全国三卷理科数学高考真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S

x x x =--≥=I >P ，则S I T =

(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则

41i

zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量12(,

)2

2BA =uu v

,31

(,),22

BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是

(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个

（5）若3tan 4

α=

，则2

cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625

（6）已知43

2a =，34

4b =，13

25c =，则

（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

（8）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

3

BC ,则cos A = （A ）

310 （B ）10

（C ）10-

（D ）310- (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81

(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92

π

（C ）6π

（D ）

323

π

（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的

左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）

1

3

（B ）

12

（C ）

23

（D ）

34

（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中

0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个

（B ）16个

（C ）14个

（D ）12个

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若x ，y 满足约束条件{x ?y +1≥0

x ?2y?0x +2y ?2?0

则z=x+y 的最大值为_____________.

（14）函数y =sin x ?√3cos x 的图像可由函数 y =sin x +√3cos x 的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。

（15）已知f(x)为偶函数，当x <0时，f (x )=ln (?x )+3x ，则曲线y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是_______________。

（16）已知直线l:mx +y +3m ?√3=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |=2√3，则|CD |=__________________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知数列{a n }的前n 项和S n =1+a ，S n =1+λa n ，其中λ≠0

（I ）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式 （II ）若5

31

32

S =

，求λ （18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明

（II ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。 （19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥地面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC =3，PA=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.

（I ）证明MN ∥平面PAB ;

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. （20）（本小题满分12分）

已知抛物线C ：22y x = 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两

点，交C 的准线于P ，Q 两点.

（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ； （II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分）设函数f （x ）=a cos2x +（a -1）（cos x +1），其中a ＞0，记|f （x ）|的最大值为A .

（Ⅰ）求f ＇（x ）； （Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明|f ′（x ）|≤2A .

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O 中?AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点. （I ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；

（II ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD . 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()

sin x y θ

θθ?=??=??

为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224

ρθπ+= . （I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；

（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+

（I ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；

（II ）设函数()|21|,g x x =-当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围.

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试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学正式答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B

（8）C （9）B （10）B （11）A （12）C

【11】

【12】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：

0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；

0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；

0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．

故选：C．

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）

32

（14）

3

2π （15）21y x =-- （16）4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ

，λ

-=

11

1a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所

以

1

1-=+λλ

n n a a . 因此}{n a 是首项为

λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1

)1

(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(

1--=λλ

，由32315=S 得3231

)1(15=--λλ，即=

-5)1

(λλ321， 解得1λ=-．

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得

4=t ，28)(7

1

2

=-∑=i i t t ，

55.0)(7

12=-∑=i i

y y

，

89.232.9417.40))((7

1

7

1

7

1

=?-=-=

--∑∑∑===i i i i

i i i i

y t y

t y y t t

，

99.0646

.2255.089

.2≈??≈

r .

因为

y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.

（Ⅱ）由

331.17

32.9≈=

y 及（Ⅰ）得103.028

89

.2)()

)((?7

1

2

7

1

≈=

---=∑∑==i i

i i i

t t

y y t t

b ，

92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a

. 所以，

y 关于t 的回归方程为：t y

10.092.0?+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y

. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得23

2

==

AD AM

，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22

1

==

BC TN . 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB . （Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =

得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且

5)2

(

2

222=-=-=

BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，

)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2

5

(N ， )4,2,0(-=PM ，)2,1,25(

-=PN ，)2,1,2

5(=AN . 设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PM ，即???

??=-+=-022

5042z y x z x ，可取)1,2,0(=n ，

于是25

5

8|||||,cos |=

=

>

n . （20）解：由题设)0,2

1

(

F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且 )2

,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.

记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

222111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

.

所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF

-=--=-=??. 由题设可得

2

21211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的

AB 的中点为),(y x E .

当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12

-=x y . ....12分 （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）'

()2sin 2(1)sin f x a x a x =---． （Ⅱ）当1a ≥时，

因此，32A a =-． ………4分

当01a <<时，将()f x 变形为2

()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令2

()2(1)1g t at a t =+--，则

A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a

t a

-=

时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61

()1488a a a a g a a a

--++=--=-． 令1114a a --<

<，解得13a <-（舍去），1

5

a >． （ⅰ）当1

05

a <≤

时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．

（ⅱ）当

115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a

-->>． 又1(1)(17)

|()||(1)|048a a a g g a a

--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==．

综上，2

123,05611

,18532,1a a a a A a a a a ?

-<≤??++?=<

?

-≥???

． ………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得'

|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105

a <≤

时，'

|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当

115a <<时，13

1884

a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'

|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'

|()|2f x A ≤.

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,. 因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180ο

，所以ο1803=∠PCD ， 因此ο

60=∠PCD .

（Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以ο

180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2

213

x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分 （Ⅱ）由题意，可设点P

的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值， 即为P 到2C 的距离()d α的最小值，

()sin()2|3d π

αα=

=+-. ………………8分

当且仅当2()6

k k Z π

α

π=+

∈时，()d α

，此时P 的直角坐标为

31

(,)22

. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.

解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，

()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分

（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-

|1|a a =-+，

当1

2

x =

时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分