因式分解复习课学案[1]

因式分解复习课

（一）、本章知识归纳：

一、定义： 把一个多项式化成 的形式，叫做把这个多项式因式分解。（反复强调化成 的形式，而且要进行到每个因式都不能 为止） 二、常用的方法 （1）提公因式法

注意点：①公因式要提尽，先系数（最大公约数），再字母（指数最低次数） ②多项式的第一项系数为负数时，把“—”作为公因式写在括号外，使第一项系数为正。 （2）运用公式法（平方差、完全平方公式）

（3）十字相乘

（4）分组分解法：把各项适当分组，分组时要用到添括号：括号前面是“+”，括号里面各项都不变号；括号前面是“—”，括号里面各项都变号。分组通常可以二二分，一三分。

2

244:c a a -+-比如； 4x 2-2x-y 2+y

三、步骤

应先提公因式，注意要提尽，再应用公式。如果多项式为二项式考虑用 ；如果是三项式可以考虑用 如果是四项及以上的，可以先考虑 ，再分解。 （二）当堂练习：一、填空

1、分解因式：=++1442a a ，=-2

ab

a ____________.

2、3222231236b a b a b a +--的公因式是_____ 3.222224)(b a b a -+=_____________. 4.若)4)(2(2-+=++x x q px x ，则p = ，q = . 5、在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立： （1）2

2)()(y x x y -=

-； （2）)2)(1()2)(1(--=

--x x x x 。

6、简便计算：。

－=2271.229.7 7、若。

＝

，，则b a b b a ==+-+-01222 8、已知31=+a

a ，则2

2

1a

a +

的值是 。

9、如果。

，则=

+=+-==+2

22

2,3,

5y x xy

y x xy y x 10、若x 2-2mx +1是一个完全平方式，则m 的值为 ；

11、如果2a +3b =1,那么3-4a -6b = ． 12、若＝

，，则b a b b a =

=+-+-01222

二、选择题 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）

A 、bx ax b a x -=-)(

B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-

C 、)1)(1(12-+=-x x x

D 、c b a x c bx ax ++=++)(

2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(3

3

b b -+，那么这个多项式是（

）

A 、46-b

B 、64b -

C 、46+b

D 、46--b

3、下列各式是完全平方式的是（ ） A 、4

12+-x x

B 、2

1x +

C 、1++xy x

D 、122-+x x

三、分解因式

1、c b a c ab b a 233236128+-

2、241x -

3、1682++a a

4、2

(2)6(2)9a b a b ++++

5、2

2

44mn m n --- 6、2

2)(16)(4b a b a +--

7、n m n m -+-3922 8、2

2

x y ax ay -++

四、先分解因式,再求值：（8分）（1）25x(0.4－y)2－10y(y －0.4)2

,其中x=0.04,y=2.4．

（2）已知22==+ab b a ，，求3

2

232

12

1ab b a b a +

+的值

五、因式分解 1、533

5y x y x +- 2、2

2)(16)(4b a b a +--

3、228168ay axy ax -+-

4、234)(18)(3)(b a b a b a +-+-+

5、2

2

9

16216

9b

ab a

+

- 6 、 2

22

4)1(a a

-+

7 、25462

4+-x x 8、12422---y y x

六、（12分） 计算（1）502×498 （2）1022

（3）10099989721222222-+-+-

3、已知：1=+

y x ，2

1-

=xy ，利用因式分解求：2)())((y x x y x y x x +--+的值。

23、观察下列各式：（8分）

)1)(1(12

+-=-x x x

)1)(1(12

3++-=-x x x x

)1)(1(12

3

4

+++-=-x x x x x

（1）根据前面的规律可得)1(1-=-x x

n

。

（2）请按以上规律分解因式：2008

1x - 。

整式和因式分解复习教案

整式和因式分解复习教案 一、知识回顾 1、整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。和都统称为整式。 2、整式的加减： ?同类项概念 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别对应相同的几个单项式叫同类项。 ?合并同类项法则 将多项式中的同类项合并为一项，叫做合并同类项。合并时，将系数相加，字母和字母指数不变。 例如：合并为。 ?整式的加减 就是单项式和多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项来完成。 例如， 3、整式的乘法： ?同底数幂的乘法 底数是相同的幂即为同底数幂。 同底数幂相乘，底数，指数。 即，（m，n为正整数），如 ?幂的乘方：底数不变，指数相乘。即（m，n为正整数），如 ?积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘 用字母表示为：（n为正整数），如 ?单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如：

?单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如： ?多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如： 4、整式的除法： ?同底数幂相除： 底数不变，指数相减。公式为： 规定：任何数的0次幂都等于1. ?单项式相除： 把系数与同底数幂分别作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ?多项式除以单项式： 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商想加。 5、乘法公式 完全平方公式： 三数和平方公式： 平方差公式： 立方和公式： 立方差公式： 完全立方公式： 欧拉公式： 6、因式分解

七年级数学下册《9.6因式分解(二)(第1课时)》教案苏科版

9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）（第一课时） 一、教学目标： 1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。 2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。 3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式 4、培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力，感悟换元的思想方法。 二、教学重难点： 重点：运用平方差公式分解因式，提高运用公式的熟练性和运算的准确性。 难点：掌握分解因式与整式的乘法的区别。 三、教学方法： 对比发现法，讲练结合，探索交流。 四、教学过程： （一）创设情境，感悟新知 提问 992-1是100的倍数吗？你是怎么想的？请说说你的想法。 （学生或许还有其他不同的解决方法，直接计算出结果，应予以给予充分的肯定）（二）探索活动，揭示新知 问题一为什么992-1可以写成（99+1）（99-1）？依据是什么？ 问题二判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？ 如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数。） 问题三类似地要判断992－1是100的整数倍呢？（可以想到尝试分解。）992-1还可以是哪些正整数的倍数？ 问题四我们已能把“992-1”化成几个因数的积的形式，9992－1可以吗？你能把“a2-1”化成几个整式的积的形式吗？ （让学生能实现从数到式的过渡，培养学生类比“992-1”与“a2-1”）

问题五你能把“a2-4”“a2-b2”“9a2-b2”化成几个整式的积的形式吗？ 问题六计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示） 1、整体计算可以怎样表示？ 2、分割成如图两部分可以怎样计算？ 3、比较两种计算的结果你有什么发现？ (a+b)(a－b)=a2－b2或 a2－b2=(a+b)(a－b) 做一做让学生比较练习一和练习二的区别与联系，教师并总结： 事实上，把乘法公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 反过来，就得到 a2-b2=（a+b）（a-b） （两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。） 像这样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。 总结平方差公式的特点： （1）左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。 （2）右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。 （3）在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。 （三）例题分析，领悟新知 例1 把下列多项式分解因式： （1）36－25x2（2）16a2－9b2 分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键。 运用平方差公式因式分解的一般步骤是：

鲁教版初二(上)数学第39讲：因式分解方法(1)(学生版)

因式分解方法（1） __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解因式分解的定义； 2. 掌握提取公因式法.公式法.分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式. 1.分解因式 （1）把一个多项式化成几个整式的__________,这种变形叫做把这个多项式分解因式。 （2）因式分解与整式乘法是互逆关系。 注意：因式分解与整式乘法的区别和联系: ①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式； ②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。 2.提公共因式法 （1）如果一个多项式的各项含有________,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: ab＋ac＝a（b＋c）（2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c） 3.运用公式法 （1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （2）主要公式： ①平方差公式：____________________ ②完全平方公式: ____________________ (3)易错点： 因式分解要分解到底。如就没有分解彻底。 4.因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先______________； (2)再看能否使用公式法；

整式的乘法与因式分解复习教学设计

第14章整式的乘法与因式分解复习教学设计 知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则。 过程与方法： 会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式 情感态度与价值观： 培养学生的独立思考能力和合作交流意识 教学重点：记住公式与法则 教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解 教学过程 一、知识网络结构图 二、典型例题 整式的乘法 整 式的乘除与因式公解 幂的运算法则 同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋ n (m ，n 都是正整数) 幂的乘方法则：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数) 积的乘方法则：(ab )n ＝a n b n (n 是正整数) 单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分 别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加 多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 同底数幂的除法法则：a m ÷a n ＝a m － n (a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n ) 零指数幂的意义：a 0＝1(a ≠0) 单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把 所得的商相加 乘法公式 平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 整式的除法 因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 方法 公式法 平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ) 完全平方公式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2 a 2－2a b ＋b 2＝(a －b )2

因式分解第一课时教学设计蒙裕劲

14．3因式分解（14.3.1提公因式法）引入： 师：前几节课，我们学习了单项式乘以多项式；以及多项式乘以多项式的运算。请你快速地写出来。 生： 1．m a b ma mb； 2． a b p q ap aq bp bq； 师：看屏幕，你写对了吗？ 师：我们知道，单项式和多项式统称为整式！因此，这两个运算公式，我们可以统称为整式的乘法！同意吗？ 【环节一】：因式分解与整式乘法是互逆的变形 师：现在，老师把这两个公式倒过来，得到： 3．ma mb m a b ； 4．ap aq bp bq

a b p q ； 师：如果1和2式称为整式的乘法，那么请问，3和4称为什么运算呢？这种运算又是如何展开的呢？ ——这就是我们这节课要学习的知识！ （板书：14.3因式分解） 师：回到刚才的问题：如果1和2式称为整式的乘法，那么请问，3和4称为什么运算呢？ 生：因式分解！ 师：正确！这也正是我想告诉你们的！ 师：关于因式分解，现在我提出第一个问题：请你告诉我因式分解跟整式乘法的关系。 生：互逆关系！ 师：好，大家认同吗？ 师：本节课的第一个大问题已经解决，写一下： 3．ma mb m a b ；（在箭头上写因式分解，箭头下写整式乘法） 4．ap aq bp bq a b p q

；（在箭头上写因式分解，箭头下写整式乘法）——设计意图：关于因式分解的定义我认为有两大需要学生深入理解的：一是定义本身，二是因式分解这种运算跟其他运算之间的关系。先讲运算关系更加自然，同时也遵循由浅入深的认知规律。 【环节二】：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 师：通过这个阶段的学习，我们知道了因式分解跟整式乘法是互逆的两种运算，那么，什么叫做因式分解呢？ 请你观察3和4这两式子，看看等号的左右两边的多项式有什么共同特征？生：等号的左边一个多项式，右边是两个多项式的乘积！ 师：对！用一句话就是：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。” 师：这就是因式分解的定义！ 板书：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 xx！ 课堂练习一、判断下列计算是不是因式分解： 1．6x4y32x3y3xy2 ； 2．x21x x 1 ；

第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

第八讲 因式分解（添拆项与最值） 知识点回顾： 1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法： （1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式： ()()b a b a b a -+=-2 2 ； 完全平方公式：222b ab a ++=()2 b a +和)(b a b ab a -= +-2 222 （3）十字相乘法：对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使, ,a b p a b q +=???=? 则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++． 注：若q 为正，则a ，b 同号；若q 为负，则a ，b 异号； 立方和差公式： 典型例题： 例1（1）计算 29982 +2998×4+4= 。 （2）若442 -+x x 的值为0，则51232 -+x x 的值是________。 例2：分解因式： 2 2 288a axy a y x -+ 4a 2(x -y )+9b 2(y -x ) 例3：已知a –b = 1 ，252 2 =+b a 求ab 和a+b 的值。 例4 代数式2x 2+4x+5有最 值，是 ；﹣x 2 +3x 有最 值，是 例 5 题目：分解因式：x 2﹣120x +3456． 分析：由于常数项数值较大，则常采用将 x 2﹣120x 变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． （1）x 2﹣140x +4875 （2）4x 2﹣4x ﹣575． 三、强化训练： 1、已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 . 2、分解因式： (2a -b )2-(a +b )2 -3ma 3+6ma 2-3ma a 2(m -n )+b 2 (n -m ) 4416n m - （8）4224817216b b a a +- 4、已知：a=2999，b=2995，求65522 2 -+-+-b a b ab a 的值。 5、利用因式分解计算 ?? ? ??-??? ??-??? ??-??? ??-??? ?? -2222211......511411311211n 6、已知a 为任意整数，且()2 2 13a a -+的值总可以被n 整除(n 为自然数，且n 不等于1)，则n 的值为 。 7、已知x(x-1)-(y x -2 )=-2, xy y x -+2 2 2的值。 8、把下列各式分解因式： （1）4x 3﹣31x +15； （2）2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2﹣a 4﹣b 4﹣c 4； （3）x 5+x +1； （4）x 3+5x 2+3x ﹣9；

因式分解复习课教学案

因式分解复习课 朱河中学仝国然 【教学目标】： 1、通过研读“回顾与反思”清晰地梳理本章的知识结构并熟记各知 识点 2、能理解因式分解的概念并能正确判别 3、会用提公因式法、运用公式法来分解因式 4、因式分解中提公因式和公式法的综合运用 【教学重难点】： 重点：熟练运用两种方法来进行因式分解 难点：因式分解中提公因式和公式法的综合运用 【导学流程】： 一、引入 1、什么叫做因式分解？ 2、因式分解我们学了几种方法？ 3、因式分解中的平方差公式、完全平方公式是怎样的？ 4、它们与整式的乘法中的公式有什么联系？ 二、基础感知 （一）专项突破之一：对因式分解的理解 判断：下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的请在括号内打“√”，否则打“×”. （1）ac +) (（） = a+ ab c b （2）2 22 2 ± = ±（） a+ b (b ab a )

（3） x x x x x 3)2)(2(342+-+=+- （ ） （4）)3)(3(92-+=-x x x ． （ ） （二）、专项突破之二：提公因式法归类练习 提单项式 a a a x x x 212624212323+--+、、 提“一”号 3、-3x 3y+6x 2y 2-12xy 3 4、-a 2b 2+2abc 2-3abc 公因式是多项式： )(2)(6)(2)(5x y y x x y x y x x -+-+-+、、 （三）、专项突破之三：平方差公式 基本型练习： 2236281 1x a --、、 两个数都是单项式： 2 222 225 3644193y x a b a --、、 两个数都是多项式： 222 2)(16)(496)2()2(5b a b a y x y x +--+-+、、 （四）、专项突破之四：完全平方公式

1、因式分解

第1讲 因式分解(1) 【竞赛导航】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 本讲主要涉及用提公因式法和公式法分解因式. 一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 二、把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有： 平方差公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b ) 完全平方公式： a 2 ±2a b+b 2=(a ±b )2 推广公式：a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2 立方和、立方差公式: a 3±b 3=(a ±b )( a 2 μa b+b 2) 和（差）的立方公式：33223)(33b a b ab b a a ±=±+± 补充：欧拉公式： a 3+b 3+c 3 = (a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc ) +3abc ])()())[((2 1222a c c b b a c b a -+-+-++=+3abc 特别地：（1）当a +b +c =0时，有a 3+b 3+c 3=3abc （2）当0=c 时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 【典例解析】 例1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213；（2）)(2)(2)(223a b ab a b a b a a ---+- 例2. 计算：1368 987521136898745613689872681368987123?+?+?+? 例3. 不解方程组23532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

第四讲因式分解(一)

第四讲 因式分解(一) 一、分组分解 例1：分解因式 1.322392727x ax xa a -+- 2.221 1 94n n y x x -+- 练习： 1.已知ABC ?的三边满足4222240a b c a c b +--=，试判定ABC ?的形状. 2.已知正整数a 、b 、c 满足27a ab ac bc --+=，求a c -的值 3.已知正数a 、b 、c 满足ab a b bc b c ac c a a ++=++=++=， 求 (1)(1)(1)a b c +++的值 例2：分解因式： 1.22536x xy x y y ++++ 2.2231092x xy y x y --++-

练习：分解因式 1.2225326x xy y x y +--+ 2.226136x xy y x y +-++- 二、换方法分解因式 例3：分解因式 1.(1)(2)(3)(4)24x x x x ++++- 2.2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++ 练习：分解因式 1.2(1)(3)(5)12x x x -+++ 2.2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+ 3.42424(41)(31)10x x x x x -++++ 例4：分解因式 432653856x x x x +-++

例5：分解因式 2222222x y y z z x x z y x z y xy -+-+++ 练习：分解因式 1.22223345a b c ab ac bc +++++ 2.222222444222a b a c b c a b c ++--- 例6：分解因式 2()(2)(1)x y zxy x y xy +++-+- 练习：分解因式 1.21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 2.444()x y x y +++

因式分解复习课教学设计

因式分解复习课教学设计 教学目标： 1.掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2.经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法. 教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 教学过程： 一、引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.也叫做把多项式分解因式。 二、知识点详解 知识点1 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】（1）弄清因式分解的对象和结果。(2)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(3)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

小练笔：下列变形是否是因式分解？为什么？ (1)3x2y-xy+y=y(3x2-x+1)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2； (3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n. 怎样把一个多项式分解因式？ 知识点2 提公因式法 多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是 m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1). 典例剖析师生互动 例1 用提公因式法将下列各式因式分解. (1) -x3z+x4y； (2) 3x(a-b)+2y(b-a)； 分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a 化成-(a-b)，然后再提取公因式. 小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题： (1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能

因式分解专题复习及讲解(很详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解学案02-提取公因式法同步练习08

因式分解学案02-提取公因式法同步练习08 板块二：提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法： 系数——取多项式各项系数的最大公约数； 字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例 1】 分解因式： ⑴ad bd d -+； ⑵4325286x y z x y - ⑶322618m m m -+- ⑷23229 632x y x y xy ++ 【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+- 【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+- 【例 2】 分解因式 ⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+- ⑵346()12()m n n m -+- 【巩固】 分解因式： ⑴55()()m m n n n m -+- ⑵()()()2a a b a b a a b +--+ 【巩固】 分解因式： ⑴2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+- 【巩固】 化简下列多项式：()()()() 23200611111x x x x x x x x x ++++++++++

【例 3】 分解因式： ⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数) 【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数. 【例 4】 (2005年长沙市中考题) 先化简再求值，()()()2y x y x y x y x +++--，其中2x =-，12y =． 【巩固】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-. 【例 5】 已知：2b c a +-=-，求2222 1 ()()(222)33333a a b c b c a b c b c a --+-+++-的值. 【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.

因式分解复习课1说课

分解因式复习（一）说课稿 一.说教材 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 依据课标我确定本节课的 教学重点:综合应用提公因式法，公式法分解因式。 教学难点因为初一的学生的逻辑思维较弱，分解因式的方法又多，变化技巧又高，所以熟练灵活地运用分解因式的两种基本方法进行分解因式就成了本节课的难点。 （教法）分解因式是数学教学的难点之一，根据我们学校引发教学的总体要求，本节课我们先通过习题练习归纳分解因式的有关知识，区别于整式乘法。为了学生更好地掌握本节的内容，我们又采用“提供练习――引导观察――发现归纳”，让学生归纳出分解因式的注意事项，再通过适当的练习实践，及时消化巩固，让学生获取知识。 二、说学情。 在本节课之前，学生已经基本了解了分解因式与整式乘法运算之间的互逆关系，又学习了用提取公因式法和运用公式法分解因式，对因式分解的概念及意义有了初步的理解，这些都为本节课的学习奠定了必要的基础。 同时在上述学习中，还经历了逆向思维的训练，这又为本节课的学习做了能力和方法上的准备。但分解因式有时并不是单一方法的应用，而是多种方法的综合应用，这对于初一学生来说，有一定的难度。针对这种情况，学生主要采用“练习观察——思考讨论——发现归纳”合作探究的学习方式，总结出顺口溜，展开本节教学活动。 三、说模式 本节课在我校“引发教学”的模式指引下，根据我们数学学科的特点，我们也紧扣李建

最新湘教版七年级数学下册第三章因式分解复习学案

一、知识梳理 1、因式分解的概念 把一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下： ()ma mb mc m a b c ++=++ 注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3、运用公式法 把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+- 注意:①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、 一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清 a 、 b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把 二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

第9讲 因式分解(一)

第九讲 因式分解（一） 知识模块一、因式分解的概念 知识梳理： 因式分解m 因式分解整式乘积+1=x (1+ 1 x )不是因式分解 例1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A ．3ab (a +b )=3a 2b +3ab 2 B ．2x 2+4x =2x 2(1+ 2x ) C ．a 2?4b 2=(a +2b )( a ?2 b ) D ．3x 2?6xy +3x =3x (x ?2y )+3x 例2．（1）一个多项式分解因式的结果是(b 3+2)(2?b 3)，那么这个多项式是（ ） A ．b 6?4 B ．4?b 6 C ．b 6+4 D ．?b 6?4 （2）若多项式x 2+ax +b 可因式分解为(x +1)(x ?2)，求a +b 的值为 。 知识模块二、提公因式法

例3．(1)因式分解：8x3y2+12xy3z =4xy2( )+4xy2( ) =4xy2( + ). （2）因式分解：?14abc?7ab+49ab2c= 。 例4．（1）因式分解：2a(b+c)?3(b+c) =( )? (b+c)? ( )? (b+c) =( ? )? (b+c) （2）因式分解：3x(a?b)?6y(b?a)= ； （3）因式分解：m(x+y)+n(x+y)?x?y= ； （4）因式分解：x(a?b)2n+y(b?a)2n+1= ； 知识模块三、公式法 知识梳理 公式法：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法。（1）平方差公式：a2?b2=(a+b)(a?b)； （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2?2ab+b2=(a?b)2； （3）完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3；a3?3a2b+3ab2?b3=(a?b)3；（4）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)； （5）立方差公式：a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)。 例5．（1）因式分解：4a2?9 =( )2?( )2 =( + ) ( ? ) （2）因式分解：?a2+4ab?4b2 =?( ) =?[( )2?2( )?( )+( )2] =?( )2； （3）因式分解：?x3?2x2?x= ；

因式分解复习课优秀教案

因式分解复习课教学设计 【课型】复习课 【课时】1课时 【教材分析】《因式分解》这节课选自沪科版七年级下册第八章第四节，本节课的主要内容是运用提取公因式法、公式法、、十字相乘法、分组分解法进行因式分解。本节课是在学生学习了整式运算的基础上学的，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。学习分解因式在通分、约分、解高次方程以及三角函数等恒等变形中有直接应用。从中体会分解的思想、逆向思考的作用。因式分解这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。【学情分析】 七年级学生性格开朗，对新鲜事物较感兴趣，并且较易接受，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，从而引起学生的注意。学生在第三章刚学习过整式的运算，对互逆过程也有一定的感知。七年级学生已经具备了一定的自我学习能力，所以本节课中，应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与、勤于动手、积极探究如何选取合适的方法分解因式。 【教学目标】 知识与技能：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法，并能熟练运用。 数学思考：因式分解有哪些方法，如何正确运用这些方法 问题解决：熟练理解并运用四种方法来进行因式分解 情感态度：让学生了解事物间的因果关系 【教学难点】因式分解四种方法的综合运用 【教学方法】 教法：启发式教学法、讲授教学法 学法：自主探究法、小组合作法 【教学工具】投影仪PPT 教学过程】 一、复习导入 1、什么叫做因式分解？ 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2、下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由。 （1）x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2 （3）(3x－2)(2x+1)=6x2－x－2（4）4ab+2ac=2a(2b+c) 分析：（1）不是因式分解,因为右边的运算不是乘积的形式。 （2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式。 （3）不是因式分解,而是整式乘法。 （4）是因式分解。 二、想一想： 因式分解有哪些方法呢？ 提取公因式法、公式法、、十字相乘法、分组分解法 三、合作探究平台一： 把下列各式分解因式 (1)6x3y2-9x2y3+3x2y2解：原式=3x2y2(2x-3y+1) (2)p（y-x）-q（x-y）解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q) (3) x2－4y2 解：原式= x2-(2y)2=(x+2y)(x-2y)

7寒假课程初北师大版二数学第7讲：因式分解(1) 【学生版】

第七讲 因式分解概念及基本方法 知识点一 因式分解 【例题】下列式子中，因式分解正确的有 。（可以多选） A. B. C. D. E. x 4-1=(x 2+1)(x 2-1) F. 3x 2-6xy+3x=3x(x-2y) 知识点二：提公因式法 【例题】把下列各式分解因式 （1）8x 3y 2 +12xy 3 z =4xy 2( )+4xy 2 ( ) ) 11(1))(()21(4414 )3(43222 2 2x x x y x y x y x x x x y y y y -=--+=--=+---=--

=4xy2( + ) (2)2a(b+c)-3(b+c) =( )(b+c)-( )(b+c) =( - )(b+c) (3)12abc-9a2b2= (4)(x+3)2-(x+3)= 【例题】因式分解： （1）（x+y）2-3(x+y)= （2）x(a-b)2n+y(b-a)2n+1= （3）x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)= （4）m(x+y)+n(x+y)-x-y= 【练习】将－axy－ax2y2＋2axz提公因式后，另一因式是( ) A．xy＋x2y2－2xz B．－y＋x2y－2z C．y－xy2＋2z D．y＋xy2－2z 【练习】多项式－6ab2＋18ab2－12a3b2c的公因式是( ) A.－6ab2c B．－ab2 C．－6ab2 D．－6a3b2c 【练习】分解因式: （1）4q（1-p）3+2（p-1）2 （2）3m（x-y）-n（y-x） 知识点三：公式法

(1) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (2) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (3)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (4)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 【例题】把下列各式因式分解 （1）4a2-9 =( )2-( )2 =( + ）（ - ） (2)(x+m)2-(x+n)2 = [( )+( )][( )-( )] = (3)4x2+12x+9 =( )2+2( )( )+( )2 =( )2 (4)-a2+4ab-4b2 =-( ) =-[(a)2-2( )( )+( )2] =-( )2 【例题】把x3-2x2y+xy2分解因式，结果正确的是（） A.x(x+y)(x-y) B.x(x2-2xy+y2) C.x(x+y)2 D.x(x-y)2 【练习】分解因式： （1）x3-xy2= （2）27x2+18x+3=

(八年级数学教案)因式分解复习教案

因式分解复习教案 八年级数学教案 教学目标： 1?知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力. 2?过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法. 3?情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想. 教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式. 教具准备：多媒体课件（小黑板） 教学方法:活动探究法 教学过程： 引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这 种变形就是因式分解?什么叫因式分解？

知识详解

知识点1因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形. 例如： (2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验. 怎样把一个多项式分解因式？ 知识点2提公因式法 多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc二m(a+b+c就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m 所得的商像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b- 4ab+2a=2a(4ab-2b+1). 探究交流 下列变形是否是因式分解？为什么？ (1) 3x2y-xy+y二y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;

因式分解(第一课时)教学设计

14.3.1《提公因式法分解因式》教学设计 汉滨区河东九年制学校 韩飞 【学习目标】 1、了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系。 2、会用提公因式法进行因式分解。 3、经历因式分解的过程，提高学生的观察能力、逆向思维能力。 【学习重点】 用提取公因式法进行因式分解。 【学习难点】正确理解因式分解的概念，准确找公因式， 【学习过程】 一、情景导入 上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式，反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本节课我们一起来探究这种变形：《因式分解》 二、学生自学 出示自学指导（投影），完成以下问题： 1、 回忆：运用前两节所学的知识填空： （1）2（x ＋3）＝___________________； （2）x 2（3＋x ）＝_________________； （3）m （a ＋b ＋c ）＝_______________________. 2、探索：你会做下面的填空吗？ （1）2x ＋6＝（ ）（ ）； （2）3x 2＋x 3＝（ ）（ ）； （3）ma ＋mb ＋mc ＝（ ）2. 3.归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是 因式分解 （也叫做把这个多项式 分解因式 ） 4、下列各式从左到右的变形，哪是因式分解? （1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2． （5）36ab a b a 1232?= （6）??? ??+=+x a b x a bx

新浙教版七年级数学下册《因式分解》复习教案

第4章因式分解复习课 教学目标： 1、进一步巩固因式分解的概念; 2、巩固因式分解常用的三种方法 3、选择恰当的方法进行因式分解 4、应用因式分解来解决一些实际问题 5、体验应用知识解决问题的乐趣 教学重点：灵活运用因式分解解决问题 教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习 教学过程： 一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值 利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。 二、知识回顾 1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.（教师提问） 判断下列各式哪些是因式分解?（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系） (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解 2、.规律总结（教师讲解） 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:

(1).分解的对象必须是多项式. (2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).要分解到不能分解为止. 3、因式分解的方法 提取公因式法：-6x 2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念；公因式的求法 公式法 平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a 2+2ab+b 2=(a+b)2 4、强化训练 试一试把下列各式因式分解: (1).1-x 2＝（1＋x ）（1－x ） (2).4a 2+4a+1＝（2a+1）2 (3).4x 2-8x ＝4x(x-2) (4).2x 2y-6xy 2 ＝2xy(x-3y) 通过以上的复习，使学生对因式分解有一个更深层次的理解。 5、例题讲解 例1 分解因式 (1)－x 3y 3+x 2y+xy (2)6（x-2）+2x （2－x ） (3) 2224 25y x x (4)y 2+y+41 例2 分解因式 1、a 3-ab 2= 2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)= 3、(a+b) 2+2(a+b)-15= 4、-1-2a-a 2= 5、x 2-6x+9-y 2 6、x 2-4y 2+x+2y=