高三复习第六讲简单的三角恒等变换

第三章 三角函数、解三角形

第六讲 简单的三角恒等变换

【考纲速读吧】

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换

三角变换重差异，角的变换是主体，遇切化弦是常理，见到高次要降幂，化一公式是难题，注意角间

个重要规律

1．化简原则：一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分．

种必会题型

1．三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行

转化求解．

2．三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．

3．三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用

公式求解变形即可．

【课前自主导学】01

1．半角公式（不要求记忆）

（1）用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2

． sin 2α2＝________ ； cos 2α2＝_______ ； tan 2α2

＝________ ． （2）用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2

． sin α2＝________ ；cos α2＝________ ；tan α2

＝________ ． （3）用sin α，cos α表示tan α2． tan α2＝sin α1＋cos α

＝________． （4）sin α＝2tan α21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α21－tan 2α2

．

（1）已知tan α2

＝2，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________． （2）已知sin α＝－817，且π<α<32π，则sin α2＝________；cos α2＝________；tan α2

＝________． 2．常用公式的变化形式

（1）tan α＋tan β＝tan （α＋β）（1－tan αtan β），tan α－tan β＝tan （α－β）（1＋tan αtan β）．

（2）sin 2α＝________， cos 2α＝________．

（3）1＋sin2α＝（sin α＋cos α）2，1－sin2α＝（sin α－cos α）2，1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α．

（4）a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin （α＋φ）（其中cos φ＝________，sin φ＝________即tan φ＝b a

）．

（1）下列各式中，值为12

的是________．

①sin15°cos15°；②2cos 2π12－1；③ 1－cos30°2；④tan22.5°1－tan 222.5°

． （2）下列式子化成a 2＋b 2sin （x ＋φ）的形式，则sin α－3cos α＝________．

【自我校对】

1．1－cos α2 1＋cos α2 1－cos α1＋cos α

± 1－cos α2 ± 1＋cos α2 ± 1－cos α1＋cos α 1－cos αsin α 填一填：（1）45 －35 －43 （2）41717 －1717

－4 提示：∵sin α＝－817，π<α<32π，∴cos α＝－1517，又π2<α2<34π，∴sin α2

＝1－cos α2＝41717

； cos α2＝－1＋cos α2＝－1717；tan α2＝sin α2cos α2

＝－4． 2．1－cos2α2 1＋cos2α2 a a 2＋b 2 b a 2＋b 2

填一填：（1）④ （2）2sin （α－π3） 【核心要点研究】02

【考点一】三角函数式的求值

例1 [2013·桂林模拟]已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos （β－α）＝210

． （1）求sin α的值； （2）求β的值．

【审题视点】（1）把α变为2·α2，利用倍角公式求解． （2）把β变为（β－α）＋α，利用两角和的公式求解．

[解]（1）∵tan α2＝12，∴sin α＝sin （2·α2）＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋????122＝45． （2）∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35．又0<α<π2

<β<π，∴0<β－α<π． 由cos （β－α）＝210，得0<β－α<π2． ∴sin （β－α）＝9810＝7210

， ∴sin β＝sin[（β－α）＋α]＝sin （β－α）cos α＋cos （β－α）sin α＝7210×35＋210×45＝25250＝22

． 由π2<β<π得β＝34π． 【师说点拨】已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： （1）先化简所求式子；

（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；

（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

【变式探究】 [2013·运城调研]已知cos （α＋π4）＝35，π2≤α<32π，求cos （2α＋π4

）的值． 解：cos （2α＋π4）＝cos2αcos π4-sin2α·sin π4＝22

（cos2α-sin2α）， ∵π2≤α<32π，∴ 34π≤α＋π4<74π． 又cos （α＋π4）＝35>0，故 32π<α＋π4<74

π， ∴sin （α＋π4）＝-45， ∴cos2α＝sin （2α＋π2）＝2sin （α＋π4）cos （α＋π4）＝2×（-45）×35＝-2425

． sin2α＝-cos （2α＋π2）＝1-2cos 2（α＋π4）＝1-2×（35）2＝725

，

∴cos （2α＋π4）＝22×（-2425-725）＝-31250

． 【考点二】三角恒等式的证明

例2 [2013·唐山月考]已知sin （2α＋β）＝2sin β，求证：tan （α＋β）＝3tan α．

【审题视点】 分析角的差异进行变角：2α＋β＝（α＋β）＋α；β＝（α＋β）－α．

[证明] ∵sin （2α＋β）＝2sin β， ∴sin[（α＋β）＋α]＝2sin[（α＋β）－α]，

∴sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin α＝2sin （α＋β）cos α－2cos （α＋β）sin α，

∴3cos （α＋β）sin α＝sin （α＋β）cos α， ∴tan （α＋β）＝3tan α．

奇思妙想：本例变为“已知sin2θ＝2sin2，求tan(θ＋1)tan(θ－1)

的值”，该如何解答？ 解：sin2θ＝sin[（θ＋1）＋（θ－1）]＝sin （θ＋1）cos （θ－1）＋cos （θ＋1）sin （θ－1），

2sin2＝2sin[（θ＋1）－（θ－1）]＝2sin （θ＋1）cos （θ－1）－2cos （θ＋1）sin （θ－1），

∵ sin2θ＝2sin2，∴sin （θ＋1）cos （θ－1）＝3cos （θ＋1）sin （θ－1），

∴ sin(θ＋1)cos(θ－1)cos(θ＋1)sin(θ－1)＝3，即tan(θ＋1)tan(θ－1)

＝3． 【师说点拨】

（1） 证明恒等式的方法：

①从左到右；②从右到左；③把两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法． （2）三角恒等式证明的切入点：

①看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化；

②看函数：统一函数，向结果中的函数转化．

【变式探究】证明：（1）2sin （π4－x ）·sin （π4＋x ）＝cos2x ． （2）1－2sin α·cos αcos 2α－sin 2α＝1－tan α1＋tan α

． 证明：（1）左边＝2sin （π4-x ）sin[π2- （π4-x ）]＝2sin （π4-x ）cos （π4

-x ） ＝sin2（π4

-x ）＝cos2x ＝右边,等式成立． （2）左边＝(cos α－sin α)2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos α－sin αcos α＋sin α

, 右边＝1－sin αcos α1＋sin αcos α

＝cos α－sin αcos α＋sin α, 左边＝右边． 原式得证． 【考点三】三角函数的综合应用

例3 [2012·湖北高考]设函数f （x ）＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ（x ∈R ）的图象关于直线

x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈????12，1．

（1）求函数f （x ）的最小正周期；

（2）若y ＝f （x ）的图象经过点????π4，0，求函数f （x ）的值域．

解（1）因为f （x ）＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin ?

???2ωx －π6＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f （x ）图象的一条对称轴， 可得sin ?

???2ωπ－π6＝±1． 所以2ωπ－π6＝k π＋π2（k ∈Z ），即ω＝k 2＋13

（k ∈Z ）． 又ω∈????12，1，k ∈Z ，所以ω＝56． 所以f （x ）的最小正周期是6π5

． （2）由y ＝f （x ）的图象过点????π4，0，得f ????π4＝0， 即λ＝－2sin ????56×π2－π6＝－2sin π4

＝－2，

即λ＝－2．故f （x ）＝2sin ????53x －π6－2， 函数f （x ）的值域为[－2－2，2－2]．

奇思妙想：本例中的条件不变，第（2）问改为，“若f （x ）的图象经过点（π4

，0），求函数f （x ）在区间[0，3π5

]上的取值范围”，该如何解答？ 解：由f （π4）＝0可得f （x ）＝2sin （53x -π6）-2． 由0≤x ≤35π得-π6≤53x -π6≤56

π， 所以-12≤sin （53x -π6）≤1， ∴f （x ）在[0，3π5

]上的取值范围是[-1-2，2-2]． 【师说点拨】

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin （ωx ＋φ）的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin （ωx ＋φ）的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

【变式探究】[2012·四川高考]已知函数f （x ）＝sin ????x ＋7π4＋cos ???

?x －3π4，x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最小值；

（2）已知cos （β－α）＝45，cos （β＋α）＝－45，0<α<β≤π2

，求证：[f （β）]2－2＝0． 解：（1）∵f （x ）＝sin ????x ＋7π4－2π＋cos ????x －π4－π2＝sin ????x －π4＋sin ????x －π4＝2sin ???

?x －π4， ∴T ＝2π，f （x ）的最小值为－2．

（2）证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45

， 两式相加得2cos βcos α＝0． ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2． ∴[f （β）]2－2＝4sin 2π4

－2＝0． 【课课精彩无限】03

拼凑法在三角函数中的应用

【选题·热考秀】

[2012·江苏高考]设α为锐角，若cos ????α＋π6＝45，则sin ?

???2α＋π12的值为________． [规范解答] ∵α为锐角，cos ????α＋π6＝45，∴sin ????α＋π6＝35

， ∴sin ????2????α＋π6＝2sin ????α＋π6cos ????α＋π6＝2×35×45＝2425， 且0<α＋π6<π4，故0<α<π12

， ∴2????α＋π6＝2α＋π3∈???

?π3，π2，∴cos ????2????α＋π6＝725， ∴sin ????2α＋π12＝sin ?????

???2α＋π3－π4＝sin ????2α＋π3cos π4－cos ????2α＋π3sin π4 ＝sin ????2????α＋π6cos π4－cos ????2????α＋π6sin π4＝2425×22－725×22＝1750

2． [答案] 1750

2 【备考·角度说】

No ．1 角度关键词：审题视角 ①由已知角α＋π6的范围及余弦值可求出α＋π6的正弦值，进而求出2α＋π3

的正余弦值； ②用已知角拼凑未知角，即2α＋π12＝2（α＋π6）－π4＝（2α＋π3）－π4

，展开后代入求值． No ．2 角度关键词：方法突破

角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差，倍半、互余、互

”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．

21－sin8的化简结果是（ ）

B ． 2sin4

C ． 2sin4－4cos4

D ． －2sin4

答案：D

解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4，故选D ．

2．[2012·四川高考]如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝（ ）

A ． 31010

B ． 1010

C ． 510

D ． 515

答案：B

解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4

． 在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255

． sin ∠CED ＝sin ????π4－∠BEC ＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22????255－55＝1010

． 3．[2013·太原模拟]若sin （π4＋α）＝13，则cos （π2

－2α）等于（ ） A ． 429 B ． －429 C ． 79 D ． －79

答案：D

解析：据已知可得cos （π2－2α）＝cos[π－2（π4＋α）]＝－cos2（π4＋α）＝－[1－2sin 2（π4＋α）]＝－79

， 4．[2012·江西高考]已知f （x ）＝sin 2????x ＋π4．若a ＝f （lg5），b ＝f ???

?lg 15，则（ ） A ． a ＋b ＝0 B ． a －b ＝0 C ． a ＋b ＝1 D ． a －b ＝1

答案：C

解析：f （x ）＝sin 2（x ＋π4）＝1－cos(π2＋2x )2＝1＋sin2x 2， a ＝f （lg5）＝12＋12

sin （2lg5）， b ＝f （lg 15）＝f （－lg5）＝12＋12sin （－2lg5）＝12－12

sin （2lg5），∴a ＋b ＝1．选C 项． 5．[2012·重庆高考]已知sin α＝12＋cos α，且α∈（0，π2）．则cos2αsin(α－π4

)的值为________． 答案：－142

解析：由题意知sin α－cos α＝12， 两边平方得sin2α＝34， ∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝74

. 又α∈(0，π2)，∴sin α＋cos α＝72，cos2αα－π4＝cos 2α－sin 2α22

α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142 【限时规范特训】05

（时间：45分钟 分值：100分）

一、选择题

1．[2012·重庆高考]设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan （α＋β）的值为（ ）

A ． －3

B ． －1

C ． 1

D ． 3

答案：A

解析：因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而

tan （α＋β）＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2

＝－3，故选A ．

2．[2013·吉林五校联考]3－sin70°2－cos 210°

等于 （ ） A ． 12 B ． 22 C ． 2 D ． 32 答案：C

解析：3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－210°－2－cos 210°＝－cos 2

2－cos 210°

＝2．故选C ． 3．[2013·威海模拟]已知α∈（π，3π2），cos α＝－55

，tan2α＝（ ） A ． 43 B ． －43

C ． －2

D ． 2 答案：B

解析：∵cos α＝－55，α∈（π，3π2），∴sin α＝－1－cos 2α＝－255． ∴tan α＝2．tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43，故选B ． 4．[2013·大同模拟]已知θ为第二象限角，sin （π－θ）＝2425，则cos θ2

的值为（ ） A ． 35 B ． 45 C ． ±35 D ． ±45

答案：C

解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2

的值有两个， 由sin （π－θ）＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825． ∴cos θ2＝±35

． 5．[2013·湖南郴州]函数y ＝2cos x （sin x ＋cos x ）的最大值和最小正周期分别是（ ）

A ． 2，π

B ． 2＋1，π

C ． 2,2π

D ． 2＋1,2π

答案：B

解析：y ＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin （2x ＋π4）＋1，所以当2x ＋π4＝2k π＋π2（k ∈Z ），即x ＝k π＋π8（k ∈Z ）时取得最大值2＋1，最小正周期T ＝2π2

＝π． 6．[2013·上海模拟]函数f （x ）＝（sin x ＋cos x ）2－2cos 2x －m 在[0，π2

]上有零点，则实数m 的取值范围是（ ）

A ． [－1,1]

B ． [1，2]

C ． [－1，2]

D ． [－2，1]

答案：C

解析：f （x ）＝1＋2sin x cos x －2cos 2x －m ＝0有解，x ∈[0，π2]，即sin2x －cos2x ＝m 有解， 2sin （2x －π4）＝m 有解，∵x ∈[0，π2]，2x －π4∈[－π4，34π]，∴2sin （2x －π4

）∈[－1，2]． 二、填空题

7．[2013·烟台四校联考]已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan （β－α）＝－13

，则tan （β－2α）＝________． 答案：－1

解析：∵1－cos2αsin αcos α＝1，∴2tan α＝1，即tan α＝12

． ∴tan （β－2α）＝tan （β－α－α）＝β－α－tan α1＋β－αα＝－13－121－16

＝－1． 8．[2013·金版原创]若1＋tan θ1－tan θ

＝2013，则1cos2θ＋tan2θ＝________． 答案：2013

解析：1cos2θ＋tan2θ＝1cos 2θ－sin 2θ＋tan2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ－sin 2θ＋tan2θ＝tan 2θ＋11－tan 2θ＋2tan θ1－tan 2θ

＝θ＋2＋tan θ－tan θ＝1＋tan θ1－tan θ

＝2013． 9．[2013·宁夏模拟]在△ABC 中，sin （C －A ）＝1，sin B ＝13

，则sin A 的值为________． 答案：33

解析：由题意知，C －A ＝π2，且C ＋A ＝π－B ，∴A ＝π4－B 2， ∴sin A ＝sin （π4－B 2）＝22（cos B 2－sin B 2），∴sin 2A ＝12（1－sin B ）＝13，又sin A >0，∴sin A ＝33

． 三、解答题

10．[2013·西安质检]已知函数f （x ）＝sin2x －23sin 2x ＋3＋1． （1）求f （x ）的最小正周期及其单调递增区间； （2）当x ∈[－π6，π6

]时，求f （x ）的值域． 解： f （x ）＝sin2x ＋3（1－2sin 2x ）＋1＝sin2x ＋3cos2x ＋1＝2sin （2x ＋π3

）＋1． （1）函数f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π． 由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2

， 即k π－5π12≤x ≤k π＋π12（k ∈Z ）时，函数y ＝sin （2x ＋π3）为单调递增函数， ∴函数f （x ）的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12

]（k ∈Z ）． （2）∵ x ∈[－π6，π6]，∴2x ＋π3∈[0，2π3]，∴ sin （2x ＋π3

）∈[0,1]， ∴ f （x ）＝2sin （2x ＋π3

）＋1∈[1,3]． ∴ f （x ）的值域为[1,3]． 11．[2013·东北三校联考]已知向量a ＝（cos α，sin α），b ＝（cos β，sin β），|a －b |＝255

． （1）求cos （α－β）的值； （2）若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513

，求sin α． 解：（1）∵a ＝（cos α，sin α），b ＝（cos β，sin β）， ∴a －b ＝（cos α－cos β，sin α－sin β），

∵|a －b |＝255， ∴α－cos β2＋α－sin β2＝255

， 即2－2cos （α－β）＝45，∴cos （α－β）＝35

． （2）∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π， ∵cos （α－β）＝35，∴sin （α－β）＝45

， ∵sin β＝－513，∴cos β＝1213， ∴sin α＝sin[（α－β）＋β]＝sin （α－β）cos β＋cos （α－β）sin β＝45×1213＋35×（－513）＝3365

． 12．[2013·海淀模考]已知函数f （x ）＝cos （π3＋x ）·cos （π3－x ），g （x ）＝12sin2x －14

． （1）求函数f （x ）的最小正周期；

（2）求函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的最大值，并求使h （x ）取得最大值的x 的集合．

解：（1）因为f （x ）＝cos （π3＋x ）cos （π3－x ）＝（12cos x －32sin x ）（12cos x ＋32

sin x ） ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos2x 8－3－3cos2x 8＝12cos2x －14

， 所以f （x ）的最小正周期为2π2

＝π． （2）h （x ）＝f （x ）－g （x ）＝12cos2x －12sin2x ＝22cos （2x ＋π4

），

当2x ＋π4＝2k π（k ∈Z ）时，h （x ）取得最大值22

． h （x ）取得最大值时，对应的x 的集合为{x |x ＝k π－π8

，k ∈Z }．

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析

高考总复习三角恒等变换专题习题附解析 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

三角恒等变换专题习题 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知α为锐角，cosα＝，则tan＝( ) A．－3 B．－ C．－D．－7 解析依题意得，sinα＝，故tanα＝2，tan2α＝＝－，所以tan＝＝－. 答案B 2．已知cos＝－，则cos x＋cos的值是( ) A．－B．± C．－1 D．±1 解析cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1. 答案C 3．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( ) A. B. C. D．－1 解析∵cos2θ＝，∴sin22θ＝，∴sin4θ＋cos4θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－(sin2θ)2＝. 答案B 4．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值是( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 解析∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1， ∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ. ∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2. 答案C 5.

(2014·成都诊断检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为和，则cos(α＋β)的值为( ) A．－B．－ C．0 D. 解析cosα＝，sinα＝，cosβ＝－，sinβ＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝·(－)－·＝－.选A. 答案A 6．若＝－，则sinα＋cosα的值为( ) A．－B．－ C. D. 解析∵(sinα－cosα)＝－(cos2α－sin2α)， ∴sinα＋cosα＝. 答案C 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若tan＝，则tanα＝________. 解析∵tan＝＝， ∴5tanα＋5＝2－2tanα. ∴7tanα＝－3，∴tanα＝－. 答案－ 8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋2sin2x的最小正周期T为________． 解析y＝sin2x＋2sin2x＝sin2x－cos2x＋ ＝2sin(2x－)＋，所以T＝π. 答案π 9．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________. 解析f(x)＝sin x－2cos x＝(sin x－cos x)＝sin(x－φ)而sinφ＝，cosφ＝，当x －φ＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值，即θ＝φ＋＋2kπ时，f(x)取最大值．cosθ＝cos(φ＋＋2kπ)＝－sinφ＝－＝－.

三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换 α/4

题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π

高一数学期末复习 第三章 三角恒等变换 测试四

第三章 三角恒等变换 单元测试 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a << 2．函数221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是( ) A ． 4π B ．2 π C ．π D ．2π 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ） A ．12- B ．12 C ．- D 4．已知3sin(),45 x π-=则sin 2x 的值为（ ） A .1925 B .1625 C .1425 D .725 5．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos2α=( ) A ．917 B ． C ． D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2 π C ．π D ．2π 二、填空题 1．已知在ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ． 2．计算：o o o o o o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sin cos()336 x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 4．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．

5．已知)sin()(?ω+=x A x f 在同一个周期内，当3 π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________． 三、解答题 1. 求值：（1）0 00078sin 66sin 42sin 6sin ； （2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。 2．已知4A B π+= ，求证：(1tan )(1tan )2A B ++= 3．求值：94cos log 92cos log 9cos log 222πππ++。 4．已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间； （2）当0a <且[0, ]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.

三角恒等变换-高考理科数学试题

（二十二） 三角恒等变换 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 三角函数的求值 1．(2017·山东高考)已知cos x ＝3 4，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18 解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝1 8 . 2．(2018·太原一模)若cos ????α－π6＝－3 3，则cos ????α－π3＋cos α＝( ) A ．－ 22 3 B ．±223 C ．－1 D ．±1 解析：选C 由cos ????α－π3＋cos α＝12cos α＋3 2sin α＋cos α＝3cos ????α－π6＝－1，故选C. 3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30° cos 17° ＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30° cos 17° ＝ sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1 2 . 4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ???? π3－x ＝cos 2????x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.1 2 B ．－2 C.22 D. 2

解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ????x ＋π2＋12，即32cos x －1 2sin x ＝ －12sin x ＋12，所以cos x ＝3 3 .因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ????α＋π4＝3 5，则cos 2α＝( ) A.24 25 B.725 C ．－ 2425 D ．±2425 解析：选A ∵0<α<π2，cos ????α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π 2，∴sin ????α＋π4＝45，∴sin α＝sin ????????α＋π4－π4＝sin ????α＋π4cos π4－cos ????α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝2 10，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2× ????2102＝2425 .故选A. 6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ????α＋π6＝35，则sin ????α－π 12＝( ) A ．－210 B.210 C.2 2 D.45 解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π 3，因此sin ????α＋π6>0，所以sin ??? ?α＋π 6＝ 1－cos 2??? ?α＋π 6＝ 1－????352＝45.所以sin ????α－π12＝sin ??? ?????α＋π6－π4＝sin ????α＋π6cos π4－cos ????α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝2 10 . 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________. 解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12 . 答案：1 2 8．(2018·洛阳一模)已知sin ????α－π3＝14，则cos ????π 3＋2α＝________. 解析：cos ????π3＋2α＝cos ????π－2π3＋2α＝－cos 2????α－π3＝2sin 2????α－π3－1＝－7 8. 答案：－7 8

三角恒等变换问题(典型题型)

三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）

例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）

三角恒等变换知识点和例题

三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等），

三角恒等变换高考试题汇编

三角恒等变换高考题汇编 1、（07山东理）函数y=sin （2x+ 6π）+cos （2x+3 π ）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、（07海南） ) 4 sin(2cos π αα-=- 2 2 ，则cos α+sin α的值为（ ） A - 27 B -21 C 2 1 D 27 3、（07福建文）sin150 cos750 +cos150 sin1050 =（ ）A 0 B 2 1 C 23 D 1 4、（07浙江理）已知sin θ+cos θ= 51且2π≤θ≤43π ，则cos2θ的值是（ ） 5、（07浙江文）已知sin θ+cos θ=51 则sin2θ的值是（ ） 6、（07全国Ⅰ理）函数f （x ）=cos 2x-2cos 22 x 的一个单调增区间是（ ） A （ 3π，32π ） B （6π，2π） C （0，3π） D （-6π，6 π） 7、（07广东理）已知函数f （x ）=sin 2 x -2 1（x ∈R ），则f （x ）是（ ） A 最小正周期为2 π 的奇函数 B 最小正周期为π的奇函数 C 最小正周期为2π的偶函数 D 最小正周期为π的偶函数 8、（07北京文）函数f （x ）=sin2x-cos2x 的最小正周期是（ ） A 2 π B π C 2π D 4π 9、（06全国）函数f （x ）=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A 2 π B π C 2π D 4π 10、（06全国）若f （sinx ）=3-cos2x ，则f （cosx ）=（ ） A 3-cos2x B 3-sin2x C 3+cos2x D 3+sin2x 11、（06重庆文）已知,αβ∈（0，2 π ），cos （α-2β）=23，sin （2α-β）=-21，则 cos （α+β）的值等于（ ） A - 23 B -21 C 2 1 D 23

三角恒等变换(测试题及答案)

三角恒等变换测试题 第I 卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. 函数sin cos y x x =+的最小正周期为（ ） A. 2 π B. π C. 2π D. 4π 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47 - B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ） A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12 π 个单位

三角恒等变换知识点总结

、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2

高一下数学期末考试知识点复习要点

高一下期末三角函数考点： 《数学必修4》 第一章 三角函数 《数学必修4》 第三章 三角恒等变换 《数学必修5》 第一章 解三角形 三角函数 知识要点: 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等分为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|α|= r l ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co sα=r x ,正切函 数tan α= x y , ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{ } 36036090,k k k αα?<

第二象限角的集合为 { } 36090360180,k k k αα?+<

(浙江专版)高考数学一轮复习 专题4.3 简单的三角恒等变换(讲)

第03节简单的三角恒等变换 【考纲解读】 【知识清单】 1.两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β； S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β； T (α＋β)：tan(α＋β)＝1－tan αtan βtan α＋tan β ； T (α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β . 变形公式： tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； . 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式： S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； T 2α：tan 2α＝1－tan2α2tan α. 变形公式： cos 2α＝21＋cos 2α，sin 2α＝21－cos 2α 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 【重点难点突破】 考点1两角和与差的三角函数公式的应用 【1-1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点 ， ， 记射线 与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】

知识讲解-三角恒等变换-基础

三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=m ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα = -2()T α。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是 的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 21 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)

高考总复习简单的三角恒等变换习题

高考总复习简单的三角恒等变换习题 (附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π 4)，x ∈R ，则函数f (x ) 是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2的偶函数 [答案] A [解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π 2＝π. (理)(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2π B ．π C.π2 D.π3 [答案] B [解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝ 1－cos2x 2＋1 2 sin2x ＝12＋2 2sin ????2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 2．(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为3 2 ，则cos2α＝( ) A ．－1 4 B ．－1 2 C.12 D.3 2 [答案] B [解析] ∵|a |2＝cos 2α＋?? ? ?222 ＝cos 2α＋12＝34， ∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－1 2. 3．已知tan α 2＝3，则cos α＝( ) A.45 B ．－45 C.4 15 D ．－35 [答案] B

[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α 2＝cos 2α2－sin 2 α2cos 2α2＋sin 2α2 ＝1－tan 2 α 21＋tan 2 α2 ＝1－91＋9＝－4 5 ，故选B. 4．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B [解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C 2 ， ∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝1 2(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1， ∵－πcos x ，

高考真题 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；

（2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72

简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】