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导数大题练习题

导数大题练习题
导数大题练习题

导数练习题5

1、知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调递减区间; (Ⅱ)若在上是单调函数,求实数的取值范围.

2、已知函数x ax x x f 3)(23--=.(Ⅰ)若)(x f 在∈x [1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围;。 (Ⅱ)若x =3是)(x f 的极值点,求)(x f 在∈x [1,a ]上的最小值和最大值.

3、函数21()ln ,()(0)2

f x x

g x ax bx a ==+≠ (I )若2,()()()a

h x f x g x =-=-时函数在其定义域内是增函数,求b 的取值范围;

(II )若1=,2=b a ,若函数2)(2)(x x f x g k --=在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数k 的取值范围;

4、函数x x x f 2ln )(+=,)()(2x x a x g +=(1)若2

1=

a ,求)()()(x g x f x F -=的单调区间;(2)当1≥a 时,求证:)()(x g x f ≤.

5、设函数f (x ) = x 2+bln(x +1),

(1)若对定义域的任意x ,都有f (x )≥f (1)成立,求实数b 的值;

(2)若函数f (x )在定义域上是单调函数,求实数b 的取值范围;

1、(Ⅰ)由题意可知,函数的定义域为,当时,, 故函数的单调递减区间为.……4分(Ⅱ)由题意可得,函数在上是单调函数.①若为上是单调增函数,则在上恒成立,即在上恒成立,又在上单调递减,,故 . ②若为上是单调减函数,则在上恒成立,不可能.综上:的范围为.

2、(1)0323)(2>--='ax x x f .∵ x ≥1. ∴ )1(23x x a -<, 当x ≥1时,)1(23x x -是增函数,其最小值为0)11(2

3=-.∴ a <0(a =0时也符合题意). ∴ a ≤0.(2)最小值是18)3(-=f ,最大值是6)1(-=f , 3:(I )2()ln ,()(0,)h x x x bx h x =+-+∞Q 且函数定义域为 知1()20(0,)h x x b x x

'=+-≥∈+∞对恒成立,112,0,222b x x x x x

∴≤+>∴+≥Q ,22b ∴≤ (II )函数2()

()2()k x g x f x x =--在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程 2ln x x a -=,在[1,3]上恰有两个相异实根。令2()2ln ,()1,x x x x x

??'=-=-则 [)(](]min 1,2,()0,2,3,()0,

()[1,2]2,3.()(2)22ln 2.

x x x x x x ?????''∈<∈>==-当时当时在上是单调递减函数,在上是单调递增函数故 (1)1,(3)32ln 3,(1)(3),

??????==->∴≤Q 又只需(2)

4.解:(1)21=a ,)(212ln )(2x x x x x F +-+= )0(>x x

x x x x x x x x F 2)2)(12(2322231)(2-+-=+-=+-=' ∵0>x ,∴当20<'x F ,当2>x 时,0)(<'x F , ∴)(x F 的增区间为)2,0(,减区间为),2(+∞

(2)令)()()(x g x f x h -= )0(>x 则由02

)1)(12(221)()()(=-+-=--+='-'='ax x a ax x x g x f x h 解得a x 1= ∵)(x h 在)1,

0(a 上增,在),1(+∞a 上减 ∴当a x 1=时,)(x h 有最小值,111ln )11(21ln )1(2-+=+-+=a a a

a a a a a h ∵1≥a ,∴01ln ≤a ,,011≤-a ∴0)1()(≤≤a h x h ,所以)()(x g x f ≤ 5、解:(1)由x + 1>0得x > – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞),对x ∈( - 1,+ ∞),都有f(x)≥f(1),∴f(1)是函

数f(x)的最小值,故有f / (1) = 0,

,02

2,12)(/=+∴++=b x b x x f 解得b= - 4.经检验,列表(略),合题意;……4分

(2)∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数,∴f / (x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1,+ ∞)上恒成立。若f / (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x 2 +2x+b ≥0在( - 1,+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2

-2x = 2

1)21(22++-x 恒成立,由此得b ≥21; 若f / (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x 2 +2x+b ≤0,即b ≤-(2x 2+2x)恒成立,因-(2x 2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值,∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立。综上所述,实数b 的取值范围是??????+∞,21。

导数题型总结(12种题型)

导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义:函数y=f(x)在点x=x0 处的导数f’(x0)的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨: 1.求切线 ①若点是切点:(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x),把x0代入导

数求得函数y =f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程,得切线方程:y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). ②点(x 0,y 0)不是切点求切线:(1)设曲线上的切点为(x 1,y 1); (2)根据切点写出切线方程y -y 1=f ′(x 1)(x -x 1) (3)利用点(x 0,y 0)在切线上求出(x 1,y 1); (4)把(x 1,y 1)代入切线方程求得切线。 2.求参数,需要根据切线斜率,切线方程,切点的关系列方程:①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三.常考题型:(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四.跟踪练习 1.(2016全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x <0时,f(x)=f (-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是 2.(2014新课标全国Ⅱ)设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.(2016全国卷Ⅱ)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= 4.(2014江西)若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是 5.(2014江苏)在平面直角坐标系中,若曲线y=ax 2 + x b (a ,b 为常数)过点P (2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b= 6.(2012新课标全国)设点P 在曲线y=2 1e x 上,点Q 在曲线y=ln (2x )上,则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2(1-ln2) C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切,则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1

导数大题第一、二问解题方法

导数大题一、二问专练 一、求单调性解题步骤: (1)求函数()f x 的定义域 (2)求函数的导函数()f x ',并化简; (3)令()0f x '=,求出所有的根,并检查根是否在定义域内。(注意此处是否引出讨论)............ (讨论:1)讨论的对象,即讨论哪个字母参数 2)讨论的引发,即为何讨论 3)讨论的范围,即讨论中要做到“不重不漏”) (4)列表:注意定义域的划分、()f x '正负号的确定 (5)根据列表情况作出答案 二、导数难点: 难点一:如何讨论: (1)判断()0f x '=是否有根(可通过判别式的正负来确定),如果无法确定,引发讨论; (2) 求完根后,比较()0f x '=两根的大小,如果无法确定,引发讨论。 (3在填表时确定()f x '的正负或解不等式()0f x '>过程中,引发讨论。 难点二、()f x '正负的确定 (1) 当()f x '或()f x '式中未确定部分是一次或二次函数时,画函数图象草图来确定正负号; (2)()f x '为其他函数时,由()0f x '>的解集来确定()f x '的正负。 (3)若()0f x '=无根或重根,不必列表,直接判断导函数的正负即可。 题型一:讨论()0f x '=是否有根型

(1)若导数是二次函数,需判断判别式?的正负 (2)若导数是一次函数y kx b =+,需判断k 的正负 1、设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点 2.(08文)已知函数32 ()3(0)f x x ax bx c b =+++≠,且()()2g x f x =-是奇函数. (Ⅰ)求a ,c 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间 (18) (本小题共13分)已知函数x a x x f ln )(2 -=(R a ∈).(练习) (Ⅰ)若2=a ,求证:)(x f 在(1,)+∞上是增函数; (2)求()f x 的单调区间; 18.设函数()0)(2>+=a b x ax x f 。 (1)若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-,求b a ,的值; (2)求函数()f x 的单调区间 (3)若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增,求b 的取值范围 3(2010东城一摸试卷)已知函数1()ln f x a x x =-,a ∈R

函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练

专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念,会求函数的定义域,值域和解析式,特别是定义域的求法; 2、 掌握函数单调性,奇偶性,周期性的判断方法及相互之间的关系,会解决它们之间的综合问题; 3、 掌握指数和对数的运算性质,对数的换底公式; 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质; 5、 掌握函数的零点存在定理,函数与方程的关系; 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用; 7、 熟练掌握导数的计算,导数的几何意义求切线问题; 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系,会利用导数分析函数的单调性,会根据单调性确定参数的取 值范围; 9、 会利用导数求函数的极值和最值,掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点,又是难点,再备考过程中应该大量解出各种题型,总结其解题方法,积累一些常用的小结论,会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、(2019届新余四中、上高二中高三第一次联考)已知函数 .,R n m ∈ (1)若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行,求实数n 的值; (2)试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值; (3)若1=n 时,函数()x f 恰有两个零点,求证:221>+x x 【答案】(1)6n =(2)1ln m n --(3)见解析 【解析】(1)由, ,由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行, 故 2 14 n -=,解得6n =。 (2) ,由()0f x '<时,x n >;()0f x '>时,x n <,所以 ①当1n ≤时,()f x 在[)1,+∞上单调递减,故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ;

导数各类题型方法总结(含答案)

导数各种题型方法总结 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值范围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

最全导数解答题方法归纳总结

导数解答题归纳总结 19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围. 解析 (Ⅰ)由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ,解得0=b ,3-=a 或1=a (Ⅱ)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有 0)1()1(<'-'f f , 即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2 <-++a a a ,解得15-<<-a 20.(2009北京文)(本小题共14分) 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能 力. (Ⅰ)()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切, ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? (Ⅱ)∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时,()' 0f x >,函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增, 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时,由()' 0f x x a =?=± , 当() ,x a ∈-∞-时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增, 当(),x a a ∈-时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, 当(),x a ∈+∞时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增,

高考压轴题:导数题型及解题方法总结很全.

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法: )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法:设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x )()()(000 求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f (x )=x 3 ﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169y x ) (2)若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线,求实数 m 的取值范围、 (提示:设曲线 )(x f y 上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。(答案: m 的范围是2,3) 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法:设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为( )(,11x f x )。()(,22x f x ); 建立 21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x ,12 212 )()(y y x f x x ;求出21,x x ,进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。(答案02e y x e ) 二.单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0的 关系不定);(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 (1)求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)(2)若 e x ,2,求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。 方法1:研究导函数讨论。 方法2:转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题, 方法3:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意:“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数,求实数 a 的取值范围. (答案 , 0) 题型 3 已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。 方法1:正难则反,研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题,再检验。方法3:直接研究不单调,分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ,R a 在区间 1,2 1内不单调,求实数 a 的取值范围。 (答案: 3, 2a ) )三.极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ,求在2,1x 的极小值。 (利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类) 题型 2 已知函数极值,求系数值或范围。 方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。(答案:1)

导数大题方法总结[1]

导数大题方法总结 一总论 一般来说,导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定,但有相当的规律可循,所以在此我进行了一个答题方法的总结。 二主流题型及其方法 *(1)求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说,一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题:若f(x)在x = k时取得极值,试求所给函数中参数的值;或者是f(x)在(a , f(a))处的切线与某已知直线垂直,试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样,但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力,就会轻松解决。这一般都是用来送分的,所以遇到这样的题,一定要淡定,方法是: 先求出所给函数的导函数,然后利用题目所给的已知条件,以上述第一种情形为例:令x = k,f(x)的导数为零,求解出函数中所含的参数的值,然后检验此时是否为函数的极值。 注意:①导函数一定不能求错,否则不只第一问会挂,整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快,一定要小心谨慎,另外就是要将导数公式记牢,不能有马虎之处。②遇到例子中的情况,一道要记得检验,尤其是在求解出来两个解的情况下,更要检验,否则有可能会多解,造成扣分,得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是:淡定。别人送分,就不要客气。③求切线时,要看清所给的点是否在函数上,若不在,要设出切点,再进行求解。切线要写成一般式。 *(2)求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问,有时也有可能在第一问,依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单,一般是求f(x)的单调(增减)区间或函数的单调性,以及函数的极大(小)值或是笼统的函数极值。一般来说,由于北京市高考不要求二阶导数的计算,所以这类题目也是送分题,所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是: 首先写定义域,求函数的导函数,并且进行通分,变为假分式形式。往下一般有两类思路,一是走一步看一步型,在行进的过程中,一点点发现参数应该讨论的范围,一步步解题。这种方法个人认为比较累,而且容易丢掉一些情况没有进行讨论,所以比较推荐第二种方法,就是所谓的一步到位型,先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值,然后以这些值为分界点,分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论,这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论,而且还会是自己做题更有条理,更为高效。 极值的求法比较简单,就是在上述步骤的基础上,令导函数为零,求出符合条件的根,然后进行列表,判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性,进而确定该点为极大值还是极小值,最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的,只是有些题要比较极值点与边界点的大小,不能忘记边界点。 注意:①要注意问题,看题干问的是单调区间还是单调性,极大值还是极小值,这决定着你最后如何答题。还有最关键的,要注意定义域,有时题目不会给出定义域,这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准,不要慌张。③求极值一定要列表,不能使用二阶导数,否则只有做对但不得分的下

导数题型方法总结绝对经典

第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是( ) A. 4 1- B. 2 C. 41 D. -2 变式1:()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 变式2:()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 ( ) A .()02x f ' B .()0x f ' C .()03x f ' D .()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <

高中导数大题专题复习

高中导数大题专题复习 一、导数的基本应用 (一)研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路:定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法: 一般通法:利用导函数研究法 特殊方法:(1)二次函数分析法;(2)单调性定义法 【例题】(2008北京理18/22)已知函数2 2()(1)x b f x x -=-,求导函数()f x ',并确定()f x 的 单调区间.

本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】(2009北京文18/22)设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点. 【例题】(2009天津理20/22)已知函数2 2 ()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈. (II )当2 3 a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值. 【例题】(2008福建文21/22)已知函数3 2 ()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--,且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)若0a >,求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值.

【例题】(2009安徽文21/21)已知函数2 ()1ln f x x a x x =-+-,a >0, (I)讨论()f x 的单调性; (II)设a=3,求()f x 在区间[1,2 e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. (二)利用函数的单调性、极值、最值,求参数取值范围 基本思路:定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具:导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题】(2008湖北文17/21)已知函数3 2 2 ()1f x x mx m x =+-+(m 为常数,且m >0)有极大值....9. . (Ⅰ)求m 的值; (Ⅱ)若斜率为5-的直线是曲线()y f x =的切线,求此直线方程. 【例题】(2009四川文20/22)已知函数3 2()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. (I )求函数()f x 的解析式; (II )设函数1 ()()3 g x f x mx =+ ,若.()g x 的极值存在.....,求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)('=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)。 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x <

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1 x -a . 若a≤0,则f′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上单调递增. 若a >0,则当x ∈? ???? 0,1a 时,f ′(x )>0; 当x ∈? ?? ?? 1a ,+∞时,f ′(x )<0, 所以f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,f (x )在? ???? 0,1a 上单调递增,在? ?? ??1a ,+∞上单调递减. (2)由(1)知,当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上无最大值; 当a >0时,f (x )在x =1a 处取得最大值,最大值为f ? ?? ??1a =ln 1 a +a ? ?? ??1-1a =-ln a +a -1. 因此f ? ?? ?? 1a >2a -2等价于ln a +a -1<0. 令g (a )=ln a +a -1,则g (a )在(0,+∞)上单调递增, g (1)=0. 于是,当0<a <1时,g (a )<0; 当a >1时,g (a )>0. 因此,实数a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

导数题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用 一.导数的概念 1..已知的值是() A. B. 2 C. D. -2 变式1:() A.-1B.-2C.-3D.1 变式2:() A.B.C.D. 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数, (1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围; (2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值. 解:由函数得 (1)在区间上为“凸函数”, 则在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于

导数大题解题步骤

导数大题 一、知识准备 1、导数定义:x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0' 2、导数的计算: (1)基本初等函数的导数公式: ①若C x f =)((C 为常数),则0)('=x f ②若a x x f =)(,则1')(-?=a x a x f ③若x x f sin )(=,则x x f cos )('= ④若x x f cos )(=,则x x f sin )('-= ⑤若x e x f =)(,则x e x f =)(' ⑥若x a x f =)(,则a a x f x ln )('= ⑦若x x f ln )(=,则x x f 1)('= . ⑧若x x f a log )(=,则a x x f ln 1)('= (2)导数的运算法则: ①[])()()()('''x g x f x g x f ±=± ②[])()()()()()(''' x g x f x g x f x g x f ?+?=? ③)()()()()()()(2''' x g x g x f x g x f x g x f ?-?=?? ???? (3)复合函数求导:[])())(())(('''x g x g f x g f ?= 3、导数在研究函数中的应用 (1)函数单调性与导数的关系: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间[]b a ,内:①若0)('>x f ,那么函数)(x f y =在[]b a ,上单调递增 ②若0)('<x f ,那么函数)(x f y =在[]b a ,上单调递减 (2)函数极值(局部比较大小)与导数的关系: 求函数)(x f y =极值的方法:首先求出当0)(=x f 时的解0x ,若无解则无极值,若有解也不一定有极值,所以要进行以下判断 ①若在0x 左侧0)('<x f ,右侧0)(' >x f ,那么)(0x f 是极小值 ②若在0x 左侧0)('>x f ,右侧0)('<x f ,那么)(0x f 是极大值 ②若在0x 左侧和右侧的)('x f 同号,那么)(0x f 不是)(x f 的极值 (3)函数最值(整体比较大小)与导数的关系: 求)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值与最小值的步骤:

导数各种题型方法总结

导数各种题型方法总结
请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2 变更主元;3 根分布;4 判别式法 5、二次函数区间最值求法: (1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次, 分析每种题型的本质, 你会发现大部分都在解决 “不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范围。b5E2RGbCAP 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 f ' ( x) ? 0 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元) ;
(请同学们参看 2012 省统测 2) 例 1: 设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) , 若在区间 D 上,
g ( x) ? 0 恒 成 立 , 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ,已知实数 m 是常数,
f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 ? ? p1EanqFDPw 12 6 2 (1)若 y ? f ( x) 在区间 ? 0,3? 上为“凸函数” ,求 m 的取值范围;
(2)若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ,函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ,求 b ? a 的最大
值.
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 解:由函数 f ( x) ? 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
(1)
y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ,
2
则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 gmax ( x) ? 0
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2020高考数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令 0)('=x f 得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知; 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值(请同学们参考例5);第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;参考例4; 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++,2x =是)(x f 的一个极值点. (Ⅰ)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若当[1, 3]x ∈时,2 2()3 f x a ->恒成立,求a 的取值范围. 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . (1)若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6,求函数)(x f y =的解析式;(2)若3>a ,求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 (1)求()f x 在[0,1]x ∈上的值域; (2)若对于任意1[0,1]x ∈,总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-, 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> (Ⅰ)求,a b 的值; (Ⅱ)当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域; (Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立,求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+) (0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是-11. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=,在1-=x 时有极值0,则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2,函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g . (1) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式; (2) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围. 答案: 1、解:(Ⅰ) '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点, ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根,解得32 b =. 令'()0f x >,则2 320x x -+>,解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞,(2, +)∞. (Ⅱ)∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <,(2,3)x ∈时'()0f x >, ∴ ()f x 在(1,2)上单调递减,()f x 在(2,3)上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1,3]上的最小值,且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时,要使 22()3f x a -> 恒成立,只需22(2)3f a >+, 即2 2233 a a +>+,解得 01a <<. 2、解:(Ⅰ)a ax x x f ++='23)(2 . 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ,得 ???=-=23b a . ∴ 233)(23+--=x x x x f . (Ⅱ)023)(2=++='a ax x x f . ∵ 3>a ,∴ 01242>-=?a a .

导数大题方法总结(实用)

导数大题方法汇总报告 一总论 一般来说,导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定,但有相当的规律可循,所以在此我进行了一个答题方法的汇总报告。 二主流题型及其方法 *()求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说,一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题:若()在时取得极值,试求所给函数中参数的值。或者是()在( , ())处的切线与某已知直线垂直,试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样,但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力,就会轻松解决。这一般都是用来送分的,所以遇到这样的题,一定要淡定,方法是:先求出所给函数的导函数,然后利用题目所给的已知条件,以上述第一种情形为例:令,()的导数为零,求解出函数中所含的参数的值,然后检验此时是否为函数的极值。 注意:①导函数一定不能求错,否则不只第一问会挂,整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快,一定要小心谨慎,另外就是要将导数公式记牢,不能有马虎之处。②遇到例子中的情况,一道要记得检验,尤其是在求解出来两个解的情况下,更要检验,否则有可能会多解,造成扣分,得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是:淡定。别人送分,就不要客气。③求切线时,要看清所给的点是否在函数上,若不在,要设出切点,再进行求解。切线要写成一般式。 *()求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问,有时也有可能在第一问,依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单,一般是求()的单调(增减)区间或函数的单调性,以及函数的极大(小)值或是笼统的函数极值。一般来说,由于北京市高考不要求二阶导数的计算,所以这类题目也是送分题,所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是: 首先写定义域,求函数的导函数,并且进行通分,变为假分式形式。往下一般有两类思路,一是走一步看一步型,在行进的过程中,一点点发现参数应该讨论的范围,一步步解题。这种方法我认为比较累,而且容易丢掉一些情况没有进行讨论,所以比较推荐第二种方法,就是所谓的一步到位型,先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值,然后以这些值为分界点,分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论,这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论,而且还会是自己做题更有条理,更为高效。 极值的求法比较简单,就是在上述步骤的基础上,令导函数为零,求出符合条件的根,然后进行列表,判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性,进而确定该点为极大值还是极小值,最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的,只是有些题要比较极值点与边界点的大小,不能忘记边界点。 注意:①要注意问题,看题干问的是单调区间还是单调性,极大值还是极小值,这决定着你最后如何答题。还有最关键的,要注意定义域,有时题目不会给出定义域,这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准,不要慌张。③求极值一定要列表,不能使用二阶导数,否则只有做对但不得分的下场。 *()恒成立或在一定条件下成立时求参数范围 这类问题一般都设置在导数题的第三问,也就是最后一问,属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解,而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题,属于扣分题,但掌握好了方法,也可以百发百中。方法如下: 做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是:分离变量。一定要将所求的参数分离出来,否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的

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