【巩固练习及参考答案与解析】
1.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( )
A.
14
B .
15
C .
16
D .
17
2.若函数f (x ),g (x )满足1-1?f (x )g (x )d x =0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数: ①()1sin
2f x x =, ()1
cos 2
g x x =; ②f (x )=x +1,g (x )=x -1; ③f (x )=x ,g (x )=x 2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
3.1
0x m e dx =
?与11
e
n dx x
=?
的大小关系是( ) A.m n > B.m n < C.m n = D.无法确定
4.下列结论中错误的是( ) A.[()()]b
a f x g x dx ±=
?()b
a
f x dx ?
±
()b
a
g x dx ?
B.()()b
b a a
kf x dx k f x dx =??
C.
()b
a f x dx ?
=()c
a
f x dx ?+()b
c
f x dx ?(其中)a c b <<
D.[]2
()b
a f x dx ?=2
()b a f x dx ??????
?
5.下列定积分值为0的有( ) A.
?
-2
2
sin xdx x B. ?-2
22cos xdx x
C.
?
-+2
2
5
2)(dx x x D. ?-++2
2
53)15(2dx x x
6.已知)(x f 为偶函数且
8)(6
=?
dx x f ,则=?-6
6
)(dx x f ( )
A.0
B.4
C.8
D.16
7.定积分=---?
dx x x 1
2))1(1(( )
A.
42
-π B.
12-π C.
41-π D. 2
1
-π 8.曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积( )
A.4 .2B
C.2
5
D.3
9.一辆汽车以速度2
3t v =的速度行驶,这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为( ) A.
3
1
B.1
C.3
D.27 10.已知自由落体运动的速度gt v =,则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为( )
A.3
2
0gt
20
.B gt
C.2
2
0gt
D.6
2
0gt
11.(2016 河北邯郸模拟)
2
11(-)x dx x =? .
12.(2015合肥模拟)设函数f (x )=(x -1)x (x +1),则满足??0
a f ′(x )d x =0的实数a =________.
13.设2,01
()2,12
x x f x x x ?≤≤=?-<≤?,则20
()f x dx ?= ;
14.(2016 江西师大模拟)已知20
(sin cos )a x x dx π
=+?
,在(1+ax)6(1+y)4的展开式中,xy 2项的系数
为 .
15.求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积. 16.(2015春 长春校级月考)
已知由曲线y =直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积为S .
(1)画出图象 (2)求面积S. 【参考答案与解析】
1.C
【试题解析】31
22
01211)(),1326
0S x dx x x S ==-==?正阴影
,故16P =, 2.【答案】C
【试题解析】 对于①,1-1?sin
12x cos 12x d x =1-1?1
2
sin x d x =0,所以①是一组正交函数;对于②,1-1? (x +1)(x -1)d x =1-1? (x 2-1)d x ≠0,所以②不是一组正交函数;对于③,1
-1?x ·x 2d x =1-1?x 3d x =0,所以③是一组正
交函数.选C.
3.A
【试题解析】1
110
x x
m e dx e
e ===-?,1
1
ln 11e
e n dx x x
===?
4.D
5.D
【试题解析】设35
12()2(5),()2f x x x f x =+=
则3535
12()2(51)2(5)2()()f x x x x x f x f x =++=++=+
∵12(),()f x f x 在区间[]2,2-上是奇函数, ∴
2
22
35122
2
2
2(51)()()0x x dx f x dx f x dx ---++=+=?
??
6. D
【试题解析】)(x f 为偶函数,则6
6
6
()2()16f x dx f x dx -==?
?
7. D
【试题解析】0
?
中的被积函数1)y x =≤≤恰是一个位于x 轴上方的半
圆,
其面积为
2
π,故2π=?,又1012xdx =?
∴=---?dx x x 102
))1(1(2
1-π
8.D 9.D
【试题解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为:3
3
23
33270
vdt t dt t
===?
?
10.C
11. 【答案】1﹣ln2 【试题解析】2
2
11
1()(ln )2ln 21ln11ln 2x dx x x x
-=-=--+=-?
12.【答案】1 【试题解析】()()'0
0a
f x dx f a ==?
,得a =0或1或-1,又由积分性质知a >0,故a =1.
13.
56
14.【答案】72 【试题解析】220
(sin cos )(cos sin )
112a x x dx x x π
π
=
+=-+=+=?
所以在(1+2x)6(1+y)4的展开式中,xy 2项为1222(2)726
4
C x C y xy =,所以系数为72.
15.【试题解析】首先求出函数x x x y 223++-=的零点:11-=x ,02=x ,23=x .
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
1.求 导:(1)函数 y= 2cos x x 的导数为 -------------------------------------------------------- (2)y =ln(x +2)-------------------------------------;(3)y =(1+sin x )2------------------------ ---------------------- (4)y =3x 2+x cos x ------------------------------------ ;(5)y =x 2cos(2x -π 3 )---------------------------------------- . (6)已知y =ln 3x e x ,则y ′|x =1=________. 2.设1ln )(2+=x x f ,则=)2('f ( ). (A).5 4 (B).5 2 (C).5 1 (D). 5 3 3.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点 )0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1x =-,2=x 时取得极值,则21x x ?的值为 ( ) (A).4 (B).5 (C).-6 (D).不确定 34.()34([0,1])1()1 () ()0 ()1 2 f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,
底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 微積分公式1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
高中数学微积分公式大全