广东省实验中学2021届高三上学期11月阶段测试数学试题

广东实验中学2021届高三11月阶段测试

数学

第一部分选择题（共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.已知集合{1,,}A a b =，{}

2,,B a a ab =，若A B =，则20212020a b +=（ ） A.-1

B.0

C.1

D.2

2.下列判断正确的是（ ）

A.若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题

B.命题“x R ?∈，20x >”的否定是“0x R ?∈，0

20x ≤”

C.“1sin 2α=

”是“6

π

α=”的充分不必要条件 D.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠” 3.已知4log 2a =，0.32b =，cos1c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.c b a << B.c a b << C.a b c <<

D.a c b <<

4.已知复数21i

z i

=+，其中i 为虚数单位，则||z 等于（ ） A.

12

B.2

C.1

5.已知向量m ，n 满足|||2|m n m n +=-，且||2||m n =，则m 与n 的夹角的余弦值为（ ） A.

13

B.

14

C.

16

D.

18

6.函数()22e cos ()e 1

x x

x x f x -=

+的大致图象为（ ）

A. B.

C. D.

7.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为点F '，F ，过原点O 作直线l 交C 于A ，B 两点，

若0AF AF '?=，3||4AF AF '=，||5AB =，则C 的方程为（ ）

A.22

241155x y += B.22

421313

x y += C.22

41911x y += D.22

41496

x y += 8.若关于x 的不等式3

2

ln(1)230a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.2780,2ln 21n5??

?

???

B.2780,21215n n ??

???

C.2780,21n21n5??

???

D.27,21n2??

+∞

???

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.已知3n

x x ?

?- ??

?的展开式中各项的系数之和为-512，则该展开式中二项式系数最大的项可以是（ ）

A.第4项

B.第5项

C.第6项

D.第7项

10.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且33a =，5218S S +=，2121

1

n n n b a a -+=?，记数列{}n b 的前n

项和为n T ，则（ ） A.1n a n =-

B.(1)

2n n n +=

C.11

2121

n b n n =

-

-+ D.1010

21

T =

11.ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，有以下结论：其中正确结论有（ ） A.当6t =时，a ，b ，c 成等差数列 B.28t <<

C.

当8t <<时，ABC △为钝角三角形

D.当4t =，ln 2a =时，ABC △的面积为22

8

12.已知函数2

()ln f x x x

=

+，则以下结论正确的是（ ） A.函数()f x 的单调减区间是(0,2) B.函数()y f x x =-有且只有1个零点 C.存在正实数k ，使得()f x kx >成立

D.对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>

第二部分非选择题（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若曲线3

()2f x ax x =-在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，则a =______. 14.已知1tan 42πα??

-

= ??

?，则tan α=______，22cos 2sin 2cos ααα

=-______.（本题第一空2分，第二空3分） 15.为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出3个问题，即停止答题，晋级下一轮.假定某选手正确回答每个问题的概率都是2

3

，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于______.

16.母线长为的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入______个.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 在①12a =且

5328S S S -=：②11

2

n n S t -=-；③0n a >，321S =且2316a a a +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.

已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且______，则是否存在正整数n ，使1000n n S a -->成立?若存在，求出n 的最小值?若不存在，试说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题满分12分）

已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin sin sin b a A

B C b c

-=-+.

（1）求C ；

（2）若1a b -=，ABC △的面积为4

，求c . 19.（本小题满分12分）

如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=?，点P 是弧AC 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO 、PD 、CD .

（1）当//AB 平面PCD 时，求PC 的长；

（2）当三棱锥P COD -体积最大时，求二面角D PC O --的余弦值. 20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系：xOy 中，已知(2,0)F ，(2,3)M -，动点P 满足1

||||2

OF MP PF ?=. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点(1,0)D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD △的面积是BFD △的面积的2倍，求AB . 21.（本小题满分12分） 已知函数()2cos f x x x =-.

（1）求证：()f x 在[,]ππ-上存在唯一的零点；

（2）若存在0,

2x π??

∈ ??

?

，使得不等式()2f x ax +>成立，求实数a 的取值范围. 22.（本小题满分12分）

随着5G 商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G 用户的争夺越来越激烈，5G 手机也频频降价飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G 手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广.

（1）公司内部测试的活动方案设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的名额为32i +，抽中的用户退出活动，同时

补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.

参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中. ①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率； ②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.

（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.

报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第()i i N +∈次抽奖中奖的概率为9(1)40

i

i P +-=

，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行()2n n N +∈次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n 次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于

92

. 参考答案：

广东实验中学2021届高三11月阶段测试答案

1.A 【解析】由题意得①组2

1ab

b a =??=?或②21a b ab

?=?=?，由②得1a =±，当1a =时，{1,1,}A b =，不符合，舍去； 当1a =-时，0b =，{1,1,0}A =-，{1,1,0}B =-，符合题意.由①得1a =，舍去，所以1a =-，0b =.

202120201a b ∴+=-.

2.B 【解析】对于选项A ：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为假命题. 对于选项B ：命题“R x ?∈，20x >”的否定是“0R x ?∈，0

20x ≤”真命题.

对于选项C ：“1sin 2α=

”是“6

π

α=”的必要不充分条件，假命题. 对于选项D ：命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”假命题. 3.D 【解析】41log 22a ==，0.321b =>，1

1cos1cos 32

c π>=>=则a ，b ，c 的大小关系是a c b <<. 4.D 【解析】

22(1)=

==1+

1+(1+)(1)

i i

i z i i i i --，||=1z λ∴-∣ 5.B 【解析】|||2|m n m n +=-，2

2

2

2

244m n m n m n m n ∴++?=+-?，2

12

m n n ∴?=.设向量m 与n 的

夹角为θ，则2211

2cos 4||||2||

n

m n m n n θ?=

==.故选B

6.C 【解析】因为()()2222e cos e cos ()()e 1

e 1

x x r x x x x f x f x -----=

=

=++，所以()f x 为偶函数，排除D ：

因为1(0)2f =，所以排除B ；因为2422e (cos 24)4cos 2 (2)1e 1e e f --==-++，而22

22

4cos 25

0111e e e e

-<<<++，所

以(2)(1,0)f ∈-，排除A.故选C.

7.D 【解析】如图所示，连接BF ，BF '.由0AF AF '?=，得90 F AF '∠=?. 由对称矩形，||AF A BF '∴=，||25FF AB c '===，

5

2

c ∴=.又3||4AF AF '=，∴||7AF AF '=+=，72

a ∴=，222

6b a c ∴=-=.∴C 的方程为2214964

x y +=，即 8.C 【解析】令()ln(+1)a f x x =，()3

2

3=2g x x x -， 则

2()666(1)g x x x x x '=-=-，

令()0g x '>，得1x >或0x <；()0g x '<，得01x <<，

()g x ∴在(,0)-∞和(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，

()min (1)1g x g ∴==-，且3(0)02g g ??

== ???

如图所示，

当0a ≤时，()()f x g x >至多有一个整数解.

当0a >时，()()f x g x >在区间()0,+∞内的解集中有且仅有三个整数，

只需(3)(3)(4)(4)f g f g >??≤?，即3232

ln 42333ln 52434a a ?>?-??≤?-??

，解得2780

2ln 2ln 5a <≤. 9.BC 【解析】令1x =，得315121n

??

-=- ???

（f （3）>g （3），解得9n =，即9

33n

x x x x ????-=- ? ?????，所以

该展开式中二项式系数最大的项是第5项或第6项.故选BC. 10.BD 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意得

3152123, 71118,a a d S S a d =+=??+=+=?解得11,1,

a d =??=?n a n ∴=，(1)

2n

n n S +=，∴A 错误，B 正确； 212111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n -+??

=

==- ??-+-+??

，C 错误；∴数列{}n b 的前10项和为

1210111111111110

11233557

192122121

b b b ????++

+=--+-+-+

+

-=-= ? ?????，D 正确.故选BD. 11.BC 【解析】根据题意，依次分析4个结论：

对于A ，当6t =时，由正弦定理可得::sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln6a b c A B C ==，

不妨设ln 2a k =，ln 4b k =，ln6c k =，0k >.则22ln 4ln16b k k ==，ln 2ln6ln12a c k k k +=+=， 因为2b a c ≠+，故a ，b ，c 不是等差数列，故A 错误；

对于B ，由正弦定理可得::sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln a b c A B C t ==，

不妨设，ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.有b a c b a -<<+，则ln 23kln2k c <<，变形可得28t <<，故B 正确；

对于C ，当

258t <<时，此时::ln 2:ln 4:ln a b c t =，

则有2220a b c +-<，故ABC △为钝角三角形，故C 正确.

对于D ，当4t =，ln 2a =时，则ln 4b =，ln ln 4c t ==，则有2b c a ==，

由余弦定理可得222222447cos 22228b c a a a a A bc a a +-+-===??，则sin A =，

此时ABC △的面积为1sin 2bc A =D 不正确.

12.ABD 【解析】对于选项A ，

2()ln f x x x =

+，∴定义域为(0,)+∞，22

212()x

f x x x x -+=-+=

， 令()0f x <，则2x <，∴函数()f x 的单调减区间是(0,2)，即选项A 正确；

对于选项B ，22

2

()10x x y f x x

-+=-=-<恒成立，即函数y 在(0,)+∞上单调递减， (1)110f -=>，(2)ln 210f =-<，∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得()000y f x x =-=，即选项B 正

确；

对于选项C ，若()f x kx >，则22ln x

k x x

<

+

. 令22ln ()x g x x x =+，则3

4ln ()x x x

g x x

-+-'=，令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-， 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减.

()(1)30h x h ∴≤=-<，即()0g x '<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减，无最小值，

∴不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，即选项C 错误； 对于选项D ，令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，2(2,4)t +∈， 设g 22242()(2)(2)ln(2)ln(2)ln

2242t t

g t f t f t t t t t t t

+=+--=

++---=++---， ()()

22

2

2

2

22

4168()04

444t t g t t

t t ---'∴=

=

<--+-

，()g t ∴在(0,2)上单调递减，()(0)0g t g ∴<=，即

(2) (2)f t f t +<-.

令22x t =-，

()()12f x f x =，∴若124t x +<<，则124x x +>成立，满足题意；

若14x ≥，显然有124x x +>成立.综上可知，选项D 正确. 13.

1

4

【解析】2()32f x ax '=-，(2)1221f a '∴=-=，解得14

a =

. 14.3，87-

【解析】因为1tan 42πα?

?-= ???

，所以tan 111tan 2αα-=+，解得tan 3α=，所以

22222222cos 2cos sin 1tan 8

sin 2cos sin 2cos tan 27

ααααααααα--===----.

15.

16

81

【解析】根据题意，若该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，则必有第2，3，4，5个问题问答正确，第1个问题可对可错，故所求概率为3

1128

13381P ??=??= ?

??；问答了6个问题就晋级下一轮，则第4，5，6个问题问答正确，第3个问题回答错误，前错，故所求概率为3

2128

113381

P ??=???= ?

??，故该选手至

少回答了5个问题晋级

1216 81

P P

+=.

16.10

【解析】由题意母线长为

的圆锥内有一球O，与圆锥的侧面、底面都相切，

可得球O的半径1

OO'=.

小球与圆锥底面、侧面、球O都相切.那么小球的半径

1

3

r AB

==.

可得BC=

小球在底面围成一圈的周长为：2

33

π?=

?

一个小球至少直径的长度，小球半径应该是等于AB的一半

∴小球最多可放入：

2

10

33

÷=≈.

17.解：（1）选择①：

3

5345

212

8

S S a a

q

S a a

-+

===

+

，所以2

q=，

所以11

1

222

n n n

n

a a q--

==?=.

()

1

212

22

12

n

n

n

S+

-

==-

-

，

由1000

n n

S a

-->，得1

22102

n n

+->，即2102

n>，

因为6264102

=<，72128102

=>，且2x

y=是单调递增函数，所以满足条件的n的最小值为7.

选择②：

当2

n≥时，

1121

111

222

n n n n n n

a S S t t

----

????

=-=---=

? ?

????

，

当1n =时，1111112a S t t -==-=-，因为数列{}n

a 为等比数列，所以11a t =-也满足1

1

2n n a -=， 即11112t --=，所以2t =，故11

2

n n a -=，

由1000n n S a -->，得21

21002

n -->.

而21222n --<，所以不存在正整数n ，使得21

21002

n -->.

选择③：

因为2316a a a +=，所以2

1116a q a q a +=，故260q q +-=，

解得2q =或3q =-（舍去），故2q =，

由321S =，得：()

21121a q q ++=，将2q =代入得：13a =，

所以1

32n n a -=?，()31232312

n n n S -=

=?--，由1000n n S a -->，

得132332100n n -?--?>，即1103

23

n ->， 因为611032323-=<

，711032643

-=>，且1

2x y -=是单调递增函数， 所以满足条件的n 的最小值为7. 18.解：（1）由

()sin sin sin b a A

B C b c

-=-+，得()sin (sin sin )()b a A B C b c -=-+.

由正弦定理，得()()()b a a b c b c -=-+，即2

2

2

a b c ab +-=，于是得2221

cos 22

a b c C ab +-=

=. 又0C π<<，3

C π

∴=

.

（2）由余弦定理，得2

2

2

2

()1c a b ab a b ab ab =+-=-+=+（*）

ABC △

的面积11sin 2224

S ab C ab ==?

=，3ab ∴=. 将上式代入（*）式，得2

134c =+=.

2c ∴=.

19.解：（1）

//AB 平面PCD ，AB ?平面OCP ，平面OCP 平面PCD PC =，

∴由线面平行的性质定理得//AB PC .

又60COB ∠=?，可得60OCP ∠=?.而OC CP =，OCP △为正角形，所以1PC =. （2）∵二面角为直二面角，DO AB ⊥，所以DO ⊥平面COP ，而P COD D COP V V --=， ∴当CO OP ⊥时，三棱锥P COD -体积最大. 因为OP ，OD ，OC 两两垂直，

所以OP ，OD ，OC 分别为x ，y ，z 轴建空间直角坐标系，

(1,0,0)P ，(0,1,0)D ，(0,0,1)C ，(1,0,1)PC =-，(1,1,0)DP =-

令平面D P C 的法向量为()1,,n x y z =，1100DP PC n n ??=???=??，0

0x z x y -+=??-=?

，取1(1,1,1)n =

又取平面PCO 的法向量为2(0,1,0)n = 设二面角D PC O --的平面角为α，1212

3cos 3

n n n n α?=

=

， 故二面角D PC O --的余弦值为

3

.

20.解：（1）设(,)P x y ，则(2,3)MP x y =+-，(2,0)OF =，(2,)PF x y =--.由

1

||||2

OF MP PF ?=， 得|2|x +=.化简得2

8y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为2

8y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知11||2AFD S FD y =

?△，21

||2

BFD S FD y =?△. 因2AFD BFD S S =△△，所以212y y

=

，易知120y y <，所以122y y =-.①

设直线AB 的方程为1x my =+，联立28,

1,

y x x my ?=?

=+?消去x ，得2880y my --=， 则264320m ?=+>，128y y m +=②，128y y =-，③ 由①②③解得14

m =±

，

所以12||24|62

AB y y m =-===. 21.解：（1）()2sin 1f x x '=--，令()0f x '=，得6

x π

=-或56

π

-

. ①当5,6x ππ??

∈--

???

?

时，()0f x '<，故()f x 单调递减；

当5,6

6x ππ??

∈-

-????时，()0f x '>.故()f x 单调递增，且5506

6

f π

π

??-=-> ???， 所以()f x 在区间,6ππ??

--

???

?

上没有零点.

②当,6x ππ??

∈-

????时，()0f x '<，故()f x 单调递减，又066f ππ??

-=> ???

，()20f ππ=--<，

()06f f ππ??-?< ???.所以函数()f x 在,6ππ??

-????

上存在唯一的零点. 综上所述，()f x 在[,]ππ-上存在唯一的零点.

（2）若存在0,

2x π?

?

∈ ??

?

，使得不等式()2f x ax +>成立， 即存在0,

2x π??

∈ ??

?

，使2cos 20x ax x +-->成立， 设()()22cos 2g x f x ax x ax x =+-=+--，则(0)0g =，()12sin g x a x '=--，

当0,

2x π??

∈ ??

?

时，12sin (1,3)x +∈，所以()(3,1)g x a a '∈--. 由于10a -≤，即1a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即()2f x ax +<恒成立，不满足题意，

故10a ->，即1a >，此时(0)10g a '=->，因为()12sin g x a x '=--在0,

2π??

??

?

上单调递减，

当30a -≥时，()0g x '>，所以()g x 在0,

2π??

??

?

上单调递增，()(0)0g x g >=，即()2f x ax +>； 当30a -<时，总存在0,

2t π??

∈ ??

?

，使得()0g t '=，所以存在区间(0,)t ，使(0,)x t ∈时，()0g x '>， 所以()g x 在(0,)t 上单调递增，则当(0,)x t ∈时，()(0)0g x g >=，即()2f x ax +>， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞.

22.【解析】（1）①甲在第一次中奖的概率为151

153

p == 乙在第二次中奖的概率为210816

151339

p =

?=

②设甲参加抽奖活动的次数为X ，则1,2,3X =，

51(1)

P X ==

=；10816(2)P X ==?=；10510

(3)1P X ==??=

， ()1233393913

E X ∴=?+?+?=

. （2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为

15，在第偶数次中奖的概率为14

. 设丙参加抽奖活动的次数为Y ，“丙中奖”为事件A ，则433()11545m

m

P A ????

=-?=- ? ?????，

令m n ≤，*

m ∈N ，则丙在第21m -次中奖的概率1

31(21)55

m P Y m -??

=-=? ?

??

在第2m 次中奖的概率1

1

34131(2)55455

m m P Y m --??

??==??=? ?

?????

， 即1

31(21)(2)55

m P Y m P Y m -??

=-===? ?

??

， 在丙中奖的条件下，在第21m -，2m 次中奖的概率为1

1355()

m P A -?? ???

，

则丙参加活动次数的均值为

2

1

1333()(12)(34)(56)(212)5()555m E Y n n P A -??

??

??

=++++++

+-+?? ? ?????

???

?

设2

1

3333711(41)555m S n -??

??

=+?+?+

+- ? ?

????，

则2

1

3333337(45)(41)55555m

m S n n -??

??

??

=?+?++-+- ? ?

???????

，

21

2

333334(41)55555m

m S n -????????∴=++++--?? ? ? ???

??

??????

，

1

4512273225m n S -+??

=-? ?

??

，

所以1

4533451227331102255992255()2233315151555m

m m m m m m n n n E Y -????

??+??

??-- ? ? ?-? ? ? ???

????????=

=

=-

??

.