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相似三角形习题课(自编)

相似三角形习题课(自编)
相似三角形习题课(自编)

相似三角形练习题

一:巧妙添加辅助线

1.已知,AD=BE ,求证:BC

AC

FD EF =.

2.如图,ABC △中,D E 、分别是边BC AB 、的中点,AD CE 、相交于G .求证:

1

3

GE GD CE AD ==.

3. 已知,延长BC 到D ,使CD=BC .取AB 的中点F ,连结FD 交AC 于点E . (1)求

AC

AE

的值; (2)若 AB=a, FB=EC ,求AC 的长.

4.如图,△ABC 中D 是BC 中点,E 是AD 上一点,CE 的延长线交AB 于F ,求证: AE :ED=2AF :FB .

B C D

G E

A

C

B D 二:一线三等角: 1、如图在△AB

C 中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点

D 是BC 上一个动点(不与B 、C 重合),在AC 上取一点

E ,使△ABD ∽△DCE ,且点D 与点E 是对应顶点。 (1) 求∠ADE 的度数。

(2) 设BD=x,AE=y,求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围。 (3) 当点D 在线段BC 的什么位置时,AE 的长度最短?请说明理由,并求出AE 的最短

长度是多少?

(4) 当△ADE 是等腰三角形时,求AE 的长。

2. 已知如图,在梯形ABCD 中,24AD BC AD BC ==∥,,,点M 是AD 的中点,MBC △是等边三角形.

(1)求证:梯形ABCD 是等腰梯形;

(2)动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动,且60MPQ =?∠保持不变.设

PC x MQ y ==,,求y 与x 的函数关系式;

(3)在(2)中,当y 取最小值时,判断PQC △的形状,并说明理由.

三:运动与相似的综合 1、已知直线8x 3

4

y +-

=与x轴、y轴分别交于A、B两点,动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设动点的移动时间为t秒。 (1)求出点A、B的坐标;

(2)当t为何值时,△APQ 与△AOB相似?

2. 在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数k y x =

的图象与直线3

34

y x =+交于点(4)C n ,.

(1)求n 的值及反比例函数的解析式; (2)设直线3

34

y x =

+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,过点C 作CD ⊥x 轴于D .若点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,以相同的速度分别沿线段AD 、CA 向点D 、A 运动,设AP=m .问m 为何值时,以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似?

F

E

Q

P

N

M

D

C

B

A

A

B C

D

M

三:相似综合运用

1..如图,正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ,正方形MNPQ 与正方形ABCD

全等,射线MN 与MQ 不过A 、B 、C 、D 四点且分别交ABCD 的边BC,CD 于E 、F 两点.

(1)求证:ME=MF ;

(2)若将原题中的正方形改为矩形,且24BC AB ==,其他条件不变,探索线段ME 与线段MF 的数量关系.

2、如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形AOBC

的四个顶点坐标分别为(2A ,

(00)O

,,(80)(6B C ,,.

在第一象限内确定点M ,使MOB △与

AOB △相似,求出所有符合条件的点M

的坐标

3.如图,在ABC △中,∠A=90°,BC=10,△ABC 的面积为25,点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合),过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E .设DE x =,以DE 为折线将ADE △翻折(使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内),所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y .

(1)用x 表示ADE △的面积;

(2)求出05x <≤时y 与x 的函数关系式;

(3)求出510x <<时y 与x 的函数关系式;

E A '

D B C A

4.问题背景

(1)如图22(1),△ABC 中,DE ∥BC 分别交AB ,AC 于D ,E 过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F .请按图示数据填空:

四边形DBFE 的面积S = ,△EFC 的面积1S = , △ADE 的面积2

S = . 22

(1) 探究发现

(2)在(1)中,若BF a =,FC b =,DE 与BC 间的距离为h .请证明2124S S S =. 拓展迁移

(3)如图22(2),□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上,若

△ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3,试利用..

(2.)中的结论....

求△ABC 的面积. 22(2)

5.已知梯形ABCD 中,AD//BC ,∠A =120°,E 是AB 的中点,过E 点作射线EF//BC ,交CD 于点G ,AB 、AD 的长恰好是方程2

2

4250x x a a -+++=的两个相等实数根,动点P 、Q 分别从点A 、E 出发,点P 以每秒1个单位长度的速度沿射线AB 由点A 向点B 运动,点Q 以每秒2个单位长度的速度沿EF 由E 向F 运动,设点P 、Q 运动的时间为t . (1)求线段AB 、AD 的长;

(2)如果t > 1,DP 与EF 相交于点N ,求DPQ ?的面积S 与时间t 之间的函数关系式. (3)当t >0时,是否存在DPQ ?是直角三角形的情况,如果存在请求出时间t ,如果不

存在,说明理由.

B

C

D

G F

E A

N

G

F

Q P E D

C

B

A

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形 (一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是: 1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。 (二)重要知识点介绍: 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 ::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2 =AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a b c d ad bc =?= ②合比性质: ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。 则 ,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

最新相似三角形测试题及答案

第27章 相似三角形测试题 一、选择题:(每小题3分共30分) 1、下列命题中正确的是 ( ) ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 2、如图,已知DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式中错误的是( ) A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 3、如图,D 、E 分别是AB 、AC 上两点,CD 与BE 相交于点O ,下列条件中 不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 ( ) A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ,AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 4、如图,E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点, 连结AE 交CD 于F ,则图中共有相似三角形 ( ) A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 5、在矩形ABCD 中,E 、F 分别是CD 、BC 上的点, 若∠AEF=90°,则一定有 ( ) A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 6、如图1,ADE ?∽ABC ?,若4,2==BD AD , 则ADE ?与ABC ?的相似比是( ) A .1:2 B .1:3 C .2:3 D .3:2 7、一个三角形三边的长分别为3,5,7,另一个与它相似的三角形的最长边是21,则其它两边的和是( ) A .19 B .17 C .24 D .21 8、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km 9、在相同时刻,物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米,那么影长为30

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A , 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h , ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时, 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取16 3x = ,8y =最大 86> ∴当16 3 x =时,y 最大,8y =最大 2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; M N C B E F A A 1

初中数学相似三角形练习题附参考答案

经典练习题相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD 的长. 3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.

求证:△ABC∽△FDE. 4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD. 5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点. (1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.

6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC=_________ °,BC= _________ ; (2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.

8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 (2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似若存在,求t的值;若不存在,请说明理由. 9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.

相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结 经典模型 【精选例题】“平行型” 【例1】 如图,111EE FF MM ∥∥,若AE EF FM MB ===, 则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形 【例2】 如图,AD EF MN BC ∥∥∥,若9AD =, 18BC =,::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =,_____MN = 【例3】 已知,P 为平行四边形ABCD 对角线,AC 上一点,过点P 的 直线与AD ,BC ,CD 的延长线,AB 的延长线分别相交于点E ,F ,G ,H 求证: PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A

【例4】 已知:在ABC ?中,D 为AB 中点,E 为AC 上一点,且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F , 求BF EF 的值 【例5】 已知:在ABC ?中,12AD AB = , 延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证:①DE EF = ②2AE CE = 【例6】 已知:D ,E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点,连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ,::BD DE AB AC = 求证:CEF ?为等腰三角形 【例7】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证: 111c a b =+. F E D C B A 【例8】 如图,找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系,并证明你的结论. F E D C B A 【例9】 如图,四边形ABCD 中,90B D ∠=∠=?,M 是AC 上一点,ME AD ⊥于点E ,MF BC ⊥于点F 求证: 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A

相似三角形试卷及答案

相似三角形单元测试卷 一、选择题(每题3分,共24分) 1. 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若 1 3 AD AB =,DE =4,则BC =( ) A .9 B .10 C . 11 D .12 2.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105公里,在一张比例尺为1:2000000的交通旅游图上,它们之间的距离大约相当于( ) A .一根火柴的长度 B .一支钢笔的长度 C .一支铅笔的长度 D .一根筷子的长度 4. 如图,用放大镜将图形放大,应该属于( ) A.相似变换 B.平移变换 C.对称变换 D.旋转变换 6. 如图,已知21∠=∠,那么添加下列一个条件后,仍无法.. 判定ABC △∽ADE △的是( ) A .AE AC AD AB = B .DE BC AD AB = C . D B ∠=∠ D .AED C ∠=∠ 7. 如图,已知 ABCD Y 中,45 DBC =o ∠,DE BC ⊥于E ,BF CD ⊥于F , DE BF ,相交于H ,BF AD ,的延长线相交于G ,下面结论: ①2DB BE = ②A BHE =∠∠③AB BH =④BHD BDG △∽△ 其中正确的结论是( ) A .①②③④ B .①②③ C .①②④ D .②③④ 8. 如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB ,B 是CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影DE 留在坡面上.已知铁塔底座宽CD =12 m ,塔影长DE =18 m ,小明和小华的身高都是1.6m ,同一时刻,小明站在点E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平 地上,两人的影长分别为2m 和1m ,那么塔高AB 为( ) A .24m B .22m C .20 m D .18 m 二、填空题(每题4分,共40分) 11.如图所示,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,如果要使ABC DCA △∽△,那么还要补充的一个条件是 (只要求写出一个条件即可). 12. 如图,已知DE BC ∥,5AD =,3DB =,9.9BC =,则ADE ABC S S =△△ . 14.如图,E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点,连结AE ,交边CD 于点F . 在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形: . 15. 如图是一盏圆锥形灯罩AOB ,两母线的夹角90AOB ∠=?, 若灯炮O 离地面的高OO 1是2米时,则光束照射到地面的面积是 米2. C B A E 1 2 D M C A N A B C D E F H G A D C B A B C D E A B O O

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,EF ∥AB ,求证:△ADE ∽△EFC . 2.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G . (1)求证:△CDF ∽△BGF ; (2)当点F 是BC 的中点时,过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ,若AB=6cm ,EF=4cm ,求CD 的长. 3.如图,点D ,E 在BC 上,且FD ∥AB ,FE ∥AC . 求证:△ABC ∽△FDE . 4.如图,已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点,BF ⊥AE 于F ,试说明:△ABF ∽△EAD . 5.已知:如图①所示,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC ,AD=AE ,∠BAC=∠DAE ,且点B ,A ,D 在一条直线上,连接BE ,CD ,M ,N 分别为BE ,CD 的中点. (1)求证:①BE=CD ;②△AMN 是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P .求证:△PBD ∽△AMN . 6.如图,E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点,连接EC ,交AD 于点F .在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ; (2)判断△ABC 与△DEC 是否相似,并证明你的结论. 8.如图,已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ,BC=6cm . 某一时刻,动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动;同时,动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的? (2)是否存在时刻t ,使以A ,M ,N 为顶点的三角形与△ACD 相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由. 9.如图,在梯形ABCD 中,若AB ∥DC ,AD=BC ,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形. (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例) (2)请你任选一组相似三角形,并给出证明. 10.如图△ABC 中,D 为AC 上一点,CD=2DA ,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD 于E ,连接AE . (1)写出图中所有相等的线段,并加以证明; (2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对; 若没有,请说明理由; (3)求△BEC 与△BEA 的面积之比.

相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念 (1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是 n m b a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。 (2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称比例线段.注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为: a d c b =.②()a c a b c d b d ==在比例式::中,a 、d 叫比例外项,b 、c 叫比例项, a 、c 叫比例前项,b 、d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2 b ad =。 (3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB .即 12AC BC AB AC == 简记为:长短=全长 注:黄金三角形:顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1) 基本性质: ①bc ad d c b a =?=::;②2 ::a b b c b a c =?=?. 注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=. (2) 更比性质(交换比例的项或外项):()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??, 交换内项,交换外项. 同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b d a c =?=. (4)合、分比性质: a c a b c d b d b d ±±=?=.

初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

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初三数学相似三角形 (一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是: 1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。 (二)重要知识点介绍: 1. 比例线段的有关概念: 在比例式::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2=AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质:a b c d ad bc =?= ②合比性质:±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0

相似三角形单元测试卷(含答案)

相似三角形单元测试卷(共100分) 一、填空题:(每题5分,共35分) 1、已知a =4,b =9,c 是a b 、的比例中项,则c = . 2、一本书的长与宽之比为黄金比,若它的长为20cm ,则它的宽 是 cm (保留根号). 3、如图1,在ΔABC 中,DE ∥BC ,且AD ∶BD =1∶2,则 S S ADE ?=四边形DBCE : . 图1 图2 图3 4、如图2,要使ΔABC ∽ΔACD ,需补充的条件是 .(只要写出一种) 5、如图3,点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点(A 、B 两点除外)过点作一条直线,使截得的三角形与RtΔABC 相似,这样的直线可以作 条. 图4 图5 图6 6、如图4,四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形,若AB =6,BC =4,则DE = . 7、如图5,ΔABC 与ΔDEF 是位似三角形,且AC =2DF ,则OE ∶OB = . 二、选择题: (每题5分,共35分) 8、若 k b a c a c b c b a =+=+=+,则k 的值为( ) A 、2 B 、-1 C 、2或-1 D 、不存在 9、如图6,F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点,BF ∶FD=1∶3,则BE ∶EC= ( ) A 、 21 B 、3 1 C 、3 2 D 、4 1 图7 图8 图9 10、如图7,△ABC 中,DE ∥FG ∥BC ,且DE 、FG 将△ABC 的面积三等分,若BC=12cm , 则FG 的长为( ) A 、8cm B 、6cm C 、64cm D 、26cm 11、下列说法中不正确的是( ) A .有一个角是30°的两个等腰三角形相似; B .有一个角是60°的两个等腰三角形相似; C .有一个角是90°的两个等腰三角形相似; D .有一个角是120°的两个等腰三角形相似. 12、如图9, D 、E 是AB 的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中 三部分的面积分别为S 1,S 2,S 3, 则S 1:S 2:S 3( ) A.1:2:3 B.1:2:4 C.1:3:5 D.2:3:4 13、两个相似多边形的面积之比为1∶3 ,则它们周长之比为( ) A .1∶3 B .1∶9 C .1 D .2∶3

相似三角形基本知识点及典型例题

相似三角形 一、知识点梳理 ★知识点一:比例线段 1、比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例,通常我们把 a, b,c,d 四 a c 个实数成比例表示成: 或者a : b=c : d ,期中b , c 称为比例内项,a ,d 称为比例外项。 b d a c a c 等式两边同乘以 bd ,可得ad=bc ,反过来等式 ad=bc 同除以bd ,可得 =一 b d b d 2、比例线段:在四条线段 a,b,c,d 中,如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段。 a b 3、比例中项:如果三个数a, b, c 满足比例式 ,那么b 叫做a 、c 的比例中项, 此时有b = ac 。 b c 那么这四条线段 4、黄金分割:如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 PB,使 AP AP 帀,那么称线段AB 被点P 黄 金分割,点P 叫做线段AB 的黄金分割点,比值叫做黄金比。 全二长二 ? 0.618 2 5、比例式变形: a c a_ b c_d b d - b 或旦亠 b b d a c ” ■ * * b _d 一 =b ,(交换内项) c -交换外项) b a d 聖?(同时交换内外项) c a 3,那么a r e a 仁如果b = 3 a + b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若,贝U 的值是 b 5 b 8 3 3 B C 、- D 5 5 2 3、若 4x=5y,则 x : y = 例 4、 x —yz yz_x 5、已知g = y ,则j 的值为 13 7 y 例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么 x 3y z x_3y z

相似三角形经典习题

相似三角形 一.选择题 1.如图,D、E分别是AB、AC上两点,CD与BE相交于点O,下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是() A.∠B=∠C B.∠ADC=∠AEB C.BE=CD,AB=AC D.AD:AC=AE:AB 2.如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是() A. B. C.AC2=AD?AB D.CD2=AD?BD 3.如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,,则和△AED(不包含△AED)相似的三角形有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图,已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点,若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D,截得的小三角形与△ABC相似,那么D点的位置最多有() A.2处 B.3处 C.4处 D.5处 5.如图,在矩形ABCD中,E、F分别是CD、BC上的点.若∠AEF=90°,则一定有() A.△ADE∽△ECF B.△BCF∽△AEF C.△ADE∽△AEF D.△AEF∽△ABF 6.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是()

A. B. C. D. 7.如图,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③,④,⑤AC2=AD?AE,使△ADE与△ACB一定相似的有() A.①②④ B.②④⑤ C.①②③④ D.①②③⑤ 8.如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为() A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1 9.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为() A.18 B.C. D. 10.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论: ①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH?PC 其中正确的是() A.①②③④ B.②③ C.①②④ D.①③④ :S 11.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,S △DEF =4:25,则DE:EC=() △ABF

相似三角形中考试题选编(含答案)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 年 级: 九年级 授课时间: 授课主题: 第 次课 学生姓名: 授课科目: 数学 教学内容 《相似三角形的识别、性质》 第1题. 某同学的身高为1.6米,某一时刻他在阳光下的影长为1.2米,与他相邻的一棵树的影长为3.6米, 则这棵树的高度为( ) A.5.3米 B.4.8米 C.4.0米 D.2.7米 答案:B 第2题. 如图,电灯P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD AB CD ,∥,2m AB =,5m CD =, 点P 到CD 的距离是3m ,则点P 到AB 的距离是( ) A. 5 6 m B.6m 7 C.6m 5 D.10m 3 答案:C 第3题. 如图,D E ,分别是ABC △的边AB AC ,上的点,请你添加一个条件,使 ABC △与AED △相似,你添加的条件是 . 答案:AED B =∠∠或ADE C =∠∠或AD AE AC AB = 第4题. 如图,已知ABC DBE △∽△,68AB DB ==,, 则:ABC DBE S S =△△ . 答案:9:16 第5题.如图,E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点,CE 交AD 于点 F ,下列各式中错误的是( ) A .AE EF A B CF = B .CD CF BE E C = C .AE AF AB DF = D .A E A F AB BC = 答案:D 第6题. 如图,90C E ∠=∠=,3AC =,4BC =,2AE =,则AD = . 答案: 103 第7题.如图,A B C D E G H M N ,,,,,,,,都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点),要使DEF △与ABC △相似,则点F 应是G H M N ,,,四点中的( ) A .H 或N B .G 或H C .M 或N D .G 或M 答案:C 第8题. 图中_______x =. 答案:2

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案 相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长. 3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC. 求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD. 5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.

6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ; (2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论. 8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm. 某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的? (2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形. (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例) (2)请你任选一组相似三角形,并给出证明. 10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE. (1)写出图中所有相等的线段,并加以证明; (2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对; 若没有,请说明理由; (3)求△BEC与△BEA的面积之比.

相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一:相似三角形的判定与性质: 例1、如图,△PCD是等边三角形,A、C、D、B在同一直线上,且∠APB=120°. 求证:⑴△PAC∽△BPD;⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45° (1)求证:△ ABD∽△DCE; (2)设BD=x,AE=y,求y关于x函数关系式及自变量x值范围,并求出当x为何值时AE 取得最小值? (3)在AC上是否存在点E,使得△ADE为等腰三角形若存在,求AE的长;若不存在,请说明理由 例3、如图所示,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B: 1)求证:△ADF∽△DEC; 2)若AB=4,3 3 AD,AE=3,求AF的长。 A B C D F

考点二:射影定理: 例4、如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上的一点,且AF= 1 4 AD,EG⊥CF于点G, (1)求证:△AEF∽△BCE;(2)试说明:EG2=CG·FG. 例6、已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与点C重合,再展开,折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连结AF和CE. (1)求证:四边形AFCE是菱形; (2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长; (3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC·AP若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由. A B C D E F G

【试卷】相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题及答案 一、填空题: 1、若b m m a 2,3==,则_____:=b a 。 2、已知6 53 z y x == ,且623+=z y ,则__________,==y x 。 3、在等腰Rt △ABC 中,斜边长为c ,斜边上的中线长为m ,则______:=c m 。 4、反向延长线段AB 至C ,使AC =2 1 AB ,那么BC :AB = 。 5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为3:2,若它们的周长的差为40厘米,则△A ′B ′C ′的周长为 厘米。 6、如图,△AED ∽△ABC ,其中∠1=∠B ,则 ()()()AB BC AD _________== 。 第6题图 第7题图 7、如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,若∠A =30°,则BD :BC = 。 若BC =6,AB =10,则BD = ,CD = 。 E A D B C 1 C B D A

8、如图,梯形ABCD 中,DC ∥AB ,DC =2cm ,AB =3.5cm ,且MN ∥PQ ∥AB , DM =MP =PA ,则MN = ,PQ = 。 第8题图 第9题图 9、如图,四边形ADEF 为菱形,且AB =14厘米,BC =12厘米,AC =10厘米,那BE = 厘米。 10、梯形的上底长1.2厘米,下底长1.8厘米,高1厘米,延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。 二、选择题: 11、下面四组线段中,不能成比例的是( ) A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a D C M P N Q A B A D B F E C

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形. 例2 已知:如图, ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ?与CDF ?的周长的比,如果2cm 6=?AEF S ,求CDF S ?. 例3 如图,已知ABD ?∽ACE ?,求证:ABC ?∽ADE ?. 例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的? (1)所有的直角三角形都相似. (2)所有的等腰三角形都相似. (3)所有的等腰直角三角形都相似. (4)所有的等边三角形都相似. 例5 如图,D 点是ABC ?的边AC 上的一点,过D 点画线段DE ,使点E 在ABC ?的边上,并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE 的画法. 例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.

例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ). 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由. 例9 根据下列各组条件,判定ABC ?和C B A '''?是否相似,并说明理由: (1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2)?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A . (3)?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB . 例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据. 例11 已知:如图,在ABC ?中,BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 .

人教版九年级下册数学《相似三角形》练习题及答案

27.2 相似三角形 一、选择题 1..下列语句正确的是( ) A.△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似; B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′; C.两个全等三角形不一定相似; D.所有的菱形都相似 2.根据图中尺寸(AB ∥A 1B 1),那么物象长(A 1B 1的长)与物长(AB 的长)之间函数关系的图像大致是( ) 3.如图,在正三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AC AD =31,AE =BE ,则有( ) (A )△AED ∽△BED (B )△AED ∽△CBD (C )△AED ∽△ABD (D )△BAD ∽△BCD ( 3题 ) (4题)

4.已知:如图,∠ADE =∠ACD =∠ABC ,图中相似三角形共有( ) (A )1对 (B )2对 (C )3对 (D )4对 5.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( ) A.32cm B.24cm C.18cm D.16cm 6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′,且BC :B ′C ′= AC :A ′C ′,若AC=3,A ′C ′=1.8,则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )。 A. 2:3 B. 3:2 C. 5:3 D. 3:5 7.可以判定?ABC ∽'''C B A ?,的条件是 ( ) A 、∠A=∠'C =∠' B B 、'''' C A B A AC AB =,且∠A=∠'C C 、''''C A AC B A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对 8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点,另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点,如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似,那么k 值为( ) A 1.5 B 6 C 1.5或6 D 以上都不对 二、填空题 9. 已知一个三角形三边长是6cm ,7.5cm ,9cm ,另一个三角形的三边是8cm ,10cm ,12cm ,则这两个三角形 (填相似或不相似) 10. 在1:25000000的中国政区图上,量得福州到北京的距离为6cm ,则福州到北京的实际距离为 km 。 11. 如图,平行四边形ABCD 中,M 是BC 的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,则该平行四边形的面积是_____________ 12.四边形ABCD ∽四边形A ,B ,C ,D , ∠A=70度,∠B ,=108度,∠C , =92度 则∠D=_______ 13.在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,E 是AD 的中点,在AB 上取一点F ,使⊿CBF ∽⊿CDE ,则BF 的长为________

相似三角形练习题及答案

相似三角形练习题 1、如图,当四边形的周长最小时, . 2、如图,已知等腰三角形 ABC 的边AB 长为2 ,DE 是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)CDE ?~CAB ?,(3) CDE ?的面积与CAB ?面积之比为1:4,其中正确的有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 3、如图(3),等腰ABC ?的平分线交AC 于D ,BCD ∠的平分线交BD 于E ,设k = ,则 A 、2 K a B 、3 K a C 、2a k D 、 3 k 4、已知: ABC ?与DFE ?相似且面积比为4:25,则ABC ?与DFE ?的相似比为 。 5、(2009年滨州)如图所示,给出下列条件:①B ACD ∠=∠;②ADC ACB ∠=∠;③AC AB CD BC = ;④2 AC AD AB =g 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 (5题图) (6题图) 6、2009年上海市)如图,已知AB CD EF ∥∥,那么下列结论正确的是( ) A . AD BC DF CE = B . BC DF CE AD = C . CD BC EF BE = D . CD AD EF AF = 7、(2009成都)已知△ABC∽△DEF,且AB :DE=1:2,则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1 8、(2009重庆綦江)若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2,则△ABC 与△DEF 的周长比为( ) A .1∶4 B .1∶2 C .2∶1 D 9、(2009年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ,那么x 的值( ) A .只有1个 B .可以有2个 C .有2个以上但有限 D .有无数个 10、(2009年宁波市)如图,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,M 、N 分别是边AB 、AD 的中点,连接OM 、ON 、MN ,则下列叙述正确的是( ) A .△AOM 和△AON 都是等边三角形 B .四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C .四边形AMON 与四边形ABC D 是位似图形 D .四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形 11、(2009年江苏省)如图,在55?方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平移方法中,正确的是( ) A .先向下平移3格,再向右平移1格 B .先向下平移2格,再向右平移1格 C .先向下平移2格,再向右平移2格 D .先向下平移3格,再向右平移2格 D B C A N M O x (1题图)

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