物理竞赛复赛模拟卷及答案

物理竞赛复赛模拟卷

1.试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系：

2. 在用质子)(11P 轰击固定锂)(73Li 靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2）

如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原

子核的质量如下：H 1

1

，；He 42，；Li 7

3，.

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态

氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？如果速度较大

而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这

种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为×10-27kg ，

电离能

J eV E 181018.26.13-?==。

4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，内放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

5. 两个完全相同的木板，长均为L ，重力均为

滑铰链A 相连，并通过光滑铰链与竖直墙相连，如示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何处所施加的最小外力为多大？

6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面内的多

根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、2……9，其

中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力P/2，点1

承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和4间杆的内力。

7. 一平直的传送带以速度v=2m/s 匀速运行，传送带把A 点处

的零件运送到B 点处，A 、B 两点之间相距L=10m ，从A 点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s ，能送到B 点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到B 点，要让零件用最短的时间从A 点传送到B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如

要把求得的速率再提高一倍，则零件传送时间为多少（2

/10s m g =）？

8. 一物体以某一初速度v 0开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s ，当其位移为

2/3s 时，所用时间为t 1；当其速度为1/3v 0时，所用时间为t 2，则t 1、t 2有什么样的关系？

9．一根长为1m 具有小内截面的玻璃管，两端开口，一

半埋在水中。在上端被覆盖后，把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。

10． 静止的原子核衰变成质量为m 1,m 2,m 3的三个裂片，它们的质量损为Δm 。若三裂片中每两片之间速度方向的夹角都是120°，求每个裂片能量。

11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n 1，液体对绿光的折射率为n 2。当容器壁的内、外半径之比r:R 为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

12.（1）用折射率为2的透明物质做成内半径、外半径分别为a 、b 的空心球，b 远大于a ，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图33-114所示是经过球心的截面图。

（2）如果外半径b 趋于a 时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？ 13.真空中有一个半径为R 的均匀透明球，今有两束相距n 的取值范围进行

讨论

（1）n 取何值时两束光一定在

球内相交？

（2）n 取何值时两束光一定在球外相交？

1p 图51-21

图11-505

v

1

2v 3

1

图12-31

（3）如果n 、d 、R 均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。 14．一点电荷+q 和半径为a 的接地导体的球心相距为h ，求空

间的电势分布。

15．电荷q 均匀分布在半球面ACB 上，球面的半径为R ，CD 为通过半球顶点C 与球心O 的轴线，如图41-91。P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧，离O 点距离相等的两点，已知P 点的电势为U p ，试求Q 点的

电势U Q 。

1.试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系： 证明：()

()2

2

22

22

c m mc c

p E υ-=-

∴ 20222E c p E += 读者可试为之，从202E E -入手证明它等于2

2c p 。

2. 在用质子)(11P 轰击固定锂)(73Li 靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2）

如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原

子核的质量如下：H 1

1

，；He 42，；Li 7

3，.

解：（1）核反应方程如下：

静质量 0M 1M 3M 2M 动 能 0E 1E 3E 2E 由总质量和总能量守恒： 由反应能Q 的定义得：

35.17=（兆电子伏特）

[其中：2

8272)/10997925.2()1066.1(1秒米千克???=?-c u

6

105.931?=兆电子伏特 =兆电子伏特]

（2）设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的α粒子（He 4

2

核），

应沿入射质子的方向对称分开，如图51-21所示。

由动量守恒定律有

矢量321,,p p p 合成的三角形，两底角皆为θ，又因32M M =，因而有 已知反应能Q=兆电子伏特，且

132E E E Q -+=其中11=E 兆电子伏特，可得 =（兆电子伏特）

即反应所生成的α粒子其能量为兆电子伏特。

α粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ，因此

由于ME P 22

=，得：

代入反应能Q 的定义式： 将上式中质量数改为质量比得

其中11=A ，432==A A ，代入上式：

所以 2

11

243

2cos E E E Q E --=

θ

所以 6185'=ο

θ

由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到He 4

2

的能量近似就是兆电子伏特。

3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的

最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问

这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为×10-27kg ，电离能

J eV E 181018.26.13-?==。

解：处于基态的氢原子能量为111

2?-=E E ，第二激发能量为.1

222?-=E E

被氢原子吸收

1

p 图51-21

的最小能量子为

我们必须求出在碰撞中能量损失为以上数值的最小速度。如果碰撞是完全非弹性的，则

碰撞中能量损失最大，碰撞后的速度将是.

2υ初动能和末动能之差为

这个值应等于最小的能量子 因此

在非弹性碰撞后，两个原子的速度为

本题第二间的解答与多普勒效应有联系。对于比光速小很多的速度，相对速度之比给出频率相对变化的极好近似。故有

两束光的频率按此比率稍小于或稍大于简正频率 4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，内放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

分析：如果对两个小球和无底圆筒分别隔离分析受力再列

方程组，较复杂，采取整体法较好。

解：根据物体平衡条件，列出以下方程： 选择两个小球作为研究对象，则在竖直方向上有

N-2G=0 (1)

以整体为研究对象，若翻倒必以A 为轴逆时针方向旋转，在临界态下对A 的力矩和为零。此时，系统受力情况为：两物体的重力，桌面对球支持力N ，筒的重力W ，它们对A 的力矩不为零，桌面对筒的支持力过A 点，力矩为零，故有

()()022≥-----=WR r R G G r R N M r A (2)

将1式代入2式有

若该圆筒倾倒必须有()r R R W G ->

2。

讨论：（1）从答案中可以看出，当G 大W 小，r 与R 很接近，就容易倾倒，这也符合重心高、支面小稳度就小的结论。

（2）如果是一个有底圆筒，则在没有其他力推它的情况下，就绝不会倾倒。请同学们想一想，这是为什么？

5. 两个完全相同的木板，长均为L ，重力均为G ，彼此以光滑铰链A 相连，并通过光滑铰链与竖直墙相连，如图11-245（甲）所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何处施加外力？所施加的最小外力为多大？

分析：要使两板均处于平衡状态，外力只能作用在板2上，作用点应位于铰链A 与板2

的重心之间，以便使板1的右端受到向上的作用力，方可使板1也处于平衡状态。为使作用

力最小，外力应与木板垂直。

解：如图11-245（乙）、（丙）所示。为使板1达水平平衡状态，其右端A 应受到向上的1F 作用，1F 的施力物体是板2左端。根据力矩平衡条件有

L

G L F 211?=

解之得

G F 211=

隔离木板2，其左端受到'1F （与1F 为作用力的反作用力）及重力mg 作用，为使板2呈水平且平衡，外力F 的作用点应在'1F 和

G

图

11-136

1

（乙）

（丙） 图11-245

的作用点之间。设F 作用点距A 为x ，选F 作用点B 为转轴，根据力矩平衡条件有

将

G

F 211=代入上式得 ??? ??-=?x L

G x G 2121 解之得

L x 31=

板2所受合力应为0，有

G G F F 231=

+=

点评：本题着重领会由结果或效果反推原因的思想方法，1F 和F 的方向及作用点均由此方法推出。本题两次使用隔离法。

6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、

2……9，其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力P/2，点1承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和4间杆的内力。

解： 由于点9可沿水平方向无摩擦滑动，故屋架在点9处所受外力只可能沿竖直方向，设为N 9。由于屋架所受外力N 9、P/2和P 均沿竖直方向，则屋架在点8所受的外力也只可能沿竖直方向，设其为N 9。

以整个屋架为对象，列各外力对支点8的力矩平衡方程，有

所以

29P

N =

N 9的方向竖直向上。又由整个屋架的受力平衡关系应有

所以

P N P

P N =-+

=982

N 8的方向竖直向上。

假设将绞接点5、6、7、9这部分从整个屋架中隔离出来，则这部分受到杆15、杆47、杆36的作用力，这几个作用力均沿与杆15平行的方向，设其以一个力T 表示，则这个力T 也必与杆15方向平行。此外，这部分还受到杆25的作用，设其为T 25，显然T 25的方向应

沿水平方向；这部分还受到支持力N 9的作用。这样，这部分就等效为受T 、T 25和N 9三个力的作用而平衡。则表示此三力的矢量构成一个封闭三角形，由前述此三力的方向关系可以确定，这一三角形只能是如图11-506所示的三角形，由此三角形可见，

杆25对点5的作用力方向水平向左，可见杆25中的内力为张力。

又假设取绞接点8为研究对象，它受到支持力N 8和杆82对它的作用力T 82和杆81对它的作用力T 81，由于此三力平衡，则N 8与T 82的合力必沿杆81的方向，可见应有

且T 82的方向应水平向右，即杆82的内力为张力。

再假设取绞接点2为研究对象，由以上分析知，其左、右两水平杆对它的作用力均为拉

力，其大小分别为P 和P/2。而另外只有杆24能对点2提供水平方向的分力，则为使点2在水平方向受力平衡，杆24作用于

点2的力必沿由2指向点4的方向，进而为使点2在竖直方向

上受力平衡，则杆12对点2的作用力必沿竖直向下的方向。

综合上述可得点2的受力如图11-507所示。

由图知

故得

P T 2224=

图11-505

9

N 25

图11-506

图11-507

即杆24中的内力为张力，其大小为P

22

最后以点4为研究对象，它受到与之相连的三根杆的三个力的作用。此三力应互相平衡。现以T 42、T 47、T 43表示这三个力，由于T 42的方向是确定的（杆42的内力为张力，则T 42必沿由点4指向点2的方向），而T 47、T 43又只能沿对应杆的方向，则此三力只可能取如图11-508所示的方向。由点4在水平方向的受力平衡，应有

所以 4247T T = 由点4在竖直方向的平衡，应有 =P

即杆43中的内力为张力，大小为P 。

7. 一平直的传送带以速度v=2m/s 匀速运行，传送带把A 点处的零件运送到B 点处，A 、B 两点之间相距L=10m ，从A 点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s ，能送到B 点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到B 点，要让零件用最短的时间从A 点传送到B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍，

则零件传送时间为多少（2

/10s m g =）？

分析：零件在传递带上加速运动，当零件与传送带的速度相等时，就与传送带一起作匀速运动，这就说明了传送带的速度大，它加速的时间长，由于传送带的长度一定，只要零件在这有限的长度内一直是加速的，在此加速过程中得到的最大速度也就是传送带要使零件一直加速具有的最小速度，若传送带的速度再加大，也不能使零件运送的时间变短。反过来看，若是零件以一定的初速度滑上传送带，它在传送带上运动的时间有一个最大值和最小值，显然，最小值就是它在传送带一直是加速的，而最大值就是零件在传送带上一直是减速的，同

样地，减速过程中对于传送带的速度也有一个临界值，当传送带小于这个临界值时，零件到达传送带另一端的时间不会变。这两个临界值是值得注意的。

解：零件的初速度为零，放在传送带上，受到传送带对它的滑动摩擦力，提供它作加速运动所需要的外力，即,ma mg f ==μg a μ=。若零件一直是加速，到达B 点的速度为t v ，

由题意可知

2t

v L t =

，

s m s m s m t L v t /2/6.3/61022>=?==

。

显然这是不可能的，当零件与传送带的速度相等时，它们之间的滑动摩擦力消失，零件

与传送带一起作匀速运动，由题意可知t v a v L a v =-+22，代入数据后解得2

/1s m a =。

要使零件能较快地从A 点到达B 点，则零件在A 、B 之间应该一直加速，也就是零件到达B 点时的速度

带

v v Bm ≤，而

s m s m aL v Bm /52/10122=??==，s m v v Bm /52=≥带。

故最短的时间

s v L

t Bm

522min ==

若传送带的速率提高一倍，则零件传送的时间不变，这是因为零件一直是加速的，由于加速度和加速的距离一定，故运行的时间也就一定了，还是52s 。

8. 一物体以某一初速度v 0开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s ，当其位移为

2/3s 时，所用时间为t 1；当其速度为1/3v 0时，所用时间为t 2，则t 1、t 2有什么样的关系？

42

47

图11-508

v

1

2v 3

1v

解法一：设物体的加速度为a （大小），由速度公式得

有

a v t 320

2=

（1） 根据位移公式得

且

a v s 220=

此两式联立得

解之得 a v v t 30

201±

=

因为该物体运动的总时间

a v T 0

=，因此有T t <1，由此知1t 只能取

a v a v v t 00

2

013333?-=-

=

（2）

比较（1）、（2）式可知 21t t < 解法二：物体在1t 时间内的位移为

s

s 32

1= （3） 物体在2t 时间内的位移为

s

a v a v v s 98942312

02

0202==??? ??-= （9） 比较（3）、（4）式可知21S S <，因而其对应的时间应满足21t t <。

解法三：根据题意作出物体的v -t 图像如图12-31所示，显然，当经过时间2t 时，发生

的位移早已超过s

32

。原因是，根据图中ADO ABC ??~，由此可知，ABC ?表示的位移为

s 91，即在2t 时间内发生的位移为s

98，所以，21t t <。

9．一根长为1m 具有小内截面的玻璃管，两端开口，一半埋在水中。在上端被覆盖后，

把玻璃管提升起来并取出水面。问玻璃管内留下的水柱高度为多少。

解：埋入水中后，玻璃管中水柱为。取出水面时，有一小部分水流出。如留下的水柱高度为h ，水管内的空气压强可用玻意耳-马略特定律算出：

()()()h L L

P A h L A L P V V P P -=

-==

22/001

0 （1） 式中L=1m ，A 为玻璃管的截面。

玻璃管外的压强等于玻璃管内水柱和空气的压强之和。

()g

h h L L

P P ρ+-=

200 （2）

其中3

3/10m kg =ρ为水的密度。解此方程，得出.5.47475.0cm m h ==这从物理上看是可

接受的数值。

10．静止的原子核衰变成质量为m 1,m 2,m 3的三个裂片，它们的质量损为Δm 。若三裂片

中每两片之间速度方向的夹角都是120°，求每个裂片能量。

解： 由题建立如下坐标系图（51-1）

原子核衰变释放能量： 2

mc E ?=?

由能量守恒知：

23322221121

2121υ+υ+υ=

?m m m E

由轴方向动量守恒得： ∴ 32P P = 又由y 轴方向动量守恒得：

∴ 1322P P P =+

∴ 321P P P

== 又

m P E k 22

=

∴

32322212

1

2222m P m P m P mc +

+=? ∴

3132213

212

2

1

2m m m m m m m m m mc P ?+?+???=

∴

31322132212

11

2m m m m m m m m mc m P

E k ++?=

=

11.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为n 1，液体对绿光的折射率为n 2。当容器壁的内、外半径之比r:R 为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？

分析： 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C

点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射，因为题中未给出1n 、2n 的大小关系，故需要分别讨论。

解：（1）当21n n <时

因为是要求R r :的最小值，所以当1n <2n 时，应考虑的是图33-104中ABCD 这样一种

临界情况，其中BC 光线与容器内壁相切，CD 光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

设此时容器内壁半径为0r ，在直角三角形BCO 中，R r i /sin 02=。当0r r <时，C 处不可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当0r r >时，荧光液体中很多点发出的光都能

在C 处发生临界折射，所以只要满足

即可看到壁厚为零。

（2）当1n =2n 时

此时荧光液体发出的光线将直线穿过容器内壁，只要在CB 及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足的条件仍然是 1/1/n R r ≥

（3）当1n >2n 时

因为1n >2n ，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为?90的临界折射，因此当0r r =时，所看到的壁厚不可能为零了，当0r r >时，应考虑的是图33-105中ABCD 这样一种临界情况，其中AB 光线的入射角为90°，BC 光线的折射角为1r ，此时应该有

在直角三角形OBE 中有 OB OE r /sin 1=

因为图33-104和图33-105中的2i 角是相同的，所以0r OE =，即

图

33-105

图33-104

2υ

m 3图51-1

将

10n R

r =

代入，可得当 2/1/n R r ≥

时，可看到容器壁厚为零。

上面的讨论，图33-104和图33-105中B 点和C 点的位置都是任意的。故所得条件对眼的

12.（1）用折射率为2的透明物质做成内半径、外半径分别为a 、b 的空心球，b 远大于a ，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图33-114所示是经过球心的截面图。

（2）如果外半径b 趋于a 时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？

分析：（1）如图33-115所示，不被a 球吸收的极限光线是与a 球相切的光线AB ，因此被吸收掉的光束横截面积应该是以R 为半径的一个圆盘，面积为2

R S π=。利用折射定律和相关几何关系式不难求出R 而得解。

（2）在b 趋于a 的过程中，当b 减小到一定程度时，入射到b 球面上的所有光线折射后可能都会与a 球面相交，此时如果b 再度减小，则依据第（1）问计算出的结果就不能成立。

解：（1）如图33-115所示，CO 为穿过球心的光线，与CO 相距为R 的光线在b 球面折射后折射光线AB 恰好与a 球相切，则有

由折射定律 r n i sin sin =

所以 r nb R sin =

又因为

b a

r =

sin ，2=n

所以 a na R 2== 即被吸收掉的光束横截面积为2

2a π。

（2）在b 趋于a 达到一定程度时，从第（1）问的结果

可知，当b 减小到a na b 2==时，2

22a b ππ=，即入射到此空心球上的全部光线都将被吸

收掉，此时极限光线的入射角ο

90=i ，而R=b ，如图33-116所示。如果b 再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线（即入射角ο

90=i ）的折射线并不与内球表面相切，所以被吸收光束截面积为2

2a π的结论不再成立。被吸收光束截面积

此时为2

22a b ππ<，参见图33-117所示。

讨论：（1）本题第（1）问可以改为求经过空心球折射后的光束

在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有

AE 区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图33-115所示。与a 球相切的

光线AB 光b 球于D ，过E 点的光线入射角为ο

90，因折射率为2，所以该折射光线的折射

角为ο

45，即折射光线刚好交于b 球于F 点。设θ=∠DOF ，D 到直线OF 的距离为R '，且

θsin b R ='，

而出射光束截面积2

R S '='π。由几何关系易知r r '-=2θ，

即

)

arcsin(arcsin 2n b

a b a -=θ，所以可求出S '。

图33-115

图33-116

图33-117

图33-114

（2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线CO 越远的光线，在两球面上的入射角越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图33-118所示。设β角为光由介质射入空气的临界角，在ΔABO 中，有

nb b a r 1

)sin(sin =-=βπ，

又由r n i sin sin =，由图可知i b AD sin =。利用以上几个关

系式可得a AD =，故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积2

2a AD S ππ==''

点评：从本例的解答中可看出，正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。

13.真空中有一个半径为R 的均匀透明球，今有两束相距为2d(d ≤R)对称地（即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离）射到球上，试就球的折射率n 的取值范围进行讨

论

（1）n 取何值时两束光一定在球内相交？ （2）n 取何值时两束光一定在球外相交？

（3）如果n 、d 、R 均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。

分析：设当球的折射率为n 0时，两束光刚好交于球面上，如图33-123所示。令光线射入球中时的入射角为i ，折射角为r ，则由图中的几何关系有

又由折射定律有

由上两式解得

又由图中的几何关系可以得到

由上式可见，对于某一个确定的比值R d

，为使两光线刚好交于球面，球的折射率有一

个确定的值n 0与之对应。这样，我们可以假想，若球的实际折射率n 不等于n 0时，则两光线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同，即两光线不是交于球面上。当0n n >时，

两光线将比图示情况偏折得更厉害（图中角r 将更小），两光线的交点必在球内；当0n n <时，

两光线将比图示情况偏折得少一些（图中的角r 将大一些），两光线的交点必在球外。

若以R d 作为一个变量来讨论上述问题，由于1

0≤

，故由此确定的n 0的范围是

220≥>n 。

解：（1）当2≥n 时，对于任何R d

来说，都有0n n >，即不管球的半径和两光线间的距

离如何，两光线都必定在球内相交。

（2）当2

来说，都有0n n <，即不管球的半径和两光线间的距离

如何，两光线都必定在球外相交。

（3）对于任意给定的n 、R 和d ，则只需比较n 与n 0?

??? ?

?-+=220

122R d n 的大小即可确定两光线的交点是在球内还是在球外：

当0n n >时，两光线的交点在球内； 当0n n =时，两光线的交点在球面上；

图

33-118

图33-123

当0n n <时，两光线的交点在球外；

14．一点电荷+q 和半径为a 的接地导体的球心相距为h ，求空间的电势分布。 分析：此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况，此处导体是一导体球，而非平板。我们自然地猜想，球上的感应电荷可否用像电荷等效替代？若可以，该电荷应在何处？

解：在导体球面上，电力线与球面正交，从电力线会聚的趋势（如图41-85（a ））来看，感应电荷与-电荷q '-相当。据对称性，q '-应在z 轴上，设其距球心h '。如图41-85（b ）。

点电荷+q 与像电荷q '-在P 点的电势为 由球面上U=0，即r=a 处。U=0，有

上式含有参量q '与h '，因而问题化成能否找到两个参量q '和h '，使上式对于任意的θ都能满足。两边平方

()()

θθcos 2cos 222222222ah q h a q h h a q h a q '-+'='-+

要使此式对任意θ都成立，必须 得出q '和h '

其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在q 处，其对球内空间作用与感应电荷相同（第二组解并非其他书上所说的毫无意义，这一结果有很好的应用。虽然它看起来显而易见）。

球外空间电势为 球内空间电势为零。

讨论：若导体球绝缘，并且原来不带电，则当导体球放在点电荷q 的电场中时，球将感

应等量的正负电荷，球外空间的电场由点电荷q 及球面上的感应正负电荷共同产生。这时感应电荷的贡献，除了负电荷根据上面的讨论可由球内Z 轴上的象q '-代替外，还应有一个感应正电荷的像q '，为了保持球面等势，这个像的位置位于球心。那么

对于球面上任意一点 而a r =0，所以

从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷q 在球心的电势。实际上，由于球表面带电总量为零，这一点是显而易见的。

如果q 移到无限远，即∞→h ，同时增大q ，使在球心处的电场2

0/h kq E =保持有限。

这时，像电荷q '-的h a h 2

='无限趋近球心，但2

3/h q a h q =''保持有限，因而像电荷q '和q '

-在球心形成一个电偶极子，其偶极矩为

3

0034E a E k a h q P ρρρρπε==''=。

无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场0E ρ

可看作是均匀的。因此

一个绝缘的金属球在匀强电场0E ρ

中受到感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一

个处在球心，电偶极矩为03E K a ρ的偶极子。

15．电荷q 均匀分布在半球面ACB 上，球面的半径为R ，CD 为通过半球顶点C 与球心O

的轴线，如图41-91。P 、Q 为CD 轴线上在O 点两侧，离O 点距离相等的两点，已知P 点的电势为U p ，试求Q 点的电势U Q 。

分析：本题关键是将其转化为空间对称情形，而后用电势叠加原理求解。

图41-85（b ）

解：设想一匀匀带电、带电量也是q 的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均

匀带电球面，由对称性可知，右半球在P 点的电势'p U 等于左半球在Q 点的电势，即

0'

U U p = (1) 所以

'p p Q p U U U U +=+ (2) 而'

p p U U +正是两个半球同时存在时P 点的电势。因为均匀带电球壳内部各处电势都相

等，其值等于R q

k

2，k 为静电力恒量，所以得

R q

k

U U p p 2'=+ (3)

由(2)、(3)两式得

p Q U R q

k

U -=2

高中物理竞赛复赛模拟试题一

高中物理竞赛复赛模拟卷（一） 姓名 分数 (本试卷与模拟试卷沈晨卷相同) 1．（20分）设想宇宙中有1个由质量分别为m 1、m 2……m N 的星体1、2……N 构成的孤立星团，各星体空间位置间距离均为a ，系统总质量为M ，由于万有引力的作用，N 个星体将同时由静止开始运动。试问经过多长时间各星体将会相遇？ 2．（25分）（1）在两端开口的竖直放置的U 型管中注入水银，水银柱的全长为h 。若把管的右端封闭，被封闭的空气柱长L ，然后使水银柱作微小的振荡，设空气为理想气体，且认为水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相当于h 0水银柱产生的压强，空气的绝热指数为γ。试求水银振动的周期T 2。已知对于理想气体的绝热过程有γ PV =常数。 （2）在大气压下用电流加热1个绝热金属片，使其以恒定的功率P 获取电热，发现在一定的温度范围内金属绝对温度T 随时间t 的增长关系为4 /100)] (1[)(t t a T t T -+=。其中T 0、a 、t 0均为常量。求该金属片的热容量 C P 随温度T 变化的关系。 3．（20分）如图所示，当船舶抛锚时，要把缆绳在系锚桩上绕好几圈（N 圈），这样做时，锚桩抓住缆绳必须的力，经船作用于缆绳的力小得多，以避免在船舶遭到突然冲击时拉断缆绳，这两力比F 1:F 2，与缆绳绕系锚桩的圈数有关，设泊船时将缆绳在系锚桩上绕了5圈，计算比值F 1:F 2，设缆绳与锚桩间的摩擦因数2.0=μ。 4．（25分）速调管用于甚高频信号的放大，速调管主要由两个相距为b 的腔组成，每个腔有1对平行板，如图所示，初始速度为v 0的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统。要放大的高频信号以一定的相位差（1个周期对应于2π相位）分别加在两对电极板上，从而在每个腔中产生交变水平电场。当输入腔中的电场方向向右时，进入腔中的电子被减速；反之，电场方向向左时，电子被加速。这样，从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电子束。如果输出腔位于该电子束形成处，那么，只要加于其上的电压相位选择恰当。 输出腔中的电场将从电子束中吸收能量。设电压信号为周期T=1.0×10－ 9s ，电压U=0.5V 的方波。电子束的初始速度v 0=2.0×106m/s ，电子荷质比e/m=1.76×1011C/kg 。假定间距a 很小，电子渡越腔的时间可忽略不计。保留4位有效数字。计算：（1）使电子能叠加成短电子束的距离b 。（2）由相移器提供的所需的输出腔也输入腔之间的相位差。

26届物理竞赛复赛试题及答案

第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、填空（问答）题（每题5分，共25分） 1．有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。 2．海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中心的距离为0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字） 。 3．用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是 ；另一方面，即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是 。 4．在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E 0，所有电阻器的电阻值均为R 0，所有电容器的电容均为C 0，则图示电容器A 极板上的电荷量为 。 5．如图，给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度，使之开始运动。一学生利用角动量定理来考察此木块以后的运动过程：“把参考点设于如图所示的地面上一点O ，此时摩擦力f 的力矩为0， 从而地面木块的角动量将守恒，这样木块将不减速而作匀速运动。”请指出上述推理的错误，并给出正确的解释： 。 二、（20分） 图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连线OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令 c OA OP ，求桌面对桌腿1的压力F 1。

三、（15分） 1．一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u 作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。 。 2．若不考虑太阳和其他星体的作用，则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体，它们的质量分别为M 和m ，月心-地心间的距离为R ，万有引力恒量为G 。学生甲以地心为参考系，利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到月球相对于地心参考系的加速度为2R M G a m =；学生乙以月心为参考系，同样利用牛顿第二定律和万有引力定律，得到地球相对于月心参考系的加速度为 2R m G a e =。这二位学生求出的地-月间的相对加速度明显矛盾，请指出其中的错误，并分别以地心参考系（以地心速度作平动的参考系）和月心参考系（以月心速度作平动的参考系）求出正确结果。 四、（20分）火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度T 1、压强p 1的炽热高压气体在燃烧室内源源不断生成，并通过管道由狭窄的喷气口排入气压p 2的环境。假设燃气可视为理想气体，其摩尔质量为μ，每摩尔燃气的内能为u =c V T （c V 是常量，T 为燃气的绝对温度）。在快速流动过程中，对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体，可以认为它与周围没有热交换，但其内部则达到平衡状态，且有均匀的压强p 、温度T 和密度ρ，它们的数值随着流动而不断变化，并满足绝热方程C pV V V c R c =+（恒量） ，式中R 为普适气体常量，求喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。

物理竞赛复赛模拟卷

物理竞赛复赛模拟卷 1.μ子的电量q=-e(e=1.6×10-19C)，静止质量m 0=100MeV/c 2，静止时的寿命τ0=10-6s 。设在地球赤道上空离地面高度为h=104m 处有一μ子以接近于真空中光速的速度垂直向下运动。 1）、试问此μ子至少应有多大总能量才能到达地面？2）、若把赤道上空104m 高度范围内的地球磁场看作匀强磁场，磁感应强度B=10-4T ，磁场方向与地面平行。试求具有第1问所得能量的μ子在到达地面时的偏离方向和总的偏转角。 2. 热中子能有效地使铀235裂变，但裂变时放出的中子能量代谢较高，因此在核反应堆中石墨作减速剂。若裂变放出的中子动能为2.2MeV ，欲使该中子慢化为热中子（动能约为0.025eV ），问需经过多少次对撞？ 3. 半径为R 、质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重 物分别用细绳，AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡，如图11-205所示，已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向 AB 北 g

的夹角θ。 4. 火车以速度v 1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s 处 有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v 2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a ，要使两车不致相撞，则a 应满足的关系式为_____________________。 5．如图所示，有一个一端开口、一端封闭的长圆柱形导热容器，将其开口向上竖直放置。在气温为27℃、气压为760mmHg 、相对湿度为75%时，用一质量可不计的光滑薄活塞将开口端封闭。已知水蒸气的饱合蒸气压为26.7mmHg ，在0℃时为4.5mmHg 。（1）若保持温度不变，想通过在活塞上方注入水银加压强的方法使管内开始有水珠出现，那么容器至少为多长？（2）若在水蒸气刚开始凝结时固定活塞，降低容器温度，当温度降至0℃时，容器内气体压强为多大？ 6．一个静止的竖直放置的玻璃管，长为H=23cm ，粗细均匀，开口向下，其内有一段长为h=10cm 的水银柱，把长为L 0=10cm 的空气柱封闭在管的上端。设外界大气压强p 0=1.0×105Pa ，求当管以20m/s 2 的加速度上升时，管中封闭的

第中学生物理竞赛复赛理论考试试题

2018年第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2018年9月22日 一，（40分）假设地球是一个质量分布各向同性的球体。从地球上空离地面高度为h 的空间站发射一个小物体，该物体相对于地球以某一初速度运动，初速度方向与其到地心的连线垂直。已知地球半径为R ，质量为M ，引力常量为G 。地球自转及地球大气的影响可忽略。 （1）若该物体能绕地球做周期运动，其初速度的大小应满足什么条件？ （2）若该物体的初速度大小为v 0，且能落到地面，求其落地时速度的大小和方向（即速度与其水平分量之间的夹角），以及它从开始发射直至落地所需的时间。 已知对于2 040c b ac ， 有 322()b C c =-- ，式中C 为积分常数。 二，（40分）如图，一劲度系数为k 的轻弹簧左端固定，右端连一质量为m 的小球，弹簧水平水平，它处于自然状态时小球位于坐标原点O ；小球课在水平地面上滑动，它与地面之间的摩擦因数为μ。初始时小球速度为0，将此时弹簧相对于其原长的伸长记为-A 0 （A 0>0但是它并不是已知量）。重力加速度大小为g ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力 （1）如果小球至多只能向右运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下 A 0 应满足的条件； （2）如果小球完成第一次向右运动至原点右边后，至多只能向左运动，求小球最终静止的位置，和此种情形下 A 0 应满足的条件； （3）如果小球只能完成n 次往返运动（向右经过原点，然后向左经过原点，算 1 次往返） （4）如果小球只能完成n 次往返运动，求小球从开始运动直至最终静止的过程中运动的总路程。 三、（40 分）如图，一质量为M 、长为l 的匀质细杆AB 自由悬挂于通过坐标原点O 点的水平光滑转轴上（此时，杆的上端A 未在图中标出，可视为与O 点重合），杆可绕通过O 点的轴在竖直平面（即 x -y 平面， x 轴正方向水平向右）内转动；O 点相对于地面足够高，初始时杆自然下垂；一质量为m 的弹丸以大小为v 0 的水平速度撞击杆的打击中心（打击过程中轴对杆的水平作用力为零）并很快嵌入杆中。在杆转半圈至竖直状态时立即撤除转轴。重力加速度大小为 g 。 （1）求杆的打击中心到O 点的距离； （2）求撤除转轴前，杆被撞击后转过θ （0θπ<< ）角时转轴对杆的作用力 （3）以撤除转轴的瞬间为计时零点，求撤除转轴后直至杆着地前，杆端 B 的位置随时间t 变化的表达式 ()B x t 和 ()B y t ； （4）求在撤除转轴后，杆再转半圈时O 、B 两点的高度差。 四、（40 分）Ioffe-Pritchard 磁阱可用来束缚原子的运动，其主要部分如图所示。四根均通有恒定电流 I 的长直导线 1、2、3、4 都垂直于 x -y 平面，它们与 x -y 平面的交点是边长为2a 、中心在原点O 的正方形的顶点，导线 1、2 所在平面与 x 轴平行，各导线中电流方向已在图中标出。整个装置置于匀强磁场00B B k = （k 为 z 轴正方向单位矢量）中。已知真空磁导率为0μ 。 （2）电流在原点附近产生的总磁场的近似表达式，保留至线性项； （3）将某原子放入磁阱中，该原子在磁阱中所受磁作用的束缚势能正比于其所在位置的总磁感应强度tot B 的大小，即磁作用束缚势能tot V B μ= ，μ 为正的常量。求该原子在原点O 附近所受磁场的作用力； （4）在磁阱中运动的原子最容易从 x -y 平面上什么位置逸出？求刚好能够逸出磁阱的原子的动能

全国中学生物理竞赛——复赛模拟卷

物理竞赛模拟试题 1.试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系： 20222E c p E += 2. 在用质子)(11P 轰击固定锂)(7 3Li 靶的核反应中，（1）计 算放出α粒子的反应能。（2）如果质子能量为1兆电子伏特， 问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原 子核的质量如下：H 1 1 ，1.007825；He 42，4.002603；Li 7 3， 7.015999. 3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这 种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67×10-27 kg ，电离能 J eV E 181018.26.13-?==。 4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

物理竞赛复赛模拟卷及答案 (1)

物理竞赛复赛模拟卷 1.试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系： 2. 在用质子)(11P 轰击固定锂)(73Li 靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2） 如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原 子核的质量如下：H 1 1 ，；He 42，；Li 7 3，. 3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态 氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？如果速度较大 而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这 种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为×10-27kg ， 电离能 J eV E 181018.26.13-?==。 4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，内放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

第28届中学生物理竞赛复赛模拟试卷及答案

第28届中学生物理竞赛复赛模拟试卷及答案

第28 届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷 一、填空题．（本题共4小题，共25 分） 所示的电阻丝网络，每一小段电阻同为r ，两个端点A 、B 间等效电阻R 1=r 209153若在图1网络中再引入3段斜电阻丝，每一段电阻也为r ，如图2 所示，此时A 、B 间等效电阻R 2=r 3 2 2．右图为开尔文滴水起电机示意图。从三通管左右两管口形成的水滴分别穿过铝筒A 1、A 2后滴进铝杯B 1、B 2，当滴了一段时间后，原均不带电的两铝杯间会有几千伏的电势差。试分析其原理。图中铝筒A 1用导线与铝杯B 2相连；铝筒A 2用导线与B 1相连。 解答：本装置的几何结构尽管十分对称，但由于空气中离子分布及宇宙射线等因素的不确定性，使铝筒A 1、A 2的电势会略有不同。譬如，A 1的电势比 A 2高，由于静电感应，使A 1上方的水滴带负电，A 2上方的水滴带正电，带电 水滴分别滴入下方的铝杯后，使B 1杯带负电，由于B 1与A 2用导线相连，又使 A 2电势进一步降低，同理A 1电势则进一步升高，这又使A 1上方的水滴带更多 的负电，A 2上方的水滴带更多的正电，如此下去，使铝杯B 2的电势越来越高，B 1的电势越来越低，最终可使两铝杯间产生几千伏的电势差。当然，由于各种因素的不确定性，下次实验开始时，可能A 2的电势比 A 1高，最终使 B 1的电势比B 2的电势高几千伏。但A 1、A 2因偶然因素造成的电势差因上述正反馈效应而得到 放大却是不变的。 【点评】物理系统的对称性因某种原因受到破坏，这种现象称为对称破缺。对称破缺在物理学的许多分支及其他许多学科里已成为一个重要的概念。本题是这方面的一个例子。 3．受迫振动的稳定状态由下式给出)cos(?ω+=t A x ， 2 222204)(ωβωω+-= h A ，2 20arctan ω ωβω?--=。其中m H h =，而)cos(t H ω为胁迫力，m γ β= 2，其中dt dx γ-是阻尼力。有一偏车轮的汽车上有两个弹簧测力计，其中 一条的固有振动角频率为102727.39-=s ω，另外一条的固有振动角频率为 1' 05454.78-=s ω，在汽车运行的过程中，司机看到两条弹簧的振动幅度之比为7。 设β为小量，计算中可以略去，已知汽车轮子的直径为1m ，则汽车的运行速度 得分 阅卷 复 核

第十九届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A 、B 、C 为3个容器，D 、E 、F 为3根细管，管栓K 是关闭的．A 、B 、C 及细管D 、 E 中均盛有水，容器水面的高度差分别为1h 和1h 如图所示．A 、B 、C 的截面半径为12cm ，D 的半径为0.2cm ．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K ，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K ，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K 前，先将喷管D 的上端加长到足够长，然后拧开K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处． (1)．论证拧开K 后水柱上升的原因． (2)．当D 管上端足够长时，求拧开K 后D 中静止水面与A 中水面的高度差． (3)．论证水柱上升所需能量的来源． 二、 (18 分) 在图复19-2中，半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场， 磁场方向垂直纸面指向纸外，磁感应强度B 随时间均匀变化，变化率/B t K ??=(K 为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC 与半径OA 的夹角/4απ=．直线上有一任意点，设该点与A 点的距离为x ，求从A 沿直线到该点的电动势的大小． 三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l 的等边三角形的三个顶点处。C 为三角形的中心，三个质点的质量皆为m ，带电量皆为q 。质点 1、3之间 和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C 处时，其速度大小为多少？ 四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数．在图复19-4-1中，E 为电压可调的直流电源。K 为开关，L 为待测线圈的自感系数，L r 为线圈的直流电阻，D 为理想二极管， r 为用电阻丝做成的电阻器的电阻，A 为电流表。将图复19-4-1中a 、b 之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明．其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有某种气体（可视为理想气体），通过活塞6的上下移动可调节毛细管8中有色液注的初始位置，调节后将阀门10关闭，使两边气体隔开．毛细管8的内直径为d ．

高中物理竞赛复赛模拟试题(有答案)

复赛模拟试题一 1.光子火箭从地球起程时初始静止质量（包括燃料）为M 0，向相距为R=1.8×106 1.y.（光年）的远方仙女座星飞行。要求火箭在25年（火箭时间）后到达目的地。引力影响不计。 1）、忽略火箭加速和减速所需时间，试问火箭的速度应为多大？2）、设到达目的地时火箭静止质量为M 0ˊ，试问M 0/ M 0ˊ的最小值是多少？ 分析：光子火箭是一种设想的飞行器，它利用“燃料”物质向后辐射定向光束，使火箭获得向前的动量。求解第1问，可先将火箭时间 a 250=τ（年）变换成地球时间τ，然后由距离 R 求出所需的火箭速度。火箭到达目的地时，比值00 M M '是不定的，所谓最小比值是指火箭刚 好能到达目的地，亦即火箭的终速度为零，所需“燃料”量最少。利用上题（本章题11）的结果即可求解第2问。 解：1）火箭加速和减速所需时间可略，故火箭以恒定速度υ飞越全程，走完全程所需火箭时间（本征时间）为 a 250=τ（年） 。利用时间膨胀公式，相应的地球时间为 22 1c υττ- = 因 υ τR = 故 22 1c R υτυ - = 解出 () 1022 022 20210 96.0111-?-=??? ? ??-≈+ = c R c c R c c ττυ 可见，火箭几乎应以光速飞行。 （2）、火箭从静止开始加速至上述速度υ，火箭的静止质量从M 0变为M ，然后作匀速运动，火 箭质量不变。最后火箭作减速运动，比值00 M M '最小时，到达目的地时的终速刚好为零，火箭 质量从M 变为最终质量0M '。加速阶段的质量变化可应用上题（本章题11）的（3）式求出。 因光子火箭喷射的是光子，以光速c 离开火箭，即u=c ，于是有 2 1011???? ??+-=ββM M （1）

物理竞赛复赛模拟试题二

物理竞赛复赛模拟试题二 一、（ 24分）物理小组的同学在寒冷的冬天做了一个这样的实验：他们把一个实心的大铝球加热到某温度，然后把它放在结冰的湖面上（冰层足够厚），铝球便逐渐陷入冰内．当铝球不再下陷时，测出球的最低点陷入冰中的深度．将铝球加热到不同的温度，重复上述实验8次，最终得到如下数据： 实验顺序数12345678 热铝球的温 55708592104110120140度t /℃ 陷入深度h 9.012.914.816.017.018.017.016.8 /cm 已知铝的密度约为水的密度的3倍，设实验时的环境温度及湖面冰的温度均为 0℃．已知此情况下，冰的熔解热． 1．试采用以上某些数据估算铝的比热． 2．对未被你采用的实验数据，试说明不采用的原因，并作出解释．

二、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A、 B、C，用带有阀门K1、K2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差．初始时，阀门是关闭的，A中装有1mol的氦（He）,B中装有1mol的氪（Kr）,C中装有lmol的氙（Xe），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K1、K2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为 在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K，所吸收的热量均为，为普适气体常量． 三、（20分）图预19-5中，三棱镜的顶角为60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为的两个完全相同的凸透镜L1和L2．若在L1的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源，已知其像与对该光学系统是左右对称的．试求该三棱镜的折射率．

物理竞赛复赛模拟卷及答案

物理竞赛复赛模拟卷 1.试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系： 20222E c p E += 2. 在用质子)(11P 轰击固定锂)(7 3Li 靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2） 如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原 子核的质量如下：H 1 1 ，1.007825；He 4 2 ，4.002603；Li 7 3 ，7.015999. 3. 一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的 最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67×10-27kg ，电离能 J eV E 181018.26.13-?==。 4. 如图11-136所示，光滑无底圆筒重W ，放两个重量均为G 的光滑球，圆筒半径为R ，球半径为r ，且r

5. 两个完全相同的木板，长均为L ，重力均为G ，彼此以光滑铰链A 相连，并通过光滑铰链与竖直墙相连，如图（甲）所示。为使两木板达水平状态保持平衡，问应在何处施加外力？所施加的最小外力为多大？ 6. 如图11-505所示，屋架由同在竖直面的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为1、 2……9，其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力P/2，点1承受有竖直向下的压力P ，求绞接点3和4间杆的力。 7. 一平直的传送带以速度v=2m/s 匀速运行，传送带把A 点处的零件运送到B 点处，A 、B 两点之间相距L=10m ，从A 点把零件轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s ，能送到B 点，如果提高传送带的运动速率，零件能较快地传送到B 点，要让零件用最短的时间从A 点传送到B 点处，说明并计算传送带的运动速率至少应多大？如要把求得的速率再提高一倍， 则零件传送时间为多少（2 /10s m g ）？ 8. 一物体以某一初速度v 0开始做匀减速直线运动直至停止，其总位移为s ，当其位移为 2/3s 时，所用时间为t 1；当其速度为1/3v 0时，所用时间为t 2，则t 1、t 2有什么样的关系？ 图11-505 v 1 2v 3 1 图12-31 1 F （乙） （丙）

物理竞赛复赛模拟训练卷19

物理竞赛复赛模拟训练卷19 题1： 如图1所示，轻滑轮两边分别悬挂相同的托盘和砝码。系统处于静止状态时右边砝码挂在盘底上方L 处，然后右边砝码由于细线断裂而自由落下，已知每个托的 质量和砝码的质量都是M ，绳子与滑轮无摩擦且重量不计。求： （1）当右边砝码撞击盘底前一瞬间系统的总动能； （2）碰撞前后系统的总动量。 分析与解答： 首先应明确，系统挂在定滑轮上，所以碰撞过程中，系统的总动 量不守恒。右盘的上方砝码开始下落过程，右盘也同时上升。 （1）依题意，系统指轻滑轮、细绳、托盘和砝码所组成的系统。以地面上一点O 为原点，建立直角坐标系xOy 进行观察研究（图1(1)。右边砝码线断后自由下落 ，与右盘相撞，且有 （1） 当悬线断后右盘以加速度 上升一段距离s 2，与下落的砝码相撞，且： （2） 由题意可知： （3） 将 (1)、(2)、(3)式联立求解，得 ， 碰撞前右砝码的速度 （竖直向下） 碰撞前右盘的速度 （竖直向上） 碰撞前左盘及其中的砝码的速度亦为 ，方向为竖直向下，因此，碰撞前系统的 总动能 为 图1 图1(1)

（2）在计算动量时，若以竖直向上为正值，则在碰撞前后砝码的动量为，右盘的动量为，左盘及左砝码一起的动量为，所以碰撞前系统的总动量为 碰撞后，左盘和右盘一起运动。由于左盘、右盘以长度不变的绳子相连接，所以它们运动的速度大小应该一样，而方向相反，再加上质量相等（2M），结果左盘及砝码的合动量与右盘及砝码的合动量总是大小相等、方向相反，因而系统的总动量必为零。 讨论：碰撞后的速度可推导如下：设在碰撞过程中绳子张力的冲量为，碰撞后左盘以速度竖直上升，则右盘以竖直下降。左、右绳中的张力永远相等，所以在碰撞过程中左、右盘所受的冲量都是竖直向上的，重力的冲量则由于碰撞时间很短（）而可以忽略不计。根据冲量定理，有 左盘 右盘 两式相减，得

物理竞赛模拟试题(一)

物理竞赛模拟试题（一） 1.在卢瑟福弹性散射实验中，入射粒子散射和靶核反冲是伴随发生的（见图），图中θL 和?L 分别表示实验室系中的散射角和靶核的反冲角，θC 和?C 分别表示相应的质心系中的角度.假定入射粒子是动能为2MeV 的氦核(42 He )，轰击靶中假定为静止的氢核(1H )，作下述计算：已知：在质心系中，出射粒子卢瑟福散射微分截面为 σC (θC )=(a 4)21sin 4(θC /2 )其中库仑散射因子a = z 1z 2e 24πε0E C 式中z 1、z 2分别为入射粒子和靶核的电荷数，E C 是入射粒子的质心系能量，组合常数e 2 4πε0=1.44eV ·nm. （1）在实验室系中沿?L =30?方向反冲氢核动能多大？ （2）在实验室系中?L =30?时的反冲氢核的卢瑟福散射微分截面为多大（1b =10?28m 2） ？ 2.如图所示，轰炸机A 以速度v 1做水平匀速飞行，飞行高度为H . （1）为使自由释放的炸弹击中地面目标B ，应在距B 多远的水平距离L 处投弹？ （2）在地面上与B 相距D 处有一高射炮C ，在A 释放炸弹同时发射炮弹，为使炮弹能击中飞行中的炸弹，试问炮弹初速v 2不应小于多少？（认为此问H =H 1高度较高） （3）若上问中v 2取最小值，炮弹发射角γ为多大？ （4）当H =H 2高度较低时，（2）求得结果不再适用，试写出此时H 2应满足的条件，并求出此时初速v 2最小值 . 3.如图所示，半径为R 的空心圆环固定在滑块上，滑块放置在光滑水平地面上，滑块.与圆环的总质量为M ，质量为m 的小球（看成质点）可在环内做无摩擦运动开始时小球位于圆环最高点，环与小球均静止.在微小扰动下小球沿环下滑. 第1页

初三物理竞赛预赛模拟考试卷

初三物理竞赛预赛模拟考试卷（3） 一、单选题（3分?40=120分） 1.一船在静水中以速度ｖ1，往返于沿河流方向的甲、乙两地需时间ｔ1，若水流速度为ｖ2，船仍以速度ｖ1，往返于甲、乙两地需时间ｔ2，则ｔ2等于( ) Ａ.2111v v t v -. Ｂ.12221221t v v v v -. Ｃ.2221122v v t v -. Ｄ.22 21121v v t v -. 2.如图所示，河宽为h ，水流流速恒定为u ，小船在静水中的速度为ｖ.今令小船自Ａ点出发渡河， 第一次小船以ＡＢ航线渡河，第二次小船沿ＡＣ航线渡河，已知ＡＢ、ＡＣ与河岸垂线间的夹角 都为a ，则两次渡河所需时间相比 ( ) Ａ.沿ＡＢ航线较长. Ｂ.沿ＡＣ航线较长.Ｃ.两航线相等. Ｄ.无法比较. 3.如图所示，均匀直杆AB 的A 端装有垂直于纸面的水平转动轴，B 端搁在小车上，杆与车的水平上表面 间滑动摩擦系数为μ，小车静止时，杆对车的压力大小为N 1.当小车水平向左运动时，杆对车的压力大小为 N 2，则 ( ) A .N 1＝N 2. B .N 1＜N 2. C .N 1＞N 2. D .无法确定. 4.如图所示，密度为ρ、边长为L 的均匀立方体，表面光滑，静止在水平面上，并抵住一个小木桩.有风 与水平方向成45°角斜向上地吹到立方体的一个面上，产生压强为p ，则使立方体刚要翻动的p 值为 ( ) A .g L ρ2. B .32g L ρ. C .g L ρ. D .2 2g L ρ. 5.如图所示，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上.从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过 程中，斜面对小物块的作用力( ) A .垂直于接触面，做功为零. B .垂直于接触面，做功不为零. C .不垂直于接触面，做功不为零. D .不垂直于接触面，做功为零. 6.如图所示，把一端封闭的玻璃管，装满水银后竖直地倒立在水银槽内，管子的顶端高出槽中水银面36cm ，在标准大气压下，则 ( ) A ．水银对玻璃管顶的压强为零 B ．水银对玻璃管顶的压强为36 cm 水银柱 C ．水银对玻璃管顶的压强为40 cm 水银柱 D ．如果在玻璃管顶端开一个小孔，水银不会从小孔中冲出 7.如图所示，一正方体小铁块放在水银与水的交界面处，处于静止状态；如果又向容器中加水，在加水过程 中，则铁球将（ ） A ．下沉一些 B ．静止不动 C ．上浮一些 D ．无法确定 8．一个凸透镜在空气中时，测出它的焦距是f ，把它放在水中，它的焦距f /将( )。 (A)>f (B)

第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案

2010年全国中学生物理竞赛复赛试卷（第二十七届） 本卷共九题，满分160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程． 一、（15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们 的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重 力加速度g = 9 . 80 m/ s2 , 1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求 出每个摆的摆长），要求满足：( a ）每个摆的摆 长不小于0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始 时将所有摆球由平衡点沿x 轴正方向移动相同 的一个小位移xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放， 经过40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态． 2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为________________________________________. 二、（20 分）距离我们为L 处有一恒星，其质量为M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T ，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程． 若L=10 光年，T =10 年，△θ= 3 毫角秒，M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量Ms 和国际单位AU （平均日地距离） 作为单位，只保留一位有效数字．已知1 毫角秒=1 1000角秒，1角秒=1 3600度，1AU=1.5×10 8km,光速c = 3.0×105km/s.

2020高中物理竞赛复赛模拟试题

2020高中物理竞赛复赛模拟试题及答案 1.（40分）如下图所示的一盘绳圈竖直静立着水平地面上，且盘外的绳子一端被固定住，此时盘的半 径为R0，质量面密度为σ，绳带厚度为b（即绳盘上相邻两白线圈之间距离，b<

由于t=0时s=0，于是有： s=πR02 b [1?(1? 13bv0t 6πR02 ) 6 13 ? ] 其中： v0= 2I 3σπR02

2.（40分）能量损耗是电路问题中的一个常见问题。我们考虑一个由电容、电阻和电源串联而成的简 单电路，研究从电路接通直至电路达到稳态前的能量损耗问题。电容值为C且初始不带电，电阻值为R。记电路接通时t=0，请求出下列两种情况下由于暂态电流电源做的功W。 （1）电源是电压大小为ε的直流稳压电源。 （2）电源是交流电源，可以表示为εcos(ωt+θ)。 解： （1）：稳定时电容上电量为Cε，易得电源做功为：Cε2 （2）：接通电路之后，回路的电压方程可以写为： 这是一个一阶线性微分方程，普通形式是： 其解为： 其中C为常数，由函数的初始条件决定。 于是可以解出回路电压方程： 由于初始不带电，可得： 电流为： 第一项指数衰减项i′(t)即为暂态电流项，电源做功为： ∞ W=∫εcos(ωt+θ)?i′(t)?t 也即： 此即由于暂态电流电源做的功。

全国物理竞赛复赛模拟试题(一)

2015年全国中学生物理竞赛复赛模拟（一） 撰题人：于万堂 一．(素质)（15分）一半径为R的轮子在水平面上以角速度ω作匀速无滑动滚动，在轮上有一质点A以轮心为平衡位置沿其一固定直径做振幅为R，角频率为ω的简谐运动，设t=0时刻质点A恰好在轮与水平面的接触处，相对于xoy系，求： （1）质点A的运动方程 （3）质点运动轨迹的曲率半径

二．(舒奥)（20分）地球质量为M=5.982410?kg ，月球质量为m=7.3kg 2210 ?,月球中心和地球中心相距m r 801084.3?=，万有引力常量2311/1067.6s kg m G ??=- （1） 只考虑地球和月球之间的万有引力，试求月球中心绕地—月系统质心做圆周运动的 周期T 0（以天为单位） （2） 将中国农历一个月的平均时间记为T （以天为单位），形成T 0和T 之间差异的主要 原因是什么？ （3） 已知月球绕地球运动的轨道平面与地球绕太阳运动的轨道平面几乎重合，某时刻太 阳、地球、月球的相对位置以及地球绕太阳运动的方向如图所示，试在图中画出此时月球绕地—月质心运动的方向，并简叙述原因 （4） 结合生活常识，计算中国农历一个月的平均时间T （以d 为单位） 太阳 地球 月球 C ：地—月系统质心

三．（舒力145）（15分）光滑桌面上有一轻质细杆，杆可以绕着过中心O点的竖直轴无摩擦地转动，有四个质量相同的小球，其中两个分别固定在杆的两端A1A2处，另外两个穿在细杆上可沿杆无摩擦地滑动，他们的位置分别在OA1和OA2的中点。今使系统在极短的时间内获得绕O轴转动的角速度，而后让其自由运动，可动小球将沿杆朝固定小球撞去，试求动球相对于细杆初始径向加速度与最后和固定球碰前瞬间径向加速度之比。

第20届全国高中生物理竞赛复赛试题

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷 全卷共七题，总分为140分。 一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V．在 离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 E k＝2000 eV 的动能沿与O'O平行的方向射 向a．以l表示b与O'O线之间的垂直距离， 要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试 求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最 大值．

二、（15分）U 形管的两支管 A 、B 和水平管C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 2A 1.010S -=?cm 2， 2B 3.010S -=?cm 2，2C 2.010S -=?cm 2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度 为127t =℃时，空气柱长为l ＝30 cm （如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a ＝2.0cm ，b ＝3.0cm ，A 、B 两支管都很长，其中的水银柱高均为h ＝12 cm ．大气压强保持为 0p ＝76 cmHg 不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 t ＝97℃时空气的体积．

三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地 R＝6400 km．假定地球是质量均匀分心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径 布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．