专题辅导10 定积分

定积分的应用

定积分的应用

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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?

第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21

第五章定积分及其应用

第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即

1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质

高等数学第七章定积分的应用

第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ?---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 22π 20 2π 20 ππ22 1 d 21d R R R A A =?===? ?θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

第十章 定积分的应用

第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ??

2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ?

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

定积分方法和应用

例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，

例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积

= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。

解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为

= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。

解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线

定积分的应用

第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。

不定积分技巧总结

不定积分技巧总结 作者:蔡浩然 题记题记：：不定积分不定积分，，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，，题型极多题型极多，，几乎是每一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，，结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯，，运气好运气好，，有时可以闯出来有时可以闯出来，，有很多时候是闯不出来候是闯不出来，，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。。为了在求不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有： ? ???????→????????+??? ?????→+→+∫∫∫x c a ac x c a d x c a ac dx x c a c dx c ax arctan 11 111111222即??? ? ????→ +∫x c a ac dx c ax arctan 1 1 2 【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】 另外，[] x x x x dx tan sec ln tan sec 21 sec 3 ++=∫最好也可以记下来最好也可以记下来，，因为经常要用到因为经常要用到，，并且也不难记并且也不难记， ，括号里面是x sec 的原函数和导数之和。 一、一、三角函数篇 三角函数篇原则是：尽量凑微分，避免万能代换。

1.11.1、 、正余弦型1.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型 、分母二次带常数，分子不含一次项型∫ +dx x A 2 sin 1 或 dx x A x ∫ +2 2 sin cos 右式可通过变形，分离常数化为左式。而 ()→++→+→+∫∫∫ A x A x d dx x x A x dx x A 2 2222tan 1tan tan sec sec sin 1()C x A A A A +??? ?????++→ tan 1arctan 11 1.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型 、分母一次带常数，分子常数型∫∫ ??→+dx x A x A dx x A 2 2sin sin sin 1()∫∫+?+?→dx x A x d dx x A A 2 222cos 1cos sin 特别的，当 1 =A 时，原式就可化为 ∫∫+→dx x x d dx x A 2 2cos cos cos 1.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型 、分母一次无常数，分子常数型

§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积

２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长

８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0

10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)，

最新定积分应用题附答案

《定积分的应用》复习题 一．填空： 1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A = ln ln b y a e dy ?=b-a______ 2. 2y x y ==曲线和 ____13 ____ 二．计算题： 1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。 解：（1）确定积分变量为y ，解方程组 2222 y x y x ?=?=-+? 得12121/22,12x x y y ==????==-?? 即抛物线与直线的交点为（2 1，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。 （2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-2 1y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 2 1y 2 ]dy (3)所求图形面积 A = ?-1 2[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 94 2．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。 解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。 抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32 ，3 ）。 故 面积A =

高数 定积分的应用

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以

[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

数学分析(2)：定积分计算与应用

数学分析（2）：定积分计算与应用 1、4 01cos 2x dx x π +? 2 、 ln 0? 3 、 (211x dx -+? 4 、1? 5、32122dx x x -? 6、21(1)dx x x +∞+? 7、 21arctan x dx x +∞? 8 、10? 9、120ln(1)1x I dx x +=+? 10 、设1 20()3()f x x f x dx =，求()f x . 11、设21,0(),0x x x f x e x -?+<=?≥? ，求30(2)f x dx -? 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积. 13 、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小. 14 、求函数2 y = 1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积 16、求摆线1cos sin x t y t t =-?? =-?一拱()02t π≤≤的弧长.

17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求 0()(0)x S t dt x ≥?. 19、设()0sin x t f x dt t π=-?，计算()0f x dx π?. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2 a Ma f x dx ≤?，其中{}'max ()a x b M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明： 1 10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--??

不定积分解题方法及技巧总结剖析

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??