一、三角形内角和定理 一、 选择题
1.如图,在△ABC 中,D 是BC 延长线上一点, ∠B = 40°,∠ACD = 120°,则∠A 等于( )
A .60°
B .70°
C .80°
D .90°
2.将一副三角板按图中的方式叠放,则角α等于( )A .75o
B .60o
C .45o
D .
30o
3.如图,直线m n ∥,?∠1=55,?∠2=45,
则∠3的度数为( ) A .80? B .90? C .100? D .110?
【解析】选C. 如图,由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠, 由m n ∥,
得010043=∠=∠ 5.(2009·新疆中考)如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130250∠=∠=°,°, 则3∠的度数等于( ) A .50°
B .30°
C .20°
D .15°
【解析】选C 在原图上标注角4,所以∠4=∠2,因为∠2=50°,所以∠4=50°,又因为∠1=30°, 所以∠3=20°;
6.(2009·朝阳中考)如图,已知AB ∥CD,若∠A=20°,∠E=35°,则∠C 等于( ). A.20° B. 35° C. 45° D.55°
【解析】选D 因为∠A=20°,∠E=35°,所以∠EFB =55o,又因为AB ∥CD,所以∠C =∠EFB =55o; 7.(2009·呼和浩特中考)已知△ABC 的一个外角为50°,则△ABC 一定是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形
C .直角三角形
D .钝角三角形或锐角三角形
【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°,所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°,所以此三角形为钝角三角形.
A
B
C
D 40°
120°
α
8.(2008·聊城中考)如图,1100
2145∠=∠=o
o ,,那么3∠=( )
6
A .55°
B .65°
C .75°
D .85°
答案:选B 二、 填空题
9.(2009·常德中考)如图,已知//AE BD ,∠1=130o ,∠2=30o ,则∠C = .
【解析】由//AE BD 得∠AEC=∠2=30o ,∴∠C =180°-∠1-∠AEC=180°-130o -30o =20o 答案:20o
10.(2009·邵阳中考)如图,AB//CD,直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点,EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ,若∠PEF=300
,则∠PFC=__________。
【解析】由EP 平分∠AEF, ∠PEF=300得∠AEF=600,由A B//CD 得∠EFC=1200,由FP ⊥EP 得∠P=900
, ∴∠PFE=1800-900-300=600,∴∠PFC=1200-600=600
. 答案:60°
11.(2008·长沙中考)△ABC 中,∠A=55?,∠B=25?,则∠C= . 答案:100°
12.(2008·赤峰中考)如图,是一块三角形木板的残余部分,量得100A ∠=o
,40B
∠=o ,这块三角形木板另外一个角是 度.
答案:40
13.(2008·内江中考)在如图所示的四边形中,若去掉一个50o
的角得到一个五边形,则12+=∠∠ 度.
答案:230 三、 解答题
14.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合,过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点,试探究线段AE 与EF 的数量关系,并说明理由。
【解析】提示:由∠H =∠FCE ,AH =CE ,∠HAE =∠FEC 可证△HAE ≌△CEF ,从而得到AE =EF. 15.(2009·淄博中考)如图,AB ∥CD ,AE 交CD 于点C ,DE ⊥AE ,垂足为E ,∠A =37o,求∠D 的度数.
【解析】∵AB ∥CD , ∠A =37o,∴∠ECD =∠A =37o. ∵DE ⊥AE ,∴∠D =180 o–90o–∠ECD =180 o–90o–37o=53o.
16.(2009·嘉兴中考)在四边形ABCD 中,∠D =60°,∠B 比∠A 大20°,∠C 是∠A 的2倍,求∠A ,∠B ,∠C 的大小. 【解析】设x A =∠(度),则20+=∠x B ,x C 2=∠ .根据四边形内角和定理得,360602)20(=++++x x x . 解得,70=x .
∴?=∠70A ,?=∠90B ,?=∠140C 二、特殊三角形
1.△ABC 中,∠A :∠B :∠C=4:5:9,则△ABC 是( c ) A . 直角三角形,且∠A=90° B . 直角三角形,且∠B=90° C . 直角三角形,且∠C=90°
D . 锐角三角形
2.在等腰△ABC 中,如果AB 的长是BC 的2倍,且周长为40,那么AB 等于( b ) A . 20 B . 16
C . 20或16
D . 以上都不对
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角的度数是
分析: 本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况. 解答: 解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+20°=110°; 当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部, 故顶角是90°﹣20°=70°.
综上,三角形的顶角度数为110°或70°.
4.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠BAC 与∠BCA 的平分线AD 、CD 交于点D ,若∠B=70°,则∠ADC= 125 度.
考点: 三角形内角和定理;角平分线的定义。菁优网版权所有
5.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB 的中垂线DE 交AB 于E ,交BC 于D ,若AB=13,AC=5,则△ACD 的周长为
即△ACD的周长为17
6.如图,AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,DE∥AB,交AC于点E,判断△ADE是不是等腰三角形,并说明理由.
考点:等腰三角形的判定;平行线的性质。菁优网版权所有
分析:利用等腰三角形的三线合一的性质:底边上的高与顶角的平分线、底边上的中线重合.得到∠BAD=∠CAD,两直线平行,内错角相等,则∠BAD=∠ADE,即∠CAD=∠ADE,即可证得△ADE是等腰三角形.
解答:解:△ADE是等腰三角形.
理由如下:
∵AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高,
∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形三线合一),
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE(两直线平行,内错角相等),
∴∠CAD=∠ADE,
∴AE=DE(等角对等比),
∴△ADE是等腰三角形.
点评:本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质;进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:BD=2CE.
考点:等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有
分析:根据已知条件,易证△BFE≌△BCE,所以BF=BC,所以∠F=∠BCE,根据等腰三角形三线合一这一性质,CE=FE,再证明△ABD 从而证得BD=2CE.
解答:证明:∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC=90°,
在△BFE和△BCE中
,
∴△BFE≌△BCE(ASA),
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵∠BAC=90°,且AB=AC,
∴∠FAC=∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°, ∴∠F=∠ADB=67.5°, 又AB=AC ,
在△ABD 和△ACF 中,
,
∴△ABD ≌△ACF (AAS ), ∴BD=CF , ∴BD=2CE .
三:三角形全等的判定及其应用 一、 选择题
1.(2009·江西中考)如图,已知AB AD =,
那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC △≌△的 是( )
A .C
B CD = B .BA
C DAC =∠∠ C .BCA DCA =∠∠
D .90B D ==?∠∠
【解析】选C.根据SSS 可知添加A 正确,根据SAS 可知添加B 正确, 根据HL 可知添加D 正确. 2.(2009·江苏中考)如图,给出下列四组条件:
①AB DE BC EF AC DF ===,,; ②
AB DE B E BC EF =∠=∠=,,;
③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠,,;
④
AB DE AC DF B E ==∠=∠,,.
其中,能使ABC DEF △≌△的条件共有( ) A .1组 B .2组 C .3组 D .4组
【解析】选C. ①②③均可.
3.(2009·太原中考)如图,ACB A CB ''△≌△,BCB ∠'=30°,则ACA '∠的度数为( ) A.20° B.30°
C.35°
D.40°
D
A
B
【解析】选B.由ACB A CB ''△≌△得A C B BCA ''∠=∠, ∴ACA '
∠.30ο='∠='∠-''∠='∠-∠=B BC A BC B C A A BC BCA
4.(2010·温州中考)如图,AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线,过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长
线于E ,则图中与△ABC 全等的三角形共有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
【解析】选D.在矩形ABCD 中,△CDA 、△BAD 、△DCB 都和△ABC 全等,由题意不难得出 四边形ACED为平行四边形,得出△DCE也和△ABC 全等.
5.(2009·黄冈中考)在△ABC 和C B A '''?中,∠C =C '∠,且b-a=a b '-',b+a=a b '+',则这两个三角 形( )
A.不一定全等
B.不全等
C.全等,根据“ASA”
D. 全等,根据“SAS” 【解析】选D.由b-a=a b '-',b+a=a b '+'可得a a '=,b b '=,又∠C =C '∠,根据“SAS”,可得这两个三角形全等.
6.(2010·凉山中考)如图所示,90E F ∠=∠=o ,B C ∠=∠,AE AF =,结论:①EM FN =;
②CD DN =
;③FAN EAM ∠=∠;④ACN ABM △≌△.其中正确的有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【解析】选C ∵90E
F ∠=∠=o ,B C ∠=∠,AE AF =,∴△ABE ≌△ACF,
∴∠EAB=∠FAC,∴FAN EAM ∠=∠
∴△EAM ≌△FAN,∴EM
FN =.易证△ACN ≌△ABM.
7.(2007·诸暨中考)如图,已知△ABC 的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的
A
E
F
B C
D
M
N
图形是( )
A .甲乙
B .甲丙
C .乙丙
D .乙 答案:选C. 二、 填空题
8.(2009·清远中考)如图,若111ABC A B C △≌△,且11040A B ∠=∠=°
,°,则1C ∠
=
【解析】οοοοο3040110180180=--=∠-∠-=∠B A C ,由111ABC A B C △≌△得1C ∠=ο30=∠C
答案:ο30
9、(2009·怀化中考)如图,已知AD AB =,DAC BAE ∠=∠,要使 ABC △≌ADE △,可补充的条件是 (写
出一个即可).
【解析】如AE=AC 或∠B =∠D . 答案:AE=AC (答案不唯一);
10、(2009·龙岩中考)如图,点B 、E 、F 、C 在同一直线上. 已知∠A =∠D ,∠B =∠C ,要使 △ABF ≌△DCE ,需要补充的一个条件是 (写出一个即可).
答案:AB = DC (填AF=DE 或BF=CE 或BE =CF 也对)
11.(2010·兰州中考)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD = 2,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至DE ,连接AE 、CE ,△ADE 的面积为3,则BC 的长为 .
A C
E
B
D
【解析】过点E 作EF ⊥AF 交AD 的延长线于点F ,过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ,因此四边形ABMD 是矩形,则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM ,从而△EDF ≌△MCD,CM=EF,因为△ADE 的面积为3,AD = 2,所以EF=3,所以BC=BM+CM=5. 答案:5
12.(2008·黑河中考)如图,BAC
ABD ∠=∠,请你添加一个条件: ,使OC OD =(只添一个即可)
.
答案:C
D ∠=∠或ABC BAD ∠=∠或AC BD =或OAD OBC ∠=∠
三、 解答题
13.(2009·宜宾中考)已知:如图,在四边形ABCD 中,AB=CB,AD=CD. 求证:∠C=∠A.
【证明】 因为AB=CB,AD=CD , 又因为BD=BD , 所以△ABD ≌△CBD , 所以∠C=∠A.
14.(2010·黄冈中考)如图,一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合,过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点,试探究线段AE 与EF 的数量关系,并说明理由。
【解析】提示:由∠H =∠FCE ,AH =CE ,∠HAE =∠CEF 可证△HAE ≌△CEF ,从而得到AE =EF. 15.(2009·武汉中考)如图,已知点E C ,在线段BF 上,BE CF AB DE ACB F =∠=∠,∥,.
求证:ABC DEF △≌△.
【证明】AB DE B DEF ∴∠=∠Q
∥,.
BE CF BC EF =∴=Q ,.
ACB F ABC DEF ∠=∠∴Q ,△≌△
16.(2009·洛江中考)如图,点C 、E 、B 、F 在同一直线上, AC ∥DF ,AC =DF ,BC =EF ,
求证:AB=DE.
【证明】∵AC ∥DF ,∴F C ∠=∠
在中和DFE ACB ??
??
?
??=∠=∠=EF BC F C DF AC ?和DFE ACB ??≌中和DFE ACB ??
,∴AB=DE. 17.(2010·潼南中考)如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线上一点,连结AG ,点E 、 F 分别在AG 上,连接BE 、DF ,∠1=∠2 , ∠3=∠4. (1) 证明:△ABE ≌△DAF ; (2)若∠AGB=30°,求EF 的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=AD ,
在△ABE 和△DAF 中,
??
?
??∠=∠=∠=∠341
2DA AB , ∴△ABE ≌△DAF.
(2)∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o
在正方形ABCD 中, AD ∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o
在Rt △ADF 中,∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=
3 , DF =1,
由(1)得△ABE ≌△ADF, ∴AE=DF=1, ∴EF=AF-AE=
13-.
18、(2009·福州中考)如图,已知AC 平分∠BAD ,∠1=∠2,求证:AB=AD.
【证明】∵AC 平分∠BAD
A
B
D
E
F 1
423
∴∠BAC=∠DAC. ∵∠1=∠2
∴∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中
,,BAC DAC ABC ADC AC AC ∠=∠??
∠=∠??=?
∴△ABC≌△ADC(AAS). ∴AB=AD.
19.(2009·吉林中考)如图, ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点,,平分交于点,请你写出图中三对..全等三角形,并选取其中一对加以证明.
【解析】(1)ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、
ABE ACD △≌△(写出其中的三对即可).
(2)以△ADB ≌ADC 为例证明. 证明:,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=Q
°.
在Rt ADB △和Rt ADC △中,
,,AB AC AD AD ==Q ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.
二、已知,如图,AB 、CD 相交于点O ,△ACO ≌△BDO ,CE ∥DF 。求证:CE=DF 。
三、已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。求证:BE =CD 。
F
E
O
D
C
B
A A
C
B
7、已知,如图,四边形ABCD 是正方形,△ECF 是等腰直角三角形,其中CE=CF ,G 是CD 与EF 的交点,求证:△BCF ≌△DCE
8、 如图,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,垂足分别为E 、F ,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个为结论,推出一个正确的
命题。
① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF
9、 如图,EG ∥AF ,请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。
① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF
10、如图,四边形ABCD 中,AB=AD ,AC 平分∠BCD ,AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,图中有没有和△ABE 全等的三角形?请说明理由。
10、如图,正方形ABCD 的边长为1,G 为CD 边上一动点(点G 与C 、D 不重合), 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ,
连接DE 交BG 的延长线于H 。 求证:① △BCG ≌△DCE
② BH ⊥DE
G
F
E
D
C
A B
B
F
E D
C A
B
G
F
E
D
C
A
B
┐
F
D
A
G
H
11、如图,△ABC中,AB=AC,过A作GE∥BC,角平分线BD、CF交于点H,它们的延长线分别交GE于E、G,试在图中找出三对全等三角形,并对其中一对给出证明。
12、如图所示,己知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有哪几对全等三角形,并选其中一对给出证明。
13、如图,AB=AD,BC=CD,AC、BD交于E,由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论(不要添加字母和辅助
线)。
四、多边形及其内角和
一、选择题:(每小题3分,共24分)
1.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.不能作为正多边形的内角的度数的是( )
A.120°
B.(1284
7
)° C.144° D.145°
3.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( )
A.2:1
B.1:1
C.5:2
D.5:4
4.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
5.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )
A.都是钝角;
B.都是锐角
C.是一个锐角、一个钝角
D.是一个锐角、一个直角
E
A
G
F
E
D
C
A
B
E
D
C A
B
6.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
7.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( ) A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
8.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( ) A.90° B.105° C.130° D.120° 二、填空题:(每小题3分,共15分) 1.多边形的内角中,最多有________个直角.
2.从n 边形的一个顶点出发,最多可以引______条对角线, 这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形.
3.如果一个多边形的每一个内角都相等,且每一个内角都大于135°, 那么这个多边形的边数最少为________.
4.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.
5.每个内角都为144°的多边形为_________边形. 三、基础训练:(每小题12分,共24分) 1.如图所示,用火柴杆摆出一系列 三角形图案,按这种方式摆下去, 当摆到20层(n=20)时,需要多少 根火柴?
2.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.
四、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n 是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n 表示)及n 的值.
五、从n 边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n 边形共有多少条对角线.
六、(2002·湖南)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案:
一、1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.C 二、1.4 2.(n-3) (n-2) 3.9 4.11 5.十 三、1.630根 2.15
n=3
n=2
n=1
四、边数为2()
m n
n
+
,n=1或2.
五、(n-3)
(3)
2
n n-
条六、B.
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 (3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 (3~5分) 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 (3~8分) 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ,即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA ,即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ,即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA ,即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: △③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a △定理:三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a<c,且b―a>―c △故|a―b|<c,同理可得|b―c|<a,|a―c|<b。 从而得到推论: 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法,定理包含了推论,推论也可以代替定理。另外,定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如:三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形,而三条线段的长度分别是5、3、1,就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说,如一边a,只要满足|b-c|<a<b+c,则可构成三角形。这是因为|b-c|<a,即b-c<a,且b-c>-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|<a<b+c。 在特殊情况下,如果已知线段a最大,只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c|<a,就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路: 方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,直角三角形知识点总结
第十一章三角形知识点归纳
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程
(完整版)数学四年级下三角形知识点总结