2018考研数学一真题及答案
2018考研数学一真题及答案
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．若函数1cos 0(),0x
x f x b x ?->?
=?≤?
在0x =处连续，则 （A ）12ab =
（B ）1
2
ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x
x f x ax ax a +++→→→-===
，0lim ()(0)x f x b f -
→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11
22
b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则
（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2
()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2
()f x 是单调增加函数．也
就得到()()22
(1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ）
3．函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为
（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】
22,,2f f f
xy x z x y z
???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为
()01
4,1,0(1,2,2)23f gradf n n
?=?=?=?u u r r 应该选（D ）
４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t <<
（C ）025t = （D ）025t >
【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，2
1
()()T T S t v t dt =
?
表
示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段
[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该
选（C ）．
5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则
（A ）T
E αα-不可逆 （B ）T
E αα+不可逆 （C ）2T
E αα+不可逆 （D ）2T
E αα-不可逆 【详解】矩阵T
αα
的特征值为1和1n -个0
，从而
,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；
1,1,1,,1-L ；3,1,1,,1L ．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）
． 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ??
?
= ? ???
，则
（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似
【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．
对于矩阵A ，0002001001E A ??
?
-=- ? ???
，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两
个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．
对于矩阵B ，010*******E B -?? ?
-= ? ???
，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一
个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．
7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充
分必要条件是
（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <
【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：
()()()()
(/)(/)()()()()1()()
P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->?
>=?>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得
()()()()
(/)(/)()()()()1()()
P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->?
>=?>- 所以可知选择（A ）．
8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1
1n
i i X X n ==∑，则
下列结论中不正确的是（ ）
（A ）
2
1()n
i i X
μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2
1
2n X X -服从2χ分布 （C ）
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布
解：（1）显然22
()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-?-=L 且相互独立，所以
21
()n
i
i X
μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；
（2）
2
22
22
1
(1)()(1)~(1)n
i
i n S X
X n S n χσ
=--=-=
-∑，所以（C ）结论也是正确的；
（3）注意2
21
~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X n
μμμχ?-?-，所以（D ）结论也
是正确的；
（4）对于选项（B ）
：22111
()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-?
?-，
所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数2
1()1f x x
=
+，则(3)
(0)f = ．
解：由函数的马克劳林级数公式：()0
(0)()!
n n
n f f x x n ∞
==
∑
，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中n
x 的系数． 由于[]2422
1
()1(1),1,11n n f x x x x x x
=
=-+-+-+∈-+L L ，所以(3)(0)0f =． 10．微分方程230y y y '''++=的通解为 ．
【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2
230r r ++=有一对共共轭的
根1r =-
，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分
221
L xdx aydy x y -+-?在区域{}22
(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .
【详解】设 2222(,),(,)11
x ay P x y Q x y x y x y -=
=+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内
具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有
1Q P
a x y
??≡?=-?? 12．幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为
【详解】
1
1
1
12
1
1
11(1)
(1)
()(1)1(1)
n n n n
n n n n n x nx
x x x x ∞
∞
∞----===''????'-=-=-== ? ?++????∑∑∑ 所以2
1
(),(1,1)(1)s x x x =
∈-+
13．设矩阵101112011A ?? ?
= ? ???
，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123
,,A A A ααα的秩为 ．
【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ??????
? ? ?
=→→ ? ? ? ? ? ???????
，知矩阵A 的
秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．
14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -??
=Φ+Φ ???
，其中()x Φ为标准正态分
布函数，则EX = ．
【详解】随机变量X 的概率密度为4
()()0.5()0.25(
)2
x f x F x x ??-'==+，所以 4
()()0.5()0.25(
)2
4
0.25(
)0.252(24)()2
2()2
x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ?????+∞
+∞
+∞
-∞
-∞
-∞
+∞
+∞-∞
-∞+∞-∞
-==+-==?+==?
?
??
??
三、解答题
15．（本题满分10分）
设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )x
y f e x =，求0|x dy dx
=，202|x d y dx =．
【详解】
12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dy
f dx
='=； 2111
122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y
e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+
20111
22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y
f f f dx
=''''=+-．
16．（本题满分10分） 求21lim
ln 1n
n k k k n
n →∞
=??
+ ???∑ 【详解】由定积分的定义
1
20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24
n
n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞
→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??
17．（本题满分10分）
已知函数()y x 是由方程3
3
3320x y x y +-+-=． 【详解】在方程两边同时对x 求导，得
2233330x y y y ''+-+= （1）
在（1）两边同时对x 求导，得
2222()0x y y y y y '''''+++=
也就是22
2(())
1x y y y y
'+''=-+
令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =； 当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）
设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0
()
lim 0x f x x
-
→<，证明： （1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；
（2）方程2
()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．
证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0
()
lim 0x f x x
-
→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ?<，由零点定理，
存在1(,1)(0,1)x ξ∈?，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；
（2）由条件0
()
lim 0x f x x
-
→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；
设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间
[]
0,1上可导，且
(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存
在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈?∈?使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程
2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．
19．（本题满分10分）
设薄片型S 是圆锥面z =
被柱面22z x =所割下的有限部分，
其上任一点的密度为
μ=C ．
（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程； （2）求S 的质量.M
【详解】（1）交线C
的方程为22z z x
?=??=??z ，得到22
2x y x +=．
所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y x
z ?+=?=?
（2）利用第一类曲面积分，得
222222(,,)18
64
S
S
x y x
x y x
M x y z dS μ+≤+≤=====??????
??
20．（本题满分11分）
设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；
（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．
【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥． 假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为
31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．
（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于
31220ααα-+=，所以基础解系为121x ??
?
= ? ?-??
；
又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?
? ???；
方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?
=+ ? ? ? ?-????
，其中k 为任意常数．
21．（本题满分11分）
设二次型222
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22
1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．
【详解】二次型矩阵21411141A a -?? ?
=- ? ?-??
因为二次型的标准形为22
1122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =
1
141
1
1
(3)(6)4
1
2
E A λλλλλλλ---=+=+---
令
0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．
通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-
的特征向量1111ξ???
=-???，属于特征值特征值26λ=
的特征向量2101ξ-???=???，30λ=
的特征向量3121ξ???
=???， 所以(
)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）
设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}1
0{2}2
P X P X ====，Y 的概率密度为2,01
()0,y y f y <
?其他
．
（1）求概率P Y EY ≤（）；
（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1
202
()2.3
Y EY yf y dy y dy +∞
-∞
=
==?
?
所以{}2
30242.39P Y EY P Y ydy ?
?≤=≤==???
??
（2）Z X Y =+的分布函数为
{}{}{}{}
{}{}
{}[](),0,20,2,211
{}2221
()(2)2
Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=
≤+≤-=+-
故Z X Y =+的概率密度为
[]1
()()()(2)2
,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==
+-≤≤??
=-≤
其他 23．（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2
(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计参数
σ．
（1）求i Z 的概率密度；
（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为
{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσ
σ?-?=≤=-≤=≤????
当0z <时，显然()0Z F z =；
当0z ≥时，{}{}
()21i Z i i X z z
F z P Z z P X z P μμσ
σσ
?-???
=≤=-≤=≤
=Φ-?
? ???
?
?； 所以i Z
的概率密度为2
2
2,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-?≥'==
．
（2
）数学期望2
220
()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞
+∞
=
==
?
?
令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ
的矩估计量1
22n
i i Z n
σ===
∑．
（3）设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L ．当0,1,2,i z i n >=L 时
似然函数为221
1
21
()(,)n
i i n n
z i i L f z σ
σσ=-
=∑=
=
∏
，
取对数得：2
2
1
1
ln ()ln 2ln(2)ln 22n
i
i n L n n z
σπσσ==---
∑
令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ
最大似然估计量为σ=