心外心垂心 B .重心外心内心 C .外心重心垂心 D .外心重心内心
33.三角形ABC 的三边分别是,,a b c ,若4c =,3
C π
∠=
,且
sin sin()2sin 2C B A A +-=,则有如下四个结论:
①2a b = ②ABC ?83
③ABC ?的周长为43+ ④ABC ?外接圆半径43
3
R =
这四个结论中一定成立的个数是( ) A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
34.在ABC 中,若sin 2sin cos B A C =,那么ABC 一定是( )
A .等腰直角三角形
B .等腰三角形
C .直角三角形
D .等边三角形
35.如图,在ABC 中,60,23,3C BC AC ?===D 在边BC 上,且
27
sin 7
BAD ∠=
,则CD 等于( )
A .
23
3
B .
33
C .
33
2
D .
3
3
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一、多选题 1.ABD 【分析】
对于A ,利用及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由,可得,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【 解析:ABD 【分析】
对于A ,利用A B π+<及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由a b >,可得
sin sin A B >,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【详解】
对于A ,∵A B π+<,∴0A B ππ<<-<,根据余弦函数单调性,可得
()cos cos cos A B B π>-=-,∴cos cos 0A B +>,故A 正确;
对于B ,若sin sin a b A B >?>,则22sin sin A B >,则2212sin 12sin A B -<-,即
cos2cos2A B <,故B 正确;
对于C ,2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==???=,故C 错
误;
对于D ,在ABC 为非直角三角形,()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--?,则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,故D 正确. 故选:ABD.
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角函数基本性质.考查了推理和归纳的能力.
2.ABD 【分析】
根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】
对于A ,设的外接圆半径为,根据正弦定理,可得,所以的外接圆面积是,故A 正确;
对于B ,根据正弦定
解析:ABD 【分析】
根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】
对于A ,设ABC 的外接圆半径为R ,根据正弦定理
2sin a R A =,可得R =ABC 的外接圆面积是249
3
S R ππ==
,故A 正确; 对于B ,根据正弦定理,利用边化角的方法,结合A B C π++=,可将原式化为
2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==,故B 正确.
对于C ,22(sin sin )2[sin sin(
)]3
b c R B C R B B π
+=+=+-
114(cos )14sin()223
B B B π=+=+
14b c ∴+≤,故C 错误.
对于D ,设A 到直线BC 的距离为d ,根据面积公式可得
11
sin 22
ad bc A =,即sin bc A
d a
=
,再根据①中的结论,可得d =D 正确. 故选:ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题,解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等.
3.BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可.
由题E 为AB 中点,则,
以E 为原点,EA ,EC 分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示: 所以,,
解析:BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点,则CE AB ⊥,
以E 为原点,EA ,EC 分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:
所以,123
(0,0),(1,0),(1,0),3),(,
)33
E A B C D -, 设123
(0,),3),(1,),(,3
O y y BO y DO y ∈==-,BO ∥DO , 所以2313y y =-,解得:3
2
y =
, 即O 是CE 中点,0OE OC +=,所以选项B 正确;
3
22
OA OB OC OE OC OE ++=+==
,所以选项C 正确; 因为CE AB ⊥,0AB CE ?=,所以选项A 错误;
123(,33
ED =,(1,3)BC =,
ED 在BC 方向上的投影为12
7
326BC BC
ED +?==,所以选项D 正确.
故选:BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算,可以选取一组基底表示出所求向量的关系,对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系,利于计算.
4.ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断选择. 【详解】
对:因为,又,故可得, 故,故选项正确;
对:因为||=1,||=2,与的夹角为
解析:ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算,结合向量的线性运算,对每个选项进行逐一分析,即可容易判断选择. 【详解】
对A :因为()a b c a b a c ?-=?-?,又a b a c ?=?,故可得()
0a b c ?-=, 故()
a b c ⊥-,故A 选项正确;
对B :因为|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,故可得1
212
a b ?=?
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ??
?
?= ???
,故B 选项正确; 对C :点P 在△ABC 所在的平面内,满足0PA PB PC ++=,则点P 为三角形ABC 的重心,
故C 选项错误;
对D :不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -,
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==,故四边形ABCD 是平行四边形; 又()14220AB AD ?=?+?-=,则AB AD ⊥,故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确;
综上所述,正确的有:ABD . 故选:ABD . 【点睛】
本题考查向量数量积的运算,向量的坐标运算,向量垂直的转化,属综合中档题.
5.ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论:若为锐角,当时,三角形有唯一解;当时,
三角形有两解;当时,三角形无解:当时,三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于,因为为锐角且,所以三角
解析:ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论:若B 为锐角,当c b <时,三角形有唯一解;当
sin c B b c <<时,三角形有两解;当sin c B b >时,三角形无解:当sin c B b =时,三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ,因为B 为锐角且45c b =<=,所以三角形ABC 有唯一解,故A 错误;
对于B ,因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<,所以三角形ABC 有两解,故B 错误;
对于C ,因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=,所以三角形ABC 无解,故C 错误;
对于D ,因为B 为锐角且sin 422
c B b =?=>=,所以三角形ABC 无解,故D 正确. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法,属于基础题.
6.ACD 【分析】
先根据已知条件求得,再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设:(其中),解得: 所以,所以A 正确;
由上可知:边最大,所以三角形中角最大, 又 ,所以角为
解析:ACD 【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =,再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设:91011a b x a c x b c x +=??
+=??+=?
(其中0x >),解得:4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==,所以A 正确; 由上可知:c 边最大,所以三角形中C 角最大,
又222222(4)(5)(6)1
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ,所以C 角为锐角,所以B 错
误;
由上可知:a 边最小,所以三角形中A 角最小,
又222222(6)(5)(4)3
cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===??,
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
,所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得:()20,A π∈,0,2C π??
∈ ??
?
所以2A C =,所以C 正确; 由正弦定理得:2sin c R C =
,又sin C ==
所以
2R =
,解得:R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理,属于基础题.
7.AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
,且,平方得,即,可得,故A 正确; ,可得,故B 错误; ,可得,故C 正确; 由可得,故D 错误; 故选:AC 【点睛】
解析:AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
1a b ==,且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=,即0a b ?=,可得a b ⊥,故A
正确;
()2
22
22a b
a b a b +=++?=,可得2a b +=,故B 错误; ()
2
2
2
22a b a b a b -=+-?=,可得2a b -=,故C 正确;
由0a b ?=可得,90a b =?,故D 错误; 故选:AC 【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法,属于基础题.
8.C 【分析】
对A ,一个向量在另一个向量上的投影是数量; 对B ,两边平方化简;
对C ,根据向量相等的定义判断; 对D ,根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中,一个向量在另一个向量上的投影是数量,A
解析:C 【分析】
对A ,一个向量在另一个向量上的投影是数量; 对B ,两边平方化简a b a b +=+; 对C ,根据向量相等的定义判断; 对D ,根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中,一个向量在另一个向量上的投影是数量,A 错误;
B 中,由a b a b +=+,得2||||2a b a b ?=?,得||||(1cos )0a b θ?-=, 则||0a =或||0b =或cos 1θ=,当两个向量一个为零向量,一个为非零向量时,a 与b 方向不一定相同,B 错误;
C 中,根据向量相等的定义,且有共同起点可得,其终点必定相同,C 正确;
D 中,由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上,D 错误. 故选:C 【点睛】
本题考查了对向量共线,向量相等,向量的投影等概念的理解,属于容易题.
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是,分类讨论点在平行四边形的位置有:,,,将向量用坐标表示,即可求解. 【详解】 第四个顶点为, 当时,,
解得,此时第四个顶点的坐标为; 当时,, 解得
解析:ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -,分类讨论D 点在平行四边形的位置有:AD BC =,AD CB =,AB CD =,将向量用坐标表示,即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ,
当AD BC =时,(3,7)(3,8)x y --=--,
解得0,1x y ==-,此时第四个顶点的坐标为(0,1)-; 当AD CB =时,(3,7)(3,8)x y --=,
解得6,15x y ==,此时第四个顶点的坐标为(6,15); 当AB CD =时,(1,1)(1,2)x y -=-+,
解得2,3x y ==-,此时第四个项点的坐标为(2,3)-. ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-. 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标,考查分类讨论思想,属于中档题.
10.ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则,知成立, 故也成立;
由向量加法的三角形法则,知成立,不成立. 故选:ABD 【点睛】 本题主要考查
【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则,知a b c +=成立, 故a b c +=也成立;
由向量加法的三角形法则,知a d b +=成立,b d a +=不成立. 故选:ABD 【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算,数形结合,属于容易题.
11.BD 【分析】
对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可. 【详解】 在中,
对于A ,若,则或, 当A =
解析:BD 【分析】
对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可. 【详解】 在ABC ?中,
对于A ,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=, 当A =B 时,△ABC 为等腰三角形; 当2
A B π
+=
时,△ABC 为直角三角形,故A 不正确,
对于B ,若A B >,则a b >,由正弦定理得sin sin a b A B
=,即sin sin A B >成立.故B 正确;
对于C ,由余弦定理可得:b C 错误; 对于D ,若222sin sin sin A B C +<,由正弦定理得222a b c +<,
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<,∴C 为钝角,∴ABC ?是钝角三角形,故D 正确;
综上,正确的判断为选项B 和D .
【点睛】
本题只有考查了正弦定理,余弦定理,三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.
12.AD 【解析】 【分析】
由条件可得,再两边平方即可得答案. 【详解】
∵P 是所在平面内一点,且, ∴, 即, ∴,
两边平方并化简得, ∴,
∴,则一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形, 故
解析:AD 【解析】 【分析】
由条件可得||||AB AC AC AB -=+,再两边平方即可得答案. 【详解】
∵P 是ABC ?所在平面内一点,且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=, ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=, 即||||CB AC AB =+, ∴||||AB AC AC AB -=+, 两边平方并化简得0AC AB ?=, ∴AC AB ⊥,
∴90A ?∠=,则ABC ?一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形, 故不可能是钝角三角形,等边三角形, 故选:AD. 【点睛】
本题考查向量在几何中的应用,考查计算能力,是基础题.
13.BD 【分析】
由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】 因为, 所以, 所以,因为, 所以或120°. 故选:BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析:BD 【分析】
由三角形的面积公式求出sin 2
A =即得解. 【详解】 因为13sin 22
S bc A ==,
所以
13222
A ?=,
所以sin 2
A =
,因为0180A ??<<, 所以60A =或120°. 故选:BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ; ; .
故选:ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析:ABCD 【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=; ()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=; 0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选:ABCD 【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
15.AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为时,有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析:AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为
0时,λ有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,所以不正确; 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个,所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析,熟记并理解定理内容是关键,解题中要注意特殊值的应用,属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16.D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =,进一步利用三角函数的诱导公式求出结果. 【详解】
解:已知:cos cos a A b B =,利用正弦定理:2sin sin sin a b c
R A B C
===, 解得:sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =,
所以:22A B =或21802A B =?-,解得:A B =或90A B +=?
所以:ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选:D . 【点评】
本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数的诱导公式的应用,属于中档题. 17.D 【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误;计算出a b ?,利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误;利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误;计算
()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=,()cos ,sin b ββ=,则2cos 1a α==,同理可得
1b =,
a 与
b 不共线,则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠,则()k k Z αβπ-≠∈.
对于A 选项,由题意知,a 与b 的夹角的范围为()0,π,而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈,A 选项错误;
对于B 选项,设向量a 与b 的夹角为θ,则0θπ<<,所以,
()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-,B 选项错误;
对于C 选项,由于a 与b 不共线,由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=,C 选项错误; 对于D 选项,()()2
2
2
20a b a b a
b a b +?-=-=-=,所以,()()
a b a b +⊥-,D
选项正确. 故选:D. 【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断,涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理,考查运算求解能力与推理能力,属于中等题. 18.C 【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==
,由正弦定理化边为角,整理cos 0C =,即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-,
sin 2
a B c ∴
==
.0,2B π??∈ ???, 4
B
π
∴=
. 由正弦定理,得
sin sin 2
a A c C
==
,3sin cos sin 422C A C C C π???
∴==-=+? ?????
, 化简得cos 0C =.
()0,C π∈, 2
C π
∴=
, 则4
A B C π
π=--=
,
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理,三角恒等变换,属于中档题. 19.B 【分析】
2
2
22
||2b ta b a bt a t -=-?+,令2
22
()2f t b a bt a t =-?+,易得2cos b a b t a a
θ
?==
时,222min 2
44()()14a b a b f t a
-?==,即222
||cos 1b b θ-=,结合选项即可得到答案. 【详解】
2222||2b ta b a bt a t -=-?+,令222()2f t b a bt a t =-?+,因为t R ∈,
所以当2cos b a b t a a
θ
?==时,222min 244()()4a b a b f t a -?=,又||b t a →→-的最小值为1,
所以2
||b ta -的最小值也为1,即222
min
2
44()()14a b a b f t a
-?==,222||cos 1b b θ-=,
所以2
2
||sin 1(0)b b θ=≠,所以1sin b θ
=,故若θ确定,则||b →
唯一确定. 故选:B 【点睛】
本题考查向量的数量积、向量的模的计算,涉及到二次函数的最值,考查学生的数学运算求解能力,是一道容易题. 20.C 【分析】 取,a b 夹角为3
π
,计算排除ABD ,得到答案. 【详解】 取,a b 夹角为3π
,则0a b -≠,12
a b ?=,排除ABD ,易知1a b ==. 故选:C . 【点睛】
本题考查了单位向量,意在考查学生的推断能力. 21.C 【分析】
当直线CD AB ⊥时,由直角三角形的勾股定理和等面积法,可得出222+=a b c ,
1ab c =?,再由基本不等式可得出2c ≥,从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时,
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =,2224a b c +==,由基本不等式可得出2ab ≤,从而得出N 的范围,可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时,因为90C ∠=?,1CD =,所以222+=a b c ,由等面积法得
1ab c =?,
因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即()2
2>0c c c ≥,所以2c ≥,
所以+M a b ==
=≥(当且仅当a b =时,取等号),
当D 为边AB 的中点时,因为90C ∠=?,1CD =,所以2c =,2224a b c +==, 因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即42ab ≥,所以2ab ≤,
所以+N a b ==
=≤(当且仅当a b =时,取等号),
当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大的数),则m 的最小值为(此时,a b =); 故选:C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用,以及考查对新定义的理解,属于中档题. 22.A 【解析】
∵2350OA OB OC ++=,∴()()
23OA OC OB OC +=-+. 设AC 中点为M ,BC 中点为N ,则23OM ON =-,