问题07 函数与方程、不等式相结合问题
一、考情分析
函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段. 二、经验分享
(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.
(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.
【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值
问题. 注意不等式:
||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.
渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视. 【小试牛刀】【2018届湖南衡阳高三12月联考】已知函数
,若恰好存在3个
整数x ,使得成立,则满足条件的整数a 的个数为 ( )
A. 34
B. 33
C. 32
D. 25 【答案】A
【解析】画出()f x 的函数图象如图所示:
(三) 函数、方程和不等式关系的应用
函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视. 【例3】已知函数,其中m ,a 均为实数.
(1)求()g x 的极值;
(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,
恒成立,求a 的最小值;
(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得成立,求
m 的取值范围.
【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值;(2)此总是首先是对不等式
<恒成立的转化,由(1)可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法(导
数法)可确定函数
1
()
g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x - 1()f x <21()g x 11
()
g x -,整理为,由此函数
在区间
[3,4]上为减函数,则
在(3,4)上恒成立,要求a 的取值范围.采取分离参数法
得
恒成立,于是问题转化为求
在[3,4]上的最大值;(3)由于0x 的任意
性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =
2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为
2m (2
0e m
<<),其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2
(0,)m
上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.
【解析】(1)
,令()0g x '=,得x = 1.
【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法:先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值. 【小试牛刀】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在()0,+∞的函数,
若关于x 的方程有且只有3个不同的实数根,则实数t 的取值集合
是 .
【答案】
五、迁移运用
1.【2019届广东省汕头高三上学期第二次联考】设函数是定义在上周期为的函数,且对任意的实数,恒,当时,.若在上有且仅有三个零点,
则的取值范围为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
2.【2019届四川省攀枝花市高三第一次统考】在直角坐标系中,如果相异两点都在函数
y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数
的图象上关于原点成中心对称的点有( )
A.对 B.对 C.对 D.对
【答案】C
【解析】
因为关于原点对称的函数解析式为,
所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数,
就是与为图象交点个数,
同一坐标系内,画出与图象,如图,
由图象可知,两个图象的交点个数有5个,
的图象上关于原点成中心对称的点有5组,故选C.
3.【2019届山东省济南高三11月调研】已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
4.【2018届安徽省芜湖市高三一模】已知函数,若方程恰有四个不
同的实数根,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,作图,由与相切得
,由与相切得设切点
,如图可得实数的取值范围是,选B.
5.【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知定义在上的函数,当时,,且对于任意的实数
,都有
,若函数
有且
只有三个零点,则 的取值范围是( )
A .
B .
C .
D .
【答案】B 【解析】
由图可知,选B.
13.【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检,10】已知函数,则
的
解集为( ) A .
B .
C. ()1ln 2,1- D .()1,1ln 2+
【答案】B
【解析】因为当1x ≥时,
;当1x <时,
,所以
,等价于
()1f x <,即121x e -<,解得1ln 2x <-,所以
的解集为
,故选B .
14.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】设函数(a R ∈,e 为自然对
数的底数),若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得,则a 的取值范围是 .
【答案】[]1,e 【解析】由题设及函数的解析式可知
,所以10≤≤y .由题意问题转化为“存在]1,0[∈x ,使得有解”,即
在]1,0[有解,令
,
则
,当0>x 时,函数
是增函数;所以10≤≤x ,当
,即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ,故应填答案[]1,e .
15.【2019届天津市三校联考】已知函数,若函数
有两个零点,则实数
的取值范围是___________. 【答案】
【解析】
16.【2019届广东省佛山市顺德区高三第二次教学质量检测】已知函数
在上连续,对任意都有
;在
中任意取两个不相等的实数
,都有
恒成立;
若,则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由
可知函数
关于直线
对称;在中任意取两个不相等的实数
,都有恒成立;可知函数
在区间上单调递减,由对称性可知函
数
在区间
上单调递增,不妨设
,则由
可得
,整理得
,即
,解得
或
,所以实数的取值范围
是
.
19.定义在
上的函数
()
f x 及二次函数
()
g x 满足:
,
,且()g x 的最小值是1-.
(Ⅰ)求()f x 和()g x 的解析式; (Ⅱ)若对于12,[1,2]x x ∈,均有
成立,求实数a 的取值范围;
(Ⅲ)设讨论方程的解的个数情况.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)(,4]-∞- (Ⅲ)三个解.
(Ⅱ)设
, ,
依题意知:当12x ≤≤时,
∵
,()F x 在[1,2]上单调递增,
,解得4a ≤-,
∴实数a 的取值范围是(,4]-∞-;
(Ⅲ)图像解法:()x ?的图象如图所示: 令()T x ?=,则()1T ?=-
而()1x ?=-有两个解, ()1x e ?=-有1个解.
有3个解.
(2)若,则或,
∴; 若,则
或 由
解得
,而
无解
综上所述,方程共有三个解.
20.已知函数
.
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)证明:当()0,1x ∈时,
; (3)若函数()f x 有两个零点1x ,2x ,与0的大小,并证明你的结论.
【答案】(1)1a <-时,f (x ),(1,)+∞上递增;1a =-时,f (x )在(0,)+∞上递增;10a -<<时,f (x )在(0,1)上递增上递增;0a ≥时,f (x )在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减;(2)见解析;(3).
综上所述:1a <-时,f (x ,(1,)+∞上递增; 1a =-时,f (x )在(0,)+∞上递增;
10a -<<时,f (x )在(0,1)上递增 0a ≥时,f (x )在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减;
(2)
?
?
设
∴
∴()g x 在(0,1)x ∈上单调递减
∴得证. 22.【2018届海南省八校高三上学期新起点联盟考试】设函数
,其中0a >. (1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]
0,2上只有一个交点,求m 的取值范围;
(2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围.
(2)当0x ≤时, , 0a >,令()'0f x =得1x =-; 令()'0f x >得10x -<≤, ()f x 递增;
令()'0f x <得1x <-, ()f x 递减,
∴()f x 在1x =-处取得极小值,且极小值为
, ∵0a >,∴210a e -
-<, ∵当即02e a <≤时, ,∴2a -≤-,即2a ≥,∴无解, 当即2e a >时, ,∴,即2e a e ≥-, 又22e e e >-,∴2
e a e ≥-,综上,.