2016全国卷3高考试题及答案-理科数学

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试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

（1）设集合S=

{}{}

(x2)(x3)0,T0

S x x x

=--≥=I >

，则S T=

(A) [2，3] (B)（-∞，2] [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）

（2）若z=1+2i，则

4

1

i

zz

=

-

(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i

（3

）已知向量

1

(,

22

BA =

,

31

(),

2

BC=

则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在00C

以上

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个

（5）若

3

tan 4α=

，则2cos 2sin 2αα+=

(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

（6）已知43

2a =，34

4b =，13

25c =，则

（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =

（A ）3 （B ）4 （C ）

5

（D ）6

（8）在ABC △中，

π4B

，BC 边上的高等于1

3BC

,则cos A

（A

） （B

） （C ）10

（D ）

310

(9)如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A

）18+（B

）54+（C ）90 （D ）81

(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是

（A ）4π （B ）92π

（C ）6π （D ）323π

（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

2

21(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C

的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交

于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为

（A ）13

（B ）12

（C ）

23

（D ）

34

（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意

2k m ≤，12,,

,k

a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有

（A ）18个

（B ）16个

（C ）14个

（D ）

12个

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若x ，y 满足约束条件{x ?y +1≥0

x ?2y ?0x +2y ?2?0 则z=x+y 的最大值为_____________.

（14）函数y =sin x ?√3cos x 的图像可由函数 y =sin x +√3cos x 的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

（15）已知f(x)为偶函数，当x <0时，f (x )=ln (?x )+3x ，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

（16）已知直线l:mx +y +3m ?√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |=2√3，则|CD |=__________________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知数列{a n }的前n 项和S n =1+a ，S n =1+a n ，其中λ

（I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式 （II ）若S 5=31

32 ，求λ

（18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明

（II）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥地面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（I）证明MN∥平面PAB;

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C：

22

y x

的焦点为F，平行于x轴的两条直线

12

,l l分别交C于A，B两点，

交C的准线于P，Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分）

设函数f（x）=a cos2x+（a-1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A. （Ⅰ）求f＇（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明|f′（x）|≤2A.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O 中AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点. （I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；

（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C

的参数方程为

()sin x y θ

θθ?=??

=??

为参数，以坐标原点为极点，

以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C

的极坐标方程为sin()4

ρθπ

+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+

（I ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；

（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围.

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）32 （14）32π

（15）21y x =-- （16）4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=

11

1a ，01≠a .

由

n

n a S λ+=1，

1

11+++=n n a S λ得

n n n a a a λλ-=++11，即

n

n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，

0≠λ得0≠n a ，所以

1

1-=+λλ

n n a a .

因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是

1

)1(11---=n n a λλλ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(

1--=λλ

，由32315=S 得3231

)1(15=--λλ，即=

-5)1(λλ321， 解得1λ=-．

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得

4=t ，28

)(7

1

2

=-∑=i i

t t

，

55

.0)

(7

1

2

=-∑=i i

y y ，

89

.232.9417.40))((7

1

7

1

7

1

=?-=-=

--∑∑∑===i i i

i

i i i i

y

t y t y y t t

，

99

.0646.2255.089

.2≈??≈

r .

因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.

（Ⅱ）由331

.1732

.9≈=y 及（Ⅰ）得

103.028

89

.2)()

)((?7

1

2

7

1

≈=

---=∑∑==i i

i i i

t t

y y t t

b

，

92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a .

所以，y 关于t 的回归方程为：t y 10.092.0?

+=.

将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y .

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得232

==

AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中

点知BC TN //，

221

==

BC TN .

又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .

（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且

5)2(

2

222=-=-=

BC AB BE AB AE .

以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，

)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(

N ，

)4,2,0(-=PM ，

)2,1,25(

-=，)2,1,25

(=.

设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00，即?????=-+=-02250

42z y x z x ，可取

)1,2,0(=，

于是

255

8|

||||,cos |=

=

>

（20）解：由题设

)

0,21

(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b

a R

b Q a P b b B a A +---.

记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

2

22111k b a ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

.

所以FQ AR ∥. ......5分

（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，

则

2,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF

-=--=-=??.

由题设可得2212

11b a x a b -=

--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .

当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB

k k =可得)

1(12≠-=+x x y

b a .

而y b

a =+2，所以

)1(12

≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为

12

-=x y . ....12分 （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）'

()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．

（Ⅱ）当1a ≥时，

'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =

因此，32A a =-． ………4分

当01a <<时，将()f x 变形为

2

()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令

2

()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当

14a

t a -=

时，()g t 取得极小值，极小值为

221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-． 令

1114a a --<

<，解得13a <-（舍去），1

5a >． （ⅰ）当

1

05a <≤

时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，

|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．

（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知

1(1)(1)()

4a g g g a -->>．

又1(1)(17)

|()||(1)|0

48a a a g g a a --+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．

综上，2

123,05611,1

8532,1a a a a A a a a a ?

-<≤??++?=<

-≥???． ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）得

'

|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当

1

05a <≤

时，'

|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.

当115a <<时，131884a A a =++≥，所以

'

|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以

'

|()|2f x A ≤. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连结

BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.

因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠.

又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180 ，所以 1803=∠PCD ， 因此

60=∠PCD .

（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以

180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，

其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）1C

的普通方程为2

213x y +=，2C

的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点P

的直角坐标为,sin )αα，因为2C

是直线，所以||PQ 的

最小值， 即

为

P

到

2

C 的距离

()

d α的最小值

，

()sin()2|

3d π

αα=

=+-.

………………8分

当且仅当

2()

6

k k Z π

απ=+

∈时，()d α

取得最小值，最小值为，此时P 的直角坐标

为31

(,)

22. ………………10分

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.

因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-

|212|x a x a ≥-+-+ |1|a a =-+，

当

1

2x =

时等号成立，

所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分