2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何
第5节 椭圆
1. (2014辽宁,5分)已知椭圆C :x 29 +y 2
4=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为
A ,
B ,线段MN 的中点在
C 上,则 |AN |+|BN |=________.
解析:取MN 的中点G ,G 在椭圆C 上,因为点M 关于C 的焦点F 1,F 2的对称点分别为A ,B ,故有|GF 1|=12|AN |,|GF 2|=1
2
|BN |,所以|AN |+|BN |=2(|GF 1|+|GF 2|)=4a =12. 答案:12.
2.(2014江苏,5分)在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________.
解析:因为圆心(2,-1)到直线x +2y -3=0的距离d =|2-2-3|5=35,所以直线x +2y -3=0被圆截得
的弦长为2
4-95=255
5
. 答案:255
5
3. (2014辽宁,12分)
圆 x 2+y 2=4的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图).
(1)求点P 的坐标;
(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :y =x + 3 交于A ,B 两点.若△P AB 的面积为2,求C 的标准方程.
解:(1)设切点坐标为(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则切线斜率为-x 0y 0,切线方程为y -y 0=-x 0
y 0
(x -x 0),即x 0x +
y 0y =4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S =12·4x 0·4y 0=8
x 0y 0
.
由x 20+y 2
0=4≥2x 0y 0知当且仅当x 0=y 0=2时x 0y 0有最大值,
即S 有最小值,因此点P 的坐标为(2,2). (2)设C 的标准方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),
点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
由点P 在C 上知2a 2+2
b
2=1,并由?????
x 2a 2+y 2
b 2=1,y =x +3,
得b 2x 2+43x +6-2b 2=0,
又x 1
,x 2
是方程的根,因此???
x 1
+x 2
=-43b 2
,
x 1x 2
=6-2b
2
b
2
.
由y 1=x 1+3,y 2=x 2+3,
得|AB |=2|x 1-x 2|=2·48-24b 2+8b 4
b 2.
由点P 到直线l 的距离为32及S △P AB =12×3
2
×|AB |=2得b 4-9b 2+18=0,解得b 2=6或3,因此b 2=6,
a 2=3(舍)或
b 2=3,a 2=6.
从而所求C 的方程为x 26+y 2
3
=1.
4. (2014江西,5分)设椭圆 C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1,F 2,过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于
A ,
B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆
C 的离心率等于________.
解析:由题意知F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c =a 2-b 2,因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x =c ,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ????c ,b 2
a ,B ????c ,-b
2
a .因为AB 平行于y 轴,且|F 1O |=|OF 2|,所以|F 1D |=|DB |,即D 为线段F 1B 的中点,所以点D 的坐标为???0,-b
2
2a ,又AD ⊥F 1B ,所以k AD ·kF 1B =-1,即b 2a -????
-b 2
2a c -0×-b 2
a -0c -(-c )=-1,整理得3
b 2=2a
c ,所以3(a 2-c 2)=2ac ,又e =c a ,0 e = 3 3(e =-3舍去). 答案: 33 5(2013广东,5分)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于1 2 ,则C 的方程是( ) A.x 23+y 2 4=1 B.x 24+y 2 3=1 C.x 24+y 2 2 =1 D.x 24+y 2 3 =1 解析:本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识,考查数形结合的数学思想方法,意在考查考生的 抽象概括能力、运算求解能力.依题意,设椭圆方程为x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),所以????? c =1, c a =12, c 2 =a 2 -b 2 , 解得a 2=4,b 2=3. 答案:D 6(2013山东,14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为 22 . (1)求椭圆C 的方程; (2)A ,B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为6 4 的任意两点,E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P .设OP =t OE ,求实数t 的值. 解:本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识,考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力. (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0), 由题意知????? a 2= b 2+ c 2, c a =2 2, 2b =2, 解得a =2,b =1, 因此椭圆C 的方程为x 22+y 2 =1. (2)(ⅰ)当A ,B 两点关于x 轴对称时, 设直线AB 的方程为x =m ,由题意得-2 =1, 得|y |= 2-m 2 2 , 所以S △AOB =|m | 2-m 22=6 4 , 解得m 2=12或m 2=3 2 .① 又OP =t OE =12t (OA +OB )=1 2t (2m,0)=(mt,0), 因为P 为椭圆C 上一点, 所以(mt )2 2 =1.② 由①②得t 2=4或t 2=4 3, 又t >0,所以t =2或t =23 3. (ⅱ)当A ,B 两点关于x 轴不对称时, 设直线AB 的方程为y =kx +h , 将其代入椭圆的方程x 22 +y 2 =1, 得(1+2k 2)x 2+4khx +2h 2-2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由判别式Δ>0可得1+2k 2>h 2, 此时x 1+x 2=-4kh 1+2k 2,x 1x 2=2h 2-21+2k 2, y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2h =2h 1+2k 2, 所以|AB |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =22·1+k 2 · 1+2k 2-h 2 1+2k 2 . 因为点O 到直线AB 的距离d = |h | 1+k 2, 所以S △AOB =12·|AB |·d =12×221+k 2 ·1+2k 2-h 21+2k 2·|h |1+k 2=2· 1+2k 2-h 21+2k 2·|h |. 又S △AOB = 64 , 所以2· 1+2k 2-h 21+2k 2 ·|h |=6 4.③ 令n =1+2k 2,代入③整理得3n 2-16h 2n +16h 4=0, 解得n =4h 2或n =4 3h 2, 即1+2k 2=4h 2或1+2k 2=4 3 h 2.④ 又OP =t OE =12t (OA +OB )=1 2t (x 1+x 2,y 1+y 2)=????-2kht 1+2k 2,ht 1+2k 2, 因为P 为椭圆C 上一点, 所以t 21 2????-2kh 1+2k 22+????h 1+2k 22=1, 即h 2·t 2 1+2k 2 =1.⑤ 将④代入⑤得t 2=4或t 2=4 3 . 又t >0,所以t =2或t =23 3.经检验,符合题意. 综合(ⅰ)(ⅱ)得t =2或t =23 3 . 7(2013新课标全国Ⅱ,5分)设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是C 上的点,PF 2 ⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为( ) A. 3 6 B.13 C.12 D.33 解析:本题主要考查椭圆离心率的计算,涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识,意在考查考生的运算求解能力. 法一:由题意可设|PF 2|=m ,结合条件可知|PF 1|=2m ,|F 1F 2|=3m ,故离心率e =c a =2c 2a =|F 1F 2| |PF 1|+|PF 2|= 3m 2m +m =3 3 . 法二:由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ,将x =c 代入椭圆方程可解得y =±b 2a ,所以|PF 2|=b 2 a .又由∠ PF 1F 2=30°可得|F 1F 2|=3|PF 2|,故2c =3·b 2 a ,变形可得3(a 2-c 2)=2ac ,等式两边同除以a 2,得3(1-e 2) =2e ,解得e = 3 3 或e =-3(舍去). 答案:D 8.(2013辽宁,5分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点, 连接AF ,BF .若|AB |=10,|BF |=8,cos ∠ABF =4 5 ,则C 的离心率为( ) A.35 B.57 C.45 D.67 解析:本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率,解三角形等知识,意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力.由余弦定理得,|AF |=6,所以2a =6+8=14,又2c =10,所以e =1014=5 7 . 答案:B 9.(2013四川,5分)从椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F 1,A 是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且AB ∥OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32 解析:本题主要考查椭圆的简单几何性质,意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想.由已知,点P (-c ,y )在椭圆上,代入椭圆方程,得P ????-c ,b 2 a .∵AB ∥OP ,∴k AB =k OP ,即- b a =-b 2 ac ,则b =c ,∴a 2=b 2+c 2=2c 2,则c a =22,即该椭圆的离心率是2 2 . 答案:C 10.(2013福建,4分)椭圆Γ:x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2 c .若直线y =3(x + c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________. 解析:本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力.直线y =3(x +c )过点F 1(-c,0),且倾斜角为60°,所以∠MF 1F 2=60°,从而∠MF 2F 1 =30°,所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中,|MF 1|=c ,|MF 2|=3c ,所以该椭圆的离心率e =2c 2a =2c c +3c =3 -1. 答案:3-1 11.(2012安徽,13分)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°. (1)求椭圆C 的离心率; (2)已知△AF 1B 的面积为403,求a ,b 的值. 解:(1)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a =2c ,所以e =1 2. (2)法一:a 2=4c 2,b 2=3c 2, 直线AB 的方程可为y =-3(x -c ). 将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,得B (85c ,-33 5c ). 所以|AB |=1+3·|85c -0|=16 5 c . 由S △AF 1B =12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB =12a ·165c ·32=235a 2 =403,解得a =10,b =5 3. 法二:设|AB |=t . 因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t -a . 由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a -t . 再由余弦定理(3a -t )2=a 2+t 2-2at cos 60°可得, t =8 5 a . 由S △AF 1B =12a ·85a ·32=235a 2 =403知, a =10, b =5 3. 12.(2012新课标全国,5分)设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x =3a 2上一 点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ) A.1 2 B.2 3 C.34 D.45 解析:由题意可得|PF 2|=|F 1F 2|,所以2(32a -c )=2c ,所以3a =4c ,所以e =3 4. 答案:C 13.(2012江西,5分)椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|, |F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 55 C.12 D.5-2 解析:依题意得 |F 1F 2|2=|AF 1|·|F 1B |,即4c 2=(a -c )(a +c )=a 2-c 2,整理得5c 2=a 2,所以e =c a =5 5. 答案:B 14.(2011浙江,5分)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 2 4 =1有公共的焦点,C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ,B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( ) A .a 2=13 2 B .a 2=13 C .b 2=1 2 D .b 2=2 解析:对于直线与椭圆、圆的关系,如图所示,设直线AB 与椭圆C 1的一个交点为C (靠近A 的交点), 则|OC |=a 3 , 因tan ∠COx =2, ∴sin ∠COx =25 , cos ∠COx = 15 , 则C 的坐标为(a 35,2a 35),代入椭圆方程得a 245a 2+4a 2 45b 2=1,∴ a 2 = 11b 2.∵5=a 2-b 2,∴b 2=1 2 . 答案:C 15.(2011陕西,12分)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4),离心率为3 5 . (Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为4 5的直线被C 所截线段的中点坐标. 解:(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得16 b 2=1,∴b =4, 又e =c a =35得a 2-b 2 a 2=925 , 即1-16a 2=9 25,∴a =5, ∴C 的方程为x 225+y 2 16 =1. (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =4 5(x -3), 设直线与C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将直线方程y =4 5(x -3)代入C 的方程,得 x 225+(x -3)2 25=1, 即x 2-3x -8=0,解得 x 1= 3-412,x 2=3+41 2 , ∴AB 的中点坐标x =x 1+x 22=3 2, y = y 1+y 22=25(x 1+x 2-6)=-6 5 , 即中点坐标为(32,-6 5 ). 注:用韦达定理正确求得结果,同样给分. 16.(2011新课标全国,5分)椭圆x 216+y 2 8 =1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22 解析:由x 216+y 2 8=1可得a 2=16,b 2=8,∴c 2=a 2-b 2=8. ∴e 2 =c 2a 2=12.∴e =22 . 答案:D 17.(2010福建,5分)若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 2 3 =1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则 OP · FP 的最大值为( ) A .2 B .3 C .6 D .8 解析:由椭圆x 24+y 2 3=1,可得点F (-1,0),点O (0,0),设P (x ,y ),-2≤x ≤2,则OP ·FP =x 2+x +y 2 =x 2 +x +3(1-x 24)=14x 2+x +3=1 4 (x +2)2+2,当且仅当x =2时,OP · FP 取得最大值6. 答案:C