概率论与数理统计试卷二
一、(10分)对一个三人学习小组考虑生日问题
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率;
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率;
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。
二、(10分)在八个数字中0, 1, 2, …,7中不重复地任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少?
三、(10分)袋中装有30个乒乓球,其中20个黄的,10个白的,现有两人依次随机地从袋中各取一次,取后不放回,试求第二次取得黄球的概率。
四、(10分)设盒中有5个球,其中2个白球,3个红球,现从中随机取3球,设X 为抽得白球数,试求X 的数学期望与方差。
五、(12分)设随机变量X 服从参数为3的指数分布,即其概率密度函数为:
???≤>=-0
003)(3x x e x f x
X 试求22X Y =的概率密度函数与数学期望。
六、(12分)将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在C 90,液体的温度X (以C 记)是一个随机变量,服从正态分布,其方差为26.0 ,试求液体的温度保持在C 91~89的概率。
七、(12分)设随机变量X 与Y 具有概率密度:
?????≤≤≤≤+=其它020,20)(81),(y x y x y x f
试求:)(),(Y D X D ,与)32(Y X D -。
八、(12分)试求正态总体)5.0,(2μN 的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。
九、(12分)已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值(以小时记)为:
999.17 993.05 1001.84 1005.36 989.8
1000.89 1003.74 1000.23 1001.26 1003.19
试求未知参数μ,2σ及σ的置信度为0.95的置信区间。
(262.2)9(025.0=t ,023.19)9(2025.0=χ,7.2)9(2975.0=χ)
试卷参考解答
一、(10分)对一个三人学习小组考虑生日问题
(1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率;
(2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率;
(3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。
解: (1)0525.0343
1837671711==???=p (2)9446.0343
32437676717676762==???+??=p (3)9971.0343
34271717113==??-=p
二、(10分)在八个数字中0, 1, 2, …,7中不重复地任取四个,能排成一个四位偶数的概率是多少? 解:4464.05
6785663567=??????+??=p
三、(10分)袋中装有30个乒乓球,其中20个黄的,10个白的,现有两人依次随机地从袋中各取一次,取后不放回,试求第二次取得黄球的概率。 解: 设i A =第i 次取得黄球,2,1=i
3
230202920301029193020)|()()|()()(1211212==?+?=
+=A A P A P A A P A P A P 四、(10分)设盒中有5个球,其中2个白球,3个红球,现从中随机取3球,设X 为抽得白球数,试求X 的数学期望与方差。 解: 1.0101}0{3533====C C X P ,6.010
6}1{352312====C C C X P 3.010
3}2{351322====C C C X P
2.1
3.026.011.00)(=?+?+?=X E
8.13.026.011.00)(2222=?+?+?=X E
36.0)2.1(8.1)]([)()(222=-=-=X E X E X D
五、(12分)设随机变量X 服从参数为3的指数分布,即其概率密度函数为:
???≤>=-0
003)(3x x e x f x
X 试求22X Y =的概率密度函数与数学期望。
解:22x y =, 04>='x y ,(0>x ) 2/y x =, y x 221=
' (0>y ) ??
???≤>='=-000223)())(()(2/3y y e y y h y h f y f y X Y dx xe e x dx e x X E Y E x x x ??+∞-∞+-+∞
-+-=?==030
3203224|232)2()( 9
4|9434|34030303=-=+-=∞+-∞+-∞+-?x x x e dx e xe 另解:因为 23
1)(,31)(),3(~==X D X E Z X })]([)({2)(2)2()(222X E X D X E X E Y E +?===9
4319122=????????????? ??+?=
六、(12分)将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在C 90,液体的温度X (以C 记)是一个随机变量,服从正态分布,其方差为26.0 ,试求液体的温度保持在C 91~89的概率。 解:()()6667.16667.16.090896.09091}9189{-Φ-Φ=??
? ??-Φ-??? ??-Φ=< 七、(12分)设随机变量X 与Y 具有概率密度: ?????≤≤≤≤+=其它020,20)(81),(y x y x y x f 试求:)(),(Y D X D ,与)32(Y X D -。 解:20)1(4 1)2212(81)(81)(22 0<<+=+=+=?x x x dy y x x f X 20)1(4 1)2221(81)(81)(220<<+=+=+=?y y y dx y x y f Y )(6 71214)221231(41)1(41)(2320Y E dx x x X E ===+=+?=? )(3 51220)231241(41)1(41)(2342022Y E dx x x X E ===+=+?=? 36 11676735)]([)()(22=?-=-=X E X E X D dxdy xy dxdy y x dxdy y x xy XY E ??????+=+=20 2202022020208181)(81)( 3 423122181221231813223=??+??= 36 1676734)()()(),(-=?-=-=Y E X E XY E Y X Cov 3056.4361553612361113),(Cov 12)(9)(4)32(==+?=-+=-Y X Y D X D Y X D 八、(12分)试求正态总体)5.0,(2μN 的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.4的概率。 解:)105.0,(~2μN X ,)155.0,(~2μN Y ,)6 5.0,0()155.0105.0,0(~2 22N N Y X =+-, )624.0()624.0(1}4.0{1}4.0{?-Φ+?Φ-=≤--=>-Y X P Y X P 05.0]975.01[2)]9596.1(1[2=-=Φ-= 九、(12分)已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值(以小时记)为: 999.17 993.05 1001.84 1005.36 989.8 1000.89 1003.74 1000.23 1001.26 1003.19 试求未知参数μ,2σ及σ的置信度为0.95的置信区间。 (262.2)9(025.0=t ,023.19)9(2025.0=χ,7.2)9(2975.0=χ) 解:(1)未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为: [] 0.025(1)999.853 2.262999.853 3.4678x n ? ???-==±???????? =[]996.3852,1003.321 (2)未知参数2σ的置信度为0.95的置信区间: []22220.025 0.975(1)(1)211.5268211.5268,,11.1195,78.343319.023 2.7n s n s χχ??--??==???????? (3)未知参数σ的置信度为0.95的置信区间: []3.3346,8.8512==