复变函数测试题及答案

第一章 复数与复变函数

一、

选择题

1．当i

i z -+=

11时，50

75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3

)2(π

=

+z arc ，6

5)2(π

=

-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-

（D ）i 2

123+- 3．复数)2

(tan πθπ

θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(

sec θπθπ

θ+++i （B ）)]2

3sin()23[cos(sec θπ

θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(

sec θπθπθ+++-i （D ）)]2

sin()2[cos(sec θπ

θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转

3

π

，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2

2

z z =成立的复数z 是（ ）

（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）

（A ）i +-

43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4

3

９．满足不等式

2≤+-i

z i

z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=

-+i z 所代表的曲线是（ ）

（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）

22

1

=+-z z （B ）433=--+z z （C ）

)1(11<=--a az

a

z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z

12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0

0)

Im()Im(lim

0z z z z x x --→（ ）

（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在

14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续

（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

15．设C z ∈且1=z ，则函数z

z z z f 1

)(2+-=的最小值为（ ）

（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1

二、填空题

1．设)

2)(3()

3)(2)(1(i i i i i z ++--+=

，则=z

2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg

3．设4

3)arg(,5π

=

-=i z z ，则=z 4．复数2

2

)

3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576

-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部

７．方程

1)1(212=----z

i i

z 所表示曲线的直角坐标方程为

８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线

９．对于映射z

i =

ω，圆周1)1(2

2=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 4

2

1z z i

z

三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．

四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22

.

五、设复数i z ±≠，试证2

1z

z

+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .

六、对于映射)1

(21z

z +=ω，求出圆周4=z 的像.

七、试证１.

)0(022

1

≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.

)),,2,1,,,0(02

1

n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.

八、若0)(lim 0

≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 2

1)(>

.

九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2

.

十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：

1.??

?

??=≠+=0,00,2)(22z z y x xy

z f

2.??

???=≠+=0,00

,)(223z z y x y x z f

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数2

3)(z z f =在点0=z 处是( )

（A ）解析的 （B ）可导的

（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x

（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导

（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A ）xyi y x 22

2

-- （B ）xyi x +2

（C ）)2()1(22

2

x x y i y x +-+- （D ）3

3

iy x +

5．函数)Im()(2

z z z f =在

=z 处的导数( )

（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在

6．若函数)(2)(2

2

2

2

x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-

7．如果)(z f '在单位圆1

（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是

（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设2

2

)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )

（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．i

i 的主值为( )

（A ）0 （B ）1 （C ）2

πe （D ）2

π-

e

11．z e 在复平面上( )

（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )

（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期

（C ）2

)(iz

iz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的

13．设α为任意实数，则α

1( )

（A ）无定义 （B ）等于1

（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A ）3

)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 2

3π

-

15．设α是复数，则( )

（A ）α

z 在复平面上处处解析 （B ）α

z 的模为α

z

（C ）α

z 一般是多值函数 （D ）α

z 的辐角为z 的辐角的α倍

二、填空题

1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→z

z f z 1

)(lim

2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数x

v

i

x u z f ??+??=

')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2

2

3

3

)(y ix y x z f ++=，则=+-

')2

3

23(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部2

2

y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导

7．设z i z z f )1(5

1)(5

+-=

，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数i

i 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--z

e 的全部解为

三、设

)

,(),()(y x iv y x u z f +=为

iy

x z +=的解析函数，若记

)2,2()2,2(

),(i

z

z z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=??z w ．

四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=

2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f x

x

++-=