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8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)学生版

8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)学生版
8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)学生版

教学内容概要

教学内容【知识精讲】

一、函数对称性

1、函数的自对称问题

已知函数()y f x =图像关于:

(1)直线x a =对称,则()f x =()2f a x -;

(2)点(),a b 对称,则()()22f x b f a x =--,即()()22f x f a x b +-=。

2、函数的互对称问题

若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于:

(1)x 轴对称,则()()g x f x =-;

(2)y 轴对称,则()g x =()f x -;

(3)原点对称,则()()g x f x =--。

(4)()y f x =与()y g x =的图象关于直线x a =对称?()()f a x g a x +=-;

(5)()y f x =与()y g x =的图象关于直线y b =对称?()()2f x g x b +=;

(6)()y f x =与()y g x =的图象关于点(),a b 对称?()()2f a x g a x b ++-=;

(7)()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称?()f x 和()g x 互为反函数。

二、函数图像变换

注意:一切变换针对于变量本身

(1)平移变换:

ⅰ.函数)(x f y =的图象 函数)(a x f y +=的图象;

ⅱ.函数)(x f y =的图象 函数b x f y +=)(的图象;

(2)伸缩变换: ⅰ.函数)(x f y =的图象 函数)(x k f y ?=的图象; ⅱ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f k y ?=的图象;

(3)对称变换:

ⅰ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象;

ⅱ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象;

ⅲ.函数)(x f y =的图象 函数)(x f y --=的图象;

《函数对称性的解题方法归纳》

函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性,函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质,而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜,对于解决其它问题也很有帮助,同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在,)7()7(x f x f +=-,且在闭区间[0,7]上只有0)3()1(==f f (1)试判断函数)(x f y =的奇偶性; (2)试求方程0)(=x f 在闭区间[-2005,2005]上根的个数并证明你的结论。 分析:由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得:函数图象既关于x =2对称,又关于x =7对称,进而可得到周期性,然后再继续求解,而本题关键是要首先明确函数的对称性,因此,熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x =a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明(略) 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A (a ,b )对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明(略) 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1,定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A (a ,c )和点B (b ,c )成中心对称(b a ≠),则)(x f y =是周期函数,且b a -2是其一个周期。

函数的对称性

函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数:这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数,它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如|ln |y x =就没有对称性,而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线,其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定),对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性 ,我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

函数的图像与零点试题

高三数学函数的图像、零点 一:选择题 1.已知函数f (x )=x 2﹣2x+b 在区间(2,4)有唯一零点,则b 的取值围是( D ) A 、R B 、(﹣∞,0) C 、(﹣8,+∞) D 、(﹣8,0) 2.设,用二分法求方程在(1,3)近似解的过程中,f (1)>0,f (1.5)<0,f (2)<0,f (3)<0,则方程的根落在区间( A ) A 、(1,1.5) B 、(1.5,2) C 、(2,3) D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=,那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是( B ) (A ))31,0( (B ))2 1 ,31( (C ))32,21( (D ))1,3 2( 4.设函数,则函数y=f (x )( A ) A 、在区间(0,1),(1,2)均有零点 B 、在区间(0,1)有零点,在区间(1,2)无零点 C 、在区间(0,1),(1,2)均无零点 D 、在区间(0,1)无零点,在区间(1, 2)有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根,则21x x 的值为( B ) A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f (x )=2x +的一个零点.若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞),则( B ) A 、f (x 1)<0,f (x 2)<0 B 、f (x 1)<0,f (x 2)>0 C 、f (x 1)>0,f (x 2)<0 D 、f (x 1)>0,f (x 2)>0 解答:解:∵x 0是函数f (x )=2x +的一个零点∴f (x 0)=0 ∵f (x )=2x +是单调递增函数,且x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,+∞), ∴f (x 1)<f (x 0)=0<f (x 2) 故选B . 7.如图是函数f (x )=x 2+ax+b 的部分图象,函数g (x )=e x ﹣f'(x )的零点所在的区间是(k ,k+1)(k ∈z ),则k 的值为( C ) A . ﹣1或0 B . 0 C . ﹣1或1 D . 0或1 解答:

分子结构和对称性

普化无机试卷(分子结构和对称性) 一、填空题 1. (1801) ClO 2F 的结构是 ,其点群是 。 2. (1802) 用VSEPR 理论判断H 2Se 和H 3O +的结构和点群分别是H 2Se 和H 3O + 。 3. (1804) 如果金属三羰基化合物分别具有C 3v 、D 3h 和C s 对称性,其中每一种在IR 光谱中的CO 伸缩振动谱带数各有 , 和 个。 4. (1806) PF 5分子和SO 32 -离子的对称群(若有必要,可利用VSEPR 理论确定几何形状)分别是 和 。 5. (1807) NH 4+中的C 3轴有 个,各沿 方向。 6. (1808) 二茂钌分子是五角棱柱形,Ru 原子夹在两个C 5H 5环之间。该分子属 点群, 极性(有、无)。 7. (1809) CH 3CH 3具有S 6轴的构象是 。 8. (1813) (H 3Si)3N 和(H 3C)3N 的结构分别是 和 ,原因是 。 9. (1814) 下列分子(或离子)具有反演中心的是 ,具有S 4轴的是 。 (1) CO 2,(2) C 2H 2,(3) BF 3,(4) SO 42 - 10. (1815) 平面三角形分子BF 3,四面体SO 42 -离子的点群分别是 和 。 11. (1817) 确定下列分子或离子的点群: (1) CO 32 - ;(2) SiF 4 ;(3) HCN ; (4) SiFClBrI 12. (1818) (1) 手性的对称性判据是 。

(2) NH2Cl,CO32-,SiF4,HCN,SiFClBrI,BrF4-中具有光学活性的是。 13. (1822) 分子中的键角受多种因素的影响,归纳这些因素并解释下列现象。 OF2< H2O AsF3 > AsH3 101.5?104.5?96.2?91.8? 14. (1829) 配离子[Cr(ox)3]3-(其中ox代表草酸根[O2CCO2]2-)的结构属于D3群。该分子(是、否)为手性分子。因为。 二、问答题 15. (1800) 绘出或写出AsF5及其与F-形成的配合物的分子形状(若需要,可使用VSEPR理论),并指出其点群。 16. (1803) 有关O2配位作用的讨论中认定氧有O2、O2-和O22-等三种形式。试根据O2的分子轨 道能级图,讨论这些物种作为配体时的键级、键长和净自旋。 17. (1805) 已知N、F、H的电负性值分别为3.04、3.98和2.20,键的极性是N—F大于N—H,但分子的极性却是NH3 >NF3,试加以解释。 18. (1810) (一) 试说明哪些对称元素的存在使分子没有偶极矩? (二) 用对称性判断确定下列分子(或离子)中哪些有极性。 (1) NH2Cl,(2) CO32-,(3) SiF4,(4) HCN,(5) SiFClBrI,(6) BrF4- 19. (1811) 长久以来,人们认为H2与I2的反应是典型的双分子反应:H2和I2通过侧向碰撞形成一个梯形活化配合物,然后I—I键、H—H键断裂,H—I键生成。请从对称性出发,分析这种机理是否合理。 20. (1812) 画出或用文字描述下列分子中对称元素的草图: (1) NH3分子的C3轴和σv对称面; (2) 平面正方形[PtCl4]2-离子的C4轴和σh对称面。 21. (1816) 确定下列原子轨道的对称元素: 轨道。 (1) s轨道;(2) p轨道;(3) d xy轨道;(4) d z2 22. (1819) H2O和NH3各有什么对称元素?分别属于什么点群? 23. (1820)

函数图象的对称变换

课题:函数图像的对称变换(2课时) 学情分析:相对于函数图象的平移变换,对称变换是学生的难点,对于具体函数,学生还有一定的思路,但结论性的结果,学生掌握的不是很好。 教学目标: (1) 通过具体实例的探讨与分析,得到一些对称变换的结论。 (2) 通过一定的应用,加强学生对对称变换结论的理解。 (3) 能数形结合解决想过题目。 教学过程: 欣赏图片,感受对称 一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。 1、(1)函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称; (2)函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称; (3)函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称. 2、奇函数的图像关于 对称,偶函数图像关于 对称. 3、(1)若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-,则 ()y f x =的图像关于直线 对称.

(2)若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--,则()y f x =的图像关于点 对称. 4、对0a >且1a ≠,函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线 对 称. 5、要得到()y f x =的图像,可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以 为轴翻折到x 轴上方,其余部分不变. 6、要得到()y f x =的图像,可将()y f x =,[)0,x ∈+∞的部分作出,再利用偶函数的图像关于 的对称性,作出(),0x ∈-∞时的图像. 二、学生先独立完成,再分析点评 2 3、函数x y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称. 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ,曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称,则C '的解析式为 . 5、设函数()y f x =的定义域为R ,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称. 6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-,且方程()0f x =恰好有四个不同实根,求这些实根之和为 . 二、典例教学 【例1】填空题: (1 (2)对于定义在R 上的函数()f x ,有下列命题,其中正确的序号为 . ①若函数()f x 是奇函数,则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称;②若对x R ∈,有

函数图像与零点

3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ,周期为2的周期函数,且当[)11x ∈-,时,2 ()1f x x =-;已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??,, , . 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-, 内公共点的个数为 . 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5.函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )=32 , 2,(1),02x x x x ????-<0,且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取 值范围是________. 答案:[1 2 ,1)∪(1,2] 9.已知函数y =f (x )和y =g (x )在[-2,2]的图象如下图所示:

则方程f [g (x )]=0有且仅有________个根,方程f [f (x )]=0有且仅有________个根. 解析:由图可知f (x )=0有三个根,设为x 1,x 2,x 3,- 2

北京--正弦函数图象的对称性(檀晋轩)CASIO

课题:正弦函数、余弦函数的图象和性质(五)——正弦函数图象的对称性 教材:人教版全日制普通高级中学数学教科书(必修)第一册(下) 授课教师: 北京市第十九中学 檀晋轩 【教学目标】 1.使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式,理解诱导公式x x sin )sin(=-π(∈x R )与x x sin )2sin(-=-π(∈x R )的几何意义,体会正弦函数的对称性. 2.在探究过程中渗透由具体到抽象,由特殊到一般以及数形结合的思想方法,提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3.通过具体的探究活动,培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力,增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】 正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线2π= x 对称和关于点)0,(π对称. 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】 计算机、图形计算器(学生人手一台). 【教学过程】 一、复习引入 1.展示生活实例 对称在自然界中有着丰富多彩的显现,各种对称图案、对称符号也都十分普遍(见下图).

2.复习对称概念 初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念: 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠,直线两侧的部分能够互相重合; 中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°,所得图形与原图形重合. 3.作图观察 请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象 (见右图),仔细观察正弦曲线是否是对称图形? 是轴对称图形还是中心对称图形? 4.猜想图形性质 经过简单交流后,能够发现正弦曲线既是轴对 称图形也是中心对称图形,并能够猜想出一部分对 称轴和对称中心.(教师点评并板书) 如何检验猜想是否正确? 我们知道, 诱导公式x x sin )sin(-=-(∈x R ),刻画了正弦曲线关于原点对称,而x x cos )cos(=-(∈x R ),刻画了余弦曲线关于y 轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发,如果我们能够用代数式表示所发现的对称性,就可以从代数上进行严格证明. 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.(板书课题) 二、探究新知 分为两个阶段,第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质,第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质. (一)对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段,实例分析——对正弦曲线关于直线 2π=x 对称的研究. 1.直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行 探索 请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 2 π=x 的图象,选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究(见右图),在直线2 π=x 两侧正弦函数值有什么变化规律? 给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流,最

函数零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能: 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系,掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2

解法一:代数解法 解:(1).因为()00e 0210f =+-=-<,()1 1e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选C. 二、 基础知识回顾 1.函数零点概念 对函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2.零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有()()0f a f b ?<,那么,函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+.

(完整word)高考专题函数对称性

函数对称性 一知识点精讲: I 函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称) 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明:函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y (满足00()f x y =)关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明:函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y (满足00()f a x y +=)关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --,Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上;反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

6若函数)(x f y =的定义域为R ,则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明:函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y (满足00()f a x y +=)关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---,Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上;反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析: 11x (log 2f 解析:)(x f -(log f 234 5 解析:的,故6、设y )2(x f =解析:)2(x f 是由2 1=x ,=x 7个实根之和为解析:)(x f y =的图象关于直线3=x 对称,故五个实根,有两对关于直线3=x 对称,它们的和为12,还有一个根就是3。故这5个实根之和为15,正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ,则下列命题中, ①若)(x f y =是偶函数,则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称; ②若)2(+=x f y 是偶函数,则)(x f y =图象关于直线2=x 对称; ③若)2()2(x f x f -=-,则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称; ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称, 其中正确命题序号为_______。 解析:①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称,②对③错若)2()2(x f x f -=-,则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称;④对正确答案为②④

函数的对称性完美

函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性,是函数性质的重要方面,它包括自身对称和两个函数图象之间的对称,理解掌握函数对称性,对数学问题的解决有很大的帮助,对也是数形结合思想的重要体现。 1.自身对称函数,函数图象本身具有对称轴或是对称中心,该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形,奇函数与偶函数是最典型的两类函数,其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到; 2.两个函数图象的对称,是指两个图形之间的关系,它们之间存在某种关联,即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称,研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点(互为反函数的两个函数图象)。 二、举例分析 例1. 设()f x 是定义在R 上的函数, (1)若对任意x R ∈,都有()()f a x f b x -=+成立,则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称; (2)若对任意x R ∈,都有()()22f x f a x b +-=,则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的:通过此题的学习,让学生明白一个道理,函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称,函数解析式()f x 应满足一关系式是什么,并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析: (1)要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上,()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????,即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地,当,a b 都为0时,就是偶函数的特征了。

利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6

利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时,应注重利用导数来研究函数图像与零点问题,复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用. 基础梳理 1.确定函数的图像 ①.特征点:零点,极值点,顶点,与y轴的交点; ②.特征线:渐近线,对称轴. 2.函数的零点 ⑵.求函数的零点的知识提示: ①.判别式; ②.介值定理; ③.单调性. 两个注意 ⑴.描绘函数的图像首先确定函数的定义域. ⑵.注意利用函数的图像确定函数的零点. 三个防范 ⑴.. ⑵.. ⑶. 常见函数的图像

⑴.函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像. ⑵.函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像. ⑶.函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像. ⑷.函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像. 双基自测 ⑴.画函数1ln y x x =--的图像. ⑵.画函数2x y e x =-的图像. ⑶.画函数x e y x =的图像. ⑷.画函数ln x y x = 的图像. ⑸.关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 .1 初等数学的方法能够解决的函数问题:定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题:值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴.画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像. 【练习1】画函数2x y x e =-的图像.

函数的零点问题

函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能: 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系,掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法: 1.函数零点反映了函数和方程的联系,函数零点与方程的根能相互转化,能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质; 2.让学生在自我解决问题的过程中,体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系,形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 (1).函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ). A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解:(1).因为()0 0e 0210f =+-=-<,()1 1e 12e 10f =+-=->, 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1.故选C. 二、 基础知识回顾 1.函数零点概念 对于函数()y f x =,把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 2. 零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有

三角函数图象的对称性

三角函数图象的对称性质及其应用 观察三角函数的图象,不难发现它们都具有对称性 ,虽然历届高考中关于三角函数图象的对称性问题屡有涉及,但教材中却是一个盲点。为此,本文谈谈三角函数图象的对称性质及其应用。 一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质1、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形; )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是:令1)sin(±=+?ωx ,得 2ππ?ω+=+k x )(Z k ∈,则ω ?π22)12(-+= k x ,所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π22)12(-+=k x ; )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是:令1)cos(±=+?ωx ,得π?ωk x =+)(Z k ∈,则ω?π-= k x ,所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω?π-=k x 。 例1、函数)62sin(3π+ =x y 图象的一条对称轴方程是( ) (A )0=x (B )32π=x (C )6π-=x (D )3π=x 解:由性质1知,令1)62sin(3±=+ πx 得262πππ+=+k x )(Z k ∈,即62ππ+=k x )(Z k ∈,取1=k 时,3 2π=x ,故选(B )。 例2、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 解:由性质1知, 令1)33cos(±=+ πx 得ππk x =+33)(Z k ∈,即93ππ-=k x )(Z k ∈,所以)3 3cos()(π+=x x f 的图象的对称轴方程是9 3ππ-=k x )(Z k ∈。 二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质2、函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的图象关于其与x 轴的交点分别成中心对称图形; )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是:令0)sin(=+?ωx ,得

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连 续性、凹凸性的考查。尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如二次函数的对称轴,反比例函数的对称性,三角 函数的对称性,因而考查的频率一直比较高。 对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念: ①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称, 该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的 中心对称,该点称为该函数的对称中心。 常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ①常数函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数:既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数:是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数:既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑥对数函数:既不是轴对称,也不是中心对称。 ⑦幂函数:显然幂函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称,对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中(kπ,0 )是它的对称中心,2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数:正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称,只需从ωx+φ=kπ中解出x,就是它的对称中心的横坐标,纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x,就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移,对称轴不 会改变,但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数:既是轴对称又是中心对称,其中x=kπ是它的对称轴,) 0,2 (k是它的对称中心。 (11 )正切函数:不是轴对称,但是是中心对称,其中)0,2 ( k是它的对称中心,容易犯错误的是可能有的同学会误以为对 称中心只是(kπ,0)。 对号函数:对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称,原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能 误以为最值处是它的对称轴。 三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 绝对值函数:这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=│lnx│就没有对称性,而y=│sinx│却仍然是轴对称。 二、函数的对称性猜测: 具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称,这是由函数定义决定的,因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为:设(x,y)为原曲线图像上任一点,如果(x,-y)也在图像上,则该曲线关于x轴对称;如果(-x,y)也在图像上,则该曲线关于y轴对称;如果(-x,-y)也在图像上,则该曲线关于原点对称;如果(y,x)也在图像上,则该曲线关 于y=x对称;如果(-y,-x)也在图像上,则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称 例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x),求该函数的所有对称轴。(任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4),正中间 2.5,从而该函数关于x=2.5对称) 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x),求该函数的所有对称轴。(按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0,可见偶函数是特殊的轴对称) 例8、如果f(x)为偶函数,并且f(x+1)=f(x+3),求该函数的所有对称轴。(因为f(x+1)=f(-x-3),按上例可以猜出对称轴x=-1,又因为它以2为周期,所以x=k是它所有的对称轴,k∈Z)②中心对称 例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6,求该函数的对称中心。(因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为(3.5,3),这就是它的对称中心)

专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)

专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一: 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,并作出函数图像。作图与根分布综合的题目,其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图,在作图的过程中还要注意渐近线的细节,从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +4)=f (x ),且在区间[2,4)上 题型二: 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点:考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数,在解此类问题时,要分为两层来分析,第一层是解关于()f x 的方程,观察有几个()f x 的值使得等式成立;第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应,将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系:即函数的零点?方程的根?函数图象的交点,运用方程可进行等式的变形进

而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图,便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数,再根据个数与()f x 的图像特点,分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应,从而确定()i f x 的取值范围,进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)=? ?? ??-x 3+3x 2+t , x <0,x ,x ≥0, t ∈R .若函数g (x )=f (f (x ) -1)恰有4个不同的零点,则t 的取值范围为________. 2、(2017南京、盐城二模)若函数f (x )=x 2-m cos x +m 2+3m -8有唯一零点,则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-

函数对称性

函数对称性 一 知识点 I 函数图象本身的对称性(自身对称) 若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称 推论1:的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 II 两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、与图象关于Y轴对称 2、与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、函数与其反函数图象关于直线对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 二典例解析: 1、定义在实数集上的奇函数恒满足,且时, ,则________。 2、已知函数满足,则图象关于__________对称。 3、函数与函数的图象关于关于__________对称。 4、设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。 5、设函数的定义域为R,且满足,则的图象关于__________对称。 6、设的定义域为R,且对任意,有,则关于__________对称,图象关于

__________对称,。 7、已知函数对一切实数x满足,且方程有5个实根,则这5个实根之和为() A、5 B、10 C、15 D、18 8、设函数的定义域为R,则下列命题中,①若是偶函数,则图象关于y 轴对称;②若是偶函数,则图象关于直线对称;③若,则函数图象关于直线对称;④与图象关于直线对称,其中正确命题序号为_______。

关于函数图像对称性问题

关于函数图像对称性的问题 胡春林 指导老师:刘荣玄 【摘要】函数图象的对称性反映了函数的特性,是研究函数性质的一个重要方面,函数图象的对称性包括一个函数图象自身的对称性与两个函数图象之间的对称性。 【关键词】函数图像对称性轴对称中心对称 一、函数自身的对称性的问题 函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是一个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,也是难点,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。 例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b 证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴2b-y = f (2a-x) 即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。 (充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。 故点P‘(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称,充分性得征。例题2 ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数, 且2| a-b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者,以下给出③的证明:

结构化学基础习题答案分子的对称性

04分子的对称性 【4.1】HCN 和2CS 都是直线型分子,写出该分子的对称元素。 解:HCN :(),C υσ∞∞; CS 2 :()()2,,,,h C C i υσσ∞∞∞ 【4.2】写出3H CCl 分子中的对称元素。 解:()3,3C υσ 【4.3】写出三重映轴3S 和三重反轴3I 的全部对称操作。 解:依据三重映轴S 3所进行的全部对称操作为: 1133h S C σ=,2233S C =, 33h S σ= 4133S C =,52 33h S C σ=, 63S E = 依据三重反轴3I 进行的全部对称操作为: 1133I iC =,22 33I C =,33I i = 4133I C =,5233I iC =,63I E = 【4.4】写出四重映轴4S 和四重反轴4I 的全部对称操作。 解:依据S 4进行的全部对称操作为: 1121334 4442444,,,h h S C S C S C S E σσ==== 依据4I 进行的全部对称操作为: 11213344442444,,,I iC I C I iC I E ==== 【4.5】写出xz σ和通过原点并与χ轴重合的2C 轴的对称操作12C 的表示矩阵。 解: 100010001xz σ????=-??????, ()1 2100010001x C ?? ??=-?? ??-?? 【4.6】用对称操作的表示矩阵证明: (a ) ()2xy C z i σ= (b ) ()()()222C x C y C z = (c ) ()2yz xz C z σσ= 解: (a ) ()()11 2 2xy z z x x x C y C y y z z z σ-?????? ??????==-?????? ??????--??????, x x i y y z z -????????=-????????-????

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