高中数学数列复习题型归纳解题方法整理
数列
一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想：
常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
2.等差数列与等比数列的联系
1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a
a 是等比数列，公比为d
a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）；
2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且
0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比较
4、典型例题分析
【题型1】等差数列与等比数列的联系
例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和.
解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12
1
d
+
＝
18
12
d
d
+
+
，
解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得
2+22+23+…+22(12)
12
n
-
-
21-2.
小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列}
{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）.
【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合
例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ①
当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ②
①－②得2n－1＝8，求得＝24－n，
在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，
∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
法一（迭代法）
＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(－－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8) ＝n 2
－7n ＋14(n∈N *
)． 法二（累加法）
即－－1＝2n －8，
－1－－2＝2n －10，
…
b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，
相加得＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)
＝8＋＝n 2
－7n ＋14(n∈N *
)．
小结与拓展：1）在数列{}中，前n 项和与通项的关系为：??
?∈≥-===-)N n ,2( )1(
111n S S n S a a n n
n .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）
例3 （2009汕头一模）在等比数列｛｝中，＞0 (∈＊
），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 2a 8＝25，a 3与的等比中项为2。（1）求数列｛｝的通项公式；（2）设＝2 ，数列｛｝的前n 项和为当12
12n S S S n
++???+最大时，求n 的值。
解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +2
5a ＝25
又＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，1
2
q =
，a 1＝16，所以， 1
511622n n n a --??
=?= ?
??
（2）＝2 ＝5－n ，所以，＋1－＝－1，
所以，{}是以4为首项，－1为公差的等差数列。所以，(9),2
n n n S -=
92n S n
n -= 所以，当n ≤8时，n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n S
n
＜0，
当n ＝8或9时，1212n S S S
n
++???+最大。
小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。
二、数列的前n 项和 1.前n 项和公式的定义：
12
+…。
2.数列求和的方法（1）
（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）
常用公式:
1
n
k k ==∑1
2
123(1)n n n +++
+=+；
2
1n
k k
==∑22221
6
123(1)(21)n n n n ++++=++；
31
n k k ==∑33332(1)2
123[
]n n n ++++
+=；
1
(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。
（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
（3）倒序相加法：如果一个数列{}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。 （4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于?
?????+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：
1）11n n a a
+????
???和??（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d
a a ++=-?
；2
）1
d
=。
（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和） 常见裂项公式：
（1）111(1)
1
n n n
n ++=
-
；
（2）111
1
()
()n n k k n
n k
++=-
；
（3）
1
1
1
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
]n n n n n n n -++++=-
；
（4）
11(1)!
!
(1)!
n n n n ++=
-
（5）常见放缩公式：
==.
3.典型例题分析
【题型1】 公式法
例1 等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－p ，则2
232221n a a a a ++++ ＝.
解：1）当1时，p -2a 1=；
2）当2n ≥时，1-n 1
-n n
1-n n n 2p)-(2
-p)-(2S -S a ===。
因为数列{}n a 为等比数列，所以1p 12
p -2a 1
-11=?===
从而等比数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列。
故等比数列{}
2n a 为首项为1，公比为4q 2
=的等比数列。
1)-(43
14-1)4-1(1n
n 223
22
2
1
==++++n
a a a a
小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列{}n a 为等比数列，
则数列{}
2
n a 及?
????
?n a 1也为等比数列，首项分别为21
a 、1a 1，公比分别为2
q 、q 1。 【题型2】 分组求和法
例2 （2010年丰台期末18）数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *
∈N 在函数()2f x x =+的
图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，1
22n -+，…
项，组成新数列{}n b ，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S .
解：（Ⅰ）∵点1(, )n n a a +在函数()2f x x =+的图象上，∴12n n a a +=+。 ∴12n n a a +-=，即数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列，
∴1(1)221n a n n =+-?=-。
（Ⅱ）依题意知：11222(22)123n n n n b a --+==+-=+
∴12n n S b b b =++
+11
(23)23n
n
i
i
i i n ==+=+∑∑1
122323212n n n n ++-+=+--.
小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，
然后由等差、等比数列求和公式求解。
【题型3】 裂项相消法
例 3 （2010年东城二模19改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，141n n S a +=+，设
12n n n b a a +=-．（Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）数列{}n c 满足21
log 3
n n c b =
+*()n ∈N ，求1223341n n n T c c c c c c c c +=+++
+。
证明：（Ⅰ）由于141n n S a +=+， ① 当2n ≥时，141n n S a -=+． ②
① -②得 1144n n n a a a +-=-． 所以 1122(2)n n n n a a a a +--=-． 又12n n n b a a +=-， 所以12n n b b -=．
因为11a =，且12141a a a +=+，所以21314a a =+=．
所以12122b a a =-=．故数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n n b =，则211log 33
n n c b n =
=
++（n ∈*
N ）． 1223341n n n T c c c c c c c c +=++++1111
455667
(3)(4)
n n =
++++
???++
1144
n =
-
+4(4)n n =+． 小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用
于?
??
???+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）
11n n a a +???????
和??（其中{}n a 等差）可裂项为：11
1111()n n n n a a d a a ++=-?；2
）1
d
=。
（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和） 4.数列求和的方法（2）
（5）错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的. （6）累加（乘）法
（7）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 形如＝(－1)(n)类型，可采用两项合并求。
（8）其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。
5.典型例题分析
【题型4】 错位相减法
例4 求数列
??????,22,,26,24,2232n n
前n 项的和. 解：由题可知{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21
}的通项之积
设n n n
S 2226242232+???+++= ①
14322
226242221++???+++=n n n
S ② （设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+???++++=-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
【题型5】 并项求和法
例5 求100S ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
解：100S ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
＝(100＋ 99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
【题型6】 累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等
例6 求
1
1111111111个n ???+???+++之和. 解：由于)110(91
99999111111
1
-=????=???k k k
个个 （找通项及特征） ∴
1
1111111111个n ???+???+++＝)110(9
1
)110(91)110(91)110(91321-+???+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911
321 个n n
+???+++-+???+++＝9110)110(1091n n ---? ＝
)91010(81
1
1n n --+ 6.归纳与总结
以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
三、数列的通项公式 1.数列的通项公式
一个数列{}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
2.通项公式的求法（1）
（1）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方
法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。 （2）公式法：在数列{}中，前n 项和与通项的关系为：??
?∈≥-===-)N n ,2( )1(
111n S S n S a a n n n
(数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).
（3）周期数列
由递推式计算出前几项，寻找周期。
（4）由递推式求数列通项
类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 （2）由n n a n f a )(1=+和1a 确定的递推数列{}n a 的通项可如下求得：
由已知递推式有1)1(--=n n a n f a ， 21)2(---=n n a n f a ，???，12)1(a f a =依次向前代入，得
1)1()2()1(a f n f n f a n ???--=，这就是叠（迭）代法的基本模式。
类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。 3.典型例题分析
【题型1】 周期数列
例1 若数列{}n a 满足???
???
?
<<-≤≤=+)
121(,12)210(,21
n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 。 答案：
7
5
。 小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。
【题型2】 递推公式为)(1n f a a n n +=+，求通项
例2 已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1
11)1(112
1+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.
【题型3】 递推公式为n n a n f a )(1=+，求通项
例3 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。 解：由条件知
1
1+=+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-??????????n n a a a a a a a a n
n 1
433221-?
?????????=n a a n 11=? 又3
2
1=
a ，n a n 32=∴
小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.
【题型4】 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ），求通项
例4 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。
解法1：设13()n n a m a m -+=+，即有132n n a a m -=+，对比132n n a a -=+，得1m =，于是得
113(1)n n a a -+=+，数列{1}n a +是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列，所以有1
231n n a -=?-。
高考数列万能解题方法
数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：1 1 (1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果 {}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列） 即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比 数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于数列11n n a a +???????和??（其中{}n a 等差） 可裂项为： 11 1111 ()n n n n a a d a a ++=-?，
1 d = 等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a的首项10 a>，公差0 d<，则前n项和 n S有最大值。 （ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最大? 1 n n a a + ≥ ? ? ≤ ? ； （ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最大； 2、若等差数列{}n a的首项10 a<，公差0 d>，则前n项和 n S有最小值 （ⅰ）若已知通项 n a，则 n S最小? 1 n n a a + ≤ ? ? ≥ ? ； （ⅱ）若已知2 n S pn qn =+，则当n取最靠近 2 q p -的非零自然数时 n S最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知 n S（即 12 () n a a a f n +++= L）求 n a，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n - = =-≥。 已知 12 () n a a a f n = g g L g求 n a，用作商法： (1),(1) () ,(2) (1) n f n f n a n f n = ?? =?≥ ?- ? 。 ⑶已知条件中既有 n S还有 n a，有时先求 n S，再求 n a；有时也可直接求 n a。 ⑷若 1 () n n a a f n + -=求 n a用累加法： 11221 ()()() n n n n n a a a a a a a --- =-+-++- L 1 a +(2) n≥。 ⑸已知1() n n a f n a +=求 n a，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a - -- =???? L(2) n≥。 ⑹已知递推关系求 n a，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如 1 n n a ka b - =+、 1 n n n a ka b - =+（,k b为常数）的递推数列都可以用待 定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求n a；形如1n n n a ka k - =+的递推数列都可以除以 n k得到一个等差数列后，再求 n a。 （2）形如1 1 n n n a a ka b - - = + 的递推数列都可以用倒数法求通项。
高中数学数列练习题
数列经典解题思路 求通项公式 一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） K ,1716 4,1093,542,211 （3） K ,52,2 1,32 ,1 解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12 +=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ D ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ， 公比10< 数列求和的基本方法和技巧 除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出 了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列 的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。 [例] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S （ 1≠x ）………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2 1 1= a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明： 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序） 2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ） 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型， 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； 知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和高中数学-数列公式及解题技巧
2011高考数学压轴题专题训练
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(word完整版)高中数学等差数列练习题
高考数学压轴题专题训练20道
相关文档
- 数列题型及解题方法归纳总结
- 数列题型及解题方法归纳总结
- (完整版)公务员考试行测各种题型解题技巧及考场技巧(总结版)
- (word完整版)数列题型及解题方法归纳总结,推荐文档
- 数列题型及解题方法归纳总结
- 数列知识点和常用的解题方法归纳
- 数列题型及解题方法归纳总结
- 数列求通项公式的常见题型与解题方法
- 数列题型及解题方法归纳总结
- 数列题型及解题方法归纳总结
- 数字推理八大解题方法要点
- ((完整版))数列题型及解题方法归纳总结,推荐文档
- 高考数学数列的题型及解题方法
- 数列知识点及常用解题方法归纳总结
- (完整版)数列题型及解题方法归纳总结(20210108021745)
- 数列题型与解题方法归纳总结
- 数列考试题型及解题方法指导精品
- 数列题型及解题方法归纳总结材料
- 高考数学题型归纳：数列的题型及解题方法
- 数列题型的解题技巧