高考数学压轴题精编精解100题

个

个

高考数学压轴题精编精解

精选100题，精心解答{完整版}

1．设函数()1,12

1,23x f x x x ≤≤?=?-<≤?

，()()[],1,3g x f x ax x =-∈，

其中a R ∈，记函数()g x 的最大值与最小值的差为()h a 。 （I ）求函数()h a 的解析式； （II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2

n n a a +<

（Ⅲ）若12

,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >?.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：

（1）2

1212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；

（2）(0)()14f f π==；（3）当0,

4x π

∈［］

时，()f x ≤2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．

4．设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(

2211=?a

y b x a y b x ，椭圆的离心率,23

=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；

（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列{}n a 中各项为： 12、1122、111222、 (111)

??????14243222n

??????14243 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

6、设1F 、2F 分别是椭圆22

154

x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？

若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.

8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数),(2)(2

R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程

0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。 （1）求实数b 的取

值范围；

（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求实数C 的取值范

围

10、已知函数,1)2

1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都有

).1()()(xy y x f y f x f ++=+ （1）若数列).(),(12,21}{*

2

11n n

n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1

31()111()51

(12+++++++n f n n f f f Λ的值.

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同

时满足①0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r , ②||MA uuu r = ||MB uuu r = ||MC u u u u r ③GM u u u u r ∥AB u u u r

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F , 0） ，已知PF u u u r ∥FQ uuu

r ,

RF u u u r ∥FN u u u r 且PF u u u r ·RF u u u r

= 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.

12．已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4

2sin(2tan )(2

π

αα+

?+=x x x f ，

数列{a n }的首项)(,2

1

11n n a f a a ==

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1； ⑶ 求证：),2(211

11111*21N n n a a a n

∈≥<++++++<Λ

13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()

111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111

321+=----Λ，证明：{}n a 是等差数列；

（Ⅲ）证明：

()23111123

n n N a a a *++++<∈L 14．已知函数()(),02

32

32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g

在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；

（II ）当2

1≥a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/

≤x g 的充要条件是43≤c ；

（2）若关于x 的实系数方程()0/

=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α

且1≤β的充

要条件是.4

1

2a a c -≤≤-

15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)

2n n n T -=。

①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得

()

()()2

12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？ 若存在，

求出a ，若不存在，说明理由。 16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的

[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n f m n f m =g ，且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'

()0

f x >恒成立。

（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；（Ⅱ）解关于x

的不等式：2

2f ??≥????

，其中(1,1).k ∈-

17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”． （I ）判断(

)1f x =，()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，

并说明理由；

（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三角形函数”；

（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值． （可以利用公式sin sin 2sin cos

22

x y x y

x y +-+=）

18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21=

+n

n n

S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1

23

n T n >-．

19、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。 （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式。 （III ）由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n }，求n

n n b b 1

lim +∞→的值。

20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，

点G 在MP 上，且满足0,2=?=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程； （II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS +=

是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，

求出直线l的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km,C在B的北偏东300，相距4km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s.

（1）求A、C两个救援中心的距离；（2）求在A处发现P的方向角；

（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.

22．已知函数||1

y x

=+，222

y x x t

=-++，

11

()

2

t

y x

x

-

=+(0)

x>的最小值恰好是方程320

x ax bx c

+++=的三个根，其中01

t<<．（Ⅰ）求证：223

a b

=+；

（Ⅱ）设

1

(,)

x M，

2

(,)

x N是函数32

()

f x x ax bx c

=+++的两个极值点．

①若

12

2

||

3

x x

-=，求函数()

f x的解析式；②求||

M N

-的取值范围．

23．如图，已知直线l与抛物线y

x4

2=相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）. （I）若动点M满足0

|

|2=

+

?，求点M的轨迹C；

（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F （E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

24．设.2

)

(

,

ln

)

(

),

(

2

)

(-

-

=

=

-

-

=

e

p

qe

e

g

x

x

f

x

f

x

q

px

x

g且

其中（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系；（II）若)

(x

g在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（III）证明：①)1

(

)

1(-

>

≤

+x

x

x

f；

②

)1

(4

1

2

ln

3

3

ln

2

2

ln2

2

2

2+

-

-

<

+

+

+

n

n

n

n

n

Λ（n∈N，n≥2）.

C

B

A

25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设021n

n

S b a =

+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11

11n n n c a a +=

+

+-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：123

n T n >-．

26、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果

函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=

∈-有且仅有两个不动点0、2，且1

(2)2

f -<-． （Ⅰ）试求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =g ，求证：1111

ln n n

n a n a ++-

<<-； （Ⅲ）设1

n n

b a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：200820071ln 2008T T -<<．

27、已知函数f （x ）的定义域为{x | x ≠ kπ，k ∈ Z }，且对于定义域内的任何x 、y ，有f （x - y ） =

f (x )·f (y )＋1

f (y )－f (x )

成立，且f （a ） = 1（a 为正常数），当0 < x < 2a 时，f （x ） > 0．（I ）判断f （x ）

奇偶性；（II ）证明f （x ）为周期函数； （III ）求f （x ）在[2a ，3a ] 上的最小值和最大值．

28、已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,

且满足230PM MQ +=u u u u r u u u u r r

，0RP PM ?=u u u r u u u u r .（Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ=u u u r u u u r ，且163AB ||=

29、已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x

6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C .

（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）求证：CF FB λ=u u u r u u u r

(λ∈R )；（Ⅲ）求MBC ?面积S 的

最大值.

30、已知抛物线2

:ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两

条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标； （II ）若点M 满足MA BM =，求点M 的轨迹方程.

31．设函数321()()3

f x ax bx cx a b c =++<<，其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线的斜率分别为0,a -．（Ⅰ）求证：01b

a

<≤

；（Ⅱ）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围；（Ⅲ）若当x k ≥时（k 是与,,a b c 无关的常数），恒有1()0f x a -+<，试求k 的最小值．

32．如图，转盘游戏．转盘被分成8个均匀的扇形区域．游戏规则：用力旋转转盘，转盘停止时箭头A 所指区域的数字就是游戏所得的点数（转盘停留的位置是随机的）．假设箭头指到区域分界线的概率为01.，同时规定所得点数为0．某同学进行了一次游戏，记所得点数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．（数学期望结果保留两位有效数字）

33．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22

22

162x y m m

+=(0)m >的左，右焦点． （1）当P C ∈，且210PF PF =u u u r u u u r

g

，12||||8PF PF ?=时，求椭圆C 的左，右焦点1F 、2F ． （2）1F 、2F 是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知2F e 的半径是1，过动点Q 的作2F e 切线QM ，使得12QF =（M 是切点），如下图．求动点Q 的轨迹方程．

34．已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．

（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；

Q （x ，

M

F 1

F 2

O

y

x

（3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *

∈恒成立，求m 的取值范

35．已知集合{}121212()00D x x x x x x k =>>+=，，，（其中k 为正常数）．

（1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）求证：当1k ≥时不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112

(

)()()2k x x x x k

--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的2k 的范围． 36、已知椭圆C ：22

a

x ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直

线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜

率K ON ；

（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：OM ＝cos θ＋sin θ成立。

37、已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。 （

1

）

求

曲

线

C

的

方

程

；

（

2

）

过

点

.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线

①当m 求直线时,1=λ的方程；②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。

38、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数

x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ．

（1）求数列}{n a 的通项公式． （2）若n k n

a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．

（3）设},2{},,{*

*

∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项

R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010<

式.

39、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，1

23

,22

a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其