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2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案
2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

(2006年7月27日, 8:00-12:00, 南昌)

一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab

f x x a b

++=

++.证明:存在唯一的正数x ,使得

113

3

3

()()2

a b f x +=.

二、 如图所示,在△ABC 中,90,,ABC D G ∠=?是

边CA 上的两点,连接BD ,BG 。过点A ,G 分别作BD 的垂线,垂足分别为E ,F ,连接CF 。若BE =EF ,求证:ABG DFC ∠=∠。

三、 一副纸牌共52张,其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种

花色的牌各13张,标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ,其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”,并且A 与2也算是顺牌(即A 可以当成1使用). 试确定,从这副牌中取出13张牌,使每种标号的牌都出现,并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。

四、 对任意正整数n ,设n a 是方程3

1x

x n

+=的实数根,求证:

(1) 1n n a a +>; (2) 2

11

(1)n

n i i

a i a =<+∑。

第二天

(2006年7月28日, 8:00-12:00, 南昌)

五、 如图,在ABC ?中,60A ∠=?,ABC ?的内切圆I 分

别切边AB 、AC 于点D 、E ,直线DE 分别与直线BI 、

CI 相交于点F 、G ,证明:1

2

FG BC =。

六、 求最小的实数m ,使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ,b ,c ,都有333222(61m a b c a b c ++≥+++)

()。 七、 (1)求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。

(2)对于给定的整数k >1,证明:不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至

少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。

B

A

八、 对于周长为n *()n N ∈的圆,称满足如下条件的最小的正整数n P 为“圆剖分

数”:如果在圆周上有n P 个点12,,,n p A A A ,对于1

,2,,1n - 中的每一个整数m ,都存在两个点,i j A A (1,)n i j P ≤≤,以i A 和j A 为端点的一条弧长等于m ;圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列12(,,,)n n P T a a a = 称为“圆剖分序列”。例如当n =13时,圆剖分

数为134P =,如图所示,图中所标数字为相邻两点之间的弧长,圆剖分序列为13(1,3,2,7)T =或(1,2,6,4)。求21P 和31P ,并各给出一个相应的圆剖分序列。

答案

一、 【解法一】

令1133

3(

)2a b t +=,由2()24a b x ab

t x a b

++=

++,得 [2()4]()2(1)a b t x t a b ab +-=+-

为证(1)有唯一的正数解x ,只要证,2()40a b t +->及()20t a b ab +->, 即

113

3

32()(2)22

ab a b a b

a b ++<<+ 记1

13

3

, , ,a u b v u v ==>,即要证

3

333333

2(3)22u v u v u v u v ++??<< ?+??

由于(

)3

3

333322u v u v u v +??+>= ?

??,即(3)左端成立。 为证3

3322u v u v ++??< ???

,即()()222222

1, 4()82u uv v u v u v u uv v -++<+<-+,即()2

30u v ->,此为显然.故(3)成立,从而()22()4t a b ab x a b t

+-=+-即为所求。

【解法二】

2

2()21()()()422(4)

a b x ab a b f x a b x a b x a b ++-==+-++++在(0,)+∞上为严格单调增加

的连续函数,而且2(0)ab

f a b

=+,lim ()2x a b f x →+∞+=。据解法一(2)式知

1

13332()22ab a b a b a b ++<<+,故存在唯一的正数x ,使得113

()()2

a b f x +=。

二、 【证法一】

作GM ⊥AB 于M ,设AE 与BG 的交点为K ,连接KM 。由BE =EF ,及AE //GF 知,K 为Rt △BGM 斜边BG 上的中线,所以BK =KG =MK ,ABG BMK ∠=∠。因为4ABK BF AK S ??=2ABG S AB MG ?==? 又MG //BC ,所以

AB AM

BC MG =

,故A B M G ? BC AM =?,所以BF AK BC AM ?=?,

即BF AM BC AK

=。结合KAB CBD ∠=∠,知△KAM △CBF ,所以AMK CFB ∠=∠,于是BMK CFD ∠=∠,故ABG DFC ∠=∠。

【证法二】

作Rt ABC ?的外接圆w ,延长BD 、AE 分别交w 于K 、J 。连接BJ 、CJ 、KJ 、FJ 。易知BAJ KBC ∠=∠,故BJ =KC 。于是四边形BJCK 是等腰梯形,又AJ 垂直平分BF ,故BJ =FJ ,故四边形FJCK 是平行四边形. 设AE 与BG 的交点为M ,FC 与JK 的交点为N ,则M 、N 分别是BG 和FC 的中点, 于是

sin sin ,sin sin AB MAG JKC FK AG BAM BKJ CK

∠∠===∠∠ 又BAG FKC ∠=∠,于是BAG FKC ?? ,所以 ABG DFC ∠=∠。

三、 先一般化为下述问题:设3n ≥,从()12,,,n A a a a = ,()12,,,n B b b b = ,

()12,,,n C c c c = ,()12,,,n D d d d = 这四个数列中选取n 个项,且满足: (i) 1,2,,n 每个下标都出现;

(ii) 下标相邻的任两项不在同一个数列中(下标n 与1视为相邻),其选取方

法数记为n x ,今确定n x 的表达式:

将一个圆盘分成n 个扇形格,顺次编号为1,2,,n ,并将数列,,,A B C D 各染一种颜色,对于任一个选项方案,如果下标为i 的项取自某颜色数列,则将第i 号扇形格染上该颜色。于是n x 就成为将圆盘的n 个扇形格染四色,使相邻格不同色的染色方法数,易知,14x =、212x =、

()1143 3(1)n n n x x n --+=?

≥ 将(1)写作()()

()1

1

11143n

n n n n x x ------=-?-,

B M

A

因此

()()()()

()()()

()

122123

2

2

322

21143;

1143;

143n n n n n x x x x x --------=-?----=-?--=-?-

相加得,()()133n

n

n x -=-+,于是()331(2)n

n

n x n =+?-≥。 因此 131333x =-. 这就是所求的取牌方法数.

四、 由 3

1n

n a a n

+

=,得01n a <<。 (1)

33

33

111122

111011()()n n n n n n n n

n n n n n n

a a a a a a a a n n n n a a a a a a n

+++++++=-+

-<-+-+=-+++

因为22

1110n n n n

a a a a n

+++++>,故10n n a a +->,即1 .n n a a +> (2) 因为 211n n a a n ??

+= ??

?,所以

2

111111n n n a n a n n

=>=+++

从而()()2

11

11n n n n a <++, ()()2

11111111()111111n n n

n i i i i n

a i i i

i n n i a ===<=-=-=<+++++∑∑∑。 故

()2

11

1n

n i i

a i a =<+∑. 五、 【证法一】

分别连接CF BG ID IE AI ,,,,,则A D I E 、、、四点共

圆。所以12IDE A ∠=∠,从而1

902BDF A ∠=?+∠;

又11

1809022

BIC B C

A ∠=?-∠+∠=?+∠(), 所以BDF BIC ∠=∠。

又DBF CBI ∠=∠,得FDB CIB ?? 。所以

FB DB

CB IB

=

B

又由DBI FBC ∠=∠,得IDB CFB ?? ,所以CF BF ⊥,从而

1

302

FCG A ∠=∠=?。同理BG GC ⊥,所以B

C F G 、、、四点共圆,由此 sin FG

BC FCG

=∠,所以12FG BC =。

【证法二】

因为1()2BIG B C ∠=∠+∠,又因为1801

()22A BDG ADE B C ?-∠∠=∠=

=∠+∠,

所以B

D I G 、、、四点共圆,因此90BGC BDI ∠=∠=?。 同理90CFB ∠=?,所以B

C F G 、、、四点共圆。 又 1

9090()302

FCG FBC BCI B C ∠=?-∠-∠=?-∠+∠=?,所以

1

sin 2

FG BC FCG BC =∠=.

六、 【解法一】

当a=b=c 13

=时,有27m ≥。下证不等式

33322227()6()1a b c a b c ++≥+++

对于满足a+b+c=1的任意正实数a ,b ,c 都成立。 因为对于01x <<,有

3

2

3224

276581181540(31)(94)03x x x x x x x x ≥+-?--+≥?-+≥

故324

27653

x x x ≥+-,01x <<。

所以

323232

4276534

27653427653

a a a

b b b

c c c ≥+-

≥+-≥+-

把上面三个不等式相加,得

33322227()6()1a b c a b c ++≥+++.

所以,m 的最小值为27。 【解法二】

当a=b=c 13

=时,有27m ≥。下证不等式

33322227()6()1a b c a b c ++≥+++

对于满足a+b+c=1的任意正实数a ,b ,c 都成立。

因为2()()0a b a b -+≥,所以3322a b a b ab +≥+,同理,

3322b c b c bc +≥+,3322c a c a ca +≥+,

于是

333222222

333333222222

222

222

2()3()()()a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b c a b b c c a ab bc ca a b c a b c a b c ++≥+++++++≥++++++++=++++=++ 所以

2222222

222222222

3336()16()()6()3()

9()27()

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c +++=+++++≤+++++=++≤++ 所以,m 的最小值为27.

七、 (1) 若,,2m n r ≥,由2,2,2mn m nr n mr r ≥≥≥得

2()mn nr mr m n r ++≥++,

所以以上不等式均取等号,故2m n r ===。

若1{,,}m n r ∈,不妨设m =1,则2(1)nr n r n r ++=++,于是

(1)(1)3n r --=,

所以{1,1}{1,3}n r --=,故{,}{2,4}n r =,{,,}{1,2,4}m n r =,这样的解有3!6=组。

所以,不定方程2()mn nr mr m n r ++=++共有7组正整数解。 (2) 将()mn nr mr k m n r ++=++化为

22[()][()]n k m r k m k km m ----=-+。

221,n k m r k km m k m =-+=-++-满足上式,且1,2,,[]2

k

m = 时,

0m n r <<<。

k 为偶数时,22{,,}{,1,}m n r l k l k kl l k l =-+-++-,其中1,2,,2

k

l = 给

出了不定方程的3k 组正整数解。

k 为奇数时,22{,,}{,1,}m n r l k l k kl l k l =-+-++-,其中11,2,,

2

k l -= 给出了不定方程的3(1)k -组正整数解,,,m n r 中有两个1

2

k +,另一个为22111(1)(31)

()2224

k k k k k k k

k ++++--++-=的情况给出了不定方程的3组正整数解;

而m n r k ===亦为不定方程的正整数解.

故不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有3k +1组正整数解。

八、 由于k 个点中,每两个点间可得一段优弧和一段劣弧,故

至多可得(1)k k -个弧长值。当(1)20k k -≥时,则5k ≥;而当(1)30k k -≥时,则6k ≥。另一方面,在5k =时,可以给

出剖分图所以,215P =,21(1,3,10,2,5)T =.对于n =31,在k =6时,类似可给出剖分图

所以,316P =,31(1

,2,7,4,12,5)T =、(1,2,5,4,6,13)、(1,3,2,7,8,10)、(1,3,6,2,5,14) 或(1,7,3,2,4,14)等。

51

6

71

1

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32,求证:3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n,将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立,求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点,F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点,过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证:CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有 一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8:00-12:00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根.求32331 a a b a b -++的 最小值. (杨晓鸣提供) 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ,则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==, 故0,0a b >>. 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知:23a b ≥. 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述,所求的最小值为. 2. 如图,在ABC ?中,AB AC >,内切圆I 与BC 边切于点D ,AD 交内切圆I 于另一点E ,圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ,CF 平行PE 交AD 于点 F ,直线BF 交圆I 于点,M N ,点M 在线段BF 上,线段PM 与圆I 交于另一 点Q .证明:ENP ENQ ∠=∠. (张鹏程提供) 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ,设ST 与AI 交 于点G ,则,I T A T T G A I ⊥⊥,从而有2AG AI AT AD AE ?==?,所以,,,I G E D 四点共圆. 又,IE PE ID PD ⊥⊥,所以,,,I E P D 四点共圆,从而,,,,I G E P D 五点共圆. 所以90IGP IEP ∠=∠=,即IG PG ⊥ ,

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注:以下内容通过互联网上多篇文章及小段内容查证,加上笔者精心收集整理,修正了 部分错题。本文属于互联网共享相关文章人员的共同结晶,内容仅供学习参考,任何单位和个人不可将此文件用于其它赢利性用途等…… 中国梦基本知识测试 1.实现______,就是中华民族近代以来最伟大的梦想。 A.四个现代化 B.中华民族伟大复兴 C.全面建成小康社会 2.中国梦的基本内涵是实现______。 A.国家富强、民族振兴、人民幸福 B.国家强大、民族振兴 C.经济发展、社会和谐 3.中国梦是______、现实的,也是未来的。 A.过去的 B.历史的 C.昨天的 4.中国梦是国家的、民族的,也是______的。 A.大家 B.世界人民 C.每一个中国人 5.理想指引人生方向,信念决定事业成败。没有理想信念,就会导致精神上“______”。

A.空虚 B.缺钙 C.缺失 6.历史告诉我们,每个人的前途命运都与国家和民族的前途命运紧密相连。______,民族好,大家才会好。 A.国家好 B.社会好 C.事业好 7.人民对美好生活的向往,就是我们的______。 A.工作要求 B.工作准则 C.奋斗目标 8.______是当代中国发展进步的根本方向,是实现中国梦的必由之路,也是引领我国工人阶级走向更加光明未来的必由之路。 A.中国特色社会主义 B.民族振兴 C.富国强兵 9.实现中国梦必须走中国道路。这就是______道路。 A.中国特色社会主义 B.民族复兴 C.富国强兵 10.实现中国梦必须弘扬中国精神。这就是以______为核心的民族精神,以______为核心的时代精神。 A.爱国主义顽强拼搏 B.爱国主义开拓创新

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中国梦考试试题及答案 1.实现 ______ ,就是中华民族近代以来最伟大的梦想。 B A.四个现代化 B.中华民族伟大复兴 C.全面建成小康社会 2.中国梦的基本内涵是实现______ 。 A A.国家富强、民族振兴、人民幸福 B.国家强大、民族振兴 C.经济发展、社会和谐 3.中国梦是 ______ 、现实的,也是未来的。 B A.过去的 B.历史的 C.昨天的 4.中国梦是国家的、民族的,也是______ 的。 C A.大家 B.世界人民 C.每一个中国人 5.理想指引人生方向,信念决定事业成败。没有理想信念,就会导致精神上“______ ”。 B A.空虚 B.缺钙 C.缺失 6.历史告诉我们,每个人的前途命运都与国家和民族的前途命运紧密相连。______ ,民族好,大家才会好。 A A.国家好 B.社会好 C.事业好

7.人民对美好生活的向往,就是我们的______ 。C A.工作要求 B.工作准则 C.奋斗目标 8.______ 是当代中国发展进步的根本方向,是实现中国梦的必由之路,也是引领我国工人阶级走向更加光明未来的必由之路。 A A.中国特色社会主义 B.民族振兴 C.富国强兵 9.实现中国梦必须走中国道路。这就是______ 道路。 A

A.中国特色社会主义 B.民族复兴 C.富国强兵 10. 实现中国梦必须弘扬中国精神。这就是以______ 为核心的民族精神,以______ 为核心的时代精神。 C A. 爱国主义顽强拼搏 B. 爱国主义开拓创新 C.爱国主义改革创新 11. 实现中国梦必须凝聚中国力量。这就是______ 的力量。 B A.社会各阶层大团结 B.中国各族人民大团结 C.世界人民大团结 12. 中国梦归根到底是______ 的梦,必须紧紧依靠人民来实现,必须不断为人民造福。 A A.人民 B.自己 C.社会 13.我们要全面建成小康社会、加快推进社会主义现代化、实现中华民族伟大复兴,必须始 终高举中国特色社会主义伟大旗帜, 党坚定对中国特色社会主义的______ 坚定不移坚持和发展中国特色社会主义。 ,其根本原因就在这里。 C 党的十八大要求全 A.信仰自信、理论自信、道路自信 B.制度自信、信仰自信、道路自信 C.道路自信、理论自信、制度自信 14. 历史是最好的教科书。对我们共产党人来说,______ 是最好的营养剂。多重温这些伟大的历史,心中就会增加很多正能量。 A A.中国革命历史 B.世界历史 C.中国历史

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

1.求最大的实数k ,使得对任意正数a ,b ,均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥. 2.如图,两圆1Γ,2Γ交于A ,B 两点,C ,D 为1Γ上两点,E ,F 为2Γ上两点,满足A ,B 分别在线段CE ,DF 内,且线段CE ,DF 不相交.设CF 与1Γ,2Γ分别交于点()K C ≠,()L F ≠,DE 与1Γ,2Γ分别交于点()M D ≠,()N E ≠. 证明:若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切,则这两个外接圆的半径相等. 3.函数**:f →N N 满足:对任意正整数a ,b ,均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ;使得()1f k =?证明你的结论. 4.将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置,然后去掉其四个角上的任意一个小方格,剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”,或“八一旌旗”,简称为“旌旗”,如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖,问共有多少种不同的覆盖方案?说明理由.

5.称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集,若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除.用x ,y 分别表示S 的红色的四元子集的个数,红色的五元子集的个数.试比较x ,y 的大小,并说明理由. 6.设a ,b ,c 为给定的三角形的三边长.若正实数x ,y ,y 满足1x y z ++=,求axy byz czx ++的最大值. 7.设ABCD 为平面内给定的凸四边形.证明:存在一条直线上的四个不同的点P ,Q ,R ,S 和一个正方形A B C D '''',使得点P 在直线AB 与A B ''上,点Q 在直线BC 与B C ''上,点R 在直线CD 与C D ''上,点S 在直线DA 与D A ''上. 8.对于正整数1x >,定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且,其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数,并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =. 今给定正整数m .设正整数数列1a ,2a ,,n a ,满足:对任意整数n m >,()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++. (1)证明:存在常数A ,B ()01A <<, 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时,必有()f x Ax B <+; (2)证明:存在正整数Q ,使得对所有*n ∈N ,n a Q <. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1.原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边,左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数,那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可.

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1.设m 为正整数,如果存在某个正整数n ,使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数(包括1和自身)的商,则称m 是“好数”。求证: (1)1,2,…,17都是好数; (2)18不是好数。 2.设△ABC 是锐角三角形,点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证:△ABC 是等腰三角形。 3.设整数)3(>n n ,非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4.平面内)3(≥n n 个点组成集合S ,P 是此平面内m 条直线组成的集合,满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证:n m ≤,并问等号何时成立? 第二天 5.设D 是△ABC 内的一点,满足∠DAC=∠DCA=30°,∠DBA=60°,E 是边BC 的中 点, F 是边AC 的三等分点,满足AF=2FC 。求证:DE ⊥EF 。 6.已知a 、b 、c ≥0,.1=++c b a 求证: .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7.给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ,三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根?

8.n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局。规定:胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手,也有一个棋手输给了其余m —1个棋手,就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ,求n 的最小值)(m f ,使得对具有性质)(m P 的任何赛况,都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上,最少取出11枚棋子,才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数,则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2, .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ,设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知,对5,4,3,2,1=i ,满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而,).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此,对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2009第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

第六届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2009年7月28日 上午8:00-12:00) 江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中,已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠,且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明:A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈,222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证: 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点;求n 的最小值,使得存在以红点为顶点的n 个三角形,满足:以红点为端点的每条弦,都是其中某个三角形的一条边。 第二天 (2009年7月29日 上午8:00-12:00) 江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ;X A ?∈,记 1239()239f X x x x x =++++ ,{()}M f X X A =∈;求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明:过O 上的任意一点D ,都可以作一个三角形DEF ,使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++, 其中,,0x y z ≥ ,且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中,最少需要挖去几个小方格,才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块? F E I O B C A D

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 (2016年8月12‐8月13日) 1、整数3n ≥,将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子,每个盒子各有n 张。其后允许操作如下:每次选其中两个盒子,在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明:总是可以通过有限次操作,使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===,ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P (不同于,B C ),满足 PA PB PC =+,求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点,证明:若AP 过BC 的中点, 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++,已知11S =,对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明:对于任意正整数n ,都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ,使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ,每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行,这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心,AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心,,AO BC 交于L ,AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ,D 是I 在BC 上的投影,求:BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数,在坐标平面上,对于任意整数m ,定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ,定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ,使得对于任意直线l ,均存在与l 有关的实数()l β,满足:对于l 上任意两点,M N ,都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国梦测试题

“讲文明、树新风”活动 测试题 班级. 姓名. 得分. 一、选择题 1、“中国梦”的本质内涵是( ABCD ) A、实现国家富强 B、民族复兴 C、人民幸福 D、社会和谐 2、“中国梦”的第一要义,是(C ) A、民族复兴 B、人民幸福 C、实现综合国力进一步跃升 D、社会和谐 3、党的十八大将中国特色社会主义总布局从经济、政治、文化、社会建设“四位一体”升华为包括( C )的“五位一体” A、物质文明建设 B、精神文明建设 C、生态文明建设建设 D、社会文明建设 4、治国理政的基本方式是(),文明社会的稳固基石是(B ) A、德治、以宪治国 B、法治、法治精神 C、法治精神、以德治国 D、德治、依宪治国 5、作为新时代的中学生,在出席各种活动的过程中,我们都应该(D ) A、保持安静 B、孝顺父母 C、讲究卫生 D、遵德守礼 二、填空题 1、社会主义核心价值观包括:(1)国家层面包括:富强、民主、文明、和谐;(2)社会层面包括:自由、平等、公正、法制;(3)个人层面包括:爱国、敬业、诚信、友善。 2、房县十字主流价值观为:忠、孝、礼、义、信、简、俭、平、顺、和。 三、简述题 1、党领导全国各族人民共圆“中国梦”的根本目的是什么? 就是要实现好、维护好、发展好最广大人民的根本利益,进而提升全社会的幸福指数。

2、作为中学生,请各位谈谈如何以自己的实际行动更好的实现中国梦? 3、结合你身边的人和事,简单谈谈你接触过哪些与“讲文明、树新风”活动主题不符的行为,并简单说说,如果以后再遇到这样的行为,你将怎么做? (该题,同学们可以自由发挥。要点清晰,有思想主线即可。)

2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建,泉州 第一天(2018年7月30日8:00-12:00) 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? .求c 的取值范围.这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者. 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点.在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多?请证明你的结论. 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥.过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =.若直线AO 平分线段DE .证明:直线AO 与AMP △的外接圆相切. 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素?证明你的结论.

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建,泉州 第二天(2018年7月31日8:00-12:00) 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列.定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =.证明:对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑.这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数. 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F .点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K .证明:直线BK 平分线段EF . 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手.会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人.一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合.求这24个人中朋友圈个数的最小可能值. 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+.证明:存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A .并求出满足条件的l 的最小值.

“共筑中国梦”知识测试题答案5套题(供参考)

中国梦基本知识测试 1.实现______,就是中华民族近代以来最伟大的梦想。 A.四个现代化 B.中华民族伟大复兴 C.全面建成小康社会 2.中国梦的基本内涵是实现______。 A.国家富强、民族振兴、人民幸福 B.国家强大、民族振兴 C.经济发展、社会和谐 3.中国梦是______、现实的,也是未来的。 A.过去的 B.历史的 C.昨天的 4.中国梦是国家的、民族的,也是______的。 A.大家 B.世界人民 C.每一个中国人 5.理想指引人生方向,信念决定事业成败。没有理想信念,就会导致精神上“______”。 A.空虚 B.缺钙 C.缺失 6.历史告诉我们,每个人的前途命运都与国家和民族的前途命运紧密相连。______,民族好,大家才会好。 A.国家好 B.社会好

C.事业好 7.人民对美好生活的向往,就是我们的______。 A.工作要求 B.工作准则 C.奋斗目标 8.______是当代中国发展进步的根本方向,是实现中国梦的必由之路,也是引领我国工人阶级走向更加光明未来的必由之路。 A.中国特色社会主义 B.民族振兴 C.富国强兵 9.实现中国梦必须走中国道路。这就是______道路。 A.中国特色社会主义 B.民族复兴 C.富国强兵 10.实现中国梦必须弘扬中国精神。这就是以______为核心的民族精神,以______为核心的时代精神。 A.爱国主义顽强拼搏 B.爱国主义开拓创新 C.爱国主义改革创新 11.实现中国梦必须凝聚中国力量。这就是______的力量。 A.社会各阶层大团结 B.中国各族人民大团结 C.世界人民大团结 12.中国梦归根到底是______的梦,必须紧紧依靠人民来实现,必须不断为人民造福。 A.人民

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00~12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的,不仅仅是为了数学而数学,其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手,因而提高数学,也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图,设点P 在△ABC 的外接圆上,直线CP 和AC 相交于点E ,直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ,边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证: 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点,12条棱和6 个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱? 4.求出所有的正实数a ,使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ,2A ,…,n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ,而且对于每个i A 中的任意两数b >c ,都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00~12∶00 长春 数学竞赛,它对牢固基础知识、发展智力,培养拔尖人才,是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ,y 满足3 x +3y =x -y ,求证: .1422<y x + 6.设正整数n ≥3,如果在平面上有n 个格点,,,?21P P n P 满足:当j i P P 为有理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数,那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数; (2)问:2018是否为好数? 7.设m ,n 是整数,m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数,求证: .11121m n m a a a n ++?++< 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的 边至少为多长?

“共筑中国梦”知识测试题标准答案(套题)

“共筑中国梦”知识测试题答案(套题)

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中国梦基本知识测试 1.实现______,就是中华民族近代以来最伟大的梦想。 A.四个现代化 B.中华民族伟大复兴 C.全面建成小康社会 2.中国梦的基本内涵是实现______。 A.国家富强、民族振兴、人民幸福 B.国家强大、民族振兴 C.经济发展、社会和谐 3.中国梦是______、现实的,也是未来的。 A.过去的 B.历史的 C.昨天的 4.中国梦是国家的、民族的,也是______的。 A.大家 B.世界人民 C.每一个中国人 5.理想指引人生方向,信念决定事业成败。没有理想信念,就会导致精神上“______”。 A.空虚 B.缺钙 C.缺失 6.历史告诉我们,每个人的前途命运都与国家和民族的前途命运紧密相连。______,民族好,大家才会好。 A.国家好

B.社会好 C.事业好 7.人民对美好生活的向往,就是我们的______。 A.工作要求 B.工作准则 C.奋斗目标 8.______是当代中国发展进步的根本方向,是实现中国梦的必由之路,也是引领我国工人阶级走向更加光明未来的必由之路。 A.中国特色社会主义 B.民族振兴 C.富国强兵 9.实现中国梦必须走中国道路。这就是______道路。 A.中国特色社会主义 B.民族复兴 C.富国强兵 10.实现中国梦必须弘扬中国精神。这就是以______为核心的民族精神,以______为核心的时代精神。 A.爱国主义顽强拼搏 B.爱国主义开拓创新 C.爱国主义改革创新 11.实现中国梦必须凝聚中国力量。这就是______的力量。 A.社会各阶层大团结 B.中国各族人民大团结 C.世界人民大团结 12.中国梦归根到底是______的梦,必须紧紧依靠人民来实现,必须不断为人民造福。

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ,使得对任意正数a ,b ,均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图,两圆1P ,2P 交于A ,B 两点,C ,D 为1P 上两点,E ,F 为2P 上两点,满足A ,B 分别在线段CE ,DF 内,且线段CE ,DF 不相交.设CF 与1P ,2P 分别交于点()K C ≠,()L F ≠,DE 与1P ,2P 分别交于点()M D ≠,()N E ≠. 证明:若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切,则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足:对任意正整数a ,b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ;使得()1f k =?证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置,然后去掉其四个角上的任意一个小方格,剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”,或“八一旌旗”,简称为“旌旗”,如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖,问共有多少种不同的覆盖方案?说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西g 吉安 高二年级 第一天

2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ,用[]a 表示不超过a 的最大整数,记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ,n 及1n +个实数0x ,1x ,…,n x ,使得0428x =,1928n x =, 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =,1,…,1n -)成立?证明你的结论. 2. 如图,在平行四边形中ABCD ,90BAD ∠≠?,以B 为圆心,BA 为半径的圆与AB ,CB 的延长线分别相交于点E ,F ,以D 为圆心,DA 为半径的圆与AD ,CD 的延长线分别相交于点M ,N ,直线EN ,FM 相交于点G ,直线AG ,ME 相交于点T ,直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠,直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明:G ,P ,T ,Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行,自左至右按1,2,…,n 的顺序报数,凡序号为平方数者退出队伍;剩下的人自左至右再次按1,2,3,…的顺序重新报数,凡序号为平方数者退出队伍;如此继续.在此过程中,每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示);特别地,给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中,每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(,,…,).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组): (,1i x ,,2i x ,...,,5i x ),(,5i x ,,4i x ,...,,1i x ,)(1i =,2, (5) (1,j x ,2,j x ,...,5,j x ),(5,j x ,4,j x ,...,1,j x )(1j =,2, (5) (1,1x ,2,2x ,…,5,5x ,),(5,5x ,4,4x ,…,1,1x ), (1,5x ,2,4x ,…,5,1x ),(5,1x ,4,2x ,…,1,5x ). 若这些数组两两不同,求矩阵X 中所有元素之和的可能值.

社会主义核心价值观、“中国梦”试题(含答案)

社会主义核心价值观、“中国梦”试题(含答案) 一、单项选择题 1.中国梦的第一要义是_____。( C ) A、民族复兴 B、人民幸福 C、实现综合国力进一步跃升 D、社会和谐 2. 社会主义核心价值体系的基本内容是由马克思主义指导思想、中国特色社会主义共同理想、以______ 为核心的民族精神和以______为核心的时代精神、社会主义荣辱观构成。( B ) A.社会主义、与时俱进 B.爱国主义、改革创新 C.爱国主义、团结奋斗 D.艰苦奋斗、与时俱进 3.中共中央总书记习近平定义的“中国梦”是指_____。(B ) A、综合国力全球第一 B、实现中华民族的伟大复兴 C、国内生产总值跃居世界第一 D、成为超级大国 4.“_______”是马克思主义关于社会主义核心价值观论述的基本原则。( C ) A.人的解放 B.人的自由而全面发展 C.公平正义 D.自由博爱 5. 中央要求社会主义核心价值观宣传做到家喻户晓,人人皆知。24个字核心价值观,分国家、社会、公民三个层面。其中,概括公民价值准则的是:( D )A.富强、民主、文明、和谐B.自由、平等、公正、法治 C.博爱、诚信、民主、包容 D.爱国、敬业、诚信、友善 6. 实现中国梦必须:走中国道路,弘扬中国精神,。(A ) A、凝聚中国力量 B、提高国际地位 C、增强文化软实力 D、增强综合国力 7.______________,是我们党面对多样化的思想文化,价值观念的一个基本原则。(C ) A.听任多样化的无序发展 B.允许各种非马克思主义的社会思潮泛滥 C.尊重差异,包容多样 D.兼收并蓄 8. 积极培育和践行社会主义核心价值观,有助于:( A ) ①与中华优秀传统文化和人类文明优秀成果相承接; ②凝聚共识,防止人们思想活动的独立性; ③引领思潮,增强社会主义意识形态的吸引力; ④在思想意识多元背景下消除公民价值观的差异。 A.①③B.①④C.②③D.③④ 9.__________ 是社会主义道德建设的基本任务。( B ) A.全面提高公民的科学文化素质 B.全面提高公民的道德素质 C.全面提高公民的身体素质 D.全面提高人民的综合素质 10. ________ 是人类发展的终极诉求。(D ) A.民主法治 B.公平正义 C.诚信友爱 D.人与自然和谐相处 11. 2013年12月,中共中央办公厅印发《关于培育和践行社会主义核心价值观的意见》。习近平强调,把培育和弘扬社会主义核心价值观作为凝神聚气、强基固本的基础工程,使社会主义核心价值观成为人们日常工作生活的基本遵循。重视培育和践行社会主义核心价值观的根据是( A )

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15:30——19:30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中,连续多年取得很好的成绩,这项竞赛是高中程度,不 包括微积分,但题目需要思考,我相信我是考不过这些小孩子的,因此有人觉得,好的数学家未必长于这种考试,竞赛胜利者也未必是将来的数学家,这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的;匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a >0,函数 f : (0,+∞) → R 满足f (a )=1.如果对任意正实数x ,y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ,①求证: f (x )为常数. 证明: 在①中令x =y =1,得 f 2(1)+f 2(a )=2 f (1), (f (1)-1)2 =0, ∴ f (1)=1。 在①中令y =1,得 f (x )f (1)+f (a x )f (a )=2 f (x ), f (x )=f ( a x ),x >0。 ② 在①中取y =a x ,得 f (x )f (a x )+f (a x )f (x )=2 f (a ), f (x )f ( a x )=1。 ③ 由②,③得:f 2(x )=1,x >0。 在①中取x =y ,得 f 2 )+f 2 )=2 f (t ), ∴ f (t )>0。 故f (x )=1,x >0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点.△OAD ,△OBC 的外接圆交于O ,M 两点,直线 OM 分别交△OAB ,△OCD 的外接圆于T ,S 两点.求证:M 是线段TS 的中点. 证法1: 如图,连接BT ,CS ,MA ,MB ,MC ,MD 。 ∵ ∠BTO =∠BAO ,∠BCO =∠BMO ,

中国梦考试试题及答案

_____ 的。 C 中国梦考试试题及答案 1. _________ 实现 ,就是中华民族近代以来最伟大的梦想。 B A. 四个现代化 B. 中华民族伟大复兴 C .全面建成小康社会 2. ___________________________ 中国梦的基本内涵是实现 。A A. 国家富强、民族振兴、人民幸福 B. 国家强大、民族振兴 C. 经济发展、社会和谐 3. _____________ 中国梦是 、现实的,也是未来的。 B A. 过去的 B. 历史的 C. 昨天的 4. 中国梦是国家的、民族的,也是 A. 大家 B. 世界人民 C. 每一个中国人 5. 理想指引人生方向,信念决定事业成败。没有理想信念,就会导致精神上“ ______ ”。 B A. 空虚 B. 缺钙 C. 缺失 6. _____________________________________________________________________ 历史告诉我们, 每个人的前途命运都与国家和民族的前途命运紧密相连。 ______________________ ,民族好, 大家才会好。 A A. 国家好 B. 社会好 C. 事业好 7. 人民对美好生活的向往,就是我们的 ________ 。 C A. 工作要求 B. 工作准则 C .奋斗目标 8. _____ 是当代中国发展进步的根本方向,是实现中国梦的必由之路,也是引领我国工人阶 级走向更加光明未来的必由之路。 A A. 中国特色社会主义 B. 民族振兴

C. 富国强兵 A. 中国特色社会主义 B?民族复兴 C. 富国强兵 10. 实现中国梦必须弘扬中国精神。这就是以_________ 为核心的民族精神,以 _______ 为核心的时代精神。 C A. 爱国主义顽强拼搏 B. 爱国主义开拓创新 C. 爱国主义改革创新 11. 实现中国梦必须凝聚中国力量。这就是________ 的力量。 B A. 社会各阶层大团结 B. 中国各族人民大团结 C?世界人民大团结 12. 中国梦归根到底是______ 的梦,必须紧紧依靠人民来实现,必须不断为人民造福。 A A. 人民 B. 自己 C. 社会 13. 我们要全面建成小康社会、加快推进社会主义现代化、实现中华民族伟大复兴,必须始 终高举中国特色社会主义伟大旗帜,坚定不移坚持和发展中国特色社会主义。党的十八大要求全党坚定对中国特色社会主义的_________________ ,其根本原因就在这里。 C A. 信仰自信、理论自信、道路自信 B. 制度自信、信仰自信、道路自信 C .道路自信、理论自信、制度自信 14. 历史是最好的教科书。对我们共产党人来说,_________ 是最好的营养剂。多重温这些伟大 的历史,心中就会增加很多正能量。 A A. 中国革命历史 B. 世界历史 C. 中国历史 15. 生活在我们伟大祖国和伟大时代的中国人民,共同享有__________ 的机会,共同享有梦想成 真的机会,共同享有同祖国和时代一起成长与进步的机会。 B A. 出人头地 B. 人生出彩 C?历练磨难 16. 实现我们的发展目标,不仅要在物质上强大起来,而且要在__________ 上强大起来。 C A. 情趣 B. 品格

中国东南地区数学奥林匹克合辑

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州) 一、 设实数a 、b 、c 满足2223 232 a b c ++=,求证:39271a b c ---++≥ 二、 设D 是ABC ?的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分 别与线段AB 、PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ,求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有 2122n n n a a a ++≥。 (2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有 2122n n n a a a ++≥。 四、 给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 (2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、 已知不等式 6 2(23)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ +-+-<++对于 0,2πθ?? ∈???? 恒成立,求a 的取值范围。 六、 设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证: CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、 n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场 比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛,求n 的最大值。 注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。 八、 求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++,且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。

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