2019.4月人大附中高一年级期中

人大附中高一年级期中统一练习

数

学

2019.04

学校

班级

姓名成绩

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）sin 30cos15cos30sin15??+??等于

(

)

（A ）

12

（B ）

22

（C ）cos15?

（D ）sin15?（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为

（）

（A ）2

（B ）4

（C ）6

（D ）12

（3）在ABC △中，1a =，2c =，30A ∠=

，则C ∠等于

(

)

（A ）45

（B ）60

（C ）90

（D ）120

（4）已知直线m 和平面,αβ，则下列四个命题中正确的是

（）

（A ）若αβ⊥，m β?，则m α⊥（B ）若m α ，m β ，则αβ （C ）若αβ ，m α ，则m β （D ）若αβ ，m α⊥，则m β

⊥（5）如图，正方体1111ABCD A B C D -被平面1ACB 和平面1ACD 分别截去三棱锥1B ACB -和三棱锥1D ACD -后，得到一个n 面体，则这个n 面体的左视图和

n 值为（）

（A ）6（B ）6（C ）7（D ）7

（6）已知π0,(,π)2αββ<<∈，1sin 2α=

，4

sin 5

β=，则cos()αβ-等于（）

（A ）

433

10

-（B ）

43310+（C ）

43310

--（D ）

33410

-（7）已知球O 的半径为1，,A B 是该球面上的两点，且线段1AB =，点P 是该球面上的一个动点（不与,A B 重合），则APB ∠的最小值与最大值分别是（

）（A ）

π5π

,66

（B ）

ππ,42

（C ）

π3π,44

（D ）

π2π,33

（8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ 是某几何体的表面展开图，

对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是（

）

（A ）BJ ⊥平面ADJ （B ）平面BCJ 平面EAD （C ）平面ECB ⊥平面EAD （D ）BE ⊥AJ

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为.

（10）在ABC △中，sin sin ,3B C a c ==，则B ∠=______.

（11）已知正方形ABCD 的边长为1，将ADC △沿对角线AC 折起，若折叠后平面ACD ⊥平

面ACB ，则此时点,B D 之间的距离是.

（12）已知π

,(0,)2αβ∈，11

tan ,tan 32

αβ=

=，则αβ+=.（13）在ABC △中，4c =，30B ∠=?，请给出一个b 的值，使得此三角形有两解，则b

的一个值是.

（14）如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，

111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交

棱

1AA 于点F ，给出下列命题：.①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；

③存在唯一的点E ，使得截面四边形F BED 1的周长取得最小值；

④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG 平面1EBD ，也存在无数个点

E ，对棱AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交.

其中真命题的是_____

___．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题共11分）

已知()2cos (sin )f x x x x =（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,2

上的取值范围.

(16)（本小题共11分）

在△ABC 中，点D 是BC 边上一点，2AD =,AC =,60ADC ∠=?.

（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若△ABD 的面积为

3

2

，求sin BAC ∠的值.

(17)（本小题共12分）

已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形.（Ⅰ）求证：//AD PBC 平面；

（Ⅱ）若PB PD =，求证：BD PAC ⊥平面；（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分）

①,E F 分别是,AB PD 上的点，若

//EF PBC 平面,2AE EB =，求

PF

PD

的值.②若60DAB ∠=?，PAD ABCD ⊥平面平面，

PB PD ⊥，判断△PAD 是否为等腰三角形？并说明理由.

(18)（本小题共10分）

已知非常数函数()f x 的定义域为R ，如果存在正数T ，使得x ?∈R ，都有

()()f x T Tf x +=恒成立，则称函数()f x 具有性质T .

（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;

1

1()21f x x =-；②2()cos(2π1)f x x =+.

（Ⅱ）若函数()sin()(0)f x x ωφω=+>具有性质T ，求ω的最小值;

（Ⅲ）设函数()g x 具有性质T ，且存在0M >，使得x ?∈R ，都有()g x M <成立，求证：()g x 是周期函数.

附加题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为

()1223111

12π

k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ --

∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1,2,,i k = ，3k ≥）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ,平面23Q PQ , ,平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面.

（Ⅰ）任取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为______；

（Ⅱ）如图1，已知长方体1111A B C D ABCD -，1AB BC ==，12

AA =

，点P 为底面1111A B C D 内的一个动点，则四棱锥P ABCD -在点P 处的离散曲率的最小值为______；

图1图2

（Ⅲ）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是_______.（填写“区域α”或“区域β”

）

人大附中2018~2019学年度第二学期期中高一年级数学练习2019年4月24日

加试试题

制卷人：吴中才薛坤吴文庆

审卷人：梁丽平

说明：本练习为期中考试的加试题，共三道大题7道小题，共2页，满分50分．整场考试时间为120分钟，请合理安排作答时间．将答案全部填在答题纸的相应位置上．一、不定项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题可能有一个或多个选项是正确的，请选出全部正确选项．不选或错选0分，漏选3分．）21.下述四个命题中，是真命题的有（

）

A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直

B.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行

C.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直

D.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行

22.三个正方体A,B,C 的棱长依次为,,a b c ，且满足222

232a b c ab +-=．现以A 的棱、

B 的面对角线和

C 的体对角线组成一个三角形，则该三角形的内角中，必有一个内角的度数为（）

A.45

B.135

C.60

D.120

23.已知正整数x 满足cos 2019sin 2019tan(12)cos 2019sin 2019

x +?=-

，则x 的值可能是（）

A.6

B.7

C.8

D.9

二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请将最简结果写在答题纸的相应位置上．）

24.平面直角坐标系中，直线l 过定点A ）

，且与向量OA 的夹角为30 ，则直线l 的方程为________．

25.如左图，△ABC 中，AB AC =AD 为BC 边上的中线．将ADC ?沿着

边AD 向上折起至'ADC ?，得到四面体'C ABD -，如右图．若'C A ⊥平面ABD ，则四面体'C ABD -的体积为_________．

26.在ABC ?中，三个内角,,A B C 满足tan :tan :tan 2:3:4A B C =，则该三角形中最大

内角的余弦值为__________．

三、解答题（本题共1小题，共14分．解答题应写出详细的解答步骤．）

27.如左图，ABC △是等腰直角三角形，90CAB ∠=

,4AC =,,E F 分别为,AC BC 的中

点，将CEF △沿EF 折起，得到如右图所示的四棱锥'C ABFE -.

（Ⅰ）若''ABC EFC m = 平面平面，''AEC BFC l = 平面平面，求证：m l ⊥；（Ⅱ）已知M 为BF 中点，N 为'EC 中点，试判断：在沿EF 折叠过程中，AMN △是否可能为等腰三角形？若是，求出AMN △的三边长；若否，请说明理由．

加试参考答案与评分标准

21.ABC

22.A

23.BC 24.y ＝1320

y --=25.6

26.

727.（Ⅰ） ,E F 分别为,AC BC 的中点，∴EF ∥AB ．∵'AB ABC ?平面，'EF ABC ?平面，∴'EF ABC 平面 ．又∵'EF EFC ?平面，''ABC EFC m = 平面平面，∴EF ∥m ．由折叠过程知，EF AE ⊥，'EF C E ⊥，又'C E AE E = ，

∴'EF C EA ⊥平面． ''AEC BFC l = 平面平面,∴'l AEC ?平面，∴EF l ⊥．

又∵EF ∥m ，∴m l ⊥．

（Ⅱ）取AE 中点P ，连接,MP NP ，则,MP NP 均为中位线，

MP ∥AB 且32

EF AB

MP +=

=，由'AB C EA ⊥平面知，'MP C EA ⊥平面，又'NP C EA ?平面，∴MP PN ⊥．下面研究△AMN ：①若AM AN =：由余弦定理，222cos 4510AM BA BM BA BM =

+-??= ，

3AN AE EN AM <+=<，矛盾；

②若AM MN =：

此时=10MN 1,'2NP AC ==,'AEC △为等边三角形，由余弦定理，222cos 603AN EA EN EA EN =+-??= ③若AN MN =：设NP x =则29

MN x =+由余弦定理，221AN x =

+22x =>矛盾．

综上AMN △可以为等腰三角形，10AM MN ==3AN =．