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专题6.1 导数中的构造函数-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)

专题6.1 导数中的构造函数-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)
专题6.1 导数中的构造函数-2121届高考数学压轴题讲义(选填题)(解析版)

专题6.1 导数中的构造函数 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中.在导数小题中构造函数的常见结论:出现()()nf x xf x '+形式,构造函数()()F n x x f x =;出现()()xf x nf x '-形式,构造函数()() F n f x x x = ;出现()()f x nf x '+形式,构造函数()()F nx x e f x =;出现()()f x nf x '-形式,构造函数()() F nx f x x e = . 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1.利用()f x 与x (n x )构造 常用构造形式有()xf x , ()f x x ;这类形式是对u v ?,u v 型函数导数计算的推广及应用,我们对u v ?,u v 的导函数观察可得知,u v ?型导函数中体现的是“+”法,u v 型导函数中体现的是“-”法,由此,我们可以猜测,当导函数形式出现的是“+”法形式时,优先考虑构造u v ?型,当导函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 u v . 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数,若当 时, ,则函数 的零点个数为 A .0 B .1 C .2 D .0或2 【答案】A 【解析】 设 ,因为函数 为偶函数,所以 也是上的偶函数,所以 .由已知, 时, ,可得当 时, , 故函数在上单调递减,由偶函数的性质可得函数在 上单调递增.所以

,所以方程,即无解,所以函数没有零点.故选A. 【指点迷津】设,当时,,可得当时,,故函数 在上单调递减,从而求出函数的零点的个数. 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是,其导函数为,若,且(其中是自然对数的底数),则 A.B. C.当时,取得极大值D.当时, 【答案】C 【解析】 设,则 则 又得 即,所以 即 , 由得,得,此时函数为增函数 由得,得,此时函数为减函数 则,即,则,故错误 ,即,则,故错误 当时,取得极小值 即当,,即,即,故错误 当时,取得极小值 此时,则取得极大值

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 (1)'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ! (3)'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论) 小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题: 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数,'()()()'()0f x g x f x g x +<,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集 变式:设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132,则n 等于 . 变式:已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围.

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,

构造函数利用导数解决函数问题

构造函数利用导数解决函数问题

构造函数解决不等式问题 例:[2011·辽宁卷]函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,对任意x ∈R ,f ′(x )>2, 则f (x )>2x +4的解集为( ) A .(-1,1) B .(-1,+∞)C .(-∞,-1) D .(-∞,+∞) 【解析】构造函数G (x )=f (x )-2x -4,所以G ′(x )=f ′(x )-2,由于对任意x ∈R ,f ’(x )>2, 所以G ′(x )=f ′(x )-2>0恒成立,所以G (x )=f (x )-2x -4是R 上的增函数, 又由于G (-1)=f (-1)-2×(-1)-4=0,所以G (x )=f (x )-2x -4>0, 即f (x )>2x +4的解集为(-1,+∞),故选B. 训练: 1.已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当 (,0),()'()0 x f x xf x ∈-∞+<成 立0.2 0.22 (2) a f =g ,log 3(log 3) b f π π=g ,3 3log 9(log 9) c f =g ,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A. b a c >> B.c a b >> C.c b a >> D.a c b >> 解: 因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为 奇函数.因为 [()]'()'() xf x f x xf x =+,所以当 (,0) x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数 () y xf x =单调递减,当 (0,) x ∈+∞时,函数() y xf x =单调递减.因为 0.2122 <<,0131og π <<,3192 og =,所以0.23013219 og og π <<<,所以

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

构造函数解导数综合题

构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决;题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里是几种常用的构造技巧. 技法一:“比较法”构造函数 [典例] (2017·广州模拟)已知函数f(x)=e x-ax(e为自然对数的底数,a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<e x. [解] (1)由f(x)=e x-ax,得f′(x)=e x-a. 因为f′(0)=1-a=-1,所以a=2, 所以f(x)=e x-2x,f′(x)=e x-2, 令f′(x)=0,得x=ln 2, 当x<ln 2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>ln 2时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值. (2)证明:令g(x)=e x-x2,则g′(x)=e x-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故g(x)在R上单调递增. 所以当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x. [方法点拨] 在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故可选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”,并利用(1)的

结论求解. [对点演练] 已知函数f (x )=x e x ,直线y =g (x )为函数f (x )的图象在x =x 0(x 0<1) 处的切线,求证:f (x )≤g (x ). 证明:函数f (x )的图象在x =x 0处的切线方程为y =g (x )=f ′(x 0)(x -x 0)+f (x 0). 令h (x )=f (x )-g (x )=f (x )-f ′(x 0)(x -x 0)-f (x 0), 则h ′(x )=f ′(x )-f ′(x 0)= 1-x e x - 1-x 0 e 0 x = ?1-x ?e 0 x -?1-x 0?e x e 0 +x x . 设φ(x )=(1-x )e 0 x -(1-x 0)e x , 则φ′(x )=-e 0 x -(1-x 0)e x , ∵x 0<1,∴φ′(x )<0, ∴φ(x )在R 上单调递减,又φ(x 0)=0, ∴当x <x 0时,φ(x )>0,当x >x 0时,φ(x )<0, ∴当x <x 0时,h ′(x )>0,当x >x 0时,h ′(x )<0, ∴h (x )在区间(-∞,x 0)上为增函数,在区间(x 0,+∞)上为减函数, ∴h (x )≤h (x 0)=0, ∴f (x )≤g (x ). 技法二:“拆分法”构造函数 [典例] 设函数f (x )=ae x ln x +be x -1 x ,曲线y =f (x )在点(1,f (1)) 处的切线为y =e (x -1)+2. (1)求a ,b ; (2)证明:f (x )>1. [解] (1)f ′(x )=ae x ? ?? ??ln x +1x +be x -1 ?x -1? x 2 (x >0), 由于直线y =e (x -1)+2的斜率为e ,图象过点(1,2),

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年:设函数2 ()1x f x e x ax =---。 (1)若0a =, 求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥, 求a 的取值范围 2019年:已知函数ln ()1a x b f x x x = ++, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=. (I )求,a b 的值; (II )如果当0x >, 且1x ≠时, ln ()1x k f x x x >+-, 求k 的取值范围. 2019年: 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2 2 1)(, 求b a )1(+的最大值.

2019: 一卷:已知函数()f x =2 x ax b ++, ()g x =()x e cx d +, 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0, 2), 且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时, ()f x ≤()kg x , 求k 的取值范围. 2019一卷:设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+, 曲线()y f x =在点(1, (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >. 2015一卷:已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ , ()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时, x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m , n 中的最小值, 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x , 讨论()h x 零点的个数.

合理构造函数解导数问题

合理构造函数解导数问题 从近几年的高考命题分析,高考对导数的考查常以函数为依托的小综合题,考查函数、导数的基础知识和基本方法.近年的高考命题中的解答题将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起,设计综合试题。在内容上日趋综合化,在解题方法上日趋多样化. 解决这类有关的问题,有时需要借助构造函数,以导数为工具构造函数是解导数问题的基本方法,但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的,那么怎样合理的构造函数就是问题的关键,这里我们来一起探讨一下这方面问题。 例1:(2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题) 已知函数()()ax x x ax x f --++=2 3 1ln . (1) 若 3 2 为()x f y =的极值点,求实数a 的值; (2) 若()x f y =在[)+∞,1上增函数,求实数a 的取值范围; (3) 若1-=a 时,方程()()x b x x f = ---3 11有实根,求实数b 的取值范围。 解:(1)因为3 2= x 是函数的一个极值点,所以0)32 (='f ,进而解得:0=a ,经检验是 符合的,所以.0=a (2)显然(),2312a x x ax a x f --++='结合定义域知道01>+ax 在[)+∞∈,1x 上恒成立,所以0≥a 且01≥+ax a 。同时a x x --232此函数是31x 时递增, 故此我们只需要保证()0231 1≥--++= 'a a a f ,解得:.2510+≤≤a (3)方法一、变量分离直接构造函数 解:由于0>x ,所以:( )2 ln x x x x b -+=32 ln x x x x -+= ()2 321ln x x x x g -++=' ()x x x x x x g 1 266212---=-+='' 当6710+< ''x g 所以()x g '在6 7 10+< x 时,(),0<''x g 所以()x g '在6 71+>x 上递减; 又(),01='g ().6 7 10, 000+< <='∴x x g

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数,当(0,]x e ∈时,有()ln f x ax x =+(其中e 为自然对数的底,a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)试问:是否存在实数0a <,使得当[,0)x e ∈-,()f x 的最小值是3?如果存在,求出实数a 的值;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设ln ||()||x g x x =([,0)(0,]x e e ∈- ),求证:当1a =-时,1 |()|()2 f x g x >+; 2. 若存在实常数k 和b ,使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足: ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+,则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”.已知 2()h x x =,()2ln x e x ?=(其中e 为自然对数的底数). (1)求()()()F x h x x ?=-的极值; (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β,且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f (I )求)(ααf 的值;(II )判断),()(βα在区间x f 上单调性,并加以证明; (III )若μλ,为正实数,①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小; ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. (I )求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求()f x 的单调区间; (II )是否存在实数m ,使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立,若存在,求出m 的范围;若不存在,请说明理由. 5.若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- (1)求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间; (2)若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立,求实数a 的取值范围.

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

. 导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 xx)](x'(x)?fx[ef()]'?e[f0f'(x)?f(x)? 1)构造()(x'(x)?f)?0[xf(x)]'?xfxf'(x)?f(x 2()构造n?1nn?1n[xf'(x)?(xx)]'?xf'(x)?nx)?xnf(x)]fx[f(0nf(x)?xf'(x)?)构造3(x(注意对的符号进行讨论)关系式为“减”型xx f'(x)?f(x?f(x)e)f(x)f'(x)e?[]'?0(x)?f'(x)?f(1)构造 xx2x ee(e)f(x)xf'(x)?f(x)]'?[0?f(x)xf'(x)?构造(2) 2xx nn?1f(x)xf'(x)?nff(x)x(f'(x)?nxx)?[]'?0x)?'(x)?nf(xf 3)构造 (n2nn?1xx(x)x的符号进行讨论)(注意对小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题: f(x)、g(x)f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0g(?3)?0R,求不是,例1.设上的可导函数,f(x)g(x)?0的解集等式 f(x)、g(x)x?0R时,函数当变式:设,上的奇函数、偶分别是定义在 f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0g(?3)?0f(x)g(x)?0的解集. ,求不等式, f(x)2.例R)x(x)、g(f x满足已知定义在上的函数a?f'(x)g(x)?f(x)g'(x),,且 g(x)??5(f(1)f?1)31)nf(*??nn(n?N). 的前项和等于,则等于若有穷数列,?? 2?(1)gg(1)32g(n)??f(x)x a?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)f(x)、g(x)R满足上的函数,,且变式:已知定义在)g(xf(1)f(?1)5??logx?1x的解集. 若若,求关于的不等式a g(1)g(?1)2 1 / 2 . )(xf3.例R0?x)f'(x)f(x时,的奇函数的导函数为,已知定义域为当0??)f'(x, x111)ln2?lnf(f(?2)c,f(),b?a??2c,,ba,则关于若的大小关系是222 4.例RR?x?x)f'(x)f()(xf上的可导奇函数,且已知函数对于任意恒成为定义在)xf(f(3)=e,则/e^x<1的解集为立,且 1?f(2))xf((1))f(0)?1f(f'(x)??fx R. ,求是,变式:设上的可导函数,且的值. 2e2x2f(x?'(x))?xf)xf()xf'(R上的导函数为,例5.设函数在,且)xf(1?f(1)?xf'(x)2f'(x)f(x)0x?,若存在,且时,,当的导函数为变式:已知2?x)?f(xRx?x. ,使,求的值: 巩固练习??????''x31xff?x2?f)xf(R的不,且,则关于定义在1.满足上的函数,其导函数??1xx??f.等式的解集为▲//)(xy?f)(x)?ff(x)f(x R,且2.已知定义在 的导函数为上的可导函数,满足x1?1)f(2)y?f(x?ex()?f为偶函数,▲,则不等式的解集为 ????0?xx)g)))f(x)g(xf(f)(xg((xI上恒成立,的导函数,若3.设分别是和在区间和 132))g(xf(xax??2xf(x)?2bxx)?xg(I在若函数在区间和与则称上单调性相反.3(a,b)b?a0a?的最

(完整版)高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导(填选压轴) 一.选择题(共30小题) 1.(2013?文昌模拟)如图是f(x)=x3+bx2+cx+d的图象,则x12+x22的值是() A.B.C.D. 考点:利用导数研究函数的极值;函数的图象与图象变化. 专题:计算题;压轴题;数形结合. 分析:先利用图象得:f(x)=x(x+1)(x﹣2)=x3﹣x2﹣2x,求出其导函数,利用x1,x2是原函数的极值点,求出x1+x2=,,即可求得结论. 解答:解:由图得:f(x)=x(x+1)(x﹣2)=x3﹣x2﹣2x, ∴f'(x)=3x2﹣2x﹣2 ∵x1,x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=,, 故x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2==. 故选D. 点评:本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值,是对基础知识的考查,属于基础题. 2.(2013?乐山二模)定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3﹣1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为() A.α>β>γB.β>α>γC.γ>α>βD.β>γ>α 考点:导数的运算. 专题:压轴题;新定义. 分析:分别对g(x),h(x),φ(x)求导,令g′(x)=g(x),h′(x)=h(x),φ′(x)=φ(x),则它们的根分别为α,β,γ,即α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2,然后分别讨论β、γ的取值范围即可. 解答: 解:∵g′(x)=1,h′(x)=,φ′(x)=3x2, 由题意得: α=1,ln(β+1)=,γ3﹣1=3γ2, ①∵ln(β+1)=, ∴(β+1)β+1=e, 当β≥1时,β+1≥2, ∴β+1≤<2, ∴β<1,这与β≥1矛盾, ∴0<β<1; ②∵γ3﹣1=3γ2,且γ=0时等式不成立,

导数文科高考数学真题

2012-2017导数专题 1.(2014大纲理)曲线1x y xe- =在点(1,1)处切线的斜率等于( C ) A.2e B.e C.2 D.1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a= ( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示, 则该函数的图象是(B) 4.(2012陕西文)设函数f(x)= 2 x +lnx 则( D ) A.x= 1 2 为f(x)的极大值点B.x= 1 2 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在,若 :()0 p f x=: :q x x =是() f x的极值点,则A.p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 【答案】C 6.(2012广东理)曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7.(2013广东理)若曲线在点处的切线平行于轴,则 【答案】-1 8.(2013广东文)若曲线在点处的切线平行于轴,则. 【答案】 1 2 9.(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10.(2013江西文)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=

专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)

专题五挖掘“隐零点”,破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”,破解导数压轴问题,例题说法,高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”,求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性,并说明理由; (2)当时,恒成立,求的取值范围. 【答案】(1)区间单调递增;(2) 【解析】 (1).∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增,所以当时 即函数f(x)在区间单调递减;当时 即函数f(x)在区间单调递增; (2)因为,而在(0,1)上递增 存在使得

,当 时单调递减; 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”,证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-,设()2 0,2a e ∈求证:当(]0,1x ∈时,2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1,222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-,()22()242x x x xe x e ?'==+, 当(]0,1x ∈,()0x ?'>,即()x ?在区间(]0,1为增函数, (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈,所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时,'()0f x <,当(]0,1x x ∈,'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减,在(]0,1x 单调递增, 所以当0x x =时,()f x 取得最小值,最小值为0200()ln x f x e a x =-, 由0 2020x x e a -=,即0 202x a e x = ,两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于,所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+

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