三角形面积公式余弦定理

学之导教育中心教案

学生: 伍家濠授课时间: 7.20 课时: 2 年级: 高一教师：廖

课题三角形面积公式、余弦定理

教学构架

一、知识回顾

二、错题再现

三、知识新授

四、小结与预习

教案内容

一、知识回顾

1、正弦定理及其变形

2、已知两边一角，判断解的情况

二、错题再现

1、在△ABC中，已知a=4,b=26,A=45°，求角B

2、在△ABC中，已知b=3,c=33,B=30°，求a

本次内容掌握情况总结教师签字学生签字

3、在?ABC 中，若1a =，

12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

4、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

5．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为

A ．22

B ．3

2 C ．2 D ．2

三、 知识新授

（一）正弦定理综合应用

1．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为

A ．22

B ．3

2 C ．2 D ．2

2、在ABC ?中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ）

A ．2

B ．232-

C ．13-

D ．)12(2-

3、在△ABC 中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，求sinA:sinB:sinC 的值。

4、在△ABC 中，若a:b:c=1:3:5,求C

B A sin sin sin 2-的值.

5、在△ABC 中，b=2a ，B=A+60°，求角A

6、△ABC 中，B=3A ，则b a

的取值范围是

7、在△ABC 中，a=2bcosC,试判断△ABC 的形状

8、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC,sin 2A = sin 2B +sin 2C ，试判断△ABC 的形状

9、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，试判断△ABC 的形状

（二）三角形面积公式

1、在ABC ?中，若14,6760===a b B ， ，求三角形面积.

2、在ABC ?中，已知 45,2,3===B b a ，求三角形面积.

3、在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于

（三）利用正弦证明恒等式

1、在△ABC 中，求证：

A B A c b B c a sin sin cos cos =--

2、在△ABC 中，求证：

222cos 2cos b B a A -=221a 1b

-

四、小结与预习：余弦定理

余弦定理

余弦定理 余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 如下图所示，在△ABC中， 余弦定理表达式1 三角形 同理，也可描述为：

勾股定理是余弦定理的特例，当为时，，余弦定理可简化为，即勾股定理。余弦定理表达式2 余弦定理表达式3（角元形式） 平面几何法证明一

平面几何法证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写： 将等式同乘以c得到： 对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到： 将两式相加：

平面几何法证明二 如图所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC 于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB 在Rt△ACD中， b2=AD2+DC2=（c*sinB）2+（a-c*cosB）2 =c2sin2B+a2-2ac*cosB+c2cos2B =c2（sin2B+cos2B）+a2-2ac*cosB =c2+a2-2ac*cosB 利用正弦定理证法 在△ABC中， sin2A+sin2B-sin2C

=[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降幂公式） =-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2 =-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积）=-cos（A+B）cos（A-B）+cos2C（降幂公式） =cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C 以及诱导公式） =cosC[cos（A-B）-cosC*cos（A+B）] =2cosC*sinA*cinB（和差化积）（由此证明余弦定理角元形式） 设△ABC的外接圆半径为R ∴（RsinA）2+（RsinB）2-（RsinC）2=（RsinA）*（RsinB）*cosC ∴a2+b2-c2=2ab*cosC（正弦定理） ∴c2=a2+b2-2ab*cosC 平面向量证法 ∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

正(余)弦定理的三角形问题

考纲要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题C ab S sin 2 1 . 基础知识回顾: 1. a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 2．余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccos A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2accos B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＜bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜ b a ≥b a ＞b a ≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 4.三角形常用的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R . (3)S ＝1 2r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． 应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】已知中， ，点在 边上， 且 ．

正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式，供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角 和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定 理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便

正余弦定理的应用_三角形面积公式公开课一等奖

正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视

高中数学必备知识点 正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？ 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径） 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径） （4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

正弦余弦公式总结

正弦余弦公式总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究 建水县第二中学：贾雪光 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三 角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理， 大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin (A B) si nC、 cos A— sinC的联系是关键。 2 于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转 化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，女口：1、在锐角△ ABC中, a, b, c 分别为内角A, B, C的对边，且cos2 A 1 sin2A，a -.7求厶ABC勺面 2 积的最大值；2、已知向量M (si nA,1)与N (3,s in A ??、3cosA)共线，其中人是厶ABC勺内角，(1) 2 求角A的大小；(2)若BC=2，求△ ABC勺面积S的最大值。,△ ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，向量M (4, 1), N (cos2-,cos2A)，M ?N -，(1)求角A的大小；(2)若a . 3是判 2 2 断当b c取得最大值时△ ABC勺形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？ 实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不 等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的 收获哦。 我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2bc cos A, b a c 2ac cosB, cab 2ab cosC 同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2 c2 2bc，a2 c2 2ac ，b2 a2 2ab在三角 形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公 式综合后会发现这样的一组公式即：a2 2bc (1 cos A) ,b2 2ac (1 cosC) c2 2ab (1 cosc) 于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是， 一求函数值域；二、导函数；三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

三角形面积公式余弦定理

学之导教育中心教案 学生: 伍家濠授课时间: 7.20 课时: 2 年级: 高一教师：廖 课题三角形面积公式、余弦定理 教学构架 一、知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、知识回顾 1、正弦定理及其变形 2、已知两边一角，判断解的情况 二、错题再现 1、在△ABC中，已知a=4,b=26,A=45°，求角B 2、在△ABC中，已知b=3,c=33,B=30°，求a 本次内容掌握情况总结教师签字学生签字

3、在?ABC 中，若1a =， 12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 4、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 5．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 三、 知识新授 （一）正弦定理综合应用 1．在△ABC 中，015A =，则()3sin cos A B C -+的值为 A ．22 B ．3 2 C ．2 D ．2 2、在ABC ?中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ） A ．2 B ．232- C ．13- D ．)12(2- 3、在△ABC 中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6，求sinA:sinB:sinC 的值。 4、在△ABC 中，若a:b:c=1:3:5,求C B A sin sin sin 2-的值.

5、在△ABC 中，b=2a ，B=A+60°，求角A 6、△ABC 中，B=3A ，则b a 的取值范围是 7、在△ABC 中，a=2bcosC,试判断△ABC 的形状 8、△ABC 中，若sinA=2sinBcosC,sin 2A = sin 2B +sin 2C ，试判断△ABC 的形状 9、在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，试判断△ABC 的形状

高一数学余弦定理公式

正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

余弦定理内容以及解析

余弦定理详解 余弦定理定义及公式 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。 a2=b2+c2-2bccosA 余弦定理证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到： 将等式同乘以c得到： 运用同样的方式可以得到： 将两式相加： 向量证明

正弦定理和余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 余弦定理 是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三 边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起 来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF?EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____． 答案: ． 解析: 由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论 解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角 故答案为： 证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1 设侧棱长为a 做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ 又∵ 在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF?FG?COSθ

正余弦定理及面积公式

正余弦定理及面积公式 一，,知识点回顾： 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21 ===? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan )sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二，基础训练： 1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ， 45=∠B ，求b 及A ； 2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在?ABC 中,53 cos ,135 cos =-=B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积 4，设锐角?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在?ABC 中，已知54 cos ,3,2-===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)62sin(π +B 的值 6，在?ABC 中，53 tan ,41 tan ==B A （1）求C ∠的大小 （2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π =∠==c c a ，则A ∠ 的值 8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+ （1）求边长AB 的长 （2）若?ABC 的面积为C sin 61 ，求角C 9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 55 22cos ,4,2==∠=B C a π，求?ABC 的面积。

余弦定理公式(题目)

正弦、余弦定理 解斜三角形 知识网络 1．三角形基本公式： （1）角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

正余弦公式

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12?[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12?[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12?[sin(a+b)+sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1 -2sin2(a) 6.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 8.其它公式(推导出来的) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan(c)=ba

2020年正余弦定理及面积公式

作者：空青山 作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13 正余弦定理及面积公式 一，,知识点回顾： 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan ) sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二，基础训练： 1,在?ABC 中，已知=a c 45=∠B ，求b 及A ； 2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在?ABC 中,5 3cos ,135cos =- =B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积 4，设锐角?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在?ABC 中，已知5 4cos ,3,2- ===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)6 2sin(π +B 的值 6，在?ABC 中，5 3tan ,41tan == B A （1）求 C ∠的大小 （2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3 ,3,1π = ∠==c c a ，则A ∠ 的值

正余弦定理、三角形的一些公式

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有：为外接圆的半径 三角形的面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状： 为锐角三角形 ，为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有： 形为正三角形 成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式： α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式：

高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

解斜三角形 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式 【提纲挈领】 主干知识归纳 ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c . 1．正弦定理 变式： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC 2．余弦定理 3. 三角形面积公式 1 2 ac sin B 2R sin A sin B sinC. 2 （ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结 1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三 角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 . 2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是 “知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 . 4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定 理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 . 【指点迷津】 【类型一】定理的推导与证明 【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 . 【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两 abc sin A sin B sinC 2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半 径） a 2 b 2 c 2 2 2bc cos A ， b 2 c 2 a 2 2ca cos B ， c 2 a 2 b 2 2abcosC . 变式： cosA 2 2 2 b c a ,cosB 2bc a 2 b 2 ,cosC 2ac b 2 2ab 1 ) S ABC 11 ab sin C bcsin A 22 p(p a)(p b)(p c),其中 p abc 2

余弦定理公式

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 一、明确复习目标 掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。 二．建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2 B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111s i n s i n s i n 222S a b C b c A a c B = == 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得： 2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， s i n ,c o s ,C H b A A H b A B H c b ===- 2222 222 sin (cos ) 2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。 B

余弦定理公式大全

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA

正余弦公式

倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式. 现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用. 号外: tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2) ·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6) 七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tan A^8) 九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84 *tanA^6+9*tanA^8) 十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^ 4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)