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2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十一三角恒等变换文

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十一三角恒等变换文
2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十一三角恒等变换文

2021年高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十一

三角恒等变换文

对点练(一) 三角函数的求值

1.(xx·山东高考)已知cos x =3

4,则cos 2x =( )

A .-14

B.14 C .-18

D.18

解析:选D cos 2x =2cos 2x -1=1

8

.

2.(xx·太原一模)若cos ? ????α-π6=-33,则cos ?

??

???α-π3+cos α=( )

A .-22

3

B .±223

C .-1

D .±1

解析:选C 由cos ? ????α-π3+cos α=12cos α+32sin α+cos α=3cos ? ????α-π6=-1,故选C.

3.(xx·安徽十校联考)sin 47°-sin 17°cos 30°

cos 17°=( )

A .-32

B .-12

C.12

D.32

解析:选C sin 47°-sin 17°cos 30°

cos 17°

=sin

30°+17°-sin 17°cos 30°

cos 17°

=sin 30°cos 17°+sin 17°cos 30°-sin 17°cos 30°

cos 17°

=sin 30°cos 17°cos 17°=sin 30°=1

2

.

4.(xx·湖南郴州质检)已知x ∈(0,π),sin ? ????π3-x =cos 2? ????x 2+π4,则tan x =( )

A.1

2 B .-2

C.22

D. 2

解析:选D 由已知,得sin π3cos x -cos π3sin x =cos ?

????x +π2+1

2,即32cos x -

12

sin x =-12sin x +12,所以cos x =3

3

.因为x ∈(0,π),所以tan x = 2.

5.(xx·河北唐山一模)已知α为锐角,且cos ? ????α+π4=35,则cos 2α=( )

A.24

25

B.725

C .-2425

D .±2425

解析:选A ∵0<α<π2,cos ? ????α+π4=35>0,∴π4<α+π4<π2,∴sin ? ????α+π4=45,∴sin α=sin ??????? ????α+π4-π4=sin ? ????α+π4cos π4-cos ? ????α+π4sin π4=45×22-35×22=210,∴cos 2α=1-2sin 2

α=1-2×? ????2102=2425

.故选A. 6.(xx·广东广州模拟)设α为锐角,若cos ? ????α+π6=35,则sin ? ????α-π12=( )

A .-

2

10

B.210

C.

22 D.45

解析:选B 因为α为锐角,所以0<α<π2,则π6<α+π6<2π3,因此sin ? ????α+π6>0,所以sin ?

????α+π6=

1-cos 2?

????α+π6=

1-? ????352=45.所以sin ?

?????α-π12=

sin ???????

????α+π6-π4=sin ? ????α+π6cos π4-cos ? ????α+π6sin π4=45×22-35×22=210.

7.(xx·荆州一模)计算:sin 46°·cos 16°-cos 314°·sin 16°=________. 解析:sin 46°·cos 16°-cos 314°·sin 16°=sin 46°·cos 16°-cos 46°·sin 16°=sin(46°-16°)=sin 30°=1

2

.

答案:12

8.(xx·洛阳一模)已知sin ? ????α-π3=14,则cos ? ??

??π3+2α=________. 解析:cos ? ????π3+2α=cos ? ????π-2π3+2α=-cos 2? ????α-π3=2sin 2? ????α-π3-1=-78. 答案:-7

8

9.(xx·豫北名校联考)计算:cos 10°-3cos -100°

1-sin 10°=________.(用数字作答)

cos 10°-3cos -100°

1-sin 10°

cos 10°+3cos 80°

1-cos 80°

cos 10°+3sin 10°2·sin 40°=2sin 10°+30°

2·sin 40°

= 2.

答案: 2

10.(xx·广东佛山教学质量检测)已知0

????2x -π4=-210,则sin x +cos

x =________.

解析:由0

π2,sin ? ????2x -π4=-210,得-π4<2x -π4<0,∴cos ?

????2x -π4=

1-? ??

??-

2102=7210.∴sin 2x =sin ??????? ????2x -π4+π4=22??????sin ? ????2x -π4+cos ??????2x -π4=

22×? ????-210+7210=3

5.∴sin x +cos x =sin x +cos x

2

=1+sin 2x =

1+35

=210

5

. 答案:2105

对点练(二) 三角恒等变换的综合问题

1.(xx·山西临汾模拟)已知函数f (x )=sin 2

x +sin x cos x ,当x =θ时函数y =f (x )取得最小值,则sin 2θ+2cos 2θ

sin 2θ-2cos 2θ

=( )

A .-3

B .3

C .-13

D.13

解析:选C f (x )=sin 2

x +sin x cos x =12sin 2x -12cos 2x +12=22sin ?

????2x -π4+12,

当x =θ时函数y =f (x )取得最小值,即2θ-π4=2k π-π2,k ∈Z ,那么2θ=2k π-π

4

k ∈Z ,则sin 2θ+2cos 2θsin 2θ-2cos 2θ=sin ? ????-π4+2cos ? ??

??-π4sin ? ????-π4-2cos ? ????-π4=

22+2×2

2-

22-2×2

2

=-1

3.故选C.

2.(xx·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )=sin 2

ωx +3sin ωx sin ?

????ωx +π2(ω>0)的最小正周期为π,则f (x )在区间?

?????0,2π3上的值域为( )

A.??????0,32

B.??????-12,32

C.????

??-12,1 D.????

??-32,12 解析:选 A f (x )=sin 2ωx +3sin ωx sin ? ????ωx +π2=sin 2

ωx +3sin ωx cos ωx

32sin 2ωx -12cos 2ωx +12=sin ?

????2ωx -π6+12,

因为T =2π2ω=πω=π,所以ω=1,即f (x )=sin ? ????2x -π6+12,当x ∈??????0,2π3时,2x

-π6∈??????-π6,7π6,所以sin ? ????2x -π6∈??????-12,1,故所求值域为????

??0,32,故选A.

3.(xx·江西赣中南五校模拟)已知f (x )=sin ? ????2 019x +π6+cos ? ????2 019x -π3的最大

值为A ,若存在实数x 1,x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则A |x 1-x 2|的最小值为( )

A.π

2 019 B.2π

2 019 C.4π

2 019

D.π

4 038

解析:选B f (x )=sin ? ????2 019x +π6+cos ?

????2 019x -π3 =sin 2 019x cos π6+cos 2 019x sin π6+cos 2 019x cos π3+sin 2 019x sin π3=

3

2sin 2 019x +12cos 2 019x +12cos 2 019x +3

2sin 2 019x =3sin 2 019x +cos 2 019x =

2sin ?

????2 019x +π6,∴f (x )的最大值为A =2;

由题意,得|x 1-x 2|的最小值为T 2=π

2 019

∴A |x 1-x 2|的最小值为2π

2 019

.故选B.

[大题综合练——迁移贯通]

1.已知函数f (x )=3(cos 2

x -sin 2

x )+2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期;

(2)设x ∈????

??-π3,π3,求f (x )的值域和单调递减区间. 解:(1)∵f (x )=sin 2x +3cos 2x =2sin ? ????2x +π3, ∴f (x )的最小正周期为π.

(2)∵x ∈??????-π3,π3,∴-π3≤2x +π3≤π,∴-32≤sin ? ????2x +π3≤1.由2k π+

π2≤2x +

π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π12≤x ≤k π+7π12,k ∈Z ,∴π12≤x ≤π

3

.∴x ∈??????-π3,π3时,f (x )的值域为[-3,2],单调递减区间为????

??π12,π3.

2.(xx·安徽合肥质检)已知cos ? ????π6+α·cos ? ????π3-α=-14,α∈? ????π3,π2.

(1)求sin 2α的值; (2)求tan α-

1

tan α

的值. 解:(1)∵cos ? ????π6+αcos ? ????π3-α=cos ? ????π6+αsin ? ????π6+α=12sin ? ????2α+π3=-14,∴sin ?

????2α+π3=-12.

∵α∈?

????π3,π2,∴2α+π3∈? ??

??π,4π3,

∴cos ?

????2α+π3=-32, ∴sin 2α=sin ??????? ????2α+π3-π3=sin ? ????2α+π3cos π3-cos ? ????2α+π3sin π3=12. (2)∵α∈? ????π3,π2,∴2α∈? ????2π3,π.又由(1)知sin 2α=12,∴cos 2α=-32.

∴tan α-1tan α=sin αcos α-cos αsin α=sin 2α-cos 2

αsin αcos α=-2cos 2α

sin 2α=-2×-3

21

2

=2 3.

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