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6多元微分学的基本概念、计算与应用

6多元微分学的基本概念、计算与应用

6多元微分学的基本概念、计算与应用

多元微分学的基本概念、计算与应用

一、考试内容

（一）多元函数微分学计算法则

1、记忆下述推理框图：

z

方向导数存在

2、记忆多元复合函数的求导法：

[(),()]z f u x v x =

，则全导数dz

z du z dv

dx u dx v dx

??=

?+?

??，或'()'()'()u v z x u x f v x f =+ [(),(,)]z f u x v x y =

，则'()x u x v z u x f v f =+，y y v z v f = [(,),(,)]z f u x y v x y =

，则x x u x v z u f v f =+，y y u y v z u f v f =+ ()()()()xx x u x x v x xx u xx v x x uu x uv x x vu x vv xx u xx v

z u f v f u f v f u u f v f v u f v f u f v f =+++=+++++222uv vu

f f x uu x x uv x vv xx u xx v u f u v f v f u f v f =++++=

;22

2yy y uu y y uv y vv yy u yy v z u f u v f v f u f v f =++++

()xy x y uu x y x y uv x y vv xy u xy v yx z u u f u v v u f v v f u f v f z =+++++=

3、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）：

公式法1：(,)0F x y =，若0y F ≠，则存在()y y x =，且'()x y y x F F =-

公式法2：(,,)0F x y z =，若0z F ≠，则存在(,)z z x y =，且x x z y y z z F F z F F =-=-，若(,,)0F x y z =确定(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===，则1y z x x y z ??=- 4、记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：

若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关 5、记忆多元函数的求微法：

若(,)z z x y =满足0

0()

lim 0x y z z x z y ?→?→?-?+?=，则x y dz z dx z dy =+，且有z dz ?≈

若(,,)u u x y z =可微，则x y z du u dx u dy u dz =++

若[(,),(,)]z f u x y v x y =　可微，则u v x y dz z du z dv z dx z dy =+=+

若(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?确定()

()y y x z z x =??=?，则由00x y z x

y z F dx F dy F dz G dx G dy G dz ++=??++=?计算'(),'()y x z x

6、记忆方向导数与梯度的计算公式：

(,)z f x y =在(,)P x y 处的梯度为grad (,)(,)x y x y f x y f i f j f f =+=

(,)z f x y =在(,)P x y 处沿方向l 的方向导数为grad (,)l f f x y e l ?=??

， (cos ,cos )(cos ,sin )l e αβ??==

，,αβ为l 的方向角，?为x 轴到l 的转角

grad (,)f

f x y l l

?? 是在上的投影，在(,)P x y 处沿梯度方向的f

l ??达到最大值grad (,)

f x y

(,,)u f x y z =在(,,)P x y z 处沿方向l 的方向导数为grad (,,)l f f x y z e l ?=??

(,,)(cos ,cos ,cos )x y z f f f αβγ=，其沿梯度方向的

f l

??达到最大值grad (,,)f x y z

（二）多元函数的极值与最值问题

1、极值的必要条件和极值的充分条件

[]必要条件设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则有 .0),(,0),(0000==y x f y x f y x

[]充分条件设函数),(y x f z =

在点),(00y x 的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导

数，又,0),(,0),(0000==y x f y x f y x 令C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===),(,),(,),(000000 则),(y x f z =在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：

（1）02>-B AC 时具有极值，且当0A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；

（3）02=-B AC 时可能有极值也可能没有极值，还需另外讨论. 2、多元函数的极大值、极小值.

求),(y x f z =的极值的一般步骤为：

第一步解方程组,0),(,0),(==y x f y x f y x 求出),(y x f 的所有驻点；

第二步求出函数),(y x f 的二阶偏导数，依次确定各驻点处A 、 B 、 C 的值，并根据2

AC -的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数),(y x f 在极值点处的极值.

3、条件极值

解条件极值途径是将条件极值问题转化为无条件极值问题。

一般有三个方法：一是降元法；二是升元法--拉格朗日乘数法；三是几何法

（1）在所给条件0),,(=Φz y x 下, 求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数

),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L Φ+=λλ

它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题. （2）若所给的限制条件有两个(,,)0x y z Φ=和(,,)0x y z ψ=，求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数

0),,(),,(),,(),,,(=ψ+Φ+=z y x z y x z y x f z y x L μλλ 注：用几何法时需记忆一些公式，如点到平面的距离公式1d 、点到直线的距离公式2d （1）点0000(,,)M x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式1d =

（2）点0000(,,)M x y z 到直线111

x x y y z z m n p ---==的距离公式012M M S d S

, 取1111(,,)M x y z ，(,,)S m n p =

若直线为111122220

D A x B y C z D +++=??+++=?,取1111(,,)M x y z 为满足方程组的一点，

111222(,,)(,,)S A B C A B C =?

4、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）

求函数),(y x f 的最大值和最小值的一般步骤为：第一步求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值；第二步求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值；

第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.

注：在证明不等式(,)D

的问题时，需将),(y x f 在D 上的最值问题与积分

估值定理联合考虑。

二、典型例题

????=+≠+++=0,

00,1sin )(),(222

222y x y x y x y x y x f 问),(y x f 在点)0,0(处:

(1)偏导数是否存在? (2)偏导数是否连续? (3)是否可微?

解： (1) 200(,0)(0,0)1

(0,0)lim lim sin 0x x x f x f f x x x →→-===，同理(0,0)0y f =；

221212sin cos ,0(,)0,0x x x x y x y x y x y f x y x y ?-+≠?+++=??+=?

221212sin cos ,0(,)0,0y y y x y x y x y x y f x y x y ?-+≠?+++=??+=?

111lim (,)lim[2sin

，可知该极限不存在

同理可证0lim (,)y x y x

f x y →=不存在. 故),(y x f x '及),(y x f y '在)0,0(处不连续；

0x x y y z f x f y x y

→→→→?-+==+，

则其于)0,0(处可微. 例2、设,sin y x e u x -=则2

x d u u u x dx π

例3、设)(),(x y

xy f z +=, f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求xy z . 解：122

1x y z yf f g y

111()()xy x x y z f y xf f f xf f g g y y

'''''''''''''=+--+---

y xyf f f f g g y

例4、设ln 1xz

xy z y e -+=，根据隐函数存在定理，在(0,1,1)P 的一个邻域内该方程

能确定的具有连续偏导数的隐函数为(,),(,)x x y z y y x z ==．解：令(,,)ln 1xz

F x y z xy z y e =-+-，因()0,()0,()0x y z F P F P F P ≠≠=．

例5、求由22

y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的dz .

解：对方程两边求全微分可得+++xydz xzdy yzdx 02

y x zdz ydy xdx

将1,0,1-===z y x 代入上式dy dx dz 2-=．

例6、设函数),(v u F 可微，(,)0F x

=确定了(,)z z x y =，其中αβ、为常数，且

满足0αβ≠，则x y xz yz βα+=z αβ．

提示：运用两端求导法与公式法的过程中，要注意链式法则，本题也可用全微分法．

例7、已知()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=， )(x y y =由11y y xe --=所确定，设(ln sin )z f y x =-，求0

x x z x z x ==.

解：在11y y xe --=中, 令0=x 得(0)1y =，将其两边对x 求导得110y y y e xe y --''--=，再对x 求导得111210y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----= 将1,0==y x 代入上面两式得(0)1,(0) 2.y y '''== '()(cos )(ln sin )z x y y x f y x ''=--，

''()(cos )(ln sin )[()sin ](ln sin )z x y y x f y x y y y y x f y x '''''''=--+-+-

将(0)1y =，(0)1(0)2y y '''==，，(0)1f '=代入上面两式得0

例8、设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,若,F f 都具有一阶

连续偏导数，试求'()y x .

解：方程的两边求微分得0x t x

y t dy f dx f dt

F dx F dy F dt =+???++=??，解之得'()y x =x t t x t t y f F f F F f F -+.

du x y x y ++=+，则a =2，(,)u x y =ln()()x y x x y C ++++.

提示：令22()(),()P x ay x y Q y x y =++=+，由y x P Q =，易得2a =；由2

()y u y x y =+，知2

()ln()()()u ydy x y x y x x y C x =

(2)()'()(2)()x u x y x y C x x y x y =+++=++，'()0C x =，得()C x C =.

注：u 可由凑微分法求解，22(,)[()22][2()]du x y d x y ydx xdy x y =++-+

[ln()][()()]()[ln()()]d x y x y dx xd x y x y d x y x x y C =+++-++=++++.

例10、设()f u 在()0,+∞

内二阶可导，z f =满足22

1()xx yy z z x y +=+，

若()()10,11,f f '==求()f u 的函数解析式.

[][]xx z x f u u y f u u '''=+，同理()()2

[][]yy z y f u u x f u u '''=+

代入题设方程得()()1uf u f u u '''+=，即['()]'(ln )'uf u u =，有2

例11、sin cos u x y z =+-在点(0,2,1)π-处沿下列哪个方向的方向导数最大（C ） A (0,1,1)-- B (0,1,1)- C (1,1,1)-- D (1,1,1)- 解：0(0,2,1)(,,)(1,1,1)x y z gradu u u u π-==--，故选（C ）例12

、求ln(u x =+在A (1,0,1)处沿A 指向B (3,2,2)-方向的方向导数.

3x y z ++=确定了隐函数(,)z z x y =，求其在点(1,1)处方向导数的最大值M ．

解：当(,)(1,1)x y =时，1z =，设=),,(z y x F 233x y z ++-，则2

1,2,3x y z F F x F z === ,

有(1,1)13,(1,1)23x y z z =-=-

例14、若函数2

(,,)f x y z a x y by z c x z =++在点(1,2,1)M -处沿z 轴正方向的方向导

数取得最大值32，则(,,)a b c =(3,12,4)-．

提示：grad (1,2,1)(43,4,22)//(0,0,1),|grad (1,2,1)|32f a c a b b c f -=+---=．

例15、已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)

0=+-→→y x xy y x f y x , 则(A )

A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.

B 点(0,0)是),(y x f 的极大值点.

C 点(0,0)是),(y x f 的极小值点.

D 无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点.

解:由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)

0=+-→→y x xy y x f y x ，知0)0,0(=f .

y x xy y x f ,其中0lim 0

则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α

令x y =, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +=++=α

令x y -=, 得)(44),(22442x o x x x x x x f +-=++-=-α

从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义选(A ). 例16、 2(,)()x z x y e ax b y -=+-满足条件20b a =≥时，(1,0)z -为其极大值. 提示：由必要条件知，2b a =，再由充分条件知0a >，经验证0a =也可以. 例17、求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值. [解一] 将方程010422222=--+-++z y x z y x 的两边分别对y x ,求偏导, 得 ?

?='-+'+='--'+0422204222y y x

x z z z y z z z x )(a 由函数极值的必要条件知0,0='='y x

z z ,将其代入)(a 得驻点)1,1(-P . 由)(a 的两个方程分别对y x ,求偏导, 得

''=21 ，0=''=P

>- )2(≠z ，故)1,1(-=f z 为极值.

将1,1-==y x 代入方程0104222

=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z

将21-=z 代入)(b 中可知041>=A ，故2)1,1(-=-=f z 为极小值. 将61=z 代入)(b 中可知04

1<-=A ，故6)1,1(=-=f z 为极大值.

[解二] 配方法.

方程010422222=--+-++z y x z y x 可变形为2

2)1()1(162+---±=-y x z 显然,6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.

例18、设函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数, 且(1,0)0f =，(1,0)(1,0)1x y f f ==-，试判定函数2

g x y f e x y =+在(0,0)处的极值性，请说明理由．解： 2xy

x x y g e yf xf =+，则(0,0)0,x g =同理(0,0)0,y g = 2(2)(2)22xy

xx xx xy x yx yy y g ye

f xf e y e y f e yf xf x f ''=+++++ 则(0,0)2(1,0)2,xx y A

g f ===-同理(0,0)2(1,0)2,yy y C g f ===- 又(2)()(2)2xy

xy xx xy x yx yy g xe

f yf x =+++++，(0,0)1xy B

30AC B -=>且0A <，故(0,0)为(,)g x y 的极大点；(0,0)(1,0)0g f ==是极大值．

例19、已知函数(,)z f x y = 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =．求(,)f x y 在椭圆域}14

x y x D 上的最大值和最小值.

解:2222()dz xdx ydy d x y C =-=-+，则22(,)z f x y x y C ==-+，再由(1,1)2f =，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f

令20,20x y f x f y ===-=得可能极值点为(0,0)，且(0,0)2f = 再考虑其在边界曲线14

x 上的情形：令2

L x y f x y x λ=++

L x L y x λλ=+==-+

=+-=() 得可能极值点为(0,2)±，(1,0)± ，而,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见(,)z f x y =在区域D 内的最大值为3，最小值为-2.

推广：求证：2

=?之间的距离.

解：任取1(,s C ∈，2(32,,0)t t C -∈，则222(23)D d s t t s ==+-++

由2(23)10,4(23)20s t D s t D s t t =+-+==+-+=，得唯一驻点1

(,1)2P ，从几何意义

客观存在，故所求距离为1(,1)2

从几何意义上知，(,,)P x y z 到12(1,2,0),(3,1,2)P P --的距离之和最小为123P P =．（2

）函数(,)f u v =

的最小值为

提示：该题可转化为在椭圆4422

=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最

短，作椭圆切线平行于已知直线求解，或以椭圆方程为条件，其上点到直线的距离平方为目标函数，用拉格朗日乘数法完成．注：该题可用几何法求解

例21、已知曲线22220

x y z C x y z ?+-=?++=?，求C 点距离X O Y 面最远点和最近点.

解: C 点到X O Y

面的距离为22

(2)(35)L x y x y z x y z λμ=+++-+++-

由220x L x x λμ=++= ， 220y L y y λμ=++= ，430z L z λμ=-+= 得 x y = 又 2

20,35x y z x y z +-=++=

解得可能极值点(1,1)，(5,5)--，从而(1,1)

根据几何意义，C 点距离X O Y 面最远点和最近点客观存在，故最远点为1(5,5,5)P --，最近点为2(1,1,1)P .

三、课后练习

1、考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:

①),(y x f 在点),(00y x 处连续,②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微,④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在. 若用""Q P ?表示可由性质P 推出性质Q ,则有( A )

2、设222(),(,)(0,0),

(,)(0,0).x y x y x y f x y x y ?+≠=?=?问),(y x f 在点)0,0(处:

(1) 是否连续?（是） (2)偏导数是否存在? （是） (3)是否可微? （否） 3、设arctan (sin ),z x y =则(1,2)xx f π-=12.

4、设f 二导连续, 且()()(,)g x y f y x yf x y =+,则22

xx yy x g y g -=()2[]y xf y x '.

5、设(,)f u v 二阶偏导连续, 且满足1,uu vv f f += 又22(,)[,()2]g x y f xy x y =-, 则xx yy f f +=22x y +.

6、设32),,(yz x z y x f =，03222=-++xyz z y x 确定),(y x z z =，则(1,1,1)x f =1-．

7、设),(v u Φ具有连续偏导数，证明：由0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足x y az bz c +=.

8、设2(,,),(,,)0,s i n y

u f x y z F x e z y x

===,若,F f 都具有一阶连续偏导数，且30F ≠,

则'()u x =123cos [(2cos )]y

x y z f xf f xF e xF F +-+.

9、[1)y xe C ++.

10、设()f u 在()0,+∞内二阶可导，z f =满足0xx

若()()10,11,f f '==则()f u =ln u .

11、设(),f u v 具有连续偏导数，且u v f f uv +=，求(),f x x =33x C + .

12、函数822),,(2

+-+=z y x z y x f 在点)1,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求其最大值．(2,4,4) -；6 13、求函数)2(e

),(22y x y x f y x -=-的极值. 2

8)2,4(-=--f 是函数的极大值

14、设),(y x z z =是由01821062

2=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点与极值. (9,3)是其极小点,极小值为3；)3,9(--是其极大点,极大值为3- 15、求xyz f = 在0,12

=++=++z y x z y x 下的极值.

16、z y x y xy x 4102422

+--+=在:0 , 0 , 4D x y x y ≥≥+≤上的值域为[24,0.2]- . 17、面xo y 上到01620,0=-+==y x y x 及三直线距离平方和最小的点为(85,165). 18、抛物线2

2y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆,求原点到椭圆的最长和最短距离..359,35921

19、内接于椭球面2

z ++=的长方体（各表面平行于坐标面）的最大体积为8.

20、在椭球面1222

=++z y x 上求一点，使得函数2

),,(z y x z y x f ++=沿着点

)1,1,1(A 到)1,0,2(B 方向的方向导数具有最大值，并求此最大值.(12,12,-

小学数学基本概念与运算法则

小学数学基本概念与运算法则小学数学法则知识归类（一）笔算两位数加法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位加起； 3、个位满10向十位进1。（二）笔算两位数减法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。（三）混合运算计算法则 1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； 2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； 3、算式里有括号的要先算括号里面的。（四）四位数的读法 1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； 2、中间有一个0或两个0只读一个“零”； 3、末位不管有几个0都不读。（五）四位数写法 1、从高位起，按照顺序写； 2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。（六）四位数减法也要注意三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。

（七）一位数乘多位数乘法法则 1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； 2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。（八）除数是一位数的除法法则 1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； 2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。（九）一个因数是两位数的乘法法则 1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； 2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； 3、然后把两次乘得的数加起来。（十）除数是两位数的除法法则 1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， 2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。（十一）万级数的读法法则 1、先读万级，再读个级； 2、万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字； 3、每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个“零”。（十二）多位数的读法法则 1、从高位起，一级一级往下读； 2、读亿级或万级时，要按照个级数的读法来读，再往后面加上“亿”或“万”字； 3、每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个零。（十三）小数大小的比较比较两个小数的大小，先看它们整数部分，整数部分大的那个数就大，整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大，十分位数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次类推。（十四）小数加减法计算法则

噶米数值计算的基本概念

课程名称 _______ 计算方法 ____________________ 实验项目名称数值计算的基本概念（误差） _____________________________ 一.实验目的和要求 1?了解误差的种类及其来源； 2. 了解算法的数值稳定性的概念。二.实验内容和原理分析应用题要求将问题的分析过程、算法的分析等写在实验报告上。 2-1分析应用题函数sin x 有幕级数展开 3 5 7 X + X x , s i IX = x - 3 ! 5 ! 7 ! 利用幕级数计算sinx 的Matlab 程序为 fun cti on s=powers in(x) % POWERSIN. Power series for sin(x) % POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series s=0; t=x; n=1; while s+t~=s s=s+t; t=-x A 2/(( n+1)*( n+2))*t; n=n+2; end 1) 解释上述程序的终止准则；当t=0时，程序终止。 2）对于X =M /2,11二/2,21二/2，计算的精度是多少？分别需要计算多少项? 实验成绩 _______ 指导老师（签名）日期 2011-9-9 Matlab 源程序、运行结果和结果的解释、

dx X nx + 5 1—0 - 计算的精度是10 °6 。分别计算11次，37次，60次。 fun cti on s=powers in(x) % POWERSIN. Power series for sin(x) % POWERSIN(x) tries to compute sin(x) from a power series s=0; t=x; n=1; m=0; while s+t~=s s=s+t; t=-x A 2/(( n+1)*( n+2))*t; n=n+2; m=m+1; end m 2-2分析应用题

【小学数学】小学二年级数学下册基本概念专项练习题及答案

二年级数学下册基本概念专项练习一、填空 1、我们把物品每份分得同样多；叫做( )。 2、用乘法口诀求商时；除数和几相乘得被除数；商就是( )。 3、计算15÷3时想的乘法口诀是( )。 4、要判断一个角是什么角；可以用三角板上的( )角量一量；比一比。与三角板上的直角同样大的角是( )角；比三角板上的直角小的角是( )角；比三角板上的直角大的角是( )角。 5、“求一个数是另一个数的几倍”的实际问题；用( )法计算。 6、乘除混合运算的顺序；要按从( )往( )的顺序进行运算。有括号的就要先算( )里面的。有乘法和加法的混合运算要先算 ( )法；后算( )法。 7、一个一个地数；( )个一是十；一十一十地数；10个十是( )；一百一百地数；( )个一百是一千；一千一千地数；10个一千是( )。 8、数位顺序表中；从右边起第一位是( )位；第三位是( )位；一个四位数的最高位是( )位；一个数的最高位是万位；这个数是( )位数。 9、写数时如果中间或末尾哪一位上没有；就用( )占位；在那一位上写( )。 10、万以内的数在读数和写数时；都要从( )位起。读数时万位上是几就读( )；( )位上是几就读几千；百位上是几就读

( )；十位上是几就读几十；个位上是几就读( )；中间有一个0或两个0都只读( )零；末尾不管有几个0都( )。 11、比较万以内数的大小时；位数不同的；位数( )的数大。位数相同的；要从( )位比起；如果最高位上的数也相同；就一位一位依次按顺序往下比；比到哪一个数位上的数大；这个数就 ( )。 12、表示物品有多重；可用( )和( )作单位。称比较轻的物体用( )做单位；称比较重的物体用( )做单位。1千克=( )克13、笔算几百几十加、减几百几十时；要把( )对齐；从个位开始算起。如果个位相加满十要向( )位进1 ；如果个位不够减从十位退1当( )个( )；如果十位不够减从( )位退1当( )个( )。 14、加数 + 加数 =( )；( )- 减数 = 差。 15、( )×因数=积；被除数÷( )=商。 16、最大的两位数是( )；最小的两位数是( )；它们之间相差( )；它们的和是( )；最大的四位数是( )；最大的三位数是( )；它们之间的差是( )。 17、与10相邻的两个数是( )和( ) 与100相邻的两个数是( )和( ) 与1000相邻的两个数是( )和( ) 与10000相邻的两个数是( )和( ) 二、请你选一选。(把正确的序号填到括号里)

10《基本概念与运算法则》测试题

《基本概念与运算法则》阅读测试题一、填空题。（20分） 1.分类的核心是构建（一个标准），基于这个标准把所要研究的东西分为两个或两个以上的（集合）。 2.负数与正数的教学方法一样，也可以用（对应）的方法进行负数的教学。 3.为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于（重新理解十进制）。 4.符号表达是（现代数学）的基础，也是现代（自然科学）、甚至是（人文社会）科学的基础。 5.概率是指（随机事件）发生可能性的大小，在一般情况下，这个可能性的（大小）是未知的，概率是未知的，但（生活经验）可以告诉我们概率的大小。二、判读题。（10分） 1.有了十个符号与数位，读自然数的法则是：符号 + 数位。（?） 2.分数的本质是一种无量纲的数（?） 3.小学数学教学内容包括的对自然数的分类主要有两种：一种是奇数与偶数的分类；一种是素数与合数的分类。（?） 4.在整数集合上，乘法是加法的简便运算。（╳） 5.推断统计希望推断调查了的数据以外的信息。（??）三、简答题。（20分） 1.认识自然数的方法有哪些？有两种方法认识自然数：一种是基于对应的方法，另一种是基于定义的方法。 2.真分数分数的现实背景有哪些？有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间整数的比例关系。 3.小学数学中有哪些模型？总量模型、路程模型、植树模型、工程模型。

4.抽象了的东西是如何存在的？抽象了的概念本身是不存在的，这些抽象了的概念只是一种理念上的存在。四、论述题。（30分） 1.你是如何理解数与数量的？数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。 2有关混合运算的教学内容，《课程标准》是如何要求的？课程标准要求: (第一学段)认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算(两步)。第二学段)认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算(以两步为主，不超过三步)。五、简析题。（20分）根据下面教学片断，分析该教学设计的思路和可借鉴之处。教学片断设计：认识倒数 1. 通过分数认识1 教师通过媒体演示，把一个月饼分为六份（如上第一个图所示）。教师指着其中的一份、并以回忆的口气询问学生：“每份月饼是原来月饼的多少？”

云计算的概念和特点

云计算的概念和特点 “云计算”面世以来，在IT产业界和学术界掀起了巨大的波澜，不少企业及专家都将云计算看作是未来IT产业的发展方向，并开始全力投入其中。从政策层面来看，云计算己经进入我国中央政府的中长期发展规划，国务院发布了《关于加快培育和发展战略性新兴产业的决定》，确定我国现阶段将重点培育和发展节能环保、新一代信息技术、生物、高端装备制造、新能源、新材料、新能源汽车这七大战略性新型产业，作为新一代信息技术的重点发展领域，云计算将成为新一代信息技术产业中的支柱领域之一。可以说，良好的政策环境将保证云计算技术能够获得持续的政策利好和充足、稳定的资本投入，具有诱人的发展前景。通俗的来讲，云计算就是让计算变成像水、电、煤气一样的基础设施，人们可以像购买水、电、煤气一样购买计算服务，因此可以说云计算重新定义了IT软硬件资源的设计和购买的方式，从而可能引发IT产业的大规模变革。云计算主要分为四类：公共云、私有云、社区云及混合云。公共云是利用互联网，面向公众提供云计算服务;私有云是利用企业内网和专网，面向单一企业或组织提供云计算服务，这些服务是不提供于公众使用的;社区云是利用内网、专网及VPN，为多家关联部门提供云计算服务;混合云是上述两种或三种云的组合

云计算的服务模式有三种：(1)软件即是服务(Soft as a Service，简称SaaS)，对应的用户主要是直接使用应用软件的终端用户，提供的服务是终端用户所需要的应用软件，终端用户不用购买和部署这些应用软件，而是通过向SaaS提供商支付软件使用或租赁费的方式来使用部署在云端的应用软件。(2)平台即是服务(Platform as a Service，简称PaaS)，对应的用户主要是使用开发工具的应用软件开发商，提供的服务是开发商所需要的部署在云端的开发平台及针对该平台的技术支持服务。(3)基础设施即是服务(Infrastructure as a Service简称IaaS)，对应的用户主要是使用需要虚拟机或存储资源的应用开发商或IT系统管理部门;提供的服务是开发商或IT系统管理部门能直接使用的云基础设施，包括计算资源、存储资源等部署在云端的虚拟化硬件资源。云计算的特点和好处主要有以下几点： 1.低成本云计算将建设成本转化为运营成本，用户不需要为峰值业务购置设施，不需要大量的软硬件购置和维运成本就可以享用各种IT应用和服务。 2.灵活性云计算可以快速灵活的构建基础信息设施，并可以根据需求灵活的扩容IT资源。云计算提供给用户短期使用IT资源的灵活性(例如：

云计算的定义、发展及组成

云计算的定义、组成及其发展综述摘要：由于互联网技术的飞速发展,信息量与数据量快速增长,导致计算机的计算能力和数据的存储能力满足不了人们的需求。在这种情况下,云计算技术应运而生。云计算作为一种新型的计算模式，利用高速互联网的传输能力将数据的处理过程从个人计算机或服务器转移到互联网上的计算机集群中，带给用户前所未有的计算能力。自从云计算的概念提出来以后,立刻引起业内各方极大的关注,现在已成为信息领域的研究热点之一。本文主要从云计算的定义、云计算的四个发展阶段、云计算组成的六层结构和云计算的发展前景进行了探讨。关键字：云计算、发展阶段、组成、发展现状一、什么是云计算？云计算是由分布式计算、并行处理、网络计算发展来的，是一种新兴的商业计算模型。目前，对于云计算的认识在不断的发展变化，云计算仍没有普遍一致的定义。关于云计算的定义有以下几种： [1]维基百科给云计算下的定义：云计算将IT相关的能力以服务的方式提供给用户，允许用户在不了解提供服务的技术、没有相关知识以及设备操作能力的情况下，通过Internet获取需要服务。 [2]中国云计算网将云定义为：云计算是分布式计算（Distributed Computing）、并行计算（Parallel Computing）和网格计算（Grid Computing）的发展，或者说是这些科学概念的商业实现。 [3]中国网格计算、云计算专家刘鹏定义云计算为：云计算将计算任务发布在大量计算机构成的资源池上，使各种应用系统能够根据需要获取计算力、存储空间和各种软件服务。 [4]美国国家实验室的资深科学家、Globus项目的领导人Tan Foster：云计算是由规模经济拖动，为互联网上的外部用户提供一组抽象的、虚拟化的、动态可扩展的、可管理的计算资源能力、存储能力、平台和服务的一种大规模分布式计算的聚合体。 [5]百度百科：云计算（cloud computing）是基于互联网的相关服务的增加、使用和交付模式，通常涉及通过互联网来提供动态易扩展且经常是虚拟化的资源。狭义云计算指IT基础设施的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需资源；广义云计算指服务的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需服务。这种服务可以是IT和软件、互联网相关，也可是其他服务。它意味着计算能力也可作为一种商品通过互联网进行流通。其实简单地说,云计算是一种基于互联网的超级计算模式,它将计算机资源汇集起来,进行统一的管理和协同合作,以便提供更好的数据存储和网络计算服务。二、云计算的特点（1）具有高可靠性。云计算提供了安全的数据存储方式,能够保证数据的可靠性,用户无需担心软件的升级更新、漏洞修补、病毒的攻击和数据丢失等问题,从而为用户提供可靠的信息服务。（2）具有高扩展性。云计算能够无缝地扩展到大规模的集群之上,甚至包含数

《基本概念与运算法则》读书笔记

《基本概念与运算法则》读书笔记在朱老师的推荐下，我有幸借阅了图书室中《基本概念与运算法则》这本书，这本书于我就像一扇通向提升专业素养的门，给我带来无限的启迪和很大的影响。随着阅读的越多，我能从中汲取的便越多，而想要学习提升的变更多。小学数学所涉及的内容，无论是基础概念，还是基本法则，都是最基础的、最本质的，要把这些本质的东西讲述清楚往往比较困难。而《基本概念与运算法则》一书结构简洁，通俗易懂。主要讲述小学数学教学内容中的一些核心问题，在理解内容的基础上，探讨实现“四基”课程目标、适合小学生认知规律的教学方法。分为三个部分：“问题篇”、“话题篇”和“案例篇”。“问题篇”包括30个问题，大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师，本书尝试以回答问题的方式进行讲述，读者能够通过对这些问题的理解把握小学数学的核心。“话题篇”设定了30个话题，拓展对教学核心问题的理解。“案例篇”呈现了20个教学设计，每一个案例，都有详细的教学设计以及对设计的分析，特别的实用，可供教师在设计自己的教学活动时参考。《基本概念与运算法则》一书有这样一段话，令我有着深思：“我们在前面的30个问题中反复强调，要在数学教学的过程中引导学生学会从头思考问题，要知道自己思考问题的开始是什么。可以知道，这样强调的目的就是让小学生从小养成良好的思维习惯，一个人的思维习惯是从小养成的。”可见，数学思考对于数学教学的重要性。如

何培养学生独立思考，体会数学的基本思想和思维方式？值得我们每一位数学老师认真思考与研究。传统的数学教学往往追求标准的答案，从而忽视解决问题的过程。而恰恰是解决问题的过程，才是培养学生独立思考，发展数学思维的时机。数学教学中让学生“说”，表面上是语言的交流，其实是思维过程的展示，学生说对概念的理解、思考的困惑等等，使教师的引导、讲解更具针对性和实效性。在“说”的过程中，教师和学生都可以对叙述者进行进一步的追问，以发现问题的不同表达形式、解决的方法和出现的错误，所有学习者之间相互启发，促进全体学习者在叙述过程中的共同成长。对于教学经验匮乏的我而言，这本书的内容和理念都对我今后的教学工作会大有帮助。小学数学的教学，一定要围绕现实问题开展，让孩子从对现实问题的处理中找寻数学学习的乐趣以及学习的价值,从而促进学生思维发展。

基本概念题(每题2分汇总

第 1 页共 2 页一、基本概念题（每题2分，共40分） 1.明渠某过水断面的断面比能最小值所对应的水深为（）（A ）h t （B ）h c （C ）h 0 （D ）h k 2.明渠均匀流流动的动力是（）（A ）水压力（B ）重力（C ）惯性力（D ）粘滞力 3.雷诺数Re 表示了哪两种力的对比关系（）（A ）粘滞力/惯性力（B ）重力/惯性力（C ）惯性力/粘滞力（D ）重力/粘滞力 4.明渠均流的水深称为（）（A ）实际水深（B ）平常水深（C ）临界水深（D ）正常水深 5.水泵的扬程是指水泵的（）（A ）水头损失（B ）提供的最大水头（C ）最大提水高度（D ）最大安装高度 6.下列那种明渠水流过渡会产生水跌（）（A ）缓流→缓流（B ）急流→急流（C ）缓流→急流（D ）急流→缓流 7.闸孔出流属于（）（A ）渐变流（B ）均匀流（C ）急变流（D ）缓流 8.恒定总流动量方程（1、2分别表示进出口断面）表达式为（）（A ）)(1122v v Q F ββρ+=∑ （B ）)(2211v v Q F ββρ?=∑ （C ） )(1122v v Q F ββρ-=∑ （D ）)(2211v v Q F ββρ-=∑ 9. 矩形断面渠道发生明渠均匀流若按水力最佳断面设计，当b =4m ，则R 为（）（A ）3m （B ）4m （C ）1m （D ）2m 10.长管水力计算中不计入（）（A ）h j （B ）h f +v 2 /2g （C ）h j +v 2 /2g （D ）h f 11.消力池水力计算中，下列消力池池长L k 与自由水跃长度L j 的关系那个是正确（）（A ）L k >L j （B ）L k =L j （C ）L k

对数的基本概念及运算

第十讲对数的基本概念及运算一：问题思考问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。（1）取5次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，其中叫做对数的底数，叫做真数。注意：①是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数指数（指数函数的自变量） ← b → 对数幂（指数函数的函数值） ← N → 真数

3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数）注意：对数的书写课堂练习 1 将下列指数式写成对数式：（1）（2）（3）（4） 2 将下列对数式写成指数式：（1）（2）（3） 3 求下列各式的值：（1）（2） 2. 对数运算（1）基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2）运算法则如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计

计算题的几个基本概念

计算题的几个基本概念： 1、有损失才有赔偿；赔偿以实际损失为限。并且不得超过保额 2、计算题中出现残值，直接减残值；出现免赔额，除非说明是相对免赔额，否则当绝对免赔额直接减免赔额绝对免赔：损失＜免赔额一分不赔损失﹥免赔额赔损失－免赔额=实际赔偿相对免赔：损失＜免赔额一分不赔损失﹥免赔额赔损失－0=实际赔偿 3、注意保额、保价、和损失之间的关系，注意判断属于以下那类保险超额保险、足额保险、不足额保险的赔偿超额保险保额﹥保价赔偿：按实际损失赔偿，超过部分无效，退回相应保费足额保险保额＝保价赔偿：按实际损失赔偿不足额保险保额＜保价赔偿：全部损失：按保额赔偿部分损失：按比例赔偿保额÷保价×损失=应赔偿数额4、重复保险的分摊比例责任制保额加总甲=甲保额／（甲保额＋乙保额之和）×损失限额责任制无它保甲=甲应赔保额／（甲应赔保额＋乙应赔保额之和）×损失顺序责任制谁先出单谁先赔 5、施救费用合理必要的费用，在损失以外另行计算，最高不超过保额。如果是不足额保险，施救费用也按比例分摊。 6、家财险的赔偿：房屋及室内装潢采用的赔偿处理是比例方式即要看保额，保价，损失之间的比例关系再按概念3赔偿室内财产采用的是第一危险方式，即只看保额和损失的关系，损失＜保额赔损失损失﹥保额赔保额 7、定值保险，不管实际价值，只按合同约定。

8、代位求偿权：追偿所得超过赔偿，超过部分归被保险人所有。物上代位权：委付---推定全损所有权转移残值所得归保险人所有计算题汇总： 1、某人投保普通家庭财产保险，保险金额为10万元，其中房屋及其室内装璜的保险金额为5万元。在保险期限内发生火灾，造成其房屋及其室内装潢部分损失9500元，并且有500元的残值。其中出险时房屋及其室内装潢的价值为5万元。那么，如果不考虑其他因素，保险公司的赔偿金额是（）。 A、4500元 B、5000元 C、9000元 D、9500元解释：概念3 装潢保额5万保价5万损失9500元残值500 足额保险，实际损失赔偿计算：损失-残值=赔偿9500-500=9000 2、李某投保了保险金额为5万元家庭财产保险，并注册了现在的地址为保险地址。在保险期内，李某的住处被其保姆盗走部分财物，造成财产损失2万元。据悉李某的家庭财产为20万元。那么根据我国家庭财产综合保险的规定，保险人应该负责赔偿的金额是（）。 A、0元 B、1万元 C、2万元 D、5万元解释：P168，责任免除第四条：家庭成员，服务人员，寄居人员的故意行为或勾结纵容他人盗窃，顺手偷摸，及窗外钩物所致的损失 3、某人投保普通家庭财产保险保额是10万，其中房屋及装潢为5万，在保险期间发生事故造成房屋装潢及室内财物全部毁损，其中出险时房屋及室内装潢价值为10万，室内财产为8万，那么保险公司应赔（） A4万 B 7.5万 C 8万 D 10万解释：概念6：室内装潢保额5万，保价10万损失10万不足额保险全损赔5万；室内财产保额5万，保价8万，全损赔5万 4、王某向甲保险公司投保普通家庭财产保险，保险金额为5万元，其中房屋及其室内装潢的保险金额为3万元；向乙保险公司投保了家庭财产两全保险，保险金额为5万元，其中房屋及其室内装潢的保险金额为2万元。在保险期限内发生保险事故，造成其房屋及其室内装潢部分损失2万元，室内财产损失2万元。其中出险时房屋及其室内装潢的价值为10万元。那么，王某应该获得的赔偿金额是（）。 A、10000元 B、20000元 C、30000元 D、40000元解释：概念6：甲公司保额5万室内装潢3万室内财产2万；乙公司保额5万室内装潢2万室内财产3万合计室内装潢5万保价10万损失2万不足额保险部分损失赔偿1万；室内财产保额5万损失2万损失小于保额，只赔损失2万。1万+2万=3万

12《基本概念与运算法则》测试题

《基本概念与运算法则》测试题一、填空题(每空1分，共22分) 1.数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个字表达：(抽象)、(推理)、(模型)。 2.数量关系的本质是（多与少）。 3.认识自然数的方法有两种方法：（对应的方法）和（定义的方法）。 4.解方程的基本原则是利用（等式）的性质。 5.在小学阶段的数学教学中，至少需要考虑两个模型：一个是（总量）模型，一个是（路程）模型。 6.数学中的直观主要包含三种：（代数直观）、（几何直观）和（统计直观）。 7.现代数学的三个特征：研究对象的（符号化）、论证逻辑的（公理化）、证明过程的（形式化）。 8.（只能被1和自己整除）的自然数叫做素数（质数）。 9.数学课程标准中的“四基”指的是：（基础知识）、（基本技能）、（基本思想）、（基本活动经验）。 10.（光速）是绝对的，（时间）是相对的，这就是狭义相对论。二、选择题（每题1分，共15分） 1.必然事件的概率为（ B）。 A、P=0 B、P=1 C、0≦P≦1 2.理解数位的核心是理解（C）。 A、数位 B、数的运算 C、十进制计数法 3.数感与（B ）是相对。 A、数量 B、抽象 C、具体 4.“三段论”不包括哪一项（C）。 A、大前提 B、小前提 C、推理

5.（B）是用数学的语言“说”数学、“说”现实世界。 A、发现问题 B、提出问题 C、解决问题 6.（A）是用数学的眼睛“看”数学、“看”现实世界。 A、发现问题 B、提出问题 C、解决问题 7.（C）是最对称的，因而是最和谐的。 A、长方形 B、正方形 C、圆 8.统计学研究的基础是（A ）。 A、数据 B、背景 C、统计 9.推断统计的重要手段是（B ）。 A、平均数 B、估计 C、随机性 10.数据分析不包括（C）。 A、描述统计 B、推断统计 C、随机性 11.下列选项中不是现代数学的三个特征（C）。 A、研究对象的符号化 B、证明过程的形式化 C、论证运算的运算化 12.数学的目的是（B）。 A、研究对象的存在性 B、研究对象之间的关系 C、数是如何存在的 13.解方程的基本原则是利用（C ）。 B、运算定律 B、四则运算法则 C、等式性质 14.空间观念的本质是（A ）。 A、空间想象力 B、动手操作的能力 C、等式性质 15.数学命题的核心是（A）。 B、把关系概念应用于对象概念 B、论证这些研究对象之间的关系 C、研究对象的符号化三、判断题（每题1分，共5分） 1、条形统计图，扇形统计图和折线统计图共性是，可以直观的表述数据。（√） 2、空间观念的本质是空间想象力。（×） 3、面积是对一维空间图形的度量。（×） 4、长度是对二维空间图形的度量。（×） 5、体积是对三维空间图形的度量。（√）

云计算与信息安全

云计算与信息安全给信息安全提供了信息安全是当前计算机科学的一个研究热点；云计算是一个新的技术，通过云计算用户以及云计算服介绍了云计算的基本概念、云计算的安全问题，挑战和机遇。务提供商两方面分析了云计算中确保信息安全的方法。论文关键词：云计算，网格计算，信息安全，云安全 0 引言信息作为一种资源，它的普遍性、共享性、增值性、可处理性和多效用性，使其对于人类具有特别重要的意义。信息安全的实质就是要保护信息系统或信息网络中的信息资源免受各种类型的威胁、干扰和破坏，即保证信息的安全性。信息安全服务至少应该包括支持信息网络安全服务的基本理论，以及基于新一代信息网络体系结构的网络安全服务体系结构。 1 云计算简介何为云(cloud)？云实际上就是互联网(Internet)的别称，其实是指分布在Internet中的形形色色的计算中心,包含成千上万甚至几十万、几百万台计算机或服务器。用户不再购买高性能的硬件,也不再购买或开发各种功能的软件,而是使用任何可上网的设备,连接'云' ,利用'云'提供的软件或服务,直接在'云'上处理并存储数据。云计算的概念最早可以追溯到图灵奖得主Jone McCarthy 在60年代发表的观点：“计算有可能在未来成为一种公共设施。”进入21世纪后，SaaS (Software as a Service),软件服务的概念越来越广泛的应用于业界。随后，从2007年开始，云计算开始出现，包括Google、Amazon、IBM、Microsoft等业界的领袖企业都宣布了各自的与技术项目。简言之网格计算，云计算( cloud computing)是一种基于Internet的计算。在云计算中,存储和运算将不再运行在本地计算机或服务器中,而是运行在分布于Internet上的大量计算机上,也就是说,云计算通过把原来由个人计算机和私有数据中心执行的任务转移给分布在Internet上由全体用户共享的大型计算中心来完成,实现了计算机硬件、软件等计算资源及对这些计算资源进行安装、配置与维护等服务资源的充分共享论文服务。但是云计算远远不止这些。云计算目前的主要架构是基于一个新一代的数据中心，提供虚拟的计算和存储资源。而这些资源的消费和使用，可以按照事先规定的可以计量的标准进行收费。 2 云计算的安全问题尽管很多研究机构认为云计算提供了最可靠、最安全的数据存储中心,但安全问题是云计算存在的主要问题之一。．表面上看,云计算好像是安全的,但如果仔细分析, '云'对外部来讲其实是不透明的。云计算的服务提供商并没有对用户给出许多细节的具体说明,如其所在地、员工情况、所采用的技术以及运作方式等等。当计算服务是由一系列的服务商来提供(即计算服务可能被依次外包)时,每一家接受外包的服务商基本上是以不可见的方式为上一家服务商提供计算处理或数据存储的服务, 这样,每家服务商使用的技术其实是不可控的, 甚至有可能某家服务商会以用户未知的方式越权访问用户数据。总的说来, 由云计算带来的信息安全问题有以下几个方面：

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

云计算概念讲课教案

云计算百科名片狭义云计算指IT基础设施的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需资源；广义云计算指服务的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需服务。这种服务可以是IT和软件、互联网相关，也可是其他服务。云计算（Cloud Computing）是网格计算（Grid Computing ）、分布式计算（DistributedComputing）、并行计算（Parallel Computing）、效用计算（Utility Computing）、网络存储（Network Storage Technologies）、虚拟化（Virtualization）、负载均衡（Load Balance）等传统计算机和网络技术发展融合的产物。目录新创核心新创原理云营销模式 1、IaaS(Infrastructure-as-a- Service) 2、PaaS(Platform-as-a- Service) 3、SaaS(Software-as-a- Service) 误区谎言1 谎言2 谎言3 谎言4 谎言5 谎言6 谎言7 谎言8 谎言9 标准资源来自网络伸缩能力性价比优势简化版应用游戏市场 Amazon Google Salesforce Microsoft 中国移动 Giwell 云计算与物联网形式 SAAS（软件即服务）实用计算（Utility Computing）网络服务

平台即服务 MSP（管理服务提供商）商业服务平台互联网整合概念与产品 60年代的麦卡锡 Amazon Google IBM 微软云计算产业链全景图政策云计算或会导致无形离岸外包国家云或是必要的自我防御政府与通信企业合力？我国现状云商务云安全中国的云计算---任重道远学习资料云计算入门资料云计算企业资料新创核心新创原理云营销模式 1、IaaS(Infrastructure-as-a- Service) 2、PaaS(Platform-as-a- Service) 3、SaaS(Software-as-a- Service) 误区谎言1 谎言2 谎言3 谎言4 谎言5 谎言6 谎言7 谎言8 谎言9 标准资源来自网络伸缩能力性价比优势简化版

整式基本概念及加减运算.讲义学生版

< % 考试内容 A （基本要求） B （略高要求） C （较高要求）代数式理解用字母表示数的意义 — 会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义代数式的值了解代数式的值的概念会求代数式的值；能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算；能通过代数式的适当变形求代数式的值整式了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项与项数的概念，明确它们之间的关系 / 整式的加减运算理解整式加、减运算的法则会进行简单的整式加、减运算能合理运用整式的概念及其加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题板块一代数式、单项式、多项式代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式. 单独的一个数或字母也是代数式. 列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”. 列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 ^ 例题精讲中考要求整式基本概念及加减运算

? 在列代数式时，应注意以下几点：（1）在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示；（2）字母与字母相乘时可以省略乘号；（3）在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式；（4）列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式括起来；（5）代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数. 单项式：像2-a ，2 r π，2 13 -x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-. 单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式21 2 -ab c ，它的指数为1214++=，是四次单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式. } 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把4 7叫做单项式247x y 的系数. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 多项式：几个单项式的和叫做多项式.例如：27 319 -+x x 是多项式. 多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母的项叫做常数项. 多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式：单项式和多项式统称为整式. 【例1】指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式 % ⑴21+x ⑵23ab ⑶0 ⑷10?n a ⑸+=+a b b a ⑹32> ⑺2πS R = ⑻347+= ⑼π 【巩固】 a ， b ， c 都是有理数，试说出下列式子的意义： ① 0a b +=； ② 0abc >； ③ 0ab ≠； ④ 1ab =-； ⑤ 2||0a b +=； ⑥ ()()()0a b b c c a ---=； ⑦ 22a b +；⑧ ()2 a b + %

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