第三章 一元函数积分学
§3-1 不定积分
不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础,要求在掌握基本积分法的基础上,更要注重和提高计算的技巧。
一、基本概念与公式
1. 原函数与不定积分的概念
2. 不定积分与微分的关系(互为逆运算)
3. 不定积分的性质 4.基本积分表 2222
22
312
22
3
2max{1}d .,1
max{1,}1,11,
,
111max{1,}d d 3
11max{1,}d 1d 11
max{1,}d d .
3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x
C ?<-?
=-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求,因
当时
;当时
;
当时
例解
()()3111321
11232
31lim lim 3,1lim lim 323
,232
133
max{1,}d 1 1.2
1
33
x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+
-
+→-→-→→???
+=+ ?????
?
???+=+ ??????
=-+???
?=+??
?-+<-???=+-≤≤???++>??
?
由原函数的连续性,有
得
故
,,,
二、不定积分的基本方法
1. 第一类换元法(凑微分法) ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若,则
2. 第二类换元法
()10[]()()d []d ()[].
x t t x x t t f t t G t f x x
f t t t G t C
G x C ?????????-1=()
=-''=()()≠()()'()()=+()+?
?
令代回
若是单调可导函数,且,又具有原函数,则有换元公式
3. 分部积分法
()()d ()()()()d d d .
u x v x x u x v x u x v x x
u v uv v u ''=-=-????或
4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式.
5. 三角函数有理式的积分
(sin cos )d ()tan
2
R x x x R u v u v x
t =?对于,(其中,表示关于,的有理函数),可用“万能代换”化为有理函数的积分.
三、题解示例
(
2
2
2
2
225sin 25sin
25sin
25sin 25sin 225s .
22.sin 4d .
sin 4d 2sin 2cos 2d 1sin 2d sin 2d(5+sin 2)2
12
x
x
x
x
x
x x C e x x e
x x e x x x
e x x e x e ++++++==+===
=
??????23求求例解
例
解
2in 23
222
2
2..
ln(2
[ln()].3
1ln d .
(ln )1ln 1ln d d (ln )ln 1x
C x x x x C x
x x x x x x
x x x x x x +==++----=?-??- ?
?
????45求求例解
例解
2
1ln 1d 1ln ln 11.
ln x C x x x x x x
C x x
??
=--=+ ??
???-- ??
?=
+-?
sin tan (d ((n n
t ax b
ax b t cx d
x a t
x a t
R x x R x x
R x x R x x
=++=+==? ?????令
令令令化为有理函数的积分.
化为有理函数的积分.
化为三角函数有第二类换元法常用来去根号
,如式.:
理的积分
sec (x a t
R x x
=?令化为三角函数有理式的积分.化为三角函数有理式的积分.
355323232.
1
d 6d 6d d 6d 6(1)d 6112366ln |1|1).x t x t t
t t t t t t t t t t t t t t t t C
C +====-+-+++=-+-++=+????
6求令,则原式例解
2222
222222(1)1d 12d d ,11(1)12d 2d 1ln .
(1)11x x x
I x
x x
x t t t
t x x x t t t t t t t I C t t t t +=+===+---+=?==+---?
??法一:令,则,故
解
222211ln
2ln(1).11111ln 22411221ln .
2x
x C x x C x x
I x x C
x x x x C ++=+=+++-
+???? ?==+++-+ ? ?????????
+- ? ?
?
?????
=++++ ????
法二:
22222
2222(2)413(2)(2)33tan 2
3sec d 1cos d 9tan 3sec 9sin 1413.
9sin I x x x x x x t t t t
t
t t t
x x C C t ==++++++=-==?++=-+=-+??
??8求令原式例解
2
222222222arcsin d .
1arcsin sin d cos d (1sin )d csc d d cot cot d sin 2
11cot ln |sin |arcsin ln ||(arcsin ).
22x I x x x
x t x t x t t
t t t I t t t t t t t t t t t t x t t t C x x x C =?-===+==+=-++
-=-+++=-+++?
????9求令,,例解 ()d ()sin d ()cos d ()()d sin d cos d d ()ln ()d ()(arcsin )d ()arctan d ln ()(arcsin )arctan (ax
m m m ax m m n n m m n n m P x e x P x ax x P x bx x P x m P x u e x ax x bx x v P x ax b x P x x x P x x x ax b x x u P ++??????一般地,形如,,的积分(其中
为次多项式),选取为,,,为应用分部积分降幂;
形如,,的积分,选取,,为,)d d x x v 为应用分部积分超越函数代数化.
2222111111ln d ln d 122121111ln .
21x
x x x x I x x
x x x x x x x C x -??++??
==-+ ? ?--+-??
??-+=++-??解
32
3
332223
3
sin ()()d .
sin cos sin ().()d d ()()3()d cos sin 3(sin sin )d cos 4sin 6cos .
d .
(1)d d (1)x
x x
x x
f x x f x x x
x x x x
f x x x x
f x x x f x x f x x f x x
x x x x x x x x x x x x x C xe I x e e u x v x e v ''-??== ???
'==-=---=--+=-==-=??????1112已知是的一个原函数,求求令,,则
例解例解32
22
22211
d .
(1)2(1)11d .
2(1)2(1)d 1111d d (1)1(1)1111d ln |1|ln ||11ln |1|1
111ln |2(1)21x x x x x x x x x x x x x x e t
e x e e x x I e e x t t e t t t t t t e e C t t t t e x C
e x I x e e -==---=-?+--??
=====?=-??-++??
??=---=---++ ?
+??=---++-=-
+----??????令故
又
所以
1|.x
e C ??-+????
arcsin arccos d .
arcsin arccos d arcsin arccos (arccos arcsin arcsin arccos arcsin )d arcsin arcc I x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x =?=?-=?+-=?-?
--
=????13求例
解os arcsin )2.x x x x C -++
2
2
21
1sin
d.
1cos
12cos sin1
22d sec d tan d
222
2cos
2
tan tan d tan d tan.
2222
().
1
(1
x
x x x
x x x x
n
n n
x
I e x
x
x x
x x
I e x e x e x
x
x x x x
e e x e x e C
I n
I n x
x
--
+
=
+
+
==+
=-+=+
=
===-
?
???
??
??
14
15
求
求为自然数
例
解
例
解
(
2
2
2
1
(1)(1)().
2
.
1
ln.
.
n n
n n
n x n I I
n
I I
n
I x C
I C
-
-
=-=-+
-
=
-
==+
=+
移项得
而
有理函数的不定积分用分解为部分公式之和再分项积分是行之有效的方法,但有时计算比较烦琐,如果针对被积函数的某种特点,可应用更简便的方法。例如:
22
(1)tan.
(2)1
11()
(3)()d d.
(4)d.
()
n n
n
m
x a x a t
R t
R x x t x t
x n t
x
x x a t
x a
+=
=
-=
-
??
?
被积函数分母中出现因子时,宜用代换
当被积函数分子为,分母为较高次数的多项式时,往往可采用倒代换化
为假分式.
形如的积分可通过代换化为
形如的积分宜用代换
23
tan
4
23
2
22
d
.
(1)
d311
cos d sin2sin4
(1)8432
3(53)
arctan.
88(1)
x t
x
x
x
t t t t t C
x
x x
x C
x
=
+
====+++
+
+
=++
+
?
??
16求
例
解
8
289101282282
864222753753d .
(1)
1
(1)11
101d 1d 11111
arctan 75311111arctan .
753x
I x x A A x A A A x x x x x x x t t I t t t t t t t t t t t t C
C x x x x x =++=++++++=?
?=-=--+-+??++??
=-+-+-+=-+-+-+?
??17求若将被积函数分解成部分分式之和
,
需确定个常数.令,则
例解 2100
219899100100
d .
(1)21
d d 2d d x t
x
I x x t t I t t t t t t t t -=---=--+-=-+-?????18令求例解
979899979899
111
974999
111.97(1)49(1)99(1)t t t C C x x x
---=-++
=-++--
- 三角函数有理式的不定积分通过万能变换
tan
2x
u = 总可化为有理函数积分,但有时很
繁,可用如下代换:
(1)(sin cos )(sin cos )cos .
(2)(sin cos )(sin cos )sin .(3)(sin cos )(sin cos )tan .R x x R x x t x R x x R x x t x R x x R x x t x -=-=-=-=--==当,,时,可用代换当,,时,可用代换当,,时,可用代换
441
19d .
sin cos I x x x =+?例
444224421
d .
sin cos (sin cos )(sin cos )tan sec 111d d d tan 11121.I x x x
R x x R x x t x x t I x t t x t t t t t C C =+--==+??===- ?++??
??-+ ???
-
==????19求因,,,故令例解
41
4
4242223231
d .
sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos d d d sin (1sin )(1)1
11111d ln 13221111sin ln .
3sin sin 21sin u t
I x x x
R x x R x x u x x u t I x t
x x u u t t t t t t C t t x
C x x x ==-=-===----?-?
?
?=-++=-+++ ? ?-+????
-=-
--++?
????20令求因,,,故令,
例解
7sin cos d .
3sin 4cos x x
I x x x +=+?21求例
sin cos 7sin cos (3sin 4cos )(3sin 4cos )(34)sin (43)cos .347
4311
.13sin 4cos (3sin 4cos )d ln |3s 3sin 4cos x x x x A x x B x x A B x A B x A B A B A B x x x x I x x x x
'
+=+++=-++-=??
-=?
=??=-?
'
+-+==-+?
被积函数的特点是分子、分母均为和的线性组合,不一定用
万能变换,可用待定系数法.令
故有
,解得
所以
解in 4cos |.
x x C ++ 杂例
(
222222.ln(1)ln(1)221
1d 2d 1111112ln arctan 21n .
x x x x
I x t x t t t t I t t t t t t t t t C t e C I x -==+--????=+=-???
?+--+????
?+?=-+??-??
=-==??22求法一:令,,则法二:例解
ln arcsin .
x x e e C -=++
ln ln (1ln )d .
d(ln ).
x
x x x x x I x x x I e x x e C x C =+==+=+??23求例解
23
222322
()()()d .()()()()()()()()()()
d d ()()()
()()1()d .()()2()f x f x f x I x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x I x x
f x f x f x f x f x f x C f x f x f x ''??
=- ?''??
'''''--==?'''????==+ ? ?'''????
????
24求例解
2
2
222222322(sin )cos 2tan ()(01)(sin )(sin )d(sin )(cos 2tan )d(sin )
(cos 2tan )sin d 1sin cos 2d(cos 2)2d 2cos 11cos 22d cos 2cos d cos 4cos 1
cos 22ln |cos 4f x x x f x x f x f x x x x x x x x x
x
x x x
x x x x x
x x x '=+<<'==+=+=-+=--+=--???????25设,求法一:因
例解22422122
2
2|cos 3
ln(1sin )sin .4
3
()ln(1)ln(1).4
sin (sin )12sin 1sin 1()122.11x C
x x C f x x x C x x C x
f x x x
x f x x x x x
++=---+=
---+=---+'=-+
-'=-+
=-+--所以
法二:因
故
2
1()2d ln(1).
1f x x x x x C x ??=-+=---+ ?-???从而
§3-2 定积分
一、重要概念及公式
1. 定积分定义
1
110
1
(),()d lim ().
()[,].[,]()d lim .
0,1,1()d lim .n
b i i a
i i i n
b a
n i n
n i f x f x x f x f x a b a b n b a b a f x x f a i n n a b i f x x f n n λξξξ→=→∞=→∞==?--?
?=+ ???==??= ???
∑?
∑?
∑?
若可积则
注:定积分的存在与区间的分法和的取法无关,仅与被积函数与区间有关如果把分成等份,取每个小区间的右端点,则有
特别地,若则有
2. 定
积分的性质(略)
()[,],()[,][,]()()d ()()d .
()1,()[,],[,]()d ()().
b b
a
a
b a
f x C a b
g x C a b a b f x g x x f g x x g x f x C a b a b f x x f b a ξξξξ∈∈?∈=≡∈?∈=-?
??
积若且不变号,则使
特别地,取则有
积若则使
分第一中值定理分中值定理
3. 积分上限函数的导数
d [,],()d ()().
d x
a f C a
b f t t f x a x b x ∈=≤≤?若则
()
()d ()d ()[()]()[()].
d u x v x f t t u x f u x v x f v x x ''=-?一般地, 4. Newton-Leibniz 公式
[,],()()[,],()d ()()().
b b
a a
f C a b F x f x a b f x x F x F b F a ∈==-?
若是在上的原函数则
5. 定积分的换元公式和分部积分公式
[,],[,]([,])(),(),()d [()]()d .
()d ()()()()d ().
b a b b b
a a
a
f C a b C a b f x x f t t t u x v x u x v x v x u x βα
?αββα?α?β??∈∈=='==-?
?
?
?若或且则
6. 反常积分 定义略.
反常积分是常积分的极限问题. 7. 一些常用的公式
2
20
20
20
[,],2()d ,()()d 0,().[0,1],(sin )d (cos )d (sin )d 2(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d .
2(,),()()(0)a a a
f C a a f x x f x f x x f x f C f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f C f x l f x l π
π
π
ππ
πππ
π-∈-??
=???
∈===
=∈-∞+∞+=>??
??
???
?
?
若则
当是偶函数;当是奇函数若则
;
;
若0
,()d ()d ()d ()d Cauchy-Schwarz ,[,],a l l
a a nl l
a
f x x f x x a f x x n f x x a k Z f
g C a b +++==∈∈???
?则
(为常数).
(为常数,).
不等式若则
2
22()()d ()d ()d .
b a a a b b f x g x x f x x g x x ??≤????????
二、利用定积分的定义计算数列的极限
[]11
100
1ln 1ln(1)d (1)ln(1)2ln 212)
(2)
.
1lim e 4
e e
e .
e n
i n i n n n n x x
x x x n n =→∞
??
+ ???
→∞+++--∑
?
??
=+=?
??
??
?====1求极限原式例解
11110
01
1
2sin sin sin lim .11122sin sin sin 11sin sin ,
1111211
2
lim sin sin d cos ,
1lim sin lim 1n n
n i i n n i n n n i n n n n n n n n n n i i n n n n n n n n n n n n
i x x x
n n n i n n n n πππππππππππππ
π→∞==→∞=→∞→∞=?? ?+++ ?+ ?
++?
??≤+++≤++++
==-=
?=+∑∑∑?∑2求极限因
又
例解112
lim sin ,12sin sin sin
2lim .1112n n i n i n n n n n n n n n n n π
ππππ
π→∞=→∞?=+?
? ?+++
= ?+ ?+
+
??
∑由夹逼准则知
三、利用定积分的几何意义和定积分的性质
[]123[,]()0,()0,()0.()d ,
1
()(),()()(),2b
a
a b f x f x f x S f x x S f b b a S f a f b b a '''><>==-=
+-?3设在闭区间上记则()例
213()[,][,]()()
()()()(),
()()()d ()d ()()d ,,(D).
b
b b a a a y f x a b x a b f b f a f b f x f a x a b a
f b f a f b x f x x f a x a x b a S S S =-≤≤+
---??
≤≤+-??-??
<??由已知条件,曲线在闭区间上是位于由上方的单调下
降的(向上)凹弧,故在上
从而有
即故选解
()2sin 222sin sin sin 20
00
2sin 2sin 20
sin sin sin ()e sin d ,(A)(B)(C)(D)()e sin d e cos e cos d e cos d 0
[0,2]e
cos 0()e sin d e sin d e sin d x t x
t t t t t
t t t F x t t F x t t t t t
t t t F x t t t t t ππππππ
π
π
π+--===-+=>≥==+???
?
??4设则
为正常数;为负常数;
恒为零;
不为常数;
因
因在上;
或
例解()()
sin sin 0
sin sin 0
sin sin e sin d e sin d e
e sin d 0
[0,]e
e ,sin 0(A).
u t
u t t
t t
t t
u u t t
t t t πππ
ππ=----=======+=->≥≥????
前一式令因在上,故选
44120
012122121tan d d tan (A)1(B)1(C)1(D)1.x x
I x I x x
x I I I I I I I I π
π
==>>>>>>>>?
?5设,,则()
;;;
例
()122
222tan 0,,tan ,,.4tan tan sec tan sin cos 00sin ,cos x x x x x I I x x x x x x x x x
x x x x x x x π??
∈>>> ???
'--??=
=>>> ???当时因故从而又
因当时故
解
4
4
410
0tan tan 4
,0,,4tan 4
d d 1.
(B).
x x x
x x x
x I x x x
ππ
π
πππ=
??
<=
∈ ???=<=?
?从而
故选
四、积分上限函数的导数的应用
20
(1)
2
220
2
00
0020
()d ,(0)0,(0)0,lim
.
()d 2()2()lim
lim
2()d ()
2()d ()
4()4()
lim
lim
()
3()()3()lim ()lim ()(0)x x
x x
x x x x x x x f t t
f C f f x
f t t
x f x f x x f t t x f x f t t x f x x f x f x f x f x x f x f x x
f x f x f →→→→→→→'∈=≠==++''=='+'+'''==?
?
??6设求原式因
例解0
00,
()
lim
lim ()(0)04(0)
1.
3(0)(0)
x x f x f x f x f f f →→≠''==≠'=
=''+故
原式
1
ln 1d .
lim lim lim 2,n n t
t t t x →+∞→+∞?
?
===7求极限因
故
例解
1
ln 1d 2.
n n x ?
= ?
()2
2
2
2
2
2
245000320
5
4
020
02
4
300,1lim e d ,e d 31e lim
lim ,
5lim 31e 0,
1,31e
62e lim
lim 520x
t x x
t x
x x x
x x x x x a b a
b t x x x ax x b t
ax b x
x ax b b ax ax x x x -→--→→-→--→→??++ ?
?
?
++++====++==-+-+=====??8型型确定的取值,使得极限
存在并求出极限值.
原式由原极限存在知
故得于是
原式例解(
)2
2
2
2
00
222003e lim ,
10lim 3e 0,
1
,3
e 11
lim lim .
101010
x
x x
x x x x a x a a x x x -→-→-→→++==---===-由原极限存在知
故得且
原式
2222(),(0)1,
()||()d ().
0,()()()d ()()d ()d ()d ()d ()d ,
()()d ()()
x x
x x x
x
x x x
x
x
g x T g f x x t g t t f T x f x x t g t t t x g t t
x g t t tg t t tg t t x g t t f x g t t xg x xg x ==-'>=-+-=-+-'=+-?
??
???
?
?90
00
0设是以为周期的连续函数,
求设因
故
例解
2220
4(2)()()d 2(2)()
()d ()d 2(2),
()()d ()d 2(2)
()d ()d 2(0)2.
x x
x
x x
T
T T T T
xg x xg x g t t xg x xg x g t t g t t xg x f T g t t g t t Tg T g t t g t t Tg T +---+=-+'=-+=-+=???
??
??000所以
10
1
2
010
()
(,),lim
2.()()d ,
()().
01()()d ()d ,1()
()()d .()
(0)lim ()lim 0,(0)(0)d 0,
(0)lim
x xt u
x
x x x x f x f C x
x f xt t x x x x f xt t f u u x f x x f u u x x
f x f f x x x
f t ???????→=→→→∈-∞+∞==''≠=====
'=-
+
==?
==='=????
?10令已知且设试求并讨论的连续性当时
故
又
故
例解0
2
002
2
00()d ()(0)
1
()lim
lim
1,21()
()d ,0
().1,
1
()1()lim ()lim ()d lim 21(0),2x x x x x x x x f u u x f x x
x
x
f x f u u x x x x
x f x f x x f u u x
x x ?????→→→→→-==
=?-
+≠?'=??=?
??
''=-+
=
-+==??????
?
所以
因
()(,).x ?'-∞+∞故在上连续
1
2
230
1
2
231
1
230022230
02()()()d ()d ,
().
()d ,()d ,(),
111()d ()d ,
2348
()d ()d 24,
3
3
,1,8
3
()8
f x f x x x f x x x f x x f x A f x x B f x x f x x Ax Bx A f x x x Ax Bx x A B B f x x x Ax Bx x A B A B f x x x x =++===++==++=
++==++=++==-=+-???????
?11设连续函数满足
求设则
从而有
解得故
例解31
2
.
()d ()d f x x f x x ??注:和都是常数.
五、定积分和反常积分的计算
2
01
2101
1
1
1010
10101
1
,01(),
1,01e (1)d .
(1)d ()d ()d ()d 11e d d d ln(1)1e 11e ln(1e )
ln 2ln(1).
x t x t
t t
t x x
f x x f x x f x x f t t f t t f t t
t t t t t e =---------?≥??+=??+?
--======+=+=+++++=-++=+??
?
?
????12令设
求例解
222212220011min ,d .||1122min ,d 2d d 2ln 2.
3I x x x I x x x x x x x -??
=???
?????==+=+????????????13求易见被积函数为偶函数,故
例解
40
4,.
()|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d .
n I x n Z f x x I n x n x
n x x x n x x x x x x ππππππππ+=∈===??=-=-+-??
??
=?
??
?
??14计算因是周期为的周期函数,故例解
1
2
12
11
22
20011
22220011
2
2
220
1(cos )ln
d .11ln
112ln d [ln(1)ln(1)]d()
111[ln(1)ln(1)]d 11111ln 32d ln 32ln 414131ln 3.
4
x
I x x x x
x
x
x I x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x -+=+-+-+==+---??=+---+ ?+-??+?
?=
-=--+??--??=-?????15计算因为奇函数,故例解
20
20
,2
I x t I π
π
π
π
==
-===??
?
16计算令有
例解
22
00
2
11
d d.
224
0,
sin
d.
sin cos4
p
p p
I x x
p
x
x
x x
ππ
π
π
π
??
===
>
=
+
??
?
所以
类似地,对任意常数有
1
2
40
4
4
44
00
44
00
ln(1)
d.
1
tan,
ln(1tan)d ln1tan d
4
1tan2
ln1d ln d.
1tan1tan
ln2d ln(1tan)d ln2,
4
ln2.
8
u t
x
I x
x
x t
I t t t u
u
u u
u u
u u u I
I
π
π
π
ππ
ππ
π
π
π
=-
+
=
+
=
??
??
=+====-+-
?
??
??
??
-
??
=+=
??
++
??
=-+=-
=
?
??
??
??
17求
令则
所以
例
解
1
111
000
1
0,d ln.
ln1
d,
ln ln
11
d d d d d d ln.
ln11
b a
b
y b a
b y
a
a
b a
b b b
y y
a a a
x x b
a b x
x a
x x x
x y
x x
x x b x x x y y x x y
x y a
-+
<<=
+
-
==
-+
==========
++
?
?
??????
18
交换积分次序
设证明
因
故
例
解
1
2
111
1
000
()arctan(1)(0)0,()d.
()d()d(1)(1)()(1)()d
y x x y y x x
y x x y x x x y x x y x x
'=-=
'
=-=---
?
???
19若,计算
例
解
2
(1)
11
2
00
11
(1)arctan(1)d arctan d ln2.
284
x t
x x x t t
π
-=
=---=======-
??
令
)(
3
2
1
2
3
1
2
1
3
2
1
1
2
1
22
2ln ln2.
2
x
π
=
=+=
=+=++
?
??
20计算
因为无穷间断点(瑕点),故
原式
例
解
2
1
22
2
11
d
.
(1)
11
,
(1)1
1
d ln ln2.
1
x
I
x x
x
x x x x
x
I x x
x x
+∞
+∞
+∞
+∞
=
+
=-
++
???
=-=-==
??
+
??
?
?
21计算
因故
例
解
1
5
1
01
110
1
,
111
555
111
ln
525
u
t
I
t x
I
u
+∞
=
+∞
=
=
==
??
=++=
?
??
?
???
22
令
求
令则有
例
解
六、定积分的证明题
4
tan d,1,
n
n
I x x n
π
?
23设=为大于的整数试证:
例
1
1
(1)
1
11
(2).
2222
n n
n
I I
n
I
n n
-
+=
+
<<
+-
;
222
44
200
14
2
2
2
2
2
(1)(tan tan)d tan sec d
11
tan.
11
(2)0,,tan1,tan tan(1),,
4
1
2,
1
1
.
22
1
2,
1
1
.
22
1
2
n n n
n n
n
n n
n n
n n n
n
n n
n n n
n
I I x x x x x x
x
n n
x x x x n I I
I I I
n
I
n
I I
I I I
n
I
n
ππ
π
π
--
-
-
-
-
-
+
+
+=+=?
==
--
??
∈≤≤≥≤
??
??
≤+=
-
≤
-
≥
≥+=
+
≥
+
??
当时故从而故即
同理,由得
即
所以
证
1
.
222
n
I
n n
≤≤
+-
[]20
2220
00
2020
()[0,2],()0.2()sin d (2)(0).11()sin d ()cos ()cos d 11(2)(0)()cos d 11(2)(0)()cos d .()0,f x f x n f x nx x f f n f x x x f x nx f x nx x
n n f f f x nx x n n f f f x nx x n n f x ππ
πππ
π
ππππ'≥≤-??
'=-+????'≤
-+'≤-+'≥??
???24设函数在上导数连续求证对任意正数有
因故例证
()()(0)0,f x f f π2-≥为单调增函数,从而又
[][]220
0()cos ()(),
112
()sin d (2)(0)()d (2)(0).f x nx f x f x f x x x f f f x x f f n n n ππππ'''≤='≤
-+=-?
?所以
000
0000000000()()d ()d d ,().
()()d ()d ()d ()()d ()d d ()d d .
()()()d ()d x x u
x x u
x
u x u
x u
x u
f u x u u f t t u f x f u x u u x u f t t x u f t t f t t u f t t u F x f u x u u f t t ??-=????
??
-=-????????=-+??????????=????
??=--????
????
?????????25证明:其中为连续函数法一
法二令
例证000000
00d ,
()()d ()d ()d d ,
()()d ()()()d 0,
().(0)0,0,()0,()()d ()d d .
x x x x u
x
x
x x u
u F x x f u u u f u u f t t u F x f u u x f x x f x f t t F x C F C F x f u x u u f t t u ??=--????
'=+--≡====??-=????
????????
??由于
故
所以又故因此有即
1
1
001
1
1
[0,1]()0,ln ()d ln ()d .
.111ln ln ,n i n
n
i i f C f x f x x f x x i f n n i i f f n n n n n ===??∈>≥????
??≥ ???
??????≥ ? ???????
??→∞??∑∑∑26设且证明:法一用定积分的定义由于
两边取对数,有
令取极限,注意到
例证
101110
1
11
001
11lim ln ln lim ln ()d ,
1lim ln ln ()d ,
ln ()d ln ()d .()d ,0,()()ln
ln 11n
n n n i i n
n i i i f f f x x n n n n i f f x x n n f x x f x x a f x x a f x f x a a →∞
→∞==→∞=??
??
??????== ? ?????????????????
??
= ???
??≥????
=>???=+- ????∑∑?∑????即得
法二令由题设有故
1
11100001
1
1000()1,()1ln ()d ln d 1d ()d 10,ln ()d ln d ln ln ()d .f x a f x f x x a x x f x x a a f x x a x a f x x ?≤-???
??
-≤-=-= ?????≤==???????????两边积分得
所以
1
10
1
1100
01
11000[0,1],()d 0,
()d 1.[0,1]() 4.
.[0,1]() 4.11()d ()d ()d 1,221111()d ()d 4d 1,222[0,f C f x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x x ξξξ∈==?∈≥?∈
?-=-= ?????=
-≤-<-= ????∈??
??????27设且证明:使
用反证明法设有由题设
从而有
矛盾.所以假设不成立,即例证1]() 4.
f ξ≥使
(1)
2
[,]
[,],()()0,4
max |()||()|d .
()(,),()[,][,]Lagrange b a
x a b f C a b f a f b f x f x x b a x a b f x a x x b ∈∈=='≥
-∈?
28设且证明
设因在区间和上满足中值定理条例证
第二章 一元函数微分学 一、 导数 (一)、导数概念 1、导数的定义: 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量在点0x 处取得改变量x ?时,函数)(x f 取得相应的改变量,)()(00x f x x f y -?+=?,如果当0→?x 时,x y ??的极限存在,即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在,则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数,可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤(即三步曲) ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1:根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解:223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 =当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义: 如果当)0(0-+→?→?x x 时,x y ??的极限存在,则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数(左
第三章 一元函数积分学 一.不定积分 例1:设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ,且x x f ln )]([=?,求?dx x )(?(答案: C x x +-+1ln 2) 例2:已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数,求?dx x f x )('3(答案: C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2) 例3:设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ,求?dx x f )( 例4:设)(x F 是)(x f 的一个原函数,π4 2 )1(= F ,若当0>x 时,有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ,求)(x f 。(答案:) 1(21)(x x x f += ) 例5:求? dx x x )1,,max(23 例6:求?dx e e x x 2arctan 二.定积分 例1:求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2:设)(x f 在]1,0[上连续,且 )(1 =?dx x f ,试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3:已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ,求??? ??+x f x f 1)((答案:x 2ln 21)
例4:设函数)(x f 连续,且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ,求?2 1 )(dx x f 的 值。(答案: 4 3 ) 例5:已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6:求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(,其中当0≥x 时x x f =)(,而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7:设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8:设)('x f 在]1,0[上连续,求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9:设)(x f 在]1,0[上连续,且0)(≥x f ,0)1(=f ,求证: 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10:设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数,周期为T ,并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-; 0)()2(0 =?T dx x f 求证:LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11:设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数,证明在),(b a 内存在一点ξ,使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=?
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0
)(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x
第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一.原函数的概念 例1.下列等式成立色是( ) ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2.下列写法是否有误,为什么? ()1 .ln c dx e e x x +=?(c 为任意正常数) ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗? ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表,我们就可以计算较简单的函数的积分,这种方法称做直接积分法. 例4.求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5.求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6.求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7.已知某个函数的导数是x x cos sin +,又知当2 π=x 时,这函数值为2,求 此函数. 解:因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?, 所以,可设().sin cos c x x x f ++-=
第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数:(138-141页) 1、函数的定义:对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类:基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称);复合函数([()]y f x ?=);初等函数(由常数和基本初等函数构成的,且只能用一个式子表达的函数);分段函数;隐函数;幂指函数(()()g x y f x =);反函数。 3、函数的特性:奇偶性;单调性;周期性;有界性. 二、极限: 1、极限的概念:(141-142页) 定义1:(数列极限)给定数列{}n x ,如果当n 无限增大时,其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ,即a x n -无限趋近于零,则称数列{}n x 以a 的极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记为a x n n =∞ →lim ,若{}n x 没有极限,则称数列{} n x 发散。 定义2:(0x x →时函数)(x f 的极限)设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义,当x 无限趋向于0x (0x x ≠)时,函数)(x f 的值无限趋向于 A ,则称0x x →时, )(x f 以A 为极限,记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限:设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义,当0x x <且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的左极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限:设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义,当0x x >且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的右极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3:(x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限)设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义, 若x 无限增大时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称当∞→x 时,
一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态,一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说,不定积分是已知导数求原函数,也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C 的导数也是f(x)(C 是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积,可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间,所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷,能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时,首先要建立积分表达式,一般情况下,只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述(以下的讨论都是建立在这两个条件下,因此不再提示此条件)。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤:(1)任意分割区间[]b a ,为若干子区间,任取一个子区间[]dx x x +,,求Q
在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=;(2)以dx x f )(为被积式,在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。(分割,近似,求和,取极限) 在实际应用中,通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点,用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值,即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中,定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论: 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用,因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况:直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形(能让函数图像与之重合)的面时只要建立合适的直角坐标系,再使用微元法建立积分表达式,运用微积分基本公式计算定积分,便可求出平面图形的面积。如设曲 y O
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限: 1.93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4.0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6.x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7.0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8.943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11.01 sin lim 20=→x x x (无穷小的性质)
一元函数积分相关问题 前言: 考虑到学习的效率问题,我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点,同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点,不做无用的重复。 一.考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系,知道求不定积分与求微分是互逆的关系,理解不定积分的线性性质。 问题1: 若)(x f 的导函数是x sin ,则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二.考查定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握定积分的定义与几何意义,了解可积的充分条件和必要条件,掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点: 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理(及其三个推论) 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续,若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(,则当 ],[b a x ∈时,0)(≡x f 问题2: 设? = 2 )sin(sin π dx x M ,?=20 )cos(cos π dx x N ,则有() (A )N M <<1 (B )1< 分的关系,了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来,需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导,当],[βα∈x 时, b x x a ≤≤)(),(ψ?,则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导,且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3: 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ,求)('x f )0(≥x 四.考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解:需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质,学会用性质化简积分。 问题4: 设)(x f 在]1,0[上连续, A dx x f =? 2 )cos (π ,则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五.利用定积分的定义求某些数列极限 讲解:需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有: ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5: 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六.考察基本积分表 讲解:需要掌握基本初等函数的积分公式。 七.考察分项积分方法 第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础,要求在掌握基本积分法的基础上,更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系(互为逆运算) 3. 不定积分的性质 4.基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求,因 当时 ;当时 ; 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ,,, 二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法(凑微分法) ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若,则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数,且,又具有原函数,则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于,(其中,表示关于,的有理函数),可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续,则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=,求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小, 这时底直径与高的比是多少? 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域,对应法则; 几种特殊的函数(复合函数、初等函数等); 函数的几种特性(有界性、单调性、周期性、奇偶性) 2. 极限 (1)概念 无穷小与无穷大的概念及性质; 无穷小的比较方法;(高阶、低阶、同阶、等价) 函数的连续与间断点的判断 (2)计算 函数的极限计算方法(对照极限计算例题,熟悉每个方法的应用条件) 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系; 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质; 消去零因子法; 无穷小因子分出法; 根式转移法; 利用左右极限求分段函数极限; 利用等价无穷小代换(熟记常用的等价无穷小); 利用连续函数的性质; 洛必达法则(掌握洛必达法则的应用条件及方法); ∞ ∞或00型,)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限(理解两个重要极限的特点);1sin lim 0=→x x x ,1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ,e x x x =+∞→)11(lim , 一般地,0)(lim =?x ,∞=ψ)(lim x ,)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 (1)导数的概念:增量比的极限;导数定义式的多样性,会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义:曲线上某点的切线的斜率 (2)导数的计算: 基本初等函数求导公式; 导数的四则运算法则;(注意函数积、商的求导法则) 复合函数求导法则(注意复合函数一层层的复合结构,不能漏层) 隐函数求导法则(a :两边对x 求导,注意y 是x 的函数;b :两边同时求微分;) 高阶导数 2 微分 函数微分的定义,dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则(函数极限的计算) 函数的单调性与极值,最值、凹凸性与拐点的求法 一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1 11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1 《高等数学》(上)“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ,求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导,且0)0(=f ,1)0(='f ,2)0(=''f ,求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续,且22)(lim 2=-→x x f x ,求)2(f '. 4.若)(sin x f y =,求dy . 5.若函数)(x f 可导,)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少? 6.设函数)1ln()(2x x f -=,求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ,求)0(-'f 、)0(+'f ,并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ,b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1,求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23,求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定,求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点,求b a ,. 第四章 不定积分 一、是非题: 1.已知()211 arcsin x x -='π+,则?π+=-x dx x arcsin 112. 错 2. 连续函数的原函数一定存在. 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d . 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数. 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数. 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf (k 是常数) 错 二、填空题: 1.()()? ='dx x f x f (C x f +)(ln ). 2.()?=''dx x f x (()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ). 3.知()()?+=C x F dx x f ,则()?=+dx b ax f (C b ax F a ++)(1),b a ,为常数. 4.已知 ()?+=C e dx x f x ,则()=??dx x x f sin cos ( C e x +-cos ). 5.已知()[]x dx x f sin ='?,则()=x f (x sin ). 6. 设()x f 、()x f '连续,则() ()[]=+'?dx x f x f 21([]C x f +)(arctan ). 7. 设()x f 的一个原函数为x e -,则()ln f x dx x =?( 1C x + ). 8. 函数(21ln(1)2x C ++)是2 1x x +的原函数. 9. 设()x f x e =,则()ln f x dx x '=?(x C +). 三、选择填空: 1.已知()x F 是()x f 的一个原函数,C 为任意常数,下列等式能成立的是( a ) a .()()?+=C x F x dF b .()()? ='x F dx x F 1 分析:如果构造函数 F(x) =xf(x) - % f(t)dt ,想用零点定理证明该结论,由于只能得到 F(0)F(1)冬0,无法证明F(x)在区间的端点处函数值异号,故应选择用罗尔定理证明?利 i i 用罗尔定理证明困难在于找辅助函数,只要注意到 x f (t )dt -Xf (X )二[X x f (t)dt 「,辅助 函数便可以得到了. i 证明:令 F(x) =x f (t)dt ,贝V F(x)在区间[0,1]上连续,在区间(0, 1)内可导,且F(0) = F(1) = 0,所以根据罗尔定 1 理可得:至少存在一点 x^ (0,1),使得F'(X 0)= 0,艮卩x 0f(x °) = f f (t)dt ? 所以存在x^ (0,1),使得在[0,沧]上以f(x 。)为高的矩形面积,等于在区间 [x °,1] 上 以y = f (x)为曲边的曲边梯形的面积. IV 已知被积函数有高阶导数,且最高阶导数连续的积分等式的证明 此种类型的积分等式一般用泰勒公式证明?解题一般思路:①对变上限定积分 F(x)二 x .f (t)dt 在适当的点(由已知条件或所证结论的形式来确定)泰勒展开;②令展开式中的 a 变量分别取积分等式中的积分的上下限, 得到两个关系式;③对上述关系式进行适当的运算 推出所证结论. [例3232]设f(x)在[a,b ]上具有连续的二阶导数, 试证在(a,b)内存在一点 ,使得 a + b 1 3 u f(x)dx = (b-a)f(_2b) 24(b-a)3f (). x 分析:由于被积函数具有连续的二阶导数, 所以F(x) f(t)dt 在[a,b ]上具有三阶导数, a 于是将F(x)展开成二阶泰勒公式,根据结论的特点,应将 x a + b 证明:将函数 F( xr a f(t)dt 在点 1 处展开为二阶泰勒公式,则 F (x)在 X 。二 24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 (甲)内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义,自变量x 在0x 处有增量x ?,相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在,则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数(也称微商),记作0()f x ',或0 x x y =' , x x dx dy =, )(x x dx x df =等,并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在,则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式,令x x x ?+=0,0x x x -=?,则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数:0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数:0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2.导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在,则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线的斜率。 切线方程:000()()()y f x f x x x '-=- 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念 1.导数: )(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0 0)(0x x x x dx dy x f y === '=' 2.左导数: 00) ()(lim )(0x x x f x f x f x x --='- →- 右导数:0 00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+ →+ 定理: )(x f 在0x 的左(或右)邻域上连续在 其内可导,且极限存在; 则: ) (lim )(0 0x f x f x x '='-→- (或: )(lim )(0 0x f x f x x '='+→+) 3.函数可导的必要条件: 定理: )(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续 4. 函数可导的充要条件: 定 理 : ) (00 x f y x x '=' =存在 )()(00x f x f +-'='?, 且存在。 5.导函数: ),(x f y '=' ),(b a x ∈ )(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f ' 6.导数的几何性质: y ? )(0x f ' 是曲线 )(x f y =上点 x ? ()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0 ㈡求导法则 1.基本求导公式: 2.导数的四则运算: 1o v u v u '±'='±)( 2o v u v u v u '?+?'='?)( 3o 2v v u v u v u '?-?'=' ?? ? ?? )0(≠v 3.复合函数的导数: 一元函数积分学与微分方程综合练习题 一、选择题 1、函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的( )条件。 A 、充分; B 、必要; C 、充分必要; D 、无关 2、已知C xe dx x f x +=-?)(,则= A 、C xe x f x +=-)(, B 、x xe x f -=)(, C 、x e x x f --=)1()(, D 、x e x x f -+=)1()(。 3、广义积分1ln e dx x x +∞ ? ( ) A 、发散 B 、收敛 C 、 既不收敛也不发散 D 、不能确定。 4、设无关,则与上连续,且在t x b a t f y ],[)(=( ) A 、 ??=b a b a dt t f t dt t tf )()(, B 、??=b a b a dt x f t dt t tf )()(, C 、 ??=b a b a dt t f x dt t xf )()(, D 、??=b a b a dt t f t dt t xf )()( 5、='?1 0)2(dx x f ( ) A 、)]0()2([21f f -, B 、)0()2(f f -, C 、)]0()1([2 1f f -,D 、)0()1(f f - 6、下列微分方程中为4阶线性微分方程的是( ) A 、(4)2560y y x +-= B 、(4)6x y y e x ''-+= C 、 4sin cos y xy x x '''++= D 、(4)sin tan y y xy x += 二、填空题 1、微分方程02)(2=+-'t tx x 的阶数 。 2、若?=,sin )(xdx x f 则)0(f '= 。 3、设f (x )的一个原函数为cos x ,则?='dx x f x )( 。 4、?+21π x t dt dx d = 。 5、='?)arcsin (10xdx 。 6、)1(2 1'-?x t dt t e = 。 一元函数积分学 考试要求: 1. 理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的换元积分法。 2. 了解定积分的概念和基本性质,了解定积分中值定理,理解积分上限的函数并会求它的导数,掌握牛顿莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法. 3. 会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题. 4. 了解反常积分的概念,会计算反常积分. 考试内容解析: (一) 不定积分 1. 基本概念 (1)原函数:若在某区间I 内, ()()F x f x '=或()()dF x f x dx =,则称()F x 为 ()f x 在该区间内的一个原函数(有时候区间略而不提). (2)原函数与不定积分的关系: 若已知()F x 是()f x 一个原函数,则 ()()f x dx F x C =+?,其中C 为任意常数. 注:若()f x 有一个原函数()F x ,则()f x 必有无穷多个原函数,并且所有原函数皆为()F x C +的形式。 例1设()f x 的导数是sin x ,则()f x 的原函数是 (3)求不定积分与求导是互为逆运算的关系: (())()f x dx f x '=?或()()d f x dx f x =? ()()F x dx F x C '=+?或()()d dF x F x C =+? (4)不定积分的性质: []()()()()af x bg x dx a f x dx b g x ±=+???,,a b 为任意常数. (5)不定积分的几何意义: ()f x 的不定积分()f x dx ?表示具有斜率为()f x 的“平行”曲线组. 2. 基本积分表(式中C 为任意常数,0a ≠) (1)0dx =? (2)x dx α=? (3)dx x =? (4)x a dx =? (5)x e dx =? (6)sin xdx =? (7)cos xdx =? 一元函数与二元函数在微积分学上的差异 在一元微积分部分我们学习了仅依赖于一个变量的函数——一元函数。一元函数是函数关系中最简单的情形。但在现实问题中,我们发现通常一个变量的变化总是受到多个因素的制约和影响。所以,我们更需要学习、研究多元函数及其微积分。而在多元函数的相关学习中我们又以二元函数为重点研究对象,因为对二元函数的研究方法在原则上适用于多元函数。通过对一元函数与二元函数的比较学习,我们发现矛盾对立统一的观点贯穿二者之间。下面我们将着重分析一元函数与二元函数在微积分学上的差异。 (一)、函数极限 这一点通过几何上的意义可以很直观地加以说明:在几何图象上,一元函数描述的仅是二维平面上简单的点或曲线;而二元函数,从一元函数确定的二维平面上扩展至三维立体空间描述的是点或曲面。我们从极限的定义上来看:一元函数y=f(x)在x 0处的极限为A 即当x →x 0 有 f(x)→A 。可以知道x 趋近于x 0 ,有且仅有两个方向—.x o 的正方向和x o 的负方向,而且趋近的路径也被f(x)确定的曲线所确定。因此 我们在考虑函数在某点的极限是否存在时,通常只考虑函数在该点的左右极限是否存在且相等。而二元函数f(x,y)在(x 0,y 0)的极限为A 即当 (x,y)→(x 0,y 0)有z=f(x,y) →A 。显然,在坐标平面上(x,y)有无数个方向 可以趋向于(x 0,y 0)而且(x,y)趋向于(x 0,y 0) 的路径也是多种多样。因此, 我们发现在二元函数中已无左右极限之说。那么,我们在考虑二元函数在某点的极限是否存在时,就不能再仅仅考虑它在该点的左右某个 方向或某条特定的路径上存在极限。而应考虑在这点的某个邻域内任意方向、由任意路径趋近是否都存在极限,并且各极限的值相等。(二)、连续 函数连续实际上是函数存在极限的一种特殊情况:函数在某点存在极限且极限值就等于函数在该点的函数值。所以,对函数连续的讨论可以与函数极限的讨论等同起来。同样,一元函数在某点连续则它在该点左连续右连续;而二元函数无左、右连续之说。值得注意的是,当一元函数不连续时它可能有可去间断点、第一类间断点、第二类间断点。对于二元函数,它若不连续同样有类似以上的三类间断点。根据不同间断点的定义可知,在二元函数中要确定点a是哪一类间断点,不仅要像一元函数一样考虑f(a-0)、f(a+0)是否都存在,存在的话是否相等,相等的话又都等不等于f(a)。还要考虑从不同方向顺着不同路径趋近于a 时的极限,换句话说,就是要考虑到a 的整个邻域。就几何图象来说,连续的一元函数图像是一根光滑曲线允许曲线上有尖角(如函数f(x)=|x|所确定的图象在x=0处);连续的二元函数图像是圆滑的曲面,但是它不允许有尖角。 (三)导数 1.由于一元函数只含一个变量,所以可以对该变量直接求导;二元函数含两个变量只能分别对其中一个求偏导。在求一个变量的偏导时,将另一个变量看成常量。实际上,另一变量的变量身份并没有改变而且z=f(x,y)对x的偏导还是关于x,y的二元函数。 2.高阶导数。一元函数如果存在高阶导数,高阶导数的个数与阶的大第三章-一元函数积分学
一元函数微积分基本练习题及答案
一元函数微分学知识点
成人高考一元函数积分学整理.
《高等数学》(上)一元函数微分学复习题
高数一元函数积分学习题及答案
第三章一元函数积分学(下)
高等数学讲义-- 一元函数微分学
一元函数微分学
一元函数积分学综合练习题
一元函数积分学
一元函数与二元函数在微积分学上的差异