模型误差变化率有界的空间连接系统鲁棒性能分析

第40卷第10期自动化学报Vol.40,No.10 2014年10月ACTA AUTOMATICA SINICA October,2014

模型误差变化率有界的空间连接系统鲁棒性能分析

刘华波1,2周彤1,3

摘要针对具有时空不变名义模型的空间连接系统,讨论其存在有界、线性、时空变化和有结构性约束的模型误差时,取得鲁棒性能的条件.对于时间轴和空间轴,分别定义了算子的时间变化率和空间变化率,给出了系统取得鲁棒性能时该变化率的上界和下界.研究表明,对于时间轴和空间轴上变化率满足一定条件、具有结构约束的有界模型误差,系统取得鲁棒性能的充分必要条件是存在频率域上的缩放矩阵(D标度),使得系统名义模型范数小于1.

关键词空间连接系统,鲁棒性能,模型误差,非因果性,结构不确定性

引用格式刘华波,周彤.模型误差变化率有界的空间连接系统鲁棒性能分析.自动化学报,2014,40(10):2098?2107

DOI10.3724/SP.J.1004.2014.02098

Robust Performance Analysis of Spatially Interconnected Systems with

Rate-of-variation Bounded Time-varying and Space-varying Uncertainties

LIU Hua-Bo1,2ZHOU Tong1,3

Abstract This paper investigates robust performance for a kind of spatially interconnected dynamic systems under bounded,linear,time-varying,space-varying,structured uncertainties.Both temporal rate-of-variation and spatial rate-of-variation are introduced to a linear time-varying and space-varying operator.On the premise of guaranteeing robust performances,both upper and lower bounds are obtained for the maximal rate-of-variation of uncertainties.It is proved that the existence of a temporal and spatial frequency dependent D-scale matrix that can render the norm of the nominal model less than one is necessary and su?cient for robust performances against time-varying and space-varying structured bounded uncertainties with appropriate rate-of-variations.

Key words Spatially interconnected system,robust performance,model errors,noncausality,structured uncertainties Citation Liu Hua-Bo,Zhou Tong.Robust performance analysis of spatially interconnected systems with rate-of-variation bounded time-varying and space-varying uncertainties.Acta Automatica Sinica,2014,40(10):2098?2107

现实生活中有许多大规模系统[1],如自动高速公路系统[2]、飞机器编队[3]、卫星星座群体控制[4]、基因调控网络[5]等都可以认为是由多个特性近乎相同的子系统互相连接而成,每个子系统的结构和彼此之间的互连都比较简单,但是它们组成的整体却可能具有复杂而丰富的特性.文献[6]将此类系统称为“空间连接系统”并给出了线性矩阵不等式(Linear matrix inequity,LMI)形式的时空不变连接系统同时满足适定性、稳定性和收缩性的充分条

收稿日期2013-10-09录用日期2014-03-06

Manuscript received October9,2013;accepted March6,2014国家重点基础研究发展计划(973计划)(2009CB320602),国家自然科学基金(61174122,61021063)资助

Supported by National Basic Research Program of China(973 Program)(2009CB320602)and National Natural Science Foun-dation of China(61174122,61021063)

本文责任编委耿志勇

Recommended by Associate Editor GENG Zhi-Yong

1.清华大学自动化系北京100084

2.青岛大学自动化工程学院青岛266071

3.清华信息科学与技术国家实验室北京100084

1.Department of Automation,Tsinghua University,Beijing 100084

2.College of Automation Engineering,Qingdao Uni-versity,Qingdao266071

3.Tsinghua National Laboratory for Information Science and Technology,Tsinghua University,Bei-jing100084件;文献[7]基于矩阵多项式零空间的几何结构得到了比文献[6]更不保守的时空不变连接系统稳定性的充分条件;文献[8]考虑空间特性不变的分布参数系统,引入空间傅里叶变换将无穷维状态空间模型变换为带参数的有限维状态空间模型,得到系统指数稳定的充分必要条件;文献[9]考虑了存在时间不变和空间不变不确定性而名义模型时空不变的空间连接系统的鲁棒l2稳定性并给出了类似μ(结构奇异值)的条件;文献[10]给出了子系统名义模型一致,而存在时间上和空间上任意变化的不确定性时空间连接系统取得l∞和l2鲁棒稳定性的充分必要条件;文献[11]同样探讨了时空变化不确定性情形下,空间连接系统鲁棒l2稳定的充分必要条件,给出了等价于小增益条件形式的结论.

实际工程中,由于材料特性变化以及建模条件所限,所得系统模型必存在不确定性,通常该不确定性随时间不会发生剧烈的变化,文献[12?13]考虑了时间轴上不确定性变化率满足一定约束条件的情形下,系统鲁棒性能的分析问题.同样,对于空间连接系统,不同空间位置的子系统都存在着不确定性.

第三章 模型中误差项假定的诸问题汇总

第三章 模型中误差项假定的诸问题 第一节 广义最小二乘法 前面的分析知道，多元线性回归的数学模型可以表示为： 12233t t t k kt t Y X X X ββββμ=+++???++ （t=1,2,3,…,n ） 其中t μ是随机误差项，它代表的是对于t Y 的变化，it X 不能解释的微小变动的全部。用矩阵表示，则上述回归模型可以表示为： Y X U β=+ 其中，123n Y Y Y Y Y ?? ? ? ?= ? ? ? ?? ，123k βββββ?? ? ? ?= ? ? ???，2131122 32223111k k n n kn X X X X X X X X X X ????? ???? ? = ? ??????，123n u u U u u ?? ? ? ?= ? ? ? ?? 运用最小二乘准则，我们得到的参数的估计量为： ()1''?X X X Y β-= 对于随机误差项t μ，我们所做的假定有三个：零均值、同方差和非自相关。这三个假定的矩阵表述为：

()()()()()1230000 0n E u E u E U E u E u ???? ? ? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ? ????? ， ()()()()()()()()()()()112121221222 22'2var cov ,cov ,cov ,var cov ,var cov ,cov ,var 100000001000000001000n n n n n u u u u n u u u u u u u u u u u U u u u u u I E UU σσσσσ????? ? ??? ? = ? ? ????? ????? ? ? ? ? ==== ? ? ? ? ??? ? ? 在上述假定条件下，我们得出的参数估计值具有最优线性无偏估计特性。 现实情况的偏离： 1、随机扰动项均值不为零时，通过将随机扰动项与常数项结合，不会对估计产生影响。 2、同方差和非自相关假设不满足时，会对最小二乘估计产生重要影响。 因此，不满足假定条件的分析可以归结为同方差和非自相关的偏离。用矩阵来表示为： ()' 2u E UU σ =Ω，其中，Ω为n 阶正定矩阵。

多元线性回归模型

第四章 多元线性回归模型 在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。 一、预备知识 （一）相关概念 对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。 将给定i i x x 21,条件下i y 的均值 i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或 i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2） （4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。 在总体回归模型（4.2）中参数210,,βββ是未知的，i μ是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本n i x x y i i i ,,2,1),,,(21 =，对（4.1）式进行估计，若21021,,),,|(βββi i i x x y E 的估 计量分别记为^2^1^0^,,,βββi y ，则定义（4.3）式为样本回归函数 i i i x x y 2^ 21^1^0^βββ++= （n i ,,2,1 =） （4.3） 注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说^2^1^0,,βββ是随机变量，它们的随机性是由于i y 的随机性（同一组),(21i i x x 可能对应不同的i y ）、21,x x 各

第三章 一元线性回归模型

第三章 一元线性回归模型 一、预备知识 （一）相关概念 对于一个双变量总体),(i i x y ,若由基础理论，变量x 和变量y 之间存在因果关系，或x 的变异可用来解释y 的变异。为检验两变量间因果关系是否存在、度量自变量x 对因变量y 影响的强弱与显著性以及利用解释变量x 去预测因变量 y ，引入一元回归分析这一工具。 将给定i x 条件下i y 的均值 i i i x x y E 10)|(ββ+= （3.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。定义 )|(i i i x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即)|(i i i i x y E y -=μ，这样i i i i x y E y μ+=)|(，或 i i i x y μββ++=10 （3.2） （3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。误差项的构成包括以下四个部分： （1）未纳入模型变量的影响 （2）数据的测量误差 （3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系 （4）纯随机和不可预料的事件。 在总体回归模型（3.2）中参数10,ββ是未知的，i μ是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本 n i y x i i ,,2,1),,( =，对（3.1）式进行估计，若10,),|(ββi i x y E 的估计量分别记为^ 1^ 0^ ,,ββi y ，则定义3.3式为样本回归函数 i i x y ^ 1^ 0^ ββ+= （n i ,,2,1 =） （3.3） 注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说^ 1^ 0,ββ是随机变量，它们的随机性是由于i y 的随机性（同一个i x 可能对应不同的i y ）与x 的变异共同引起的。定义^ i i y y -为残差项（residual term ）,记为i e ，即^ i i i y y e -=，这样 i i i e y y +=^ ，或 i i i e x y ++=^ 1^0ββ （n i ,,2,1 =） （3.4）

应用回归分析,第4章课后习题参考答案.

第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差

的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或

由传递函数转换成状态空间模型(1)

由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211 )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ???+=+=du cx y bu Ax x 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()() ()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++ ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则 ???++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m 1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x ，于是有 ?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221

回归分析方法

回归分析方法Newly compiled on November 23, 2020

第八章回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要

占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。

实验八MATLAB状态空间分析

实验八 线性系统的状态空间分析 §8.1 用MATLAB 分析状态空间模型 1、状态空间模型的输入 线性定常系统状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du =+=+ 将各系数矩阵按常规矩阵形式描述。 [][][]11 121120 10 1;;;n n n nn n n A a a a a a a B b b b C c c c D d ==== 在MATLAB 里，用函数SS()来建立状态空间模型 (,,,)sys ss A B C D = 例8.1 已知某系统微分方程 22d d 375d d y y y u t t ++= 求该系统的状态空间模型。 解：将上述微分方程写成状态空间形式 0173A ??=??--??，01B ??=???? []50C =，0D = 调用MATLAB 函数SS()，执行如下程序 % MATLAB Program example 6.1.m A=[0 1;-7 -3]; B=[0;1]; C=[5 0]; D=0; sys=ss(A,B,C,D) 运行后得到如下结果 a = x1 x2 x1 0 1

x2 -7 -3

b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 5 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 2、状态空间模型与传递函数模型转换 状态空间模型用sys 表示，传递函数模型用G 表示。 G=tf(sys) sys=ss(G) 状态空间表达式向传递函数形式的转换 G=tf(sys) Or [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) 多项式模型参数 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 零、极点模型参数 iu 用于指定变换所需的输入量，iu 默认为单输入情况。 传递函数向状态空间表达式形式的转换 sys=ss(G) or [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) 例 8.2 11122211220.560.050.03 1.140.2500.1101001x x u x x u y x y x -??????????=+??????????-????????????????=??????? ????? 试用矩阵组[a ，b ，c ，d]表示系统，并求出传递函数。 % MATLAB Program example 6.2.m

空间计量经济学模型归纳

空间计量经济学模型 空间相关性是指 () ,i j y f y i j =≠即i y 与j y 相关 模型可表示为() (),1i j j i i y f y x i j βε=++≠ 其中，()f g 为线性函数，(1)式的具体形式为 () ()2,0,2i ij j i i i i j y a y x N βεεδ≠=++∑: 如果只考虑应变量空间相关性，则(2)式变为(3)式 ()()21 ,0,,1,2...3n i ij j i i i y W y N i n ρεεδ==+=∑: 式中 1 n ij j i W y =∑为空间滞后算子，ij W 为维空间权重矩阵n n W ?中的元素，ρ为待估的空间自相 关系数。0ρ≠，存在空间效应 (3)式的矩阵形式为() ()21, 0,4u n y Wy N I ρεδ?=: (4)式称为一阶空间自回归模型，记为FAR 模型 当在模型中引入一系列解释变量X 时，形式如下 () ()2,0,5n y Wy X N I ρβεεδ=++: (5)式称为空间自回归模型，记为SAR 模型 当个体间的空间效应体现在模型扰动项时有 () ()21,,0,6u n y X u u Wu N I βλεδ?=+=: （6）式成为空间误差模型，记为SEM 模型 当应变量与扰动项均存在空间相关时有 () ()2121,,0,7u n y W y X u u W u N I ρβλεεδ?=++=+: （7）式称为一般空间模型，记为SAC 模型 当0X =且20W =时，SAC →FAR ；当20W =时，SAC →SAR 当10W =时，SAC →SEM

状态空间模型

状态空间模型概述 状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由Akaike提出并由Mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。由Aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。 状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，Granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。Aoki和Cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。 协调积分概念的提出具有两方面的意义：

①如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化； ②如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。 Aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。 状态空间模型的假设条件是动态系统符号马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。 [编辑] 状态空间模型的分类 状态空间模型包括两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量

风速时程模拟自回归法空间20个点-AR模型

%风速时程模拟自回归法空间20个点-AR模型 %自回归模型阶p＝4，模拟空间20个点，时间步长ti＝0.1，频率步长f＝0.001， %空间相干系数采用与频率无关的shiotani相关系数,脉动风速谱为Davenport谱 clear tic k=0.005; v10=25; n=0.001:0.001:10; xn=1200*n./v10; s1=4*k*25^2*xn.^2./n./(1+xn.^2).^(4/3); %Davenport谱 %产生空间点坐标 for i=1:20 x(i)=5+i； z(i)=8+i; end %求R矩阵 syms f R0=zeros(20); for i=1:20 for j=i:20 H0=inline('(4*1200^2*f*k)./(1+(1200*f/v10).^2).^(4/3)','f','k','v10'); k=0.005; %地面粗糙度长度 v10=25; R0(i,j)=quadl(H0,0.001,10,0.001,0,k,v10); R0(j,i)=R0(i,j); end end R1=zeros(20); for i=1:20 for j=i:20 H1=inline('(4*1200^2*f*k).*exp(-sqrt(dx^2/50^2+dz^2/60^2)).*cos(2*pi*f* ti)./(1+(1200*f/v10).^2).^(4/3)','f','k','dx','dz','ti','v10'); k=0.005; ti=0.1; %时间步长 v10=25; dx=x(i)-x(j); dz=z(i)-z(j); R1(i,j)=quadl(H1,0.001,10,0.001,0,k,dx,dz,ti,v10); R1(j,i)=R1(i,j); end

社区户外活动场地空间环境特征对老年人吸引力的多元回归模型

LA Forum 93 社区户外活动场地空间环境特征对老年人吸引力的多元回归模型 Multiple Regression Model of Attraction of Space Environment Characteristics of Outdoor Activity Fields in Community to the Elderly 摘 要：基于对深圳市华侨城片区公共型社区户外活动场地空间环境特征、老年活动人群的调查和观测，通过数据间的多元回归分析，建立了社区户外活动场地空间环境特征对老年人吸引力的多元回归模型。该模型揭示了老年人活动人数与场地空间环境特征之间的定量关系。通过使用该模型，计算了华侨城片区的场地吸引力得分，提出了判断场地吸引力强弱的阈值。通过分析模型回归系数，提出了利于场地吸引力提升的改进措施。 关 键 词：风景园林；老年人；社区户外活动场地；空间环境特征；多元回归 Abstract: This study investigates and observes the special environment characteristic of public outdoor activity fields in community, and activities of the elderly in Shenzhen OCT area, and uses multiple regression analysis to establish a model to reveal the quantitative relationship between the number of the aged in activity and special environment characteristic of outdoor activity fields. By using the model, it calculates the attraction scores in OCT area, and provides the threshold to judge the attractiveness of a field. By analyzing the regression coefficients of the model, it puts forward the improvement measures of the fields. Key words: landscape architecture; elderly; outdoor activity field in community; spatial environment characteristics; multiple regression 老年人机体衰退，活动能力有限，近家活动区域往往是其首选[1]。许多与社区体育场地相关的研究指出，社区内的“非标准场地”使用方便，但如果不能适应老年人的活动需求，则会对其使用造成阻碍[2-4]。现有研究通过调查、勘探及具体的分析技术，如多元线性回归法、贝叶斯网络模型、IPA分析法等，筛选出对老年人户外活动具有重要影响的空间环境特征，这些特征集中在铺装、绿化水体、休息座椅、标识系统、其他设施等方面[5-6]，但不同特征产生的影响不同。Kemperman A和Timmermans H认为场地的绿色空间质量对 孙 艺戴冬晖宋聚生*龚咏喜 Sun Yi Dai Donghui Song Jusheng Gong Yongxi 老年人使用意愿的影响最大[7]，Cochrane T 等认为场地与商铺、工作单位、快餐店的可达性更为重要[8]，还有一些研究则认为场地卫生状况[9]、照明情况[10]、公共厕所、无障碍设施、健身设施[11]等不可忽略。但少有研究度量不同空间环境特征对老年人户外活动的影响，并缺少根据空间环境特征定量评估场地建设情况的方法。本研究在获取影响老年人户外活动的空间环境特征和场地内活动人数的基础上，通过相关性分析和多元回归分析，建立社区户外活动场地空间环境特征对老年人吸引力的多元回归模型，度量各个空 间环境特征对老年人户外活动的影响，并为社区户外活动场地建设提供一种定量评价的方法。 1 数据获取思路及方法 通过现场观测和问卷调研，获取社区户外活动场地和参与户外活动的老年人等的原始资料。案例地点选在活动场地数量较多且形式多样的深圳市华侨城片区，实地调研时间为深圳市气候最适宜的10—11月间，以排除气候对受访者主观需求的干扰，保证受访人数充足。 文章编号：1000-6664(2018)03-0093-05中图分类号：TU 986 文献标志码：A 收稿日期：2017-03-21 修回日期：2017-06-27 基金项目：亚热带建筑科学国家重点实验室开放研究基金项目“高温湿热地区城市社区老年户外活动空间配置研究——以深圳为例”(编号2014KA01)资助 * 通信作者(Author for correspondence) E-mail: songyuangc@https://www.sodocs.net/doc/198166996.html,

状态空间模型

引言 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。 在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量u（t）和输出量y（t）之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量U(s)=L[u(t)]和输出量Y(s)=L[y(t)]之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。 现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。 标准四阶龙格——库塔法的基本思想 龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，即利用y(x)在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor展开后与y(xi+1)的Taylor展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。 一、实验原理 龙格——库塔法 龙格—库塔法是仿真中应用最广泛的方法。它以泰勒展开公式为基础，用函数f的线性组合代替f的高阶导数项，避免了高阶导数的运算，又提高了精度。泰勒公式的阶次取得越高，龙格—库塔法所得的误差等级越低，精度越高。最常用的是四阶龙格—库塔法，它虽然有一定的时间损耗，但比梯形法要快，而且与

线性回归分析法

一元线性回归分析和多元线性回归分析 一元线性回归分析 1.简单介绍 当只有一个自变量时，称为一元回归分析（研究因变量y 和自变量x 之间的相关关系）；当自变量有两个或多个时，则称为多元回归分析（研究因变量y 和自变量1x ，2x ，…，n x 之间的相关关系）。如果回归分析所得到的回归方程关于未知参数是线性的，则称为线性回归分析；否则，称为非线性回归分析。在实际预测中，某些非线性关系也可以通过一定形式的变换转化为线性关系，所以，线性回归分析法成为最基本的、应用最广的方法。这里讨论线性回归分析法。 2.回归分析法的基本步骤 回归分析法的基本步骤如下： （1） 搜集数据。 根据研究课题的要求，系统搜集研究对象有关特征量的大量历史数据。由于回归分析是建立在大量的数据基础之上的定量分析方法，历史数据的数量及其准确性都直接影响到回归分析的结果。 （2） 设定回归方程。 以大量的历史数据为基础，分析其间的关系，根据自变量与因变量之间所表现出来的规律，选择适当的数学模型，设定回归方程。设定回归方程是回归分析法的关键，选择最优模型进行回归方程的设定是运用回归分析法进行预测的基础。 （3） 确定回归系数。 将已知数据代入设定的回归方程，并用最小二乘法原则计算出回归系数，确定回归方程。这一步的工作量较大。 （4） 进行相关性检验。 相关性检验是指对已确定的回归方程能够代表自变量与因变量之间相关关系的可靠性进行检验。一般有R 检验、t 检验和F 检验三种方法。 （5） 进行预测，并确定置信区间。 通过相关性检验后，我们就可以利用已确定的回归方程进行预测。因为回归方程本质上是对实际数据的一种近似描述，所以在进行单点预测的同时，我们也需要给出该单点预测值的置信区间，使预测结果更加完善。 3. 一元线性回归分析的数学模型 用一元线性回归方程来描述i x 和i y 之间的关系，即 i i i x a a y ?++=10（i =1，2，…，n ） （2-1） 式中，i x 和i y 分别是自变量x 和因变量y 的第i 观测值，0a 和1a 是回归系数，n 是

空间回归方法-空间统计

空间回归模型 徐成东 深圳CDC培训课程 2014‐11‐13

空间回归分析基础 –什么是回归分析 ?寻求两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分 析方法。 ?热点探测回答了“Where”的问题，回归分析试图回答“Why”–回归分析目的 ?检验理论：基本目标是测量一个或多个变量的变化对另一变量 变化的影响程度 ?进行预测：基本目标是构建一个持续、准确的预测模型。 ?寻找假设：基本目标是通过回归分析来探索这些关系并解答想 要检验的假设情况。

–回归分析基本步骤 ?①从一组数据出发确定某些变量之间的定量关系式，即建立数学模型并估计其中的未知参数。估计参数的常用方法是最小二乘法。 ?②对这些关系式的可信程度进行检验。 ?③优化回归方程。在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中，判断哪个（或哪些）自变量的影响是显著的，哪些自变量的影响是不显著的，将影响显著的自变量选入模型中，而剔除影响不显著的变量，通常用逐步回归、向前回归和向后回归等方法。 ?④利用所求的关系式对某一过程进行预测或控制。 –空间分析常见问题 –为什么要有空间回归

回归分析常见问题问题影响解决方案 遗漏了解释变量回归模型丢失关键解释变 量，其系数和相应的关联 P 值将不可信。 检查OLS 残差或对OLS 回归残差运行 热点分析，尝试找出可能的缺失变量。 非线性关系线性模型中如果解释变量 与因变量之间的关系存在 非线性关系，则所获得的 模型质量不佳。 通过创建散点图了解模型中变量之间 的关系。可通过变换变量来修复曲线 性。 数据异常值异常值可使回归关系背离 最佳拟合，从而使回归系 数发生偏差。 可通过散点图和其他图（直方图）检 验数据的极值。如果异常值存在错误， 请修正或移除异常值。如果异常值正 确，则不能将其移除。

线性回归分析和方差分析报告

线性回归分析和方差分析报告 信计12 徐文豪 2110902039 本报告以教材第二章课后习题2.4和第三章课后习题3.6为主体，给出对应的解答、sas 代码和结果分析。 2.4 某公司管理人员为了了解某化妆品在一个城市的月销售量Y （单位：箱）与该城市中适合使用该化妆品的人数1X （单位：前人）以及他们人均月收入2X （单位：元）之间的关系，在某个月中对15个城市做了调查，得上述各量的观测值如下表所示： 162 274 2450 120 180 3254 223 375 3802 131 205 2838 67 86 2347 169 265 3782 81 98 3008 192 330 2450 116 195 2137 55 53 2560 252 430 4020 232 372 4427 144 236 2660 103 157 2088 212 370 2605 假设Y 与1X ，2X 之间满足线性回归关系 01122i i i i y x x βββε=+++，1,2,,15i = 其中(1,2,15)i i ε=独立通分布于2(0,)N σ。 （1）求回归系数012,,βββ的最小二乘估计和误差方差2σ的估计，写出回归方程并对回归系数作解释。 解：首先将数据导入sas ，sas 语句如下： data sale; input y x1 x2; cards ; 162 274 2450 120 180 3254 223 375 3802 131 205 2838 67 86 2347 169 265 3782 81 98 3008 192 330 2450 116 195 2137 55 53 2560 252 430 4020 232 372 4427 144 236 2660 103 157 2088 212 370 2605 ; run ; 然后调用reg 过程，sas 语句如下：

应用回归分析课后习题参考答案

第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n 误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求 β1的最小二乘估计 解： 得： 证明（式），?e i =0 ，?e i X i =0 。 证明：∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ 其中： 即： ?e i =0 ，?e i X i =0 211 1 2)?()?(i n i i n i i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=0)?(2?11 1 =--=??∑=i i n i i e X X Y Q ββ) () (?1 2 1 1 ∑∑===n i i n i i i X Y X β01????i i i i i Y X e Y Y ββ=+=-0 1 00??Q Q β β ??==??

回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。 答：由于εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , ?2 ) 最大似然函数： 使得Ln （L ）最大的0 ?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小， ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 21021 ))??(()?(ββ 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, ?2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi ~N(0, ?2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 证明0 ?β是β0的无偏估计。 证明：)1[)?()?(1 110∑∑==--=-=n i i xx i n i i Y L X X X Y n E X Y E E ββ )] )(1 ([])1([1011i i xx i n i i xx i n i X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑== 1010)()1 (])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx i n i i xx i n i E L X X X n L X X X n E 证明 证明： )] ()1([])1([)?(102110i i xx i n i i xx i n i X Var L X X X n Y L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑== () ) 1()1()?(2 2 2 1 2 2 xx n i i L X n X X X n Var +=-+=∑=σσβ

第四章多元线性回归模型(20201121231208)

第四章多元线性回归模型 在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。当解释变量的个数 由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。 一、预备知识 （一）相关概念 对于一个三变量总体，若由基础理论，变量x1, x2和变量y之间存在因果关 系，或x i,x2的变异可用来解释y的变异。为检验变量x i,x2和变量y之间因果关系是否存在、度量变量洛公2对变量y影响的强弱与显著性、以及利用解释变量x「X2去预测因变量y，引入多元回归分析这一工具。 将给定x ii, X2条件下y的均值 E（y i 区凶）J?。「X i「2X2：（4.1）定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。定义% -E（y i |X iiXi）为误差项（error term ）,记为叫，即叫二y i - E（% |冷，X2J，这样y i =E（% |心凶）*，或 y i = - 0 ■ - 1 X1i ■ - 2 X2i 川= （4.2 ）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，X1,X2称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）;误差项」解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。 在总体回归模型（4.2 ）中参数r「1「2是未知的，7是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本（y i , X1i , x2i ）, i = 1,2,…，n，对（4.1 ）式进行估计，若E（y i | x1i , x2i）,■ 0,■ 1, '2 的估 A A A A 计量分别记为y i「o「1「2，则定义（4.3 ）式为样本回归函数 A A A A y i 八0 ：1 X1i ：2 X2i （i = 1,2/ , n ） （4.3 ） AAA