2014中考27题二次函数专项：直角、相似、等腰问题及答案

直角三角形问题

1.已知：如图一次函数112y x =

+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数21

2

y x bx c =++的图象与一次函数1

12

y x =

+的图象交于B C ，两点，与x 轴交于D E ，两点且D 点坐标为（1,0） （1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC 的面积S ；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使得PBC △是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.

（4）在抛物线上是否存在点P ，使得PBC △是以∠B 或∠C 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由.

2. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板

ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点()02A ，

，点()1

0C ，，如图所示；抛物线2

2y ax ax =--经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C 的坐标为

()10-，

．B 点在抛物线211

222

y x x =+-的图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．

（1）求证：BDC COA △≌△； （2）求BC 所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4. 如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=900

,AC=BC ,OA=1，OC=4，抛物线2

y x bx c =++经

过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ,c 的值；

（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.

备用图

5. 如图，已知抛物线y =x 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(03)C ，，对称轴

是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；

（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段PQ =

3

4

AB 时，求tan ∠CED 的值； ②当以点C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．

角与相似

6.如图，四边形ABCO 是平行四边形，42AB OB ==，，抛物线过A B C 、、三点，

与x 轴交于另一点D .一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止. （1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？

（3）当t 为何值时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点Q B O 、、为顶点的三角形相似？

7. 如图①，已知抛物线2

(0)y ax bx a =+≠经过(30)A ，、(44)B ，两点． (1)求抛物线的解析式；

(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标； (3)如图②，若点N 在抛物线上，且 NBO ABO ∠=∠，则在(2)的条件下，求出所有满足POD NOB △∽△的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．

8.如图，已知抛物线的方程C :()()()1

20y x x m m =-

+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，

且点B 在点C 的左侧.

（1）若抛物线1C 过点M (2，2)，求实数m 的值． （2）在（1）的条件下，求BCE △的面积．

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH EH +最小，并求出点H 的坐标． （4）在第四象限内，抛物线1C 上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE △相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

9.在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作

CH ⊥x 轴于点H .

（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ；

（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.

等腰三角形

10.已知抛物线2

y ax bx c =++经过()1

0A -，、()30B ，、()03C ，三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标；

(3)在直线l 上是否存在点M ，使MAC △为等腰三角形，若存在，直接写出．．．．所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

11. 已知直线24y x =+与x 轴、y 轴分别交于A D 、两点，抛物线21

2

y x bx c =-++经过点A D 、，点B

是抛物线与x 轴的另一个交点．

（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；

（2）设点M 是直线AD 上一点，且13AOM OMD S S =△△::，求点M 的坐标； （3）如果点(2)C y ，在这条抛物线上，在

y 轴的正半轴上是否存在点P ，使BCP △为等腰三角形，若存在，

请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

12.如图，在平面直角坐标系中，直线22+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，将△AOB 绕原点O 顺时针旋转90o后得到△COD ，抛物线l 经过点A 、C 、D ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）求抛物线l 的解析式；

（3）已知在抛物线l 与线段AD 所围成的封闭图形（不含边界．．．．）中，存在点),(b a P ，使得△PCD 是等腰三角形，求a 的取值范围．

答案

1. 解：（1）()()0110B D ，，

，的坐标代入2

12

y x bx c =++ 1

1

02

c b c =??

?++=??得解析式213122y x x =-+ 3分

（2）设()00C x y ，，则有

00

2000112131

22

y x y x x ?

=+???

?=-+??解得0043x y =??=?，()43C ∴，. 6分

由图可知：ACB ABD S S S =-△△又由对称轴为3

2

x =可知()20E ，

011119433122222

S AE y AD OB ∴=-?=??-??=·

8分

（3）设符合条件的点P 存在，令()0P a ，

.当P 为直角顶点时，如图，过C 作CF x ⊥轴于F . Rt Rt BO OP BOP PFC PF CF

∴

= △∽△，，

即143a

a =-.整理得2430a a -+=，解得1a =或3a = ∴所求的点P 的坐标为()10，

或()30，综上所述：满足条件的点P 共有二个. 12分

2. 解：（1）过点B 作BD x ⊥

轴，垂足为D ，

9090BCD ACO ACO OAC ∠+∠=?∠+∠=? ，，BCD CAO ∴∠=∠． 又90BDC COA ∠=∠=? ，CB AC =，

∴12BDC CAO BD OC CD OA ∴====△≌△，

，．∴点B 的坐标为()31，． （2）抛物线2

2y ax ax =--经过点()31B ，，则得到1932a a =--，

解得12a

=

，所以抛物线的解析式为211

222

y x x =--； （3）假设存在点P ，使得ACP △是直角三角形；

①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长BC 至点1P 使得1PC BC =，得到等腰直角三角形1ACP ，过点1P ，作1PM

x ⊥轴，如图． 11CP BC MCP BCD =∠=∠ ，，190PMC BDC ∠=∠=?， 1MPC DBC ∴△≌△2CM CD ∴==，

1

1PM BD ∴==， 可求得点()111P --，；经检验点()11

1P --，在抛物线211

222

y x x =

--上； ②若以AC 为直角边，点A 为直角顶点；则过点A 作2AP CA ⊥，且使得2AP AC =，

得到等腰直角三角形2ACP ，过点2P 作2P N y ⊥轴， 如图

同理可证2AP N CAO △≌△；221NP OA AN OC ∴====，，

可求得点()221P -，

；经检验点()221P -，也在抛物线211

222

y x x =

--上； ③若以AC 为直角边，点A 为直角顶点； 则过点A 作3AP CA ⊥，且使得3AP

AC =， 得到等腰直角三角形3ACP ，过点3P 作3P H y ⊥轴，如图． 同理可证3AP H CAO △≌△；321HP OA AH OC ∴====，，

可求得点()323P ，

；经检验点()323P ，不在抛物211

222

y x x =

--上． 故符合条件的点有()()121

121P P ---，，，两点． 3. 解：（1）∵ 90BCD ACO ∠+∠=?，90ACO OAC ∠+∠=?，∴BCD OAC ∠=∠． ∵ABC △为等腰直角三角形，∴BC AC =

．

在BDC △和COA △中，90BDC COA BCD OAC BC AC ∠=∠=?

??

∠=∠??=?∴BDC COA △≌△（AAS ）．

（2）∵C 点坐标为()10-，，∴BD =CO =1．∵B 点的横坐标为3-，∴B 点坐标为()31-，．

设BC 所在直线的函数关系式为y kx b =+，则有0,31,k b k b -+=??-+=?解之，得 1,2

1.

2

k b ?

=-????=-??

∴BC 所在直线的函数关系式为11

22

y x =--． （3）存在．

二次函数解析式为211222

y x x =+-=2

1117228x ??+- ???，∴对称轴为直线1

2x =-．

若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，对称轴上有一点1P ，使1CP

AC ⊥．