高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧
（高考数学备考资料）
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求∑
=-n
k k 1
2142的值; (2)求证:3
511
2
<∑=n
k k .
解析:(1)因为
121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为
??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1222
n n n n n ,所以35321121121513121112=+
k 奇巧积累
:
(1)
??
? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2)
)
1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3))2(111)1(1!11)!(!!11
≥--=-<
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r
r r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-+
+?+?++<+n n n
n
(5)
n
n n
n 2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n
n n (8) n
n n n n n n 2)32(1
2)12(12
13211
221
?+-?+=
???? ??+-+-
(9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !
)1(1!1!)1(+-
=+n n n n (11)
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+ (11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(1112 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 111211111 1 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-?>-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++ n n n (2)求证:n n 412 14136 116 14 12 -<++++ (3)求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+ n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 解析:(1)因为 ??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(4 1)12 11(4 14136 116 14 12 22n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 13 12 11)11(2++++<-+ 再证 2 1 2121 2122 2)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以)112(213 12 11-+<++++n n 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为??? ??+--=-=-<121121 2144 411 1 222 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + n k 另一方面: 1 111)1(14313 21119 14 112 += +-=++ +?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ , 所以综上有3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例 4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足1 01a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈， ，整数11ln a b k a b -≥.证 明:1k a b +>. 解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1, 若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 1 1ln ln , 因为 )ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1 11111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11] )1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 1 1 ])1[()1(]) 1([, 即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(, 即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:2 3321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++= 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3422111111+?-?? =+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 312 11 217 13 13 11231 321 ?---++-+-=+++++n n n T T T T 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *) )(11(21 1 1 4 1 224 544 32N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+?+ 证明: n n n n n n x x n n 22 21 41 141 ) 12)(12(1 14 2 4 2 4 4 1 22= ?= > -= +-= +, 因为 12++ ) 1(21 2 22 1 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 6533 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(133 3ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ cause ??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 31121219181716151413121313 12 1 65333232791899363651 11 n n n n n =??? ? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6 6536 5133 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln +-=--<++++n n n n n n 例9. 2 ααα 例10.所以有n n 12 11)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 1211)1ln(113 121+++<+<++ ++ 例11.求证:e n <+??++)! 11()! 311)(! 211( 和e n <+??+ +)3 1 1()8111)(9 11(2 .解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 )1(1ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln >∈-<++ +++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 1 1 ln -≤+n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 4 3ln 3 2ln >∈-<++ +++n N n n n n n 例14. 已知1 12 111,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21 )1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1 ++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：? + ++ ≤+n n n a n n a )2 1 11(2 1? ++ ++ ≤+n n n a n n a ln )2 111ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是 n n n n n a a 2 1 1ln ln 2 1++≤ -+， . 221122 11)21 (111ln ln )2 11()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+ -≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n 注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ? -+-+≤+) 1(1)) 1(11(1 n n a n n a n n ? +-+ ≤++)1)() 1(11(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k =+-> ()ln ,()ln ()ln(), 0.()ln 1ln()1ln ,2()0,10.2 f x x x g x x x k x k x x x k g x x k x k x x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>?>?<<--令则有 ∴函数k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]2 ,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)2(k g ，即总有).2()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2 ()2 ()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x > ?在0>x 上恒成立. (I)求证：函数),0()()(+∞= 在x x f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证： ). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:(I)0)()(')('2 >-=x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 111212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ )()()()(21211 1212111n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令 2 )1(1n x n += ,有 ? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ???? ??+++?+?????? ??++++ 31121ln )1(13121222 )2)(1(2212111++-=??? ??+-??? ??+- 所以 ). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++>++++++ (方法二)?? ? ??+-+=++≥+++>++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2 n n n n n n n n n 所以 ) 2(24ln 2121 4ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=??? ??+->++++++n n n n n 又1114ln +>>n ,所以).()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 21*22222222N n n n n n n ∈++>++++++ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>+>m a b m b b 和)0,0(>>>+ 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 211()5 11)(3 11)(11(+>-++++n n 和 1 21)211()611)(411)(211(+< +---n n 也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n 和1 212642)12(531+ 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 > -??1 225 63412n n =+??n n 212674523 )12(212654321+?-??n n n ?12)1 225 63412(2+>-??n n n 即.12)1 21 1()5 11)(311)(11(+>-+ +++n n 例20.证明:.13)231 1()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n (加1) n n n n 31391067.342313784512+????>--???? (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+? ???>??? ??--????n n n n n n n 所以有.13)2 311()7 11)(4 11)(11(3+>-++++n n 四、分类放缩 例21.求证:2 1213 12 11n n >-+ +++ 解析: +++++++++>-+ +++ )2 1 212121()4141(211121312 113333n 2)211(221)212121( n n n n n n n > -+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线 x y 2=（x ≥0）上的点列{}n B 满足n OB OA n n 1==，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*∈N n . (1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有n n n n b b b b b b b b 11 2 31 2+-++++ <2008-n . 解析:(1) 依题设有：(()1 0,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ()() 11 000 n n a b n n ??? -=--? ???? n a 2222 1 210,2n n n n n b n b b n b =->+= 显然，对于1101 n n > >+，有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明：设 *1 1,n n n b c n N b +=- ∈，则 ( ) ()() 22222 11121121 2121n c n n n n n n n ?- +??? ?++ > ++ ?()()() 2 *1 212210,,2 n n n n n c n N n ++-+=>∴> ∈+ 设*12,n n S c c c n N =++ +∈，则当() *221k n k N =->∈时， 23111 11111 11 1342123421 221 2n k k k k S -??????>++ + +=++++ +++ ? ? ?-++?????? 2123111122222 22 k k k -->? +?++? =。 所以，取4009022n =-，对0n n ?>都有： 2008214017111012312=->>=???? ? ?-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b 故有n n n n b b b b b b b b 11 2 31 2+-++++ <2008-n 成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)() (*3N n n n f b n ∈= ，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于 任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2+=,∵n n n n n n f b n 1 2)(323>+== ∴n b b b b T n n 131211321++++>++++= ,∵214124131=?>+,218148 1716151=?>+++,… 212122122112 111 1 =?>++++ +---k k k k k ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当222->m n 时,必有A m m T n >=+->12 22. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组?? ?? ?+-≤>>n nx y y x 3,0, 0表示的平面区域为n D , 设n D 内整数坐标点的个数为n a .设n n n n a a a S 221111+++=++ , 当2≥n 时,求证:36 117111123 21+≥++++n a a a a n . n n n n S 2 1 221121()81716151()4131(211112++++++++++++++ =-- 12117)1(12723211121222+= -+≥+++++=-n n T T T n ,所以原命题得证 五、迭代放缩 例25. 已知1,1411 =++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 2 12-≤-n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2 !sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(| ||2 1k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 1 2121|2)s i n (||2)!2sin(||2)!1sin(| 2121 n k n k n 2 1)211(21)212121(212<-?=+++= 又n C C C n n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以n S S n n k n 121||< < -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1 222642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而 n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到 1 2 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n 所以1222642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 例28. 求证:1122642)12(5316 425314 2312 1-+< ????-????++????+??+n n n 解析: 设n n a n 2642)12(531????-????= 则 111)12(]1)1(2[) 1(212+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,1+=?=n a a a ,求证:111 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有21221 111 211211 21 -+=-≥--++=+++ ++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数4>m ，有8 711154<+++m a a a 解析:容易得到[] .)1(23 212---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(23112 13 21 2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2 121(2322223123 212-----+?=+?< n n n n n （减项放缩），于是 ①当4>m 且m 为偶数时=+++m a a a 11154 )11()11(11 654m m a a a a a +++++- .878321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时<+++m a a a 11154 1 541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知. 871111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数221()2 x f x x +=+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。 解析:由 22 22 1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-= +知1(())((1)1)02f x f +-≤ 即 1 ()12 f x -≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为12 -，最大值为1 因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133 233 a b a b ?-≤-+≤?? ?-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件33 1 321 32 a b a b a b a b +≥-??+≤???-+≥-??-+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2 ) 1(2 +< <+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+= 2121)1(+=++< + 21(1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即.2 )1(22)1(2 )1(2+<++< <+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成 1)1(+<+k k k 则得2) 1(2)3)(1()1(2 1 +>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a n n n n n 2 21111 1++≤++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数bx a x f 211)(?+= ，若5 4)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 解析: )2211()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x .21 2 1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?- ++-n n n n n 例34.已知b a ,为正数，且111=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(， 令n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为i n n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ， 则)(2n f =) )(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ? -≥)22(n 12+n ，所以 )(n f ?-≥)22(n n 2 ，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例35.求证),1(2 2 13 21N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C 3211 2222112-++++=-n n n n n 1 22 221-?????> =2 12 -?n n ， 原结论成立. 例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 解析:11)1()1()()(212112212 12211 21 +>?+++=+?+=?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到21)1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 例37.已知x x x f 1)(+=,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? 解析:2)12(2) 12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++ -++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)121 12)(1(+≥-++ -++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22)22()]2()3()2()1([+>???? ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38.若7>k ,求证:2 3 112 1111>-+ +++++=nk n n n S n . 解析:)111()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+ = 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211,2≥+≥+,所以4)11)((≥++y x y x ,所以y x y x +≥ +411,当且仅当y x =时取到等号. 所以1 )1(414324214142-+-=-+++-+++-+++-+> nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 所以 23 1421)1(211)1(2>+-=+->-+-> k k k n k k S n 所以 2 31121111>-++++++= nk n n n S n 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证: 16 )1()0(2 a f f ≤ ?. 解析:16 )]1()][1([)1()0(2 2 2 1 1 2a x x x x a f f ≤--=?. 例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时, 求证: [f’(x )]n －2n － 1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(22)(>+='x x x x f ， (1)当n =1时，左式=22(2)(2)0x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立. (2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- ).11(22 1424221------++++=n n n n n n n n n n n x C x C x C x C 令12242142 11n n n n n n n n n n S C x C x C C x x ------=++++ 由倒序相加法得： ) 1( )1()1(222 1 4 42 2 21 -------++++ ++ =n n n n n n n n n n x x C x x C x x C S )22(2)(21 21-=+++≥-n n n n n C C C ， 所以).22(-≥n S 所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'?-'-n n n n n x f x f 综上，当k 是奇数，N n + ∈时，命题成立 例41. （2007年东北三校）已知函数)1()(>-=a x a x f x （1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围； （2）令)1()2()1()('1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：)2 ()22()('n f n S n ?-> e a a a a a x x x e a a e a a a a x f a a a f x f a a x f a x x f a x a a a a a x f a a x f 1 min min ''''11 ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(, ln log ,0)(ln log 1,ln 1 ,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即 若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由 所以不等式成立。 ), 2 ()22()1ln )(22() 22(ln )22()22(ln )]()()([21) (ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2 2 11222111211122111 221n f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=--------- ★例42. (2008年江西高考试题)已知函数( )f x ()0x ,∈+∞.对任意正数a ,证明：()12f x <<． 解析:对任意给定的0a >,0x >, 由 ()f x , 若令 8b ax =，则 8abx =① ,而 ( )f x （一）、先证()1f x > 11x >+ 11a + 11b +， 又由 28a b x +++≥ ，得 6a b x ++≥． 所以( )111111f x x a b +++++32()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++=+++ 9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥ +++1()()1(1)(1)(1) a b x ab ax bx abx x a b +++++++==+++． （二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤ （ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为 1<， 1 ，此时( )2f x ． （ⅱ）、当7a b +<③，由①得 ,8x ab = 因为 22211[1]114(1)2(1) b b b b b b b <-+=-++++ 所以 12(1)b b - +④ 12(1)a a - +⑤ ，于是 ( )12211a b f x a b ?<-+- ++?⑥ 今证明 11a b a b +>++, 因为 11a b a b +≥++， 只要证 (1)(1)8 a b a b a b a b > +++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <． 综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<． 例43.求证:2 1 3121111<++++++< n n n 解析:一方面: 14 2 214131211312111=+>??? ??++≥++++++n n n (法二) ?? ??????? ??+++++??? ??+++??? ??+++?=++++++11131312113111211312111n n n n n n n n n ??? ? ??+++++++++++?= )13)(1(2 4)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n ()1)12()12()12(1)1()12(1)12(11222222 222=++>???? ? ?-+++--++-+?+=n n n n n n n n n 另一方面:21 221121312111=++<++<++++++n n n n n n n 十、二项放缩 n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121 0+=+≥n C C n n n , 2 222 210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n 例44. 已知1 12 11 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++证明2n a e < 解析: ?-+-+ ≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ? +-+≤++)1)() 1(11(11n n a n n a .)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 1 11)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 45.设 n n n a )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4 a 解析: 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n n n -+<-++（证略） 整理上式得].)1[(1nb a n b a n n -+>+（?） 以n b n a 11,1 11+=++=代入（?）式得>+++1)111(n n .)11(n n + 即}{n a 单调递增。 以 n b a 211,1+ ==代入（?）式得.4)21 1(21)211(12<+??+ >n n n n 此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4)11(<+n n ，又因为数列}{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4)11(<+n n 。 注：①上述不等式可加强为.3)11(2<+≤n n 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩：.1111)11(221n n n n n n n n C n C n C n a ++?+?+=+= 只取前两项有.2111=?+≥n C a n n 对通项作如下放缩： . 212211!111!111-=?≤<+-?-??=k k k n k n k n n n n n k n C 故有.32/11)2/1(1212212121111 1 2<--?+=+++++<--n n n a ②上述数列}{n a 的极限存在，为无理数e ；同时是下述试题的背景：已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（1） 证明i n i i m i A m A n <；（2）证明.)1()1(m n n m +>+（01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用n /1代替n 得数列n n n n b b 1 )1(:}{+=是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列})1{(1 n n +递减，且,1n m i <≤<故,)1() 1(1 1n m n m +>+即m n n m )1() 1(+>+。 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。 例46.已知a +b =1,a >0,b >0,求证：.12n n n b a -≥+ 解析: 因为a +b =1,a >0,b >0,可认为b a ,21,成等差数列，设d b d a +=-=21,21， 从而n n n n n d d b a -≥?? ? ??++??? ??-=+122121 例47.设N n n ∈>,1，求证) 2)(1(8)3 2(++< n n n . 解析: 观察n )3 2(的结构，注意到n n )2 11()2 3(+=，展开得 86)2)(1(8)1(212121211)211(33221+++=-++≥+?+?+?+=+n n n n n C C C n n n n ，即8 )2)(1()211(++>+n n n ，得证. 例48.求证:n n n 2ln )211ln(2ln 3ln <+≤-. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数**(),,y f x x y =∈∈N N ，满足： ①对任意*,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+； ②对任意*n ∈N 都有[()]3f f n n =. （I ）试证明：)(x f 为* N 上的单调增函数； （II ）求)28()6()1(f f f ++； （III ）令*(3),n n a f n =∈N ，试证明：. 12 11 11424 n n n a a a +++<+≤ 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为)()()()(a bf b af b bf a af +>+,所以可以得到0)()()()(>---b f b a a f b a , 也就是0))()()((>--b f a f b a ,不妨设b a >,所以,可以得到)()(b f a f >,也就是说)(x f 为* N 上的 单调增函数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就 有思路了! 由(1)可知0))()()((>--b f a f b a ,令)1(,1f a b ==,则可以得到 0))1())1(()(1)((>--f f f x f ,又3))1((=f f ,所以由不等式可以得到3)1(1< 因为2)1(=f ,所以3)]1([)2(==f f f ,6)]2([)3(==f f f ,9)]3([)6(==f f f ② 18)]6([)9(==f f f ,27)]9([)18(==f f f ,54)]18([)27(==f f f ,81)]27([)54(==f f f 在此比较有技巧的方法就是: 2754275481-==-,所以可以判断55)28(=f ③ 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出 来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有)28()6()1(f f f ++=662955=++ (3)在解决}{n a 的通项公式时也会遇到困难. n n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=?===+++,所以数列*(3),n n a f n =∈N 的方程为n n a 32?=, 从而)3 11(4 11112 1 n n a a a -=+++ , 一方面4 1)311(41<-n ,另一方面1222)21(311 00+=?+?≥+=n C C n n n n 所以2 412241)1211(4 1)3 11(4 1+= +?=+- ≥-n n n n n n ,所以,综上有 12 11 11424 n n n a a a +++ <+≤. 例49. 已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥，且()14f =；② 若1 2120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1212() 3.f x x f x f x +≥+- （Ⅰ）求f (0)的值；（Ⅱ）求证：f (x )≤4； （Ⅲ）当1 11(,](1,2,3,)33 n n x n -∈=???时，试证明：()33f x x <+. 解析: （Ⅰ）解：令120x x ==，由①对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴(0)3f ≥ 又由②得(0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ ∴(0) 3.f = （Ⅱ）解：任取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2121121()[()]()()3,f x f x x x f x f x x =+-≥+-- 因为210x x ->，所以2 1()3f x x -≥，即21()30,f x x --≥ ∴12()()f x f x ≤. ∴当x ∈[0,1]时，()(1)4f x f ≤=. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：1 111()3(*)3 3 n n f n N --≤+∈ （1） 当n=1时，00 11()(1)41333 3 f f ===+=+，不等式成立； （2） 假设当n=k 时，1 111 ( )3(*)33 k k f k N --≤+∈ 由1 1111111 ( )[()]()()33333333 k k k k k k k f f f f -=++≥++- 111()()()6333k k k f f f ≥++- 得1 11113()( )69. 3 33 k k k f f --≤+≤+ 即当n=k+1时，不等式成立 由（1）、（2）可知，不等式1111 ( )333 n n f --≤+对一切正整数都成立. 于是，当1 11(, ](1,2,3,)33n n x n -∈=???时，11111 33333()333 n n n x f --+>?+=+≥， 而x ∈[0,1]，()f x 单调递增 ∴1 11()()3 3 n n f f -< 所以，11 ()( )3 3.3 n f x f x -< <+ 例50. 已知：121,0n i a a a a +++=> )2,1(n i = 求证：2222 1 12 1223 1112 n n n n n a a a a a a a a a a a a --+++ +> ++++ 解析:构造对偶式：令1 2121 322 2212 1a a a a a a a a a a a a A n n n n n ++ ++++++=-- 1 21123223212 2a a a a a a a a a a a a B n n n n ++ ++++++= - 则1 21212213 223222 12 221a a a a a a a a a a a a a a a a B A n n n n n n +-++-+++-++-=--- ＝B A a a a a a a a a n n n =∴=-+-++-+--,0)()()()(113221 又 ) (2 122 j i j i j i a a a a a a +≥ +- （)2,1,n j i = 1 2121221322322212221)(21)(21a a a a a a a a a a a a a a a a B A A n n n n n n +-+ +-+++-++-=+=∴-- []21)()()()(41113221=++++++++≥-a a a a a a a a n n n 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在[],a b 上的可积函数()()0f x ≥≤，则()()0b a f x dx ≥≤?. 例51.求证：e e ππ<. 解析: ln ln e e e e ππππ e x x d e x x π πππ????-== ????????21ln e x dx x π-=?， (),x e π∈时，2 1ln 0x x -<， 2 1ln 0e x dx x π - ， ∴ ln ln e e ππ <，e e ππ<. 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例52. 求证： ) 121n +>，()1,n n N >∈. 解析: 考虑函数( )f x [],1i i +()1,2,3,,i n =上的定积分. 11i i +=>?- ① 对i 求和，11 1 n n i i i i +==>∑?11 n +=? 1 1 n +?=?) 21=. 例53. 已知,4n N n ∈≥.求证：11117 12 3 210 n n n n +++ + <+++. 解析:考虑函数()11f x x =+在区间1 ,i i n n -?????? ()1,2,3, ,i n =上的定积分. ∵ 1 n i +111i n n =?+11 1i n i n dx x -<+? -② ∴ 1 1n i n i =+∑1 111n i i n n ==?+∑11 11i n n i i n dx x -=<+∑? ()11 001ln 11dx x x ==+????+?7ln 210 =< . 例54. （2003年全国高考江苏卷）设0a >，如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点1Q 的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点()1n Q n ≥作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点 1n Q +.()1,2, ,n Q n n =的横坐标构成数列{}n a . （Ⅰ）试求1n a +与n a 的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当2 1,11≤=a a 时，证明 ∑=++< -n k k k k a a a 1 2132 1)(； （Ⅲ）当1a =时，证明121 1()3 n k k k k a a a ++--<∑. 解析:1 21( )n n a a a a -=（过程略）. 证明（II ）：由1a =知21n n a a +=，∵1 12a ≤ ，∴2311,416 a a ≤≤. ∵当1k ≥时，2 3116 k a a +≤≤ ， ∴121111 1111()()()161632 n n k k k k k n k k a a a a a a a ++++==-≤ -=-<∑ ∑. 证明（Ⅲ）：由1a =知21 k k a a +=. ∴21211()()k k k k k k a a a a a a ++++-=-恰表示阴影部分面积， 显然 1 2 211()k k a k k k a a a a x dx +++- ④ ∴ 212111 1()()n n k k k k k k k k a a a a a a ++++---=-∑∑1 21 k k n a a k x dx +-<∑?120a x dx . 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如： 1i i + ?2=； ②1 n i +11 1i n i n dx x -<+? 1ln 1ln 1i i n n -????=+-+ ? ? ????； sin 1sin i i i i θθθθ--< =-? ； ④()1 2 233 1111()3 k k a k k k k k a a a a x dx a a ++++-<= -? . 十二、部分放缩(尾式放缩) 例55.求证: 7 4123112311311 <+?+++?++-n 解析: 1211231231281112317141123112311 31---?++?+<+?+++=+?+++?+ +n n n 7 484 4884 472 11413128 11= <=- ?+< 例56. 设++ =a n a 21 1.2,13 1≥++a n a a 求证：.2 n a 2 11.13 12 1113 1222n n a a ++++≤++ 又2),1(2≥->?=k k k k k k （只将其中一个k 变成1-k ，进行部分放缩），k k k k k 1 11)1(112 --=-< ∴， 于是)111()3121()211(11312112 22n n n a n --++-+-+<++++ ≤ .212<-=n 例57.设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12 1，当31≥a 时 证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ；2 1 111111) (21≤++++++n a a a ii 解析: )(i 用数学归纳法：当1=n 时显然成立，假设当k n ≥时成立即2+≥k a k ，则当1+=k n 时 312)2(1)2(1)(1+>+?+≥+-+≥+-=+k k k k a k a a a k k k k ，成立。 )(ii 利用上述部分放缩的结论121+≥+k k a a 来放缩通项，可得 ?+≥++)1(211k k a a .2 1 11242)1(2111111++--≤+? =?≥+≥≥+k k k k k k a a a .212 11)21(14 12111 11 1 ≤--? =≤++==∑∑ n i n i i n i a 注：上述证明)(i 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：31)2)(2(1+>+-++≥+k k k k a k ；证明)(ii 就直接使用了部分放缩的结论121+≥+k k a a 十三、三角不等式的放缩 例58.求证:)(|||sin |R x x x ∈≤. 解析:(i)当0=x 时,|||sin |x x = (ii)当2 0π< 因为三角形AOB 的面积小于扇形OAB 的面积 所以可以得到|||sin |sin x x x x T P B A O y x 当2 π≥x 时|||sin |x x < 所以当0>x 时x x (iii)当0 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明A x f <)(,只要证明 )0()(>- 例59.求证:对一切*)(N n n ∈,都有311 <∑=n k k k . 解析: 1 11)1(1)1(1)1()1(1) 1(11123 --+????? ??+--=+-= -< = k k k k k k k k k k k k k k 21111111111)1(1)1(1-++???? ??+--=--+???? ? ??+--=k k k k k k k k k k k 1 1112211111+--=? ??? ??+--< k k k k k k 从而 3 1 112211111513141213111111 <+--+=+--++-+-+-+ <∑=k k k k k k n k 当然本题还可以使用其他方法,如: ? ?? ??--?-+?=--???? ? ? ?- -= -??= - k 111111111)1(11 11 112??? ??--? 1 <-+<+=∑∑==k k k k k n k n k . (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面 目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明B x f A <<)(,只要证明:),0()(B A C C B x f C A <>-<<+. 例60.已知数列}{n a 满足:n n n a a a a 1,111+==+,求证:).2(2312>-<<-n n a n n 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的 数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：21 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 高考专题—数列求和放缩法 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 (1) 求数列 4的通项公式； 1 a a 1 (2) 若a ，设b n n 丄，且数列b n 的前n 项和为「，求证：人 3 1 a n 1 a n i 3 n 1 a 2、已知数列 q 的前n 项和s n -，且a 1 1. 2 (1) 求数列耳的通项公式； (2) 令b n ln a n ，是否存在k (k 2,k N)，使得b k 、b k 1、b k 2成等比数列.若存在, 值；若不存在，请说明理由. 3、已知a n 是等差数列，a 2 3, a 3 5. ⑴求数列a n 的通项公式; 4、设数列a n 的前n 项和为S n ,且满足a 1 2, a . 1⑵对一切正整数n ，设b n n (1) n a n a n 1 ，求数列 b n 的前n 项和S n . 求出所有符合条件的 k 2S n 2 n 1,2,3L (1)求 a 2 ； (2)数列a n 的通项公式; 5、对于任意的n € N*，数列｛a n ｝满足 (I )求数列｛a n ｝的通项公式； (n )求证：对于 n 》2,—— a ? a a i 1 a 2 2 , a n n -1 .2 L n 1 2 1 2 1 2 1 L 2 1 J a n 1 2n 2 6、已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为S n 满足4S n a n 2a n ?(3)设 b n a n 1 S n i S n ,求证: b i b 2 b n (1)求a i 的值; (2)求｛a .｝的通项公式; 1 (1)求证：数列｛」｝是等差数列; a n 1 2 (2)求证：丄色更鱼L n 1 a 2 a 3 a ° (3)求证: 1 ~2 a i 1 ~2 a 2 a n ^,n N 2 7、已知数列耳满足a 1 2，a n 1a n 细1 1 0，" N 8已知首项大于0的等差数列 a n ｝的公差d 1，且二 a n a n 1 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 数列综合题 1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a = --，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <． 2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵对一切正整数n ，设1 )1(+?-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3 n =． （1）求2a ； （2）数列{}n a 的通项公式； （3）设n n n n S S a b 11++= ,求证：2121<+++n b b b ． 5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足 1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ) 求证：对于n≥2，23 1222112n n a a a ++++<- 6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+． （1）求1a 的值； （2）求{}n a 的通项公式； （3）求证： *222121111,2n n N a a a ++???+<∈。 7、已知数列{}n a 满足112a = ，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈． （1）求证：数列1{}1 n a -是等差数列； （2）求证：2 3 12234 1 1n n a a a a n n n a a a a +<+++<+. 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求： （1）数列的通项公式； （2）设，数列的前项的和为，求证： 解：（1）由已知得，时，，作差得： ，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 （2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这 里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和 1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且. (1) 求证：； (2)求证： 解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ∴ 所以，， 所以 （2）因为，所以，所以 ； 2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：； （2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设 ，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜． 解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，． 当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是 ．（2）∵，，，∴公比． ∴．． ∴． 3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证： 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得： ，所以，所以， 故得． 4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数 ．j （1）求a4、a5，并写出a n的表达式； （2）令，证明，n=1,2,…. （2）因为， 例析放缩法在数列不等式中的应用 孙卫 （安徽省芜湖市第一中学 241000） 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1（2008 辽宁21）在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如：),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2（2008 安徽21.节选）设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 （Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意* n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈； 高三数学必做题数列放缩 法典型试题 Prepared on 22 November 2020 数列综合 题 1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a =--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1 3a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1 3 n T <． 2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵对一切正整数n ，设1 )1(+?-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3 n =． （1）求2a ； （2）数列{}n a 的通项公式； （3）设n n n n S S a b 11++= ,求证：2121<+++n b b b ． 5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112 n n a a a ++++<- 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥ (3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = +
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