容器设计问题的数学模型[1]

容器设计问题的数学模型

【摘要】本模型讨论的是容器的设计问题。生活中容器处处可见，花瓶、水瓶等等，比比皆是。一个容器的设计也是一门学问。对于一名生产者来说，其目标是“唯利是图”。关键在于：怎样在容器体积一定的情况下生产表面积最小的产品。这样子才能最省原材料，降低生产成本，带来更大的净利润。于生产来说，其考虑的并非只有省材料一个因素，还会考虑诸如容器外观等问题。本论文将抓住核心问题，仅从省材料的角度探讨容器设计问题。模型将会探讨试题中的三个问题，从一些相对理想的模型中探讨一种统一的方法解决问题。用到的知识为构造拉格朗日函数求极值，并用软件matlab7.0进行处理求解。

1、问题重述

（1）要设计一个上无盖的圆锥台形状的容器，上半径为R，下半径为r

求容积为一正常数的条件下，使该容器的表面积达到最小时的两个比值r/R、h/R

的精确值（用整数的有限四则及根式运算的最简形式表示）及他们精确到20位

有效数字的近似值。

（2）要设计一个上无盖的容器，由一个半径为R高为H的圆柱放在一个圆锥台上组成的。圆锥台的上半径为R，下半径为r

（3）要设计一个上无盖的容器，是一个高为H，上半径为L，下半径为R

的条件下，使该容器的表面积达到最小时的四个比值r/L、h/L、H/L、R/L的精

确值及它们精确到20位有效数字的近似值。

2、基本假设：

（1）容器设计不考虑美观等诸多因素，即只从省原料的角度进行设计。（2）容器没有厚度。

（3）只考虑简单的立体图形及其拼接组合容器的情况。

3、符号说明：

R-第一第二问中圆台的上半径，第三问中下面圆台的上半径、第三问中上面圆台的下半径

r-第一第二问中圆台的下半径、第三问中下面圆台的下半径

h-第一第二问中圆台的高度、第三问中下面圆台的高度

H-第二问中圆柱的高度、第三问中上面圆台的高度

L-第三问中上面圆台的上半径

v-容器体积

s-容器表面积

y-所构造函数

k-所构造函数中的常系数

pi-圆周率

d-求偏导数

^-次方

sqrt-根号

4.模型建立及求解与检验

建立：可以转化为在有约束条件下求解目标函数极值的问题。

（1）在第一小题中，由几何知识容易得出：

容器的表面积,即目标函数为：

(

2

=++

*(

r

s pi R r

容器的容积：

22(****)/3*v pi r pi R pi r R h =++

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：

222*((*((****)/3*)y pi r R r k pi r pi R pi r R h v =++++-

（2）同理，第二、三小题也可通过构造拉格朗日函数求的目标函数的极值。

第二题的表面积，即目标函数为：

(2*(2**s pi r R r pi R H =+++

约束条件（容器容积）:

v= 222(****)/3***pi r pi R pi r R h pi R H +++

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数：

2222*((2****((****)/3***)y pi r R r pi R H k pi r pi R pi r R h pi R H v =+++++++-

第三题的表面积，即目标函数为：

2*((*(s pi r R r pi L R =++++

约束条件（容器容积）：

2222(****)/3*(****)/3*v pi r pi R pi r R h pi L pi R pi L R H =+++++

由约束条件及目标函数构造拉格朗日函数

（3）y 就是第一、二、三小题的数学模型。

求解与检验：约束条件与偏微分方程联立求解

（1）在第一小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

222*((*((****)/3*)y pi R R r k pi r pi R pi r R h v =+++++-

y 分别对R, r, h, 求偏导数dR dr dh,

令dR=0, dr=0, dh=0，得出三条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k 表示R 、r 、h ）：共10组解。舍去其中

零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求

R= -2/7*7^(3/4)/k

r=-2/k

h=-1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k

解得：

r/R=1.6265765616977858609

h/R=1.8228756555322953580

（2）同理，在第二小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

2222 y pi r R r pi R H k pi r pi R pi r R h pi R H v

=+++++++-*((2****((****)/3***)

y分别对R, r, h, H求偏导数dR dr dh dH,

令dR=0, dr=0, dh=0,dH=0，得出四条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程可以解得（用k表示R、r、h、H）：共10组解。舍去

其中零解，复数解，负数解后只有一组解符合要求

R=-2*(-7/3+1/3*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+4/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2*(-1

/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/k

r= -2/k

h=4*(-5/3+1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+(-1/6*

(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)^2)/k

H=2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3)/k

解得

r/R=2.7423135117210448719

h/R=1.7423135117210448719

H/R=1.2767422798442720210

（3）同理，在第三小题中由目标函数和约束条件构造出拉格朗日函数：

22222 =+++++++++-*((*(*(1/3*(****)*1/3*(****)*) y pi r R r pi L R k pi r pi R pi r R h pi R pi L pi R L H v 用y分别对R, r, h, H，L求偏导数dR dr dh dH dL,

令dR=0, dr=0, dh=0, dH=0, dL=0, 得出五条偏微分微分方程。

联立约束条件与各偏微分方程，未能利用matlab得出答案。（见附录）

5、模型应用

从对本题三小问的建模过程可知，当一个容器的外观和容积确定以后，其表面积（无

盖）存在最小值。正如上文所推到和验证的，我们可以通过构造拉格朗日函数求出其表

面积（无盖）取最小值时，容器的上底半径，下底半径，高等长度要素应满足的比例关

系。进而确定容器的精确形状。

正如本文摘要所叙述的，该模型可作为饮料厂商对其饮料瓶设计的参考。从而使在

饮料瓶容积一定时其表面积尽可能小（我们知道，饮料特别是碳酸饮料，其容器的成本

在总成本在占有很大的比重。因此厂商可以参考本文所建立的数学模型设计容器，从而

减低生产的总成本，实现利益最大化。

6、模型评价

优点：

(1)用统一的方法解答各个小问。

(2)总体思路简单明了，所涉及知识较少，可阅读性较强

缺点：

(1)未能求解出第三问的具体答案。

(2)模型中只考虑节省原料而设计容器，忽略了其它因素。

7、附录

Matlab源代码

（1）第一问

>> syms R r h k v

>>

y1=pi*(R^2+(R+r)*sqrt((R-r)^2+h^2))+k*((pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R)/3*h-v);

>> dr=diff(y1,r)

dr =

pi*((R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*(-2*R+2*r ))+k*(2/3*pi*r+1/3*pi*R)*h

>> dy2=diff(y1,R)

dR =

pi*(2*R+(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*(2*R-2*r))+k*(2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h

>> dy3=diff(y1,h)

dh =

pi*(R+r)/(R^2-2*R*r+r^2+h^2)^(1/2)*h+k*(1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R)

>> [R,r,h]=solve(dr,dR,dh,'R','r','h')

R =

-2/7*i*7^(3/4)/k

2/7*7^(3/4)/k

2/7*i*7^(3/4)/k

-2/7*7^(3/4)/k

-2*2^(1/2)/k

2*2^(1/2)/k

r =

-2*3^(1/2)/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2*3^(1/2)/k

2*3^(1/2)/k

2*3^(1/2)/k

-8/k

-8/k

h =

-6^(1/2)/k

-1/7*i*7^(3/4)*(1-7^(1/2))/k

1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k

1/7*i*7^(3/4)*(1-7^(1/2))/k

-1/7*7^(3/4)*(1+7^(1/2))/k

6^(1/2)/k

-6^(1/2)/k

6^(1/2)/k

（2）第二问

>>syms R r h H k v

>>y2=pi*(r^2+(R+r)*((R-r)^2+h^2)^(1/2))+2*pi*R*H+k*((pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R)/ 3*h+pi*R^2*H-v );

>> dR=diff(y2,R)

dR =

pi*(((R-r)^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*(2*R-2*r))+2*pi*H+k*( (2/3*pi*R+1/3*pi*r)*h+2*pi*R*H)

>> dr=diff(y2,r)

dr =

pi*(2*r+((R-r)^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*(-2*R+2*r))+k*(2/ 3*pi*r+1/3*pi*R)*h

>> dh=diff(y2,h)

dh =

pi*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*h+k*(1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R)

>> dH=diff(y2,H)

dH =

2*pi*R+k*pi*R^2

>> [R,r,h,H]=solve(dR,dr,dh,dH,'R','r','h','H')

R =

-2/k

-2*(-7/3-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^

(1/3)+i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*9

3^(1/2))^(1/3))+2*(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+12

*93^(1/2))^(1/3)+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^

(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)))^2)/k

-2/k

-2*(-7/3+1/3*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+4/3/(116+12*93^(1/2))^

(1/3)+2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))

^(1/3)+2/3)^2)/k

-2*(-7/3-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^

(1/3)-i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*9

3^(1/2))^(1/3))+2*(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+12

(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)))^2)/k

2/5*5^(1/2)/k

-2/5*5^(1/2)/k

2/k

r =

-2/k

- 2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

-2/k

h =

-8/k

-8/k

4*(-5/3-1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-1/3/(116+12*93^(1/2))^

(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+

12*93^(1/2))^(1/3))+(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+

12*93^(1/2))^(1/3)+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2)

)^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)))^2)/k

4*(-5/3+1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^

(1/3)+(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^

(1/3)+2/3)^2)/k

4*(-5/3-1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-1/3/(116+12*93^(1/2))

^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(11

6+12*93^(1/2))^(1/3))+(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(1

1/2))^(1/3)+2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)))^2)/k

4/5*5^(1/2)/k

-4/5*5^(1/2)/k

-4/k

H =

-2*2^(1/2)/k

2*2^(1/2)/k

-(-1+i*3^(1/2))/k

2*(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)

+2/3-1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+1

2*93^(1/2))^(1/3)))/k

(1+i*3^(1/2))/k

2*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)-2/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)

+2/3)/k

2*(1/12*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+1/3/(116+12*93^(1/2))^(1/3)

+2/3+1/2*i*3^(1/2)*(-1/6*(116+12*93^(1/2))^(1/3)+2/3/(116+1

2*93^(1/2))^(1/3)))/k

-2/k

（3）第三问（没解出来）

>> syms R r h H L k v

>>

y3=pi*(r^2+(R+r)*((R-r)^2+h^2)^(1/2))+pi*(L+R)*((L-R)^2+H^2)^(1/2)+k*(1/3*( pi*r^2+pi*R^2+pi*r*R)*h+1/3*(pi*R^2+pi*L^2+pi*R*L)*H-v);

>> dR=diff(y3,R)

dR =

pi*(((R-r)^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*(2*R-2*r))+pi*((L-R)^ 2+H^2)^(1/2)+1/2*pi*(L+R)/((L-R)^2+H^2)^(1/2)*(-2*L+2*R)+k*((2/3*pi*R+1/3*p i*r)*h+(2/3*pi*R+1/3*pi*L)*H)

>> dr=diff(y3,r)

dr =

pi*(2*r+((R-r)^2+h^2)^(1/2)+1/2*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*(-2*R+2*r))+k*(2/ 3*pi*r+1/3*pi*R)*h

>> dh=diff(y3,h)

dh =

pi*(R+r)/((R-r)^2+h^2)^(1/2)*h+k*(1/3*pi*r^2+1/3*pi*R^2+1/3*pi*r*R)

>> dH=diff(y3,H)

dH =

pi*(L+R)/((L-R)^2+H^2)^(1/2)*H+k*(1/3*pi*R^2+1/3*pi*L^2+1/3*pi*R*L)

>> dL=diff(y3,L)

dL =

pi*((L-R)^2+H^2)^(1/2)+1/2*pi*(L+R)/((L-R)^2+H^2)^(1/2)*(2*L-2*R)+k*(2/3*pi *L+1/3*pi*R)*H

>> [R,r,h,H,L]=solve(dR,dr,dh,dH,dL,'R','r','h','H','L')

Warning: Explicit solution could not be found.

> In solve at 140

In sym.solve at 49

R =

[ empty sym ]

r =

[]

h =

[]

H =

[]

L =

[]

>>