答案: C
解析: 构造二次函数.
7. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2
(2
22+=+为椭圆的半焦距),有四个不
同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )
A )53,55(
B )55,52(
C )53,52(
D )5
5,0( 答案: A
解析: 解齐次不等式:a c b
b <+<
2
,变形两边平方. 8. 已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a
c
b +的取值范围是 ( )
A (1, +∞)
B ),2(∞+
C )2,1(
D ]2,1(
答案: D
解析: 焦三角形AFO,如图: θθθ,cos sin +=+a
c
b 为锐角. 转化为三角函数问题.
9. P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若βα=∠=∠1221,F PF F PF ,则
β
αβαsin sin )
sin(++=
e
解析: 正弦定理、合比定理、更比定理.
10.(2000全国高考) 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 5
353<<-x 解析: 焦半径公式.
11. 圆心在y 轴的正半轴上,过椭圆14
522=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程 为 25)62(2
2=-+y x
解析: 略.
12. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若
3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为
13-
解析: 同填空(1)
13. 已知圆柱底面直径为2R,一个与底面成ο
30角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此
椭圆离心率为
2
1 解析: 求b a , R c R b R a R a 3
3
,,332,230cos 2===
∴=ο
14. 如果y x ,满足,36942
2
=+y x 则1232--y x 的最大值为 2612+ 解析: 三角代换.
16. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=
e .已知点)2
3
,
0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.
解:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b
y a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23
=a c 得b a 2=
)(,34)2
1(3)23(2
2222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=
若21
AM 最大,即7)33(2=--b , 21237>-=∴b ,故矛盾.
若21≥b 时,2
1-=y 时7342=+b , 12
=b
所求方程为
14
22
=+y x
17.已知曲线044422
2
=++++y x y x 按向量)1,2(=a 平移后得到曲线C. ① 求曲线C 的方程;
②过点D(0, 2)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ,且M 在D 、N 之间,设
DM λ=,求实数λ的取值范围.
解:① 由已知设点P(),00y x 满足
1)1(2
)2(202
0=+++y x ,点P 的对应点Q(),y x 则???=-=-1
200y y x x 1122
2=+∴y x . ② 当直线的斜率不存在时,)1,0(),1,0(-N M ,此时2
1
=
λ; 当直线的斜率存在时,设l:2+=kx y 代入椭圆方程得:068)12(2
2
=+++kx x k
0)12(24642
2
>+-=?k k 得2
32
>
k 设),(),,(2211y x N y x M ,则???
????
+=
?+-=+1261
28221221k x x k k x x , MN DM λ=Θ
)(121x x x -=∴λ又,12121x x x x x -=∴≠λ 则λλ
+=121x x .
λ
λ
λλ+++=+∴
111221x x x x . 又2)
1
2(3322)
12(332222
212
2211221-+=-+=+=+∴k
k k x x x x x x x x
由2
3
2
>
k ,得316
)12(332
42
<
+
221<+<∴x x x x
即310112<+++<∴λλλλ,又21
0>∴>λλ
综上:),2
1
[∞+∈λ
8.2 双曲线
1. 已知21,F F 是双曲线12
22
=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )
A. 24
B. 8
C. 22
D. 随α的大小变化
答案: A
解析: 用双曲线定义列方程可解
2. 过双曲线0222
2
=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 答案: D
解析: ⊥l x 轴时的焦点弦长AB=4最短为通径,故交右半支弦长为4的直线恰有一条; 过右焦点交左右两支的符合要求的直线有两条.
3. 直线53
1
+-=x y 与曲线12592=+y x x 的交点个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个.
答案: D
解析: (0, 5)点为完整双曲线和椭圆的极值点,故y=5为其切线,当直线斜率不为0时,直线必
与每个曲线交于两点.
4. P 为双曲线12222=-b
y a x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆2
22a y x =+的位
置关系为 ( )
A. 内切
B. 外切
C. 内切或外切
D. 无公共点或相交. 答案: C
解析: 用两圆内切或外切的条件判断
5. 已知是双曲线13
2
2=-y m x 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为
( )
A. 2
B. 23
C. 1
D. 2
1 答案: C 解析:23,
0=+>m
m m
6. 设)4
,
0(π
θ∈,则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围是 ( )
A. )21,0(
B. )22,21
( C. ),2(∞+ D. )2,2
2
(
答案: C 解析: θθ
θθ2cot 1tan cot tan +=+=
e
7. 设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F , 则21F PF ?的面积为 ( )
A. 1
B.
2
5
C. 2
D. 5
答案: A
解析: 勾股定理,双曲线定义联立方程组.
8. 设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ?的面积为1时, 21PF PF ?的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2
1
D. 2 答案: A
解析: 不妨设,p x ,0>p y 由
5
1
1221=∴=??p p y y c , )55,5302(P )55,53025(1--
-=∴PF , )5
5
,53025(2--=PF ,021=?∴PF PF 9.设圆过双曲线
116
922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中
心的距离为 3
16
解析: 略
10. 双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为5
9
=
x ,则双曲线方程为 116
92
2=-y x 解析: 可设双曲线方程为:
11692
2=-λ
λy x ()0>λ 11. 设双曲线)0(,122
22b a b
y a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过点)0,(a ,
),0(b 两点.已知原点到直线l 的距离为c 4
3
,则双曲线的离心率为 2
解析: 由2>
∴12. 已知双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴且与圆172
2
=+y x 相交于A(4, -1),若此圆
在点A 的切线与双曲线的一条渐进线平行,则双曲线的方程为 255162
2
=-y x
解析:设双曲线方程为: ,12222±=-b y a x 4=a
b
,再用待定系数法.
13. 直线1:+=kx y m 和双曲线12
2
=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是
21<解析: 用判别式和韦达定理
14. 21,F F 是双曲线116
922=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足3221=?PF PF , 则=∠21PF F ο
90
解析: 列方程组解.
15. 以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆,与相应准线l 有两个不同的交点,求证: ①这圆锥曲线一定是双曲线;
②对于同一双曲线,l 截得圆弧的度数为定值. 解:①如图:ST QH ⊥, QH AB 2>
e
AB
e BF e AF BB AA QH =
+=
+=112 1>∴e 所以圆锥曲线为双曲线. ②e
AB BB AA QF QH QS QH SQH 122cos 11=+===
∠为定值 所以弧ST 的度数为定值.
16. M 为双曲线)0(,122
22>>=-b a b y a x 上异于顶点的任一点,双曲线的焦点为
)0,(),0,(21c F c F -,设βα=∠=∠1221,F MF F MF ,求2
cot
2
tan
β
α
?的值.
解:
α
ββααβsin sin )sin(2sin sin 2121--=+==r r c r r 2
sin
2sin
sin sin )sin(αββ
αα
ββα-+=-+=∴
a c 2sin 2cos )(2cos
2
sin
)(βαβ
α
a c a c -=+∴, a
c a
c +-=
?∴2cot 2tan βα 17.(2000全国高考)已知梯形ABCD 中,CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点,当4
3
32≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围.
解:如图建系:设双曲线方程为: 122
22=-b
y a x
则B(c,0), C(
),2
h c
,A(-c,0) )1,)1(22(
λ
λλλ++-∴h
c E ,代入双曲线方程得:
???
????=+-?+-?=-?2222222
22
22222)1()1(4)2(4b a b a c b b
a h a c
b λλλλ, ]43,32[,1122
∈-+=∴λλλe 107≤≤∴e
8.3 抛物线
1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82
=只有一个公共点的直线有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条. 答案: C
解析: 相切与相交均能产生一个公共点.
2. 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22
= )200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 ( ) A. 10≤解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出
2222)22()(t y t y t y x PA +-+=
-+=转化为二次函数问题.
3. 抛物线)0(22
>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是 ( ) (A)
2a (B) 2
p (C) 2p a + (D) 2p a - 答案: D
解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短.
4. 直线l 过抛物线)0()1(2
>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线
段长为4,则=a ( ) A. 4 B. 2 C. 41 D. 2
1 答案: A
解析: 所截线段长恰为通径4=a 5. (2000全国高考)过抛物线)0(2
>=a ax
y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若
PF 与FQ 的长分别为p 、q,则
q
p 1
1+等于 ( ) A. a 2 B.
a 21 C. a 4 D. a
4 答案: C
解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,
6. 设抛物线)0(22
>=p px y 的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、
Q
两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( ) A. QEF FEP ∠>∠ B. QEF FEP ∠<∠ C. QEF FEP ∠=∠ D. 不确定 答案: C
解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得2
21p y y -=(重要结论),进而得出QE PE k k =
7. 已知抛物线12
-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )
A. ]3,(--∞
B. ),1[∞+
C. [-3, -1]
D. ),1[]3,(∞+--∞Y 答案: D
解析: 均值不等式
8. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,
则=∠11FB A ( ) A. ο
45 B. ο
60 C. ο
90 D. ο
120 答案: C
解析: 如图, ),,2
2(
121y p
p y FA -= ),,2
2(222y p p y FB -=因为A 、F 、B 三点共线
所以
22112
212221,2
21221p y y y p y y p y p y y p -=∴-=- 0),(),(2122111=+=-?-=?y y p y p y p FB FA
9. 一动点到y 轴距离比到点(2, 0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为
)0(0)0(82<=≥=x y x x y 或
解析: 用抛物线定义.
10. 过点P(-2, -4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,2
2
-=-=
解析: 考虑两种可能.
11. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为
24米 解析: 坐标法
12. 以椭圆
116
252
2=+y x 的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点,则=AB 3
100
解析: 略
13. 设A 、B 为抛物线px y 22
=上的点,且ο
90=∠AOB (O 为原点),则直线必过的定点坐标
为
)0,2(p
解析: 设直线方程为 kx y =,解出A 点坐标,再写出B 点坐标;写出直线方程. 14. 抛物线
x y =2的焦点弦AB,求OB OA ?的值.
解:由 ??
???-==)
21
(22x k y x
y 得1,012212
-=∴=--y y y k y 4
3
412122212121-=+=
+=?∴y y y y y y x x OB OA 15.设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22
+=x y 相交于B 、C 两点,点
B 、
C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合1
1
CC BB PC BP =,求POA ?的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形. 解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Q
λ===∴
2
111
y y CC BB PC BP , 212
12
1221
1021y y y y y y y y y y y +=
+
?+
=∴
由???-=+=)
2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 4
12462220-=-?=∴k k
k k k y --------------------------------------------------------①
又
k x y =-2
00
代入①式得4400+=x y -----------------------------------------②
由???
????=+=3320
0y y x x 得???=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x
由0>?得624-k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y
641264120+<<-∴y , 3
6
443644+<<-
y 且4≠y 所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x
(3
6
443644+<<-
y 且4≠y ) 16. 已知抛物线)0(22
>=p px y ,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且 8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0) ①求抛物线方程;
②求ABS ?面积的最大值.
解析: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得2
4,8021p x p x x -
=∴=++ 又?????==2
2
212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212
221),(2
所以 ),24(k
p p M - 依题意16
2
4-=?--k p k p
, 4=∴p
抛物线方程为 x y 82
=
②由),2(0y M 及04y k l =
, )2(4:00-=-x y y y l AB 令0=y 得2
04
12y x K -= 又由x y 82
=和)2(4:0
0-=
-x y y y l AB 得: 016222
02=-+-y y y y )162(44)4
14(212120202012--+=-??=
∴?y y y y y KS S ABS 69
64
)364(82)232)(16(2
4132
020=≤
-+=
∴?y y S ABS
8.4 轨迹与轨迹方程
1. 与圆x 2+y 2-4y =0外切, 又与x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ).
A. y 2=8x
B. y 2=8x (x >0) 和 y =0
C. x 2=8y (y >0)
D. x 2=8y (y >0) 和 x =0 (y <0) 答案: D
解析: 设所求圆的圆心为),(y x O , 已知圆圆心)2,0('
O , 半径为2, 则y OO +=2'或
O 点在y 轴负半轴.
2. 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离比它到直线x =8的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为
( ).
A. y 2=16(x -5)
B. x 2=16(y -5)
C. x 2=-16(y -5)
D. y 2=-16(x -5) 答案: D
解析: 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离等于它到直线x =9的距离. 所以动点M 的轨迹是以
点F (1,0)为焦点, 直线x =9为准线的的抛物线. 3.
3=, A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动, O 为原点, OB OA OP 3
2
31+=
则动点P 的轨迹方程是 ( ).
A. 1422=+y x
B. 1422
=+y x C. 1922=+y x D. 19
22
=+y x 答案: A 解析: 由OB OA OP 3
2
31+=
知: P 点是AB 的三等分点(靠近B ), 设P (x ,y ), 则)0,2
3
(),3,0(x B y A ,
3=, 由距离公式即得.
4. A 、B 、C 是不共线的三点, O 是空间中任意一点, 向量)2(++=λ, 则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ).
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心 答案: C
解析: 向量)2
1
(2)2(BC AB BC AB +
=+λλ与BC 边中线的向量是平行向量, )2(++=λ, 则点P 在BC 边中线上.
5. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 且
212
1
F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹是( ).
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 线段 答案: D
解析: ,22121==+F F PF PF 作图可知点P 的轨迹为线段.
6. 已知点P (x ,y )对应的复数z 满足1=z , 则点Q (x +y ,xy )的轨迹是 ( ). A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部分 答案: B
解析: 设),(Y X Q , 则,12,,222=-=+=
=+=Y X y x z xy Y y x X Θ
122+=∴Y X , ]1,1[],1,1[-∈-∈y x Θ, ∴轨迹为抛物线的一部分.
7. 已知△ABC 的两个顶点A 、B 分别是椭圆
19
252
2=+y x 的左、右焦点, 三个内角A 、B 、C 满足C B A sin 2
1
sin sin =
-, 则顶点C 的轨迹方程是( ). A.
112422=-y x B. 112
42
2=-y x (x <0) C.
112422=-y x (x .<-2 ) D. 112
42
2=+y x 答案: C
解析: 82
1
),0,4(),0,4(==
+∴-c b a B A , 点C 的轨迹是以A 、B 为焦点长轴长为8的双曲线的右支且点C 与A 、B 不共线.
8. 抛物线y =x 2+(2m +1)x +m 2-1的焦点的轨迹是 ( ). A. 抛物线 B. 直线 C. 圆 D. 线段 答案: B
解析: 设焦点坐标为M (x ,y ), 顶点)4
5,21(---
-m m ,
0122,14
1
45,21=--∴--=+--=--=∴y x m m y m x .
9. 点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆14
32
2=+y x 上运动, 则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是 .
答案: )0(14
932
2
≠=+x y x 解析:设y n x m n y m x n m P F F y x G 3,3,3
11,3),(),1,0(),1,0(),,(21==∴+-==
-则, 代入14
32
2=+y x 即得, 再注意三角形三顶点不共线. 10. 过椭圆14
92
2=+y x 内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 . 答案: 14
9)1(2
2
=+
-y x 解析: 设N (x ,y ), 动弦AB 方程为)2(-=x k y , 与14
92
2=+y x 联立, 消去y 得: 2
222
2
2
2
948,9418,0363636)94(k k
y k k x k x k x k +-=+=∴=-+-+, 消参即得.
11. 直线l 1: x -2y +3=0, l 2: 2x -y -3=0, 动圆C 与l 1、l 2都相交, 并且l 1、l 2被圆截得的线段长分
别是20和16, 则圆心C 的轨迹方程是 .
答案:
160
)3(60)3(2
2=---y x 解析: 设C (x ,y ), 点C 到21,l l 距离分别为
5
3
2,
532--+-y x y x , 5
)32(85)32(1022
22
--+=+-+∴y x y x , 化简即得.
12. 点P 是曲线f (x , y )=0上的动点, 定点Q (1,1), 2-=,则点M 的轨迹方程
是 . 答案: 0)23,23(=--y x f 解析: 设),
,(),,(n m P y x M
则:23,23),1,1(2),(-=-=∴---=--y n x m y x y n x m , 代入f (x , y )=0即得. 13. 已知圆的方程为x 2+y 2=4, 动抛物线过点A (-1,0), B (1,0), 且以圆的切线为准线, 则抛物线
的焦点的轨迹方程是 .
答案: )0(13
42
2≠=+y y x 解析: 设抛物线焦点为F , 过A 、B 、O 作准线的垂线111,,OO BB AA , 则
42111==+OO BB AA , 由抛物线定义得: FB FA BB AA +=+11,
4=+∴FB FA , 故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点, 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点) 14. 设O 为坐标原点, P 为直线1=y 上动点, //, 1=?, 求Q 点的轨迹方
程.
解: 设),(),1,(y x Q a P , 则由OQ OP // 得: x ay =, 即 y
x
a =
, 由1=?OQ OP 得: 1=+y ax , 将y
x a =
代入得: y y x =+2
2, 且0>y . ∴所求点Q 的轨迹方程为: )0(022>=-+y y y x .
15. 半径为R 的圆过原点O , 圆与x 轴的另一个交点为A , 构造平行四边形OABC , 其中BC
为圆在x 轴上方的一条切线, C 为切点, 当圆心运动时, 求B 点的轨迹方程. 解: 设圆心为M (x 0, y 0), B (x ,y ), 则),,(),0,2(000R y x C x A +CB OA =Θ ,30x x =∴ 又 BC 为圆的切线, 得: R y y +=0,
R OM R y y x
x =-==
∴Θ00,3
, )0()(9
222
2
20
20
≠=-+∴=+∴x R R y x R
y x 16. 如图, 已知线段AB 在直线2=x 上移动, O 为原点. ))2
,
0((π
θθ∈=∠AOB , 动点
P 满足2
22PO PB PA ==.
(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程;
(Ⅱ) 当4
π
θ=
时, 动点P 的轨迹与直线OA 交于D C ,两点(点C 在点D 的下方), 且
OC CD 4-=, 求直线OA 的方程.
解: (Ⅰ) 由2
2
2
PO PB PA ==得: PO PB PA ==, 则P 为ABO ?的外心, 设
),(y x P , 作N AB PN 于⊥, 则N 为AB 中点, θ=∠∴APN . 在APN Rt ?中, 0
44cos sin 2cos cos 22222
2=+-?-?∴+-=
∴==
x y x y x x PO
PN PA
PN θθθθθ
θ
θθθ2
222sin cos 22sin cos 220
44sin +≥-≤
∴≥+-?x x x x 或Θ, 又 2θ2sin cos 22-≤
∴x ,
因此点P 的轨迹方程为: )sin cos 22(0
44cos sin 22222
θ
θ
θθ-≤
=+-?-?x x y x
(Ⅱ) 当4
π
θ=
时, 动点P 的轨迹方程为: )224(8)4(2
2
-≤=--x y x
设直线OA 的方程为: ),(),,(),1(2211y x D y x C k kx y ±≠=, 直线OA 的方程与
8
)4(22=--y x 联立, 得: 088)1(2
2=+--x x k ,
)(18
,182
2
1221*-=-=
+∴ΛΛk x x k x x , 由OC CD 4-=, 得: 1233x x OC OD -=∴-=, 代入)(*得: 7±=k , 因点C 在点D 的下方, 知: 7=
k 不合题意, 舍去.
故所求直线OA 的方程为: x y 7-=.
8.5直线与圆锥曲线(1)
1.若倾角为
4
π的直线通过抛物线2
4y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点,则线段MN 的长为( )
(A )13 (B )8 (C )16 (D )82 (目的:掌握抛物线的焦点弦长的求法) 【答案】(B )
【解析】由条件,过焦点的直线为1y x =-代入抛物线方程,并由抛物线的定义求得
128MN x x p =++=
2.直线10x y --=与实轴在y 轴上的双曲线22x y m -=的交点在以原点为中心,边长为
2且边平行于坐标轴的正方形内部,那么m 的取值范围是( )
(A )01m << (B )1m >- (C )0m < (D )10m -<< (目的:利用不等式判断直线与双曲线的交点的位置) 【答案】(D ) 【解析】将直线10x y --=代入双曲线2
2
x y m -=求得1
2
m y -=
,则有1
2
m y -=
(1,1)∈-13m ∴-<<同理亦得31m -<<,又对实轴在y 轴上的双曲线有0m <,故10m -<<。
3.过点(0,2)A 可作
条直线与双曲线2
2
14
y x -=有且只有一个公共点。 (目的:掌握直线与双曲线交点的特殊性-----与其渐近线的关系) 【答案】4条
【解析】设过点(0,2)A 的直线为2y kx =+代入双曲线2
2
14
y x -=,求出有一个解的k 的值。或讨论k 与渐进线的斜率的关系。
5.已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ,且5AB =,又3A B x x +=,则
p =
(目的:利用定义理解抛物线的焦点弦的特殊性质) 【答案】2
【解析】利用抛物线的定义,焦点弦12AB x x p =++,所以2p =
6.椭圆2244x y +=长轴上的一个顶点为A ,以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰
直角三角形,该三角形的面积是。
(目的:椭圆的对称性在解题中的运用) 【答案】
1625
【解析】设内接于椭圆的等腰直角三角形为ABC V ,则1AB k =,(2,0)A 直线:2AB y x =-
求得45B y =-
,45C y =18416
25525
ABC S ∴=??=V 7.已知抛物线21
2
y x ax =-++与直线2y x =
(1) 求证:抛物线与直线相交;
(2) 求当抛物线的顶点在直线的下方时,a 的取值范围;
(3) 当a 在(2)的取值范围内时,求抛物线截直线所得弦长的最小值。
(目的:熟练掌握综合运用判别式、不等式讨论直线与圆锥曲线的位置关系、直线与曲线相交弦长等问题) 【解析】
(1)由22
222(42)10,(42)80,12y x x a x a y x ax =???+--==-+>?=-++??V
∴直线与抛物线总相交。
(2)22
212(),224a a y x ax x +=-++=--+Q 其顶点为22(,)24
a a +,且顶点在直线2y x =
的下方,22242
a a
+∴
,即242022a a a -+<。 (2)设直线与抛物线的交点为1122(,),(,)A x y B x y , 则
1212242212
a x x a x x -?
+==-???
??=-?
?
22AB a ∴==-<∴
Q
当
min 2a AB ==时,
8. 已知中心在原点,顶点12,A A 在
x 的双曲线经过点(6,6)P (I )求双曲线的方程;
(II)动直线l 经过12A PA ?的重心G ,与双曲线交于不同的两点,M N ,问是否存在直线
l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。
(目的:借用中点弦的特性,及三角形的重心的知识讨论双曲线上关于直线对称的两点的存在性) 【解析】
(I )设所求的双曲线方程为22
221x y a b
-
=e =
Q (6,6)P ,所以 所求所求的双曲线方程为
22
1912
x y -=。 (II)由条件12,,P A A 的坐标分别为(6,6)(3,0)(3,0)-、、,G ∴点坐标为(2,2) 假设存在直线l 使(2,2)G 平分线段,MN 设,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y
22
112
2
22129108 (1)
129108 (2)
x y x y ?-=?∴?-=?? (1)(2)-得 2222121212()9()x x y y -=-12121212()()9()()x x x x y y y y +-=+-
又
1212
2,2,22
x x y y ++==即12121211244, 4.3MN y y x x y y k k x x -+=+=∴===-
l ∴的方程为42(2)3y x -=- 由22129108
4
2(2)
3x y y x ?-=?
?-=-??
消去y 整理得2
2
4280(4)4280x x -+==--?<∴Q V 所求直线不存在。
9.一条斜率为1的直线l
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>交于,P Q 两点,
3,4,l OQ PQ RQ ?=-=uu r uuu r uuu r uuu r
直线与y 轴交于R 点,且OP 求直线与双曲线的方程
(目的:利用向量的观点和方程的思想,求直线与圆锥曲线的方程及有关性质) 【解析】
由2
2
2
2
32e c a b a ==∴=∴双曲线方程为222
22x y a -=
设直线1122:,(0,),(,),(,)l y x m R m P x y Q x y =+
则12222
2
2222
122220........(1)222x x m y x m x mx m a x y a x x m a
+==+???---=∴??-==--?? 又因为3,4,OQ PQ RQ ?=-=uu r uuu r uuu r uuu r OP
则有:2
1212121232()30.........(3)x x y y x x m x x m +=-∴++++=
21212
2122143.......(2)4()34x x x x x y y y m y y m
-==-?????
-=-+=?? 由(1),(2)得2221,3,x m x m m a =-==代入(3)得221,1m a ==22
1,1,2m a b ∴=±==
所以,所求的直线与双曲线方程分别是2
2
1,12
y y x x =±-=
8.6直线与圆锥曲线(2)
1.过点(4,0)C 的直线与双曲线22
1412
x y -
=的右支交于A B 、两点,则直线AB 的斜率k 的取值范围是 ( ) (A )1k ≥ (B
)k > (C
)k ≤ (D )1k < (目的:掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法) 【答案】(B )
【解析】直接法:由题意,点(4,0)C 是双曲线的右焦点,过(4,0)C 的直线平行于渐进
线y =
时,k =
此时与双曲线只有一个交点,若使交点同在右支,则
k >
2.已知直线l 交椭圆224580x y +=于.M N 两点,椭圆与y 轴的正半轴交于B 点,若
BMN V 的重心恰好落在椭圆的右焦点,则直线l 的方程是 ( ) (A )56280x y +-=(B )56280x y --=(C )6+5280x y -=(D )65280x y --=(目的:能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量) 【答案】(D ) 【解析】
由题设,设直线方程为y kx b =+则:
1122121212(,),(,),(0,4),(2,0)6,()24M x y N x y B F x x y y k x x b ∴+=+=++=-
32k b ∴+=-代入方程检验即可。
3.过点(0,1)P 与抛物线2y x =有且只有一个交点的直线有( )
(A )4条 (B )3条 (C )2条 (D )1条 (目的:掌握判断直线与抛物线位置关系的方法) 【答案】(B )
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项:圆锥曲线 1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P ,连结AP 交椭圆C1于点M ,连结PB 并延长交椭圆C1于点N ,若=. 求证:.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A ,B 两点.设AB 中点为M ,直线AB 与OM 的夹角为αa. (1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; (2)若2【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习:圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解; 1.高考最重要考:直线与椭圆,抛物线的位置关系。第一问最高频考(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————; 2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的“固定3步走”:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————; 3.圆锥曲线题固定步骤前9步:-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————; 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾
股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2) 中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法” 椭圆:(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤:
高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线
圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆 C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C : y x 42=的焦点为F ,定点)0, 22(A ,若射线FA 及抛物线C 相交于点M ,及抛物线C 的准线相交于点N ,则FM :MN= 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ,则m = ▲
7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近 线方程 为y =±3x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合,则a = ▲ . 11、(南通市 高三)在平面直角坐标系xOy 中,以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 高三上期末)以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线标准方程为 13、(泰州市 高三上期末)双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e = ▲ 14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐 标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线及抛物线y 2=4x Y
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义
高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一 点,则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5.补充知识点: 几个常用结论: 1)过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为: 12020=+b y y a x x ; 2)斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=;3)过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2222 cos 2c a ab l -=。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线方程为
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
全国名校高考数学专题训练圆锥曲线
全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1,F2是椭圆4x2 49 + y2 6 =1的两个焦 点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=4:3,则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2+ y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点F交椭圆于A,B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 , 3 2 ] B.[ 3 3 , 2 2 ] C.[ 5 3 , 2 2 ] D. [ 3 3 , 3 2 ]
6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ,F 分别是椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右顶点和左焦点,点B 为椭圆短轴的一个端点,若BF →·BA →=0=0,则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 右焦点为圆心的圆经过原点,且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧,那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的 左,右焦点分别为F 1,F 2,抛物线C 2的顶点在原点,它的准线与双曲线C 1的左准线重合,若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2,则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的中心,右焦 点,右顶点,右准线与x 轴的交点依次为O ,F ,A ,H ,则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2=x 的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点,且点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ,则|FA |
高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求21PF PF ?的最大值和最小值; (Ⅱ)是否存在过点A (5,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ,使得|F 2C|=|F 2D|?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P (x ,y ),则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x , 0=∴x 当,即点P 为椭圆短轴端点时,21PF PF ?有最小值3; 当5±=x ,即点P 为椭圆长轴端点时,21PF PF ?有最大值4 (Ⅱ)假设存在满足条件的直线l 易知点A (5,0)在椭圆的外部,当直线l 的斜率不 存在时,直线l 与椭圆无交点,所在直线l 斜率存在,设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ,得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ,得 当5 5 55< <- k 时,设交点C ),(),(2211y x D y x 、,CD 的中点为R ),(00y x , 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23 = e ,已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1
是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2新人家A版高考数学一轮复习:圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程:ax 2+bx +c =0(或ay 2+by +c =0). 若a ≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有: Δ>0?直线与圆锥曲线相交; Δ=0?直线与圆锥曲线相切; Δ<0?直线与圆锥曲线相离. 若a =0且b ≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长|AB |=1+k 2|x 1 -x 2|或 1+1 k 2|y 1-y 2|. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)与椭圆x 212+y 2 16=1焦点相同,离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A .y 2- x 23=1 B.y 23 -x 2 =1 C.34x 2-3 8 y 2=1 D.34y 2-3 8 x 2=1 解析:选A 设双曲线方程为y 2a 2-x 2 b 2=1(a >0,b >0), 则????? a 2+ b 2= c 2, c a =2,c =2, 得a =1,b = 3. 故双曲线方程为y 2- x 2 3 =1. 2.(教材习题改编)直线y =kx -k +1与椭圆x 29+y 2 4=1的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不确定 解析:选A 由于直线y =kx -k +1=k (x -1)+1过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)
高中数学圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由
高考数学总复习圆锥曲线综合
第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线(含直线)过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数,研究变量的最值及取值范围问题,注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看,预测2015年高考主要考查两大类问题:一是根据条件,求出表示平面曲线的方程;二是通过方程,研究平面曲线的性质,其热点有:①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质;②求平面曲线的方程和轨迹;③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定;④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看,以解答题为主,难度较大. 从能力要求上看,要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”,具体操作程序如下: (1)变量----选择适当的量为变量. (2)函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. (3)定值----化简得到的函数解析式,消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种: (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明该定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理过程中消去变量,从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形性质来解决,这是几何法. (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等,这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” (1)重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). (2)重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. (3)重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系,再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系,并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. (1)用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向),
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线, 交点是A ,点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在l i 上的射影点 是 N ,且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 2,已知 点P(0,3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R); G E G F 2G H ; G H E F 0. 12
2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 , 4其左、右顶点分别
(I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率; (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证:MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2b>0)的离心率 3 ,过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线 ,3 与原点的距离为 2 (1)求椭圆的方程 (2)已知定点E (-1, 0),若直线y= kx + 2 (k乒0与椭圆交于C D两点问:是否存在k的值,使以CD 为直径的圆过E点?请说明理由 2 2 C x y 是A、B;双曲线, a2b2 1 的一条渐近线方程为3x- 5y=0. 2 x 2 5.已知椭圆a
全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23 = e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1
是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若MP AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习
高考数学试题圆锥曲线 一. 选择题: 1.又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 41 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C . D . 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )
高考数学圆锥曲线及解题技巧
椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
数学高考圆锥曲线压轴题
数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 3 2,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. ★★如图,椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)经过点P(1, 3 2),离心率e= 1 2,直 线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为 3 2,过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只 有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 1 kk1+ 1 kk2 为定值,并求出这个定值. - 2 -
二、圆锥曲线中的最值问题 +y2 b2=1( a>b>0)的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且A D⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积的最大值. - 3 -