2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十一
三角恒等变换文
对点练(一) 三角函数的求值
1.(xx·山东高考)已知cos x =3
4,则cos 2x =( )
A .-14
B.14 C .-18
D.18
解析:选D cos 2x =2cos 2x -1=1
8
.
2.(xx·太原一模)若cos ? ????α-π6=-33,则cos ?
??
???α-π3+cos α=( )
A .-22
3
B .±223
C .-1
D .±1
解析:选C 由cos ? ????α-π3+cos α=12cos α+32sin α+cos α=3cos ? ????α-π6=-1,故选C.
3.(xx·安徽十校联考)sin 47°-sin 17°cos 30°
cos 17°=( )
A .-32
B .-12
C.12
D.32
解析:选C sin 47°-sin 17°cos 30°
cos 17°
=sin
30°+17°-sin 17°cos 30°
cos 17°
=sin 30°cos 17°+sin 17°cos 30°-sin 17°cos 30°
cos 17°
=sin 30°cos 17°cos 17°=sin 30°=1
2
.
4.(xx·湖南郴州质检)已知x ∈(0,π),sin ? ????π3-x =cos 2? ????x 2+π4,则tan x =( )
A.1
2 B .-2
C.22
D. 2
解析:选D 由已知,得sin π3cos x -cos π3sin x =cos ?
????x +π2+1
2,即32cos x -
12
sin x =-12sin x +12,所以cos x =3
3
.因为x ∈(0,π),所以tan x = 2.
5.(xx·河北唐山一模)已知α为锐角,且cos ? ????α+π4=35,则cos 2α=( )
A.24
25
B.725
C .-2425
D .±2425
解析:选A ∵0<α<π2,cos ? ????α+π4=35>0,∴π4<α+π4<π2,∴sin ? ????α+π4=45,∴sin α=sin ??????? ????α+π4-π4=sin ? ????α+π4cos π4-cos ? ????α+π4sin π4=45×22-35×22=210,∴cos 2α=1-2sin 2
α=1-2×? ????2102=2425
.故选A. 6.(xx·广东广州模拟)设α为锐角,若cos ? ????α+π6=35,则sin ? ????α-π12=( )
A .-
2
10
B.210
C.
22 D.45
解析:选B 因为α为锐角,所以0<α<π2,则π6<α+π6<2π3,因此sin ? ????α+π6>0,所以sin ?
????α+π6=
1-cos 2?
????α+π6=
1-? ????352=45.所以sin ?
?????α-π12=
sin ???????
????α+π6-π4=sin ? ????α+π6cos π4-cos ? ????α+π6sin π4=45×22-35×22=210.
7.(xx·荆州一模)计算:sin 46°·cos 16°-cos 314°·sin 16°=________. 解析:sin 46°·cos 16°-cos 314°·sin 16°=sin 46°·cos 16°-cos 46°·sin 16°=sin(46°-16°)=sin 30°=1
2
.
答案:12
8.(xx·洛阳一模)已知sin ? ????α-π3=14,则cos ? ??
??π3+2α=________. 解析:cos ? ????π3+2α=cos ? ????π-2π3+2α=-cos 2? ????α-π3=2sin 2? ????α-π3-1=-78. 答案:-7
8
9.(xx·豫北名校联考)计算:cos 10°-3cos -100°
1-sin 10°=________.(用数字作答)
解
析
:
cos 10°-3cos -100°
1-sin 10°
=
cos 10°+3cos 80°
1-cos 80°
=
cos 10°+3sin 10°2·sin 40°=2sin 10°+30°
2·sin 40°
= 2.
答案: 2
10.(xx·广东佛山教学质量检测)已知0 ????2x -π4=-210,则sin x +cos x =________. 解析:由0 π2,sin ? ????2x -π4=-210,得-π4<2x -π4<0,∴cos ? ????2x -π4= 1-? ?? ??- 2102=7210.∴sin 2x =sin ??????? ????2x -π4+π4=22??????sin ? ????2x -π4+cos ??????2x -π4= 22×? ????-210+7210=3 5.∴sin x +cos x =sin x +cos x 2 =1+sin 2x = 1+35 =210 5 . 答案:2105 对点练(二) 三角恒等变换的综合问题 1.(xx·山西临汾模拟)已知函数f (x )=sin 2 x +sin x cos x ,当x =θ时函数y =f (x )取得最小值,则sin 2θ+2cos 2θ sin 2θ-2cos 2θ =( ) A .-3 B .3 C .-13 D.13 解析:选C f (x )=sin 2 x +sin x cos x =12sin 2x -12cos 2x +12=22sin ? ????2x -π4+12, 当x =θ时函数y =f (x )取得最小值,即2θ-π4=2k π-π2,k ∈Z ,那么2θ=2k π-π 4 , k ∈Z ,则sin 2θ+2cos 2θsin 2θ-2cos 2θ=sin ? ????-π4+2cos ? ?? ??-π4sin ? ????-π4-2cos ? ????-π4= - 22+2×2 2- 22-2×2 2 =-1 3.故选C. 2.(xx·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )=sin 2 ωx +3sin ωx sin ? ????ωx +π2(ω>0)的最小正周期为π,则f (x )在区间? ?????0,2π3上的值域为( ) A.??????0,32 B.??????-12,32 C.???? ??-12,1 D.???? ??-32,12 解析:选 A f (x )=sin 2ωx +3sin ωx sin ? ????ωx +π2=sin 2 ωx +3sin ωx cos ωx = 32sin 2ωx -12cos 2ωx +12=sin ? ????2ωx -π6+12, 因为T =2π2ω=πω=π,所以ω=1,即f (x )=sin ? ????2x -π6+12,当x ∈??????0,2π3时,2x -π6∈??????-π6,7π6,所以sin ? ????2x -π6∈??????-12,1,故所求值域为???? ??0,32,故选A. 3.(xx·江西赣中南五校模拟)已知f (x )=sin ? ????2 019x +π6+cos ? ????2 019x -π3的最大 值为A ,若存在实数x 1,x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则A |x 1-x 2|的最小值为( ) A.π 2 019 B.2π 2 019 C.4π 2 019 D.π 4 038 解析:选B f (x )=sin ? ????2 019x +π6+cos ? ????2 019x -π3 =sin 2 019x cos π6+cos 2 019x sin π6+cos 2 019x cos π3+sin 2 019x sin π3= 3 2sin 2 019x +12cos 2 019x +12cos 2 019x +3 2sin 2 019x =3sin 2 019x +cos 2 019x = 2sin ? ????2 019x +π6,∴f (x )的最大值为A =2; 由题意,得|x 1-x 2|的最小值为T 2=π 2 019 , ∴A |x 1-x 2|的最小值为2π 2 019 .故选B. [大题综合练——迁移贯通] 1.已知函数f (x )=3(cos 2 x -sin 2 x )+2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期; (2)设x ∈???? ??-π3,π3,求f (x )的值域和单调递减区间. 解:(1)∵f (x )=sin 2x +3cos 2x =2sin ? ????2x +π3, ∴f (x )的最小正周期为π. (2)∵x ∈??????-π3,π3,∴-π3≤2x +π3≤π,∴-32≤sin ? ????2x +π3≤1.由2k π+ π2≤2x + π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π12≤x ≤k π+7π12,k ∈Z ,∴π12≤x ≤π 3 .∴x ∈??????-π3,π3时,f (x )的值域为[-3,2],单调递减区间为???? ??π12,π3. 2.(xx·安徽合肥质检)已知cos ? ????π6+α·cos ? ????π3-α=-14,α∈? ????π3,π2. (1)求sin 2α的值; (2)求tan α- 1 tan α 的值. 解:(1)∵cos ? ????π6+αcos ? ????π3-α=cos ? ????π6+αsin ? ????π6+α=12sin ? ????2α+π3=-14,∴sin ? ????2α+π3=-12. ∵α∈? ????π3,π2,∴2α+π3∈? ?? ??π,4π3, ∴cos ? ????2α+π3=-32, ∴sin 2α=sin ??????? ????2α+π3-π3=sin ? ????2α+π3cos π3-cos ? ????2α+π3sin π3=12. (2)∵α∈? ????π3,π2,∴2α∈? ????2π3,π.又由(1)知sin 2α=12,∴cos 2α=-32. ∴tan α-1tan α=sin αcos α-cos αsin α=sin 2α-cos 2 αsin αcos α=-2cos 2α sin 2α=-2×-3 21 2 =2 3.