北京市东城区(南片)2014-2015学年下学期高二年级期末考试
数学试卷(理科)
(考试时间120分钟 满分100分)
一、选择题(每小题3分,共60分. 在每小题给出的四个选项中。选出符合题目要求的一项) 1. 在复平面内,复数
i
i
+1的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. C 16+C 26+C 36+C 46+C 5
6的值为
A. 64
B. 63
C. 62
D. 61
3. 反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾,这个矛盾可以是
①与已知矛盾;②与假设矛盾;③与定义、定理、公理、法则矛盾;④与事实矛盾 A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 4. 按“三段论”的推理模式,下列三句话排列顺序正确的是
①x y cos =(x ∈R )是三角函数;②三角函数是周期函数;③x y cos =(x ∈R )是周期函数。 A. ①②③ B. ②①③ C. ②③① D. ③②①
5. 袋中有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球,从袋中任取2个球,则2球的颜色为一白一黑的概率为
A.
51 B. 52 C. 53 D. 5
4
6. 某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为5
4
,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽概率是
A.
12512 B. 12516 C. 12548 D. 125
96 7. 两个实习生每人加工一个零件。加工为一等品的概率分别为32和4
3
,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A.
125 B. 21 C. 41 D. 6
1 8. 从5名男生、4名女生中选3名学生组成一个学习小组,要求其中男、女生都有,则不同的组队方案共有
A. 70种
B. 80种
C. 100种
D. 140种
9. 观察下列事实:1=+y x 的不同整数解(x ,y )的个数为4,2=+y x 的不同整数解(x ,y )的个数为8,3=+y x 的不同整数解(x ,y )的个数为12。则20=+y x 的不同整数解(x ,y )的个数为
A. 76
B. 80
C. 86
D. 92
10. 已知复数i a z +=1,i z +=12,其中a ∈R ,2
1
z z 是纯虚数,则实数a 的取值为 A. -l B. 1 C. -2 D. 2
11. 已知函数)(x f 的导数))(1()('a x x a x f -+=,若)(x f 在a x =处取到极大值,则a 的取值范围是
A. (1-∞-,
) B. (0,+∞) C. (0,1) D. (-1,0) 12. 已知随机变量X 服从正态分布N(1,2
σ),且P(-2≤X ≤1)=0.4,则P(X>4)= A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 13. 若二项式(x a x +
2)7的展开式中31
x
项的系数是84,则实数a = A. 2 B.
3
4 C.
4
2
D. 1 14. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:
广告费用x (万元) 4
2
3
5
销售额y (万元)
49
26
39
5
4
根据上表可得回归直线方程a x b y
???+=中的b ?为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A. 63.6万元
B. 65.5万元
C. 67.7万元
D. 72.0万元
15. 在(1+x )6(1+y )4的展开式中,记n
m y x 项的系数为),(n m f ,则)0,3(f 的值为
A. 4
B. 10
C. 20
D. 40
16. 要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,
则不同的选派方案共有
A. 48种
B. 36种
C. 18种
D. 12种 17. 由曲线x
y 1
=
,1=x ,2=x ,y=0所围成的封闭图形的面积为 A. 4 B. 2 C. 2ln2 D. ln2 18. 用数学归纳法证明n n <-++++1
2131211 (n ∈N 且n >1),第二步证明中从“k 到k+1”时,左端增加的项数是
A.12+k
B. 12-k
C. k 2
D. 1
2-k
19. 设函数x x x f +=3
)(,若0<θ≤2
π
时,0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是
A. (∞-,1)
B. (-∞,-1)
C. (-1,+∞)
D. (1,+∞)
20. 已知)(x f 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足0)()('>-x f x xf ,对任意正数a 、b ,若a
A. )(a af <)(b bf
B. )(a af =)(b bf
C. )(a af ≤)(b bf
D. )(a af ≥)(b bf 二、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分,解答题中的填空只需写出答案即可,其他应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21. (本小题满分8分) 已知复数z=1+i 。
(I)若复数432
-+=z z ω,则复数ω的模长ω= ;
(Ⅱ)如果i z z b
az z -=+-++11
2
2,求实数a ,b 的值。 22. (本小题满分8分)
某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了4次试验,得到数据如下:
零件的个数x (个) 2 34 5 加工的时间y (小时)
2.5
3
44
.5
(Ⅰ)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程a x b y
???+=; (Ⅲ)试预测加工10个零件需要的时间. 参考公式:
??
?????
??
-=--=---=∑∑∑∑====x b y a
x n x y x n y x x x y y x x b n i i n
i i i n i i n i i i ??)())((?1221121 23. (本小题满分8分)
2014年12月28日开始,北京市地铁按照里程分段计价。具体如下表:
乘坐地铁方案 (不含机场线)
6公里(含)内3元;
6公里至12公里(含)内4元; 12公里至22公里(含)内5元; 22公里至32公里(含)内6元;
32公里以上部分,每增加l 元可乘坐20公里(含)。
已知在北京地铁四号线上,任意一站到陶然亭站的票价不超过5元,现从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人,他们乘坐地铁的票价统计如图所示。
(Ⅰ)如果从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中任选1人,试估计此人乘坐地铁的票价大于3元的概率为 ;
(Ⅱ)从那些只乘坐四号线地铁,且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人,记X 为这2人乘坐地铁的票价和,根据统计图,并以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望。 24. (本小题满分8分)
已知a >0,b >0,c>0,且1=++c b a 。
(Ⅰ)若c b a ==,则(11-a )(11-b )(11
-c
)的值为 ; (Ⅱ)求证:(11-a )(11-b )(11
-c
)≥8。
25. (本小题满分8分)
若存在k 和b ,使得函数)(x f 和)(x g 对其定义域上的任意实数x 分别满足)(x f ≥kx+b 和)(x g ≤kx+b ,则称直线l :y=kx+b 为)(x f 和)(x g 的“隔离直线”。已知2)(x x h =,
x e x ln 2)(=?(其中e 为自然对数的底数)。
(Ⅰ)函数F(x)=h(x)-?(x)的极值为 ;
(Ⅱ)函数h(x)和?(x)是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由。
【试题答案】
一、选择题(每小题3分。共60分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C
D
B
B
C A A B A 题号 11
12
13
14
15
16 17 18 19 20 答案 D
A D
B
C B
D
C
A A
二、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分,解答题中的填空只需写出答案即可,其它应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 21. (本小题满分8分) 解:(Ⅰ)2=
ω。
3分
(Ⅱ)由i z +=1,有
i
i
a b a i i b i a i z z b az z )2()(1)1()1()1()1(12
222+++=++-+++++=+-++ i b a a )()2(+-+=。 由题设条件知i i b a a -=+-+1)()2(。
根据复数相等的定义,得???-=+-=+1)(12b a a ,解得?
??=-=21
b a 。
8分
22. (本小题满分8分) (Ⅰ)散点图如图所示:
3分
(Ⅱ)由题中表格数据得5.3=x ,5.3=y ,
5.3)()(4
1
=--∑=y y x x
i i i ,5)(4
1
2
=-∑=i i
x x 。 由公式计算得7.0)
()
)((?4
1
2
4
1
=---=∑∑==i i
i i
i
x x y y x x b
,x b y a
??-=, 所以所求线性回归方程为05.17.0???+=+=x a x b y
6分
(Ⅲ)当10=x 时,05.805.1107.0???=+?=+=a x b y
, 所以预测加工10个零件需要8.05小时。
8分
23. (本小题满分8分) (Ⅰ)
2
1
。 3分
(Ⅱ)解:X 的所有可能取值为6,7,8,9,10。
根据统计图,可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为12060,12040,120
20, 即
21,31,6
1, 以频率作为概率,知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为21,31,6
1。 所以4
12121)6(=?=
=X P , 3
121313121)7(=?+?==X P ,
185213121616121)8(=?+?+?==X P ,
9131616131)9(=?+?==X P ,
36
1
6161)10(=?==X
P ,
所以随机变量X 的分布列为:
X
6
7
8
9 1
P 4
1
3
1
18
5
9
1
36
1
所以3
22361109191858317416)(=?+?+?+?+?
=X E 。 8分
24. (本小题满分8分) (Ⅰ)8
3分
(Ⅱ)解法一:分析法
要证(
11-a )(11-b )(11
-c )≥8成立, 只需a a -1·b b -1·c
c -1≥8成立。
∵1=++c b a ,
故只需证a a c b a -++)(·b b c b a -++)(·c
c
c b a -++)(≥8,
即a c b +·b c a +·c
b a +≥8成立,
只需证
8222))()((≥??≥+++abc
ab
ac bc abc b a c a c b 成立,
而
8222≥??abc ab
ac bc 显然成立。
所以8)11
)(11)(11(
≥---c
b a 。
8分
解法二:综合法
因为02>≥+bc c b ,02>≥+ac c a ,02>≥+ab b a 所以ab ac bc b a c a c b 222))()((≥+++, 所以abc b a c a c b 8))()((≥+++, 又0>a ,0>b ,0>c , 所以
8)
)()((≥+++abc
b a
c a c b ,
又1=++c b a ,
所以
8)
1)(1)(1(≥---abc
c b a ,
所以a a -1·b b -1·c c -1≥8,
所以8)11
)(11)(11(≥---c
b a 。
8分
25. (本小题满分8分) 解:(Ⅰ)0
3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数)(x h 和)(x ?的图象在e x =处有公共点,因此若存在)(x h 和)(x ?的隔
离直线,则该直线过这个公共点。
设隔离直线的斜率为k ,则直线方程为)(e x k e y -=-, 即e k e kx y -+=。
由)()(R ∈-+≥x e k e kx x h ,可得02
≥+--e k e kx x 当R ∈x 时恒成立。 ∵2)2(e k -=?,∴△≤0,得e k 2=。 下面证明e x e x -≤2)(?当0>x 时恒成立。 令e x e x e e x e x x G +-=+-=2ln 22)()(?,
则x
x e e e x e x G )
(222)('-=
-=, 当e x =
时,0)('=x G 。
∵当e x <<0时,)('x G >0,此时函数G(x)递增;
当e x >时,)('x G <0,此时函数)(x G 递减;
∴当e x =
时,G(x)取极大值,也是最大值,其最大值为0。
从而G(x)=2eln x -2e x +e ≤0,即e x e x -≤2)(?(0>x )恒成立。
∴函数h(x)和?(x)存在唯一的隔离直线e x e y -=2。……………………8分 其它解法参照给分。
【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1) 一、选择题 1.将1000名学生的编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取50个学生,用系统抽样的方法从第一部分0001,0002,…,0020中抽取的号码为0015时,抽取的第40个号码为( ) A .0795 B .0780 C .0810 D .0815 2.如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5,方差为16,则数据:153x -、 253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为( ) A .1-,36 B .1-,41 C .1,72 D .10-,144 3.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) A .1 B .-1 C .0 D .-2 4.下列赋值语句正确的是( ) A .s =a +1 B .a +1=s C .s -1=a D .s -a =1 5.把化为五进制数是( ) A . B . C . D . 6.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ,作一矩形,邻边长分別等于线段AC 、CB 的长,则该矩形面积小于216cm 的概率为( ) A . 23 B . 34 C . 25 D . 13 7.执行如图的程序框图,如果输出a 的值大于100,那么判断框内的条件为( )
A .5k <? B .5k ≥? C .6k <? D .6k ≥? 8.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份,则(2)班成绩更好的概率为( ) A . 1636 B . 1736 C . 12 D . 1936 9.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据上表可得回归直线方程???y bx a =+,其中0.78b ∧ =,a y b x ∧ ∧ =-元,据此估计,该社区一户收入为16万元家庭年支出为( ) A .12.68万元 B .13.88万元 C .12.78万元 D .14.28万元 10.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示: x 0 1 2 3 4 y 2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 若,x y 满足回归方程 1.5??y x a =+,则以下为真命题的是( ) A .x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5个单位长度 B .x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5个单位长度 C .所有样本点的中心为(1,4.5)
高二数学期末考试试卷 出题人:冯亚如 一.选择题(40分) 1.由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n 项是( ) A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有( ) A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员,要从中选出6人调查学习负担情况,调查应采取的抽样方法是( ) A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3,-2),B(2,3)则直线AB 的倾斜角为( ) A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A .3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中,有4张中奖卷,从中任取1张,中奖的概率是
( ) A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥,其底面边长是1,则棱锥的高是 ( ) A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆(x-1)2+(y+3)2=9的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二.填空题(20分) 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________; 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________; 13.一条直线l 与平面α平行,直线m 在面α内,则l 与m 的位置关系是_______________; 14.正三棱锥的底面边长是4cm ,高是33cm ,则此棱锥的体积为________________; 15.已知球的半径r=3,则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三.解答题(60分) 16.光线从点M(-2, 3)出发,射到P(1, 0),求反射直线的方程并判断点N(4,3)是否在反射光线上。(10分)