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八上数学角平分线训练2

八上数学角平分线训练2
八上数学角平分线训练2

角的平分线的性质

基础巩固

一、填空题

1.如图1,在△ABC 中,∠C =900,BC =40,AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ,且DC ∶DB =3∶5,则点D 到AB 的距离是 。

3题图

D C B A

图1

图2

2.如图2所示,在△ABC 中,∠A =90°,BD 平分∠ABC ,AD =2 cm ,则点D 到BC 的距离为________cm .

3.如图3,已知BD 是∠ABC 的内角平分线,CD 是∠ACB 的外角平分线,由D 出发,作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ,垂足分别为E 、F 、G ,则DE 、DF 、DG 的关系是 。

图3

图4

4.如图4,已知AB ∥CD ,O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点,OE ⊥AC 于E ,且OE=2,则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。

5.已知△ABC 中,∠A=80°,∠B 和∠C 的角平分线交于O 点,则∠BOC=

二、选择题

6.如图5,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是AD 上异于A 的任意一点,设PB =m ,PC =n ,AB =c ,AC =b ,则)(n m +与)(c b +的大小关系是( )

A 、n m +>c b +

B 、n m +<c b +

C 、n m +=c b +

D 、无法确定

选择第4题图 P

D C

B A

图5

图6

7.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,若BC=32,且BD :CD=9:7,则D 到AB 边的距离为( )

A .18

B .16

C .14

D .12

8.如图6,AE ⊥BC 于E ,CA 为∠BAE 的角平分线,AD=AE ,连结CD ,则下列结论不正确的是( )

A .CD=CE

B .∠ACD=∠ACE

C .∠CDA =90°

D .∠BCD=∠ACD

9.在△ABC 中,∠B=∠ACB ,CD 是∠ACB 的角平分线,已知∠ADC=105°,则∠A 的度数为( )

A .40°

B .36°

C .70°

D .60°

10.在以下结论中,不正确的是( )

A .平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上

B .角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等

C .一个角只有一条角平分线

D .角的平分线有时是直线,有时是线段

三、解答题

11.如图7所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于B ,EC ⊥AC 于C ,D 是AE 上一点,求证:BD=CD 。

图7

图8A B C

D

P O

图9

12.如图8,BD=CD ,BF ⊥AC 于F ,CE ⊥AB 于E 。求证:点D 在∠BAC 的角平分线上。

13.如图9,∠AOP=∠BOP ,AD ⊥OB 于D ,BC ⊥OA 于C ,AD 与BC 交于点P 。求证:AP=BP 。

综合提高

一、填空题 14.如图10,已知相交直线AB 和CD ,及另一直线EF 。如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点,方法是 ,这样的

点至少有 个,最多有 个。

图10 B C B

C D

E

A B C D

E F 图12

15.已知△DE F ≌△ABC ,AB =AC ,且△ABC 的周长为23cm ,BC =4 cm ,则△DE F 的边中必有一条边等于______。

16.在△ABC 中,∠C =90°,BC =4CM ,∠BAC 的平分线交BC 于D ,且BD ︰DC =5︰3,则D 到AB 的距离为_____________。

17.∠B =∠C =900,E 是BC 的中点,DE 平分∠ADC ,∠CED =350,如图11,则∠EAB 的度数是 。

18.△ABC 中,AB=AC ,∠B 、∠C 的角平分线的交点为O ,连结AO ,若S △AOB =6cm 2,则S △AOB = 。

二、选择题

19.如图12所示,已知△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB ,交BC 于点D ,DE ⊥AB 于点E ,且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。

A.9 cm

B.5 cm

C.6 cm

D.不能确定

20.下列命题中正确的是( )

A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中线相等

C.全等三角形的角平分线相等D.全等三角形对应角的平分线相等21.如图13,∠AOB和一条定长线段A,在∠AOB

内找一点P,使P到OA、OB的距离都等于A,做法

如下:(1)作OB的垂线NH,使NH=A,H为垂足.(2)

过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP,与NM

交于P.(4)点P即为所求.其中(3)的依据是()

A.平行线之间的距离处处相等B.到角的两边距离

相等的点在角的平分线上C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等D.到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上

22.如图14,P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AB

于E,PF⊥AC于F,下列结论中不正确的是()

A.DE=DF B.AE=AF

C.△ADE≌△ADF D.AD=DE+DF

23.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是()A.45°B.135°C.45°或135°D.都不对

三、解答题

24.如图15,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC

的外角平分线AD于D, F为垂足, DE⊥AB于E,且

AB>AC,求证:BE-AC=AE.

25.如图16所示,已知AD为等腰三角形ABC的底角的平分线,∠C=90°

求证:AB=AC+CD.

图13

A

D C B

图14

E F

A

F C

D

图15

拓展探究

一、解答题

26.如图17,△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD 于D,F为垂足,DE⊥AB于E,且AB>AC 求证:BE-AC=AE.

图17 27.如图18,已知AD∥BC,∠DAB和∠ABC的平分线交于E,过E 的直线交AD于D,交BC于C,求证: DE=EC.

图18 28.如图19,已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA,CD过

点E,则AB与AC+BD?相等吗?请说明理由.

C

E

D

A B

图19

参考答案

基础巩固

一、填空题

1. 15;

2. 2;

3. DE=DF=DG;

4. 4;

5. 130°

二、选择题

6.A

7.C

8.D

9.A 10.D

三、解答题

11.证:先证Rt△ACE≌Rt△ABE,推出AB=AC。再证△ABD≌△ACD(或△DCE≌△DBE),得出DC=DB。

12.证:在△DBE和△DCF中,

90,

,

,

BED CFD

BDE CDF

BD CD

∠=∠=??

?

∠=∠

?

?=

?

所以△DBE≌△DCF(AAS)。∴DE=DF。

又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴点D在∠BAC的角平分线上。13.证:∵∠AOP=∠BOP,AD⊥OB,BC⊥OA,∴PC=PD

在△ACP和△BDP中,

90,

,

,

ACP BDP

PC PD

APC BPD

∠=∠=?

?

?

∠=

?

?∠=∠

?

,∴△APC≌△BPD

∴AP=BP。

综合提高

一、填空题

14. 作∠AOD、∠AOC(或∠BOD)的平分线与EF的交点;1;2 15. 4cm 或9.5cm 16. 1.5cm 17. 35°18. 6cm2

二、选择题

19.C 20.D 21.B 22.D 23.C

三、解答题

24.证:过D作DN⊥AC, 垂足为N, 连结DB、DC则DN=DE,DB=DC,

又∵DE ⊥AB, DN ⊥AC, ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN , ∴BE=CN .又∵AD=AD ,DE=DN ,∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ,∴AN=AE ,∴BE=AC+AN=AC+AE ,∴BE -AC=AE .

25.证一(截长法):如图1所示,过点D 作

BD ⊥AB 于E ,

∵AD 是∠BAC 的平分线

∴∠CAD =∠EAD ,又∠DEA =∠DCA 且AD 公共,∴△ADE ≌△ACD (AAS ),∴ AE =AC ,CD =

DE

在△DEB 中,∵∠B =45°,∠DEB =90°, ∴△EBD 是等腰直角三角形.∴DE =EB ,∴CD =EB .

∴AC +CD =AE +EB ,即AC +CD =AB .

证法二(补短法):

如图2所示,在AC 的延长线上截取CM =CD ,连结DM .

在△MCD 中,∠MCD =90°,CD =CM

∴△MCD 是等腰直角三角形.∴∠M =45°

又∵在等腰直角三角形中,∠B =45°

∴∠M =∠B =45° 又∵AD 平分∠CAD ∴在△MAD 与△BAD 中?????∠∠?∠∠AD AD BAD MA 45B M === ∴△MAD ≌△BAD (AAS )∴MA =AB ,即AC +CD =AB .

拓展探究

一、解答题

26.证:过D 作DN ⊥AC , 垂足为N , 连结DB 、DC ,则DN=DE , DB=DC 又∵DE ⊥AB , DN ⊥AC , ∴Rt △DBE ≌Rt △DCN , ∴BE=CN

又∵AD=AD , DE=DN ,∴Rt △DEA ≌Rt △DNA ∴

AN=AE

图2

A C 图1

∴BE=AC+AN=AC+AE ∴BE -

AC=AE

图3

27.证:在AB 上截取AF=AD 。∵A E 是∠DAF 的平分线(已知) ∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)

在△DAE 和△FAE 中,??

???=∠=∠=)()()(公共边已证已作AE AE FAE DAE AF AD ∴△DAE ≌△FAE(SAS)

∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等) ∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)

又AD ∥BC(已知) ∴∠D+∠C=1800(两直线平行,同旁内角互补) ∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)

∵BE 是∠ABC 的平分线(已知)∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)

在△FBE 和△CBE 中??

???=∠=∠∠=∠)()()(公共边已证已证BE BE C BFE CBE FBE ∴△FBE ≌△CBE(AAS)

∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC .

图4

28.结果:相等.

34

D

C A 65(1)F

E 1234

D

C

A B

65(2)E F

12

证法一:如图(1)在AB 上截取AF=AC ,连结EF .

在△ACE 和△AFE 中, 12AC AF AE AE =??∠=∠??=?

∴△ACE ≌△AFE (SAS )

518056180C

AC BD C D ∴∠=∠???∠+∠=???∠+∠=??

?∠6=∠D

在△EFB 和△BDE 中,634D BE BE ∠=∠??∠=∠??=? ∴△EFB ≌△EDB (AAS ) ∴FB=DB

∴AC+BD=AF+FB=AB

证法二:如图(2),延长BE ,与AC 的延长线相交于点F

434AC BD F ?∠=∠??∠=∠?

?∠F=∠3 在△AEF 和△AEB 中,312F AE AE ∠=∠??∠=∠??=?

∴△AEF ≌△AEB (AAS )

∴AB=AF ,BE=FE

在△BED 和△FEC 中,564BE FE F ∠=∠??=??∠=∠?

∴△BED ≌△FEC (ASA )

∴BD=FC

∴AB=AF=AC+CF=AC+BD.

新北师大版八年级下册数学 《角平分线(1)》教案

4.角平分线(一) 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上,进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程,因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质,而此处在学生回忆的基础上,尝试着证明它,并构造其命题,进一步讨论三角形三个内角平分线的性质.本节课的教学目标为: 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理. 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力,培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力. 3.经历探索,猜想,证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点: 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:情境引入;第二环节:探究新知;第三环节:巩固练习;第四环节:随堂练习;第五环节:课时小结;第六环节:课后作业 1:情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质,步骤如下: 从折纸过程中,我们可以得出CD=CE, 即角平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明它吗? 2:探究新知 (1)引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论,然后在 全班进行交流. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P 2 1 E D C P O B A

在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E. 求证:PD=PE. 证明:∵∠1=∠2,OP=OP, ∠PDO=∠PEO=90°, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(2)你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时,已经历过构造其逆命题的过程,我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题. 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题: 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上. 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时,是假命题. (由学生自己独立思考完成,在全班讨论交流,对困难学生可个别辅导) 证明如下: 已知:在么AOB内部有一点P,且PD上OA,PE⊥OB,D、E为垂足且PD=PE,求证:点P在么AOB的角平分线上. 证明:PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP,PD=PE,∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理). ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等). 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了,那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理.我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展

2018数学中考专题--5-角平分线问题专题

2018年数学中考 角平分线专题 下面就以五种情况进行专题研究 1. 如图1,角平分线遇平行必有等腰三角形; 2. 如图2,垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形,并且垂足F 是GH 的中点(三线合一) ; 3. 如图3,角平分线定理; 4. 补半角成倍角,或分倍角为半角; 5. 角平分线与圆. D C E B A O H F G O C B A K N M Q P O A C B 图1 图2 图3 一、 角平分线遇平行找等腰三角形 1 . 探究1 如图①,AD 为等边△ABC 的内角平分线,显然有 AC CD AB DB = . 探究2 如图 ②,若△ABC 为任意三角形,线段AD 为其内角平分线, AC CD AB DB = 一定成立吗?证明你的判断. 应用:如图③,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=24,AB=40,E 为AB 上一点且AE=15,CE 交其内角平分线 AD 于F. 试求DF FA 的值. C A B D A B D C A E B C D F ① ② ③ 2. 如图 1 ,点O 是△ABC 的内心,过点O 作EF ∥AB ,与AC 、BC 分别交于点E 、F ,则( ) A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+ F E O A B C E D A B C 图1 图2 3. 如图2,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=3,BC=5,连接BD ,∠BAD 的平分线交BD 于点E ,且AE ∥CD ,则AD 的长为 .

4. 如图3,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在射线EF上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP. 设BP=y,PE=x. (1)当 1 3 CQ CE =时,求y与x之间的函数关系式; (2)当 1 CQ CE n =(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式. Q P F E A B C D 图3 5.(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系,并证明你的结论; A B E F C D D C F E B A 图①图② (2)如图②,当F在DC的延长线上时(其他条件不变),请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.

八年级数学角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在 _____________. 2、∠AOB 的平分线上一点M ,M 到 OA 的距离为1.5 cm ,则M 到OB 的距离为_________. 3、如图,∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ,且CD =CE ,则∠DOC =_________. 4、如图,在△ABC 中,∠C =90°,AD 是角平分线,DE ⊥AB 于E ,且DE =3 cm ,BD =5 cm ,则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点,且点O 到三边的距离相等,∠A =60°,则∠BOC 的度数为_____________. 7、在△ABC 中,∠C =90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,若BC =32,且BD ∶CD =9∶7,则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是( ) A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图,∠1=∠2,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,下列结论错误的是( ) A 、PD =PE B 、OD =OE C 、∠DPO =∠EPO D 、PD =OD 10、如图,直线l 1,l 2,l 3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,且AB =6㎝,则△DEB 的周长为( ) A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B

八年级数学上 角平分线的作法

一. 教学内容: 1. 角平分线的作法. 2. 角平分线的性质及判定. 3. 角平分线的性质及判定的应用. 二. 知识要点: 1. 角平分线的作法(尺规作图) ①以点O 为圆心,任意长为半径画弧,交OA 、OB 于C 、D 两点; ②分别以C 、D 为圆心,大于1 2 CD 长为半径画弧,两弧交于点P ; ③过点P 作射线OP ,射线OP 即为所求. O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 (1)角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ①推导 已知:OC 平分∠MON ,P 是OC 上任意一点,PA ⊥OM ,PB ⊥ON , 垂足分别为点A 、点B . 求证:PA =PB . O P A B M N 12 C 证明:∵PA ⊥OM ,PB ⊥ON ∴∠PAO =∠PBO =90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1=∠2 在△PAO 和△PBO 中,???? ?∠PAO =∠PBO ∠1=∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA =PB ②几何表达:(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)

O P A B M N 12 如图所示,∵OP 平分∠MON (∠1=∠2),PA ⊥OM ,PB ⊥ON , ∴PA =PB . (2)角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ①推导 已知:点P 是∠MON 内一点,PA ⊥OM 于A ,PB ⊥ON 于B ,且PA =PB . 求证:点P 在∠MON 的平分线上. O A B M N P 证明:连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中,? ????PA =PB OP =OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO (HL ) ∴∠1=∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上. ②几何表达:(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.) O P A B M N 1 2 C 如图所示,∵PA ⊥OM ,PB ⊥ON ,PA =PB ∴∠1=∠2(OP 平分∠MON ) 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路; ②实际生活中的应用.

最新人教版初中八年级上册数学《角的平分线的判定》精品教案

第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力,体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入,初步认识 问题1我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢? 【教学说明】如图所示,已知PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE,那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢?事实上,在Rt△OPD和Rt△OPE中,我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP,即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究,获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸,那如何利用它来解题呢? 例1 如图O是△ABC内的一点,且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知,O是△ABC的三角平分线的交点,所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数,只要求出∠1+∠3的度数,即只要求出2(∠1+∠3)=∠ABC+∠ACB 的度数即可,在△ABC中,运用三角形的内角和定理,即可得出∠BOC的度数.

解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD, ∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°- 1 2 (180°-∠ A)=90°+1 2 ∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数,要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点,且CE=BF,S △DCE =S △DBF ,求证: AD平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等,所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥ AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N,则DM=DN.由角平分线的判定定理可知,AD平分∠BAC. 【证明】如图②,过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥AC于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即 1 2 CE·DN= 1 2 BF·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上,即AD 平分∠BAC. 例3 如图所示,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是 AC上一点,且AE⊥BD并交BD的延长线于点E,又AE=1 2 BD.求证:BD是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD是∠ABC的平分线,即证明∠1=∠2,可构造全等三角形,延长AE、BC交于F,根据条件证明△ABE≌△FBE即可. 【证明】延长AE、BC交于点F. ∵AE⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC与△AFC中,

初中数学三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有及三角形内外角平分线有关的题目,若平时不注意总结是很难一下子解决的.下面来一起学习一下. 命题1 如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D=90° +∠A. 证明:如图1: ∵∠1=∠,∠2=∠, ∴2∠1+2∠2+∠A=180°① ∠1+∠2+∠D=180°② ①-②得: ∠1+∠2+∠A=∠D③ 由②得: ∠1+∠2=180°-∠D④ 把③代入④得: ∴180°-∠D+∠A=∠D

∠D=90°+∠A. 点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°,不难证明. 命题2 如图2,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D=90°-∠A. 证明:如图2: ∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线, ∴∠D=180°-∠1-∠2 =180°-(∠DBE+∠DCF) =180°-(∠A+∠4+∠A+∠3) =180°-(∠A+180°) =180°-∠A-90°

=90°-∠A; 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°,可以证明. 命题3 如图3,点E是△ABC一个内角平分线及一个外角平分线的交点,则∠E=∠A. 证明:如图3: ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得: ∠E=∠A. 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和,很容易证明.

命题4 如图4,点E是△ABC一个内角平分线BE及一个外角平分线CE的交点,证明:AE是△ABC的外角平分线. 证明:如图3: ∵BE是∠ABC的平分线,可得:EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得:EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线,所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线. 点评利用角平分线的性质和判定能够证明. 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题,下面来一起看. 例1如图5,PB和PC是△ABC的两条外角平分线. ①已知∠A=60°,请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形? 解析:①由命题2的结论直接得:∠P=90°-∠A=90°-×60°=60°

人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质 教学设计

第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质教学设计 教材分析 本节内容是全等三角形知识的运用延伸,用尺规作一个角的平分线,其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质;角的平分线的性质证明,运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质.角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形,进而证明相关元素对应相等.角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征,常用来证明两条线段相等,角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。 教学目标 1.会使用尺规作一个已知角的平分线; 2.掌握角的平分线的性质和判定; 3.能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题. 教学重点及难点 重点:角平分线的尺规作图,角的平分线的性质和判定及其应用. 难点:1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离” 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 教学用具 直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件 教学过程 (一)导入新课 问题1:给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢? 师生活动:可用量角器,若不利用工具,也可用折纸的方法,教师课件演示. 问题2:哪一种方法用起来更方便?在生活中,这些方法是否都可行呢? 师生活动:用量角器比较方便,但有误差,用折叠的方法比较简捷,但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了,那还有别的方法适合吗?引出课题.[设计意图]设计“激趣设疑、联旧带新”环节,既能激发学生的学习兴趣,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识,同时为更高层次的知识建构提供了理想途径.(二)探索新知

数学人教版八年级上册角平分线性质

E 12.3 《角的平分线的性质》(第1课时) 一、教学目标 1、知识与技能: (1)掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 (2)理解角的平分线的性质并能初步运用。 2、过程与方法: 通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。 3、情感与态度: 充分利用多媒体教学优势,培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,激发学生应用数学的热情。 二、、教学重点、难点 教学重点:掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点:1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解; 2、对于性质定理的运用。 三、教学方法 引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法,引导学生自主学习、合作学习和探究学习 四、教学过程 一、创设情景 生活中的数学问题: 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点,要从P 点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1:怎样修建管道最短? 问题2:新修的两条管道长度有什么关系,画来看一看。 探索体验 探索1:如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A 放在角的顶点,AB,CD 沿着角的两边入放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗 ?

从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。 观察领悟作法,探索思考证明方法 画法: 以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N . 分别以M,N为圆心.大于 1/2 MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C. 作射线OC. 射线OC即为所求. 教师先在黑板上示范作图,再利用多媒体演示作图过程及画法,加深印象,并强调尺规作图的规范性。 想一想:为什么OC 是角平分线呢? 利用三角形全等证明角平分线,进一步 明确命题的题设与结论,熟悉几何证明 过程。 已知:OM=ON ,MC=NC 。 求证:OC 平分∠AOB 。 证明:在△OMC 和△ONC 中, OM=ON , MC=NC , OC=OC , ∴ △OMC ≌ △ONC (SSS ) ∴∠MOC=∠NOC 即:OC 平分∠AOB 探索2: 让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一

初中数学常见模型之角平分线四大模型

角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图,P 是∠MON 的平分线上一点,过点P 作PA ⊥OM 于点A ,PB ⊥ON 于点B 。 结论:PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 (1)如图①,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,BC=6,BD=4,那么点D 到直线AB 的距离是 ; (2)如图②,∠1=∠2,+∠3=∠4。 求证:AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1.如图,在四边形ABCD 中,BC>AB ,AD=DC ,BD 平分∠ABC 。 求证:∠BAD+∠BCD=180°。 2.如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ,若∠BPC=40°,则∠CAP= 。 N M O A B P 2图4321A C P B D A B C 图1A B D C

模型2 截取构造对称全等 如图,P 是∠MON 的平分线上一点,点A 是射线OM 上任意一点,在ON 上截取OB=OA ,连接PB 。 结论:△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 (1)如图①所示,在△ABC 中,AD 是△ABC 的外角平分线,P 是AD 上异于点 A 的任意一点,试比较PB+PC 与AB+AC 的大小,并说明理由; (2)如图②所示, AD 是△ABC 的内角平分线,其他条件不变,试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小,并说明理由。 热搜精练 1.已知,在△ABC 中,∠A=2∠B ,CD 是∠ACB 的平分线,AC=16,AD=8。 求线段BC 的长。 A B D C P P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D

数学人教版八年级上册《角的平分线》的画法

角的平分线的画法 数学课上,探讨角平分线的作法时,黎老师用直尺和圆规作角平分线,方法如下: 小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角平分线,方法如下: 步骤: ①利用三角板上的刻度,在OA和OB上分别截取OM、ON,使OM=ON. ②分别过M、N作OM、ON的垂线,交于点P. ③作射线OP.则OP为∠AOB的平分线. 小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线. 根据以上情境,解决下列问题: (1)黎老师用尺规作角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是_______.

(2)小聪的作法正确吗?请说明理由. (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法. (要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明) 试题分析: (1)根据三角形全等的判定方法“SSS”解答. (2)利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等,根据全等三角形对应边相等解答. (3)利用刻度尺作出PM=PN,再利用“SSS”证明两三角形全等,即可得解: 在△MOP和△NOP中,,∴△MOP≌△NOP(SSS).∴∠MOP=∠NOP.∴OP 是∠AOB的平分线. 试题解析: (1)黎老师用到的三角形全等的方法是“SSS”. (2)小聪的作法正确。理由如下: 在Rt△OMP和Rt△ONP中,,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL). ∴∠MOP=∠NOP.∴OP是∠AOB的平分线. (3)如图: ①利用刻度尺上的刻度,在OA和OB上分别画点M、N,使OM=ON; ②用两个刻度尺作出MP=NP,交于点P;

③作射线OP,则OP就是∠AOB的平分线. 考点:1. 全等三角形的应用;2.作图(基本作图).

中考数学专题复习——三角形和角平分线(详细答案)

中考数学专题复习——三角形和角平分线 一.选择题(共16小题) 1.(2018?柳州)如图,图中直角三角形共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2018?贵阳)如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是() A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 3.(2018?河北)下列图形具有稳定性的是() A.B.C.D. 4.(2018?长沙)下列长度的三条线段,能组成三角形的是() A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm 5.(2018?福建)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5 6.(2018?常德)已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是() A.1 B.2 C.8 D.11

7.(2018?昆明)在△AOC中,OB交AC于点D,量角器的摆放如图所示,则∠CDO的度数为() A.90°B.95°C.100° D.120° 8.(2018?长春)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为() A.44°B.40°C.39°D.38° 9.(2018?黄石)如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=() A.75°B.80°C.85°D.90° 10.(2018?聊城)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠, 使点A落在△ABC外的A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA′=β, ∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是() A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°﹣α﹣β 11.(2018?广西)如图,∠ACD是△ABC的外角,CE平分∠ACD,若∠A=60°,∠B=40°,则∠ECD等于()

北师大版八年级数学下册角平分线-教案

《4 角平分线》教案 第1课时 教学目标 掌握角的平分线的性质和判定,并会运用它们解决实际问题. 教学重点难点 重点:掌握角的平分线的性质和判定. 难点:例解性质和判定的互逆关系,并能正确运用它们解决问题. 教学过程 1、引例 在S 区有一个贸易市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路,怎样修才能使路最短?它们有怎样的数量关系呢? 2、角平分线的性质定理 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 例1、在△ABC 中,已知点D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,并且BE=CF ,试证:AD 在∠BAC 的角平分线上. 3、角平分线的判定定理 例2、在∠AOB 中有一点P ,已知PE ⊥OA 于E ,PF ⊥OB 于F ,且PE=PF .试证:点P 在∠AOB 的角平分线上. 角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 例3、在△ABC 中,已知AD 将∠BAC 平分,点D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,试证:BE=CF . 4、练习 在△ABC 中,AM 平分∠BAC ,BN 平分∠ABC ,AM 与BN 于点P ,试证:点P 到三边的距离都相等;点 P 在∠ACB 的角平分线上. 四、小结 1、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 2、角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.S 公路 铁路 P

第2课时 教学目标 1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理. 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力. 教学重难点 证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理. 教学过程 一、学习准备 1、三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离. 2、三角形三条边的角平分线相交于一点,这一点一定在三角形. 二、自学提示 探究一: 1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线,你发现什么结论,并证明. 如图:设△ABC的角平分线BM、CN交于P,求证:P点在∠BAC的平分线上. 定理:三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离. 引申:三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为m,三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=__. 例:△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E. 已知:CD=4cm,求AC长.求证:AB=AC+CD.

初三中考数学角平分线

全国100份试卷分类汇编 角平分线 1、(?雅安)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为() A.50°B.60°C.70°D.100° 考点:平行线的性质;角平分线的定义. 分析:根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAD=∠D,从而得到∠CAD=∠D,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.解答:解:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∵AB∥CD, ∴∠BAD=∠D, ∴∠CAD=∠D, 在△ACD中,∠C+∠D+∠CAD=180°, ∴80°+∠D+∠D=180°, 解得∠D=50°. 故选A. 点评:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图是解题的关键. 2、(?遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是() ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3. A.1B.2C.3D.4 考点:角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图. 分析:①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线; ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的 度数;

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质 可以证明点D在AB的中垂线上; ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形 的面积之比. 解答:解:①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线. 故①正确; ②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°, ∴∠CAB=60°. 又∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠1=∠2=∠CAB=30°, ∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°. 故②正确; ③∵∠1=∠B=30°, ∴AD=BD, ∴点D在AB的中垂线上. 故③正确; ④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°, ∴CD=AD, ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=AC?CD=AC?AD. ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD, ∴S△DAC:S△ABC=AC?AD:AC?AD=1:3. 故④正确. 综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个. 故选D. 点评:本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质. 3、(?咸宁)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为()

【5A版】初中数学角平分线说课稿

§1.4.1角平分线 尊敬的各位领导、各位老师: 大家好! 我今天说课的课题是角平分线,它是北师大版八年级下册第一章第四节的内容。今天我将从教材分析,教学目标,教学重难点,教法学法,教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法: 一、教材分析:角平分线的概念在之前已经介绍过,它的性质很重要,在几何里证明线段或角相等时常常用到它们,为证明过程开辟了新的途径。而前几节对用直角三角形全等的判定方法的学习,为证明角平分线的性质定理和逆定理创造了条件。 二、教学目标分析:我把教学目标设定为以下三个方面: 知识目标:能够掌握并证明角平分线的性质定理、判定定理;并能能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 技能目标:通过定理的初步应用,培养学生的逻辑推理能力及创新的能力. 情感目标:通过自主学习和发展体验获取数学知识的成就感; 三、教学重点和难点分析: 本节内容的重点是角平分线的性质定理、判定定理及它们的应用。 难点是如何直接利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。 四、教法学法分析:本节课我将以学生为主体,结合多媒体教学,引导学生自主学习、合作学习和探究学习,鼓励学生多思、多说、多练,让学生在观察中发现,在发现中探索,在探索中创新。 五、教学过程分析:本节课分成七个环节: 第一环节是复习引入,温故而知新: 在这一部分,我主要通过提问的形式来复习两个相关的知识内容:点到直线的距离和角平分线的定义;为学生探索学习角平分线打下基础。 第二个环节创设情境,引入课题。 我先提出一个问题:同学们知道角平分线上的点有什么性质吗?可以怎样得到它们呢? 在这里,我设计折纸和量一量的活动,通过让学生动手操作、体验,从而更直观地了解角平分线及其性质,并且能更准确地用文字语言把角平分线的性质定理表示出来:即角平分线上的点到角两边的距离相等。 第三个环节探究证明,这一环节我将分为两个部分来完成: 第一部分,先提出思考,除了用动手操作的方法证明这个定理之外,能否用几何语言把它的证明表达出来? 然后引导并要求学生把定理写成“如果……那么……”形式,再根据其条件和结论,写出已知、求证和证明过程。 这一部分我将由学生独自完成,对有困难的学生加以指导,这样即可以检查学生对利用三角形全

角平分线的性质-湘教版八年级数学下册优秀教案设计

1.4 角平分线的性质 1.理解并掌握角平分线的性质及判定;(重点) 2.能够对角平分线的性质及判定进行简单应用.(难点 ) 一、情境导入 在S 区有一个集贸市场P ,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从P 点建两条路,一条到公路,一条到铁路. 问题1:怎样修建道路最短? 问题2:往哪条路走更近呢? 二、合作探究 探究点一:角平分线上的点到角两边的距离相等 【类型一】 利用角平分线的性质求线段长 如图,在△ABC 中,∠C =90°, AC =BC ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,若AB =7cm ,则△DBE 的周长是____________. 解析:在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,根据角平分线的性质,可得CD =ED ,AC =AE =BC ,继而可得△DBE 的周长为DE +BD +BE =CD +BD +BE =BC +BE =AE +BE =AB .故答案为7cm. 方法总结:此题考查了角平分线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用. 【类型二】 利用角平分线的性质求面积 如图,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 且交BC 的延长线于点F .若AB =18cm ,BC =12cm ,DE =2.4cm ,求△ABC 的面积. 解析:根据角平分线的性质得到DE =DF ,再将△ABC 分成△BCD 和△ADB 两个三角形,分别求出它们的面积再求和. 解:∵BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB ,DF ⊥BF ,∴DE =DF .∵S △ABC =S △BCD +S △ABD =12BC ·DF +12AB ·DE =12(BC +AB )·DE =12 ×30×2.4=36(cm 2). 方法总结:如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质,如角平分线的性质或等腰三角形的性质,求这几个三角形面积的和. 【类型三】 利用角平分线的性质进行证明 如图,已知∠1=∠2,P 为BN 上 一点且PD ⊥BC 于D ,AB +BC =2BD ,求证:∠BAP +∠BCP =180°. 解析:过点P 作PE ⊥BA ,根据已知条件得Rt △BPE ≌Rt BPD ,再根据AB +BC =2BD 得AE =CD ,可证Rt △APE 和Rt PDC ,可得∠PCD =∠P AE ,根据邻补角互补可得∠BAP +∠BCP =180°. 证明:过P 作PE ⊥AB ,交BA 的延长

人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》

角的平分线的性质 教学目标 知识与技能: 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法; 2、理解角的平分线的性质并能初步运用。 过程与方法: 通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力。 情感态度与价值观: 培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,激发学生应用数学的热情。 教学重点: 掌握角平分线的尺规作图,理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点: 1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解; 2、对于性质定理的运用。 教学过程: 一、创设情景 生活中有很多数学问题: 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼,刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点,要从P 点建两条管道,分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1:怎样修建管道最短? 问题2:新修的两条管道长度有什么关系,画来看一看。 二、探究体验 要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线,工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型,介绍仪器特点(有两对边相等),将A 点放在角的顶点处,AB 和AD 沿角的两边放下,过AC 画一条射线

A F C B E AE ,AE 即为∠BAD 的平分线。 学生口述,用三角形全等的方法证明AE 是∠BAD 的平分线。 多媒体展示实验过程。 把简易平分角的仪器放在角的两边时,平分角的仪器两边相等,从几何作图角度怎么画?BC =DC ,从几何作图角度怎么画? 让学生用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕。 问题1:第一次的折痕和角有什么关系?为什么? 问题2:第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系,它们的长度有何关系? 如图:按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕.让学生分组讨论、交流,再利用几何画板软件验证结论,并用文字语言阐述得到的性质.(角的平分线上的点到角两边的距离相等) 结合图形写出已知,求证,分析后写出证明过程.教师归纳,强调定理的条件和作用. 三、合作交流 判断正误,并说明理由: (1)如图1,P 在射线OC 上,PE ⊥OA ,PF ⊥OB ,则PE =PF . (2)如图2,P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点,E 、F 分别在OA 、OB 上,则 PE =PF . (3)如图3,在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ,若P 到OA 的距离为3cm ,则P 到OB 的距离边为3cm . 让学生运用本节课所学的知识回答课前引例中的问题: 问题:引例中两条管道的长度有什么关系?理由是什么? 四、例题讲解 例1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD =CD ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别是E ,F .求证:EB =FC . E O B A O B P E F 图2 图3 A O B P E A O B P E F 图1

(完整版)初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点

初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候,学到好多“线”,比如:中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西,也是比较重要的知识点。 如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD是△ABC的中线,则△ABD与△ADC的周长之差为多少? 这道题题目比较简单,很容易得出答案是2。 三角形的中线

在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理:1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线,是线段。角的平分线是射线。(这是三角形的角平分线与角平分线的区别) 角平分线线定理:定理1:在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理:在一个角的内部(包括顶点),且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例,如:在△ABC中,BD平分∠ABC,则AD:DC=AB:BC注:定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等!(即内心)。 三角形的高线

从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。线段的垂直平分线:经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。注意:要证明一条线为一个线段的垂直平分线,应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质:1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

八年级数学:角的平分线(教学设计)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校: 年级: 任课教师: 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订:XX文讯教育机构

角的平分线(教学设计) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容,让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力,培养学生的逻辑、直觉判断等能力,本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写,可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识结构 重点与难点分析: 本节内容的重点是角平分线的性质定理,逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等,开辟了新的途径,简化了证明过程。 本节内容的难点是:a、角平分线定理和逆定理的应用;b、这两个定理的区别;c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用定理,仍然去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题,学生对条件和结论容易混淆,特别是没有明显的提示语言时,更易找不准条件和结论,这就成了教学的难点。 教法建议: 整堂课围绕“以复习为基础,以过程为主线,以思维为中心,以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度,通过提问、板演、讨论等多种形式,让学生直接参加课堂活动,将教与

学融为一体。具体说明如下: (1)做好铺垫 新课引入前,作一个具体画图的练习:已知角画出它的角平分线;然后在平分线上任取一点,作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义;二是为本节课的学习奠定了图形基础。 (2)主动获取 利用上面的图形,观察这两个距离的关系,并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确,此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动,主动提出此定理。 (3)激荡思维 在上面定理的基础上,让学找出此定理的条件与结论,并交换条件与结论得到一个新的命题,然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调:两个定理的区别与联系;原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

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