最新考研数学一真题及答案完整版

最新考研数学一真题及

答案

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

2006年考研数学一真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）

(1)lll

l →0

lll (1+l )1?llll

= 。

【答案】2。 【解析】

等价无穷小代换：

当l →0时，l l (1+l )~l ,1?llll ~1

2l 2

所以lll l →0

lll (1+l )

1?llll

=lll l →0

l 2

1

2

l 2=2

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2)微分方程l ′=

l (1?l )

l

的通解为__________。 【答案】l =lll ?l (l ≠0)，l 为任意常数。 【解析】 原式等价于

ll l

=

1?l

l

ll ll l

=1?l

l

ll ?ll |l |=ll |l |?lll l

+ll |l |（两边积分）

即l =lll ?l (l ≠0)，l 为任意常数

综上所述，本题正确答案是l =lll ?l (l ≠0)。 【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程

(3)设l 是锥面l =√l 2+l 2(0≤l ≤1)的下侧，则?lllll +

l

2lllll +3(l ?1)llll = 。 【答案】2π。

【解析】

设l 1：l =1(l 2+l 2≤1)，取上侧，则

?lllll +2lllll +3(l ?1)llll = l

?lllll +2lllll +3(l ?1)llll

l +l

1

??lllll +

l 1

2lllll +3(l ?1)llll

而?lllll +2lllll +3(l ?1)llll l +l

1

=?6ll

l =6∫ll 2l

∫lll 10∫ll 1

l =2l

?lllll +2lllll +3(l ?1)llll =

l

1

所以?lllll+2lllll+3(l?1)llll=

l

2l 综上所述，本题正确答案是2π。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面3l+4l+5l=0的距离l=。

【答案】√2。

【解析】

点到平面的距离公式：

l=

|ll+ll+ll+l|

其中(l0,l0,l0)为点的坐标，ll+ll+ll+l=0为平面方程所以

l=|3×2+4×1+5×0+0|

√222

=√2

综上所述，本题正确答案是√2。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离

(5)设矩阵l=[21

?12

]，l为二阶单位矩阵，矩阵l满足ll=l+2l，则

|l|=___________。

【答案】2。

【解析】

ll=l+2l?l(l?l)=2l?|l(l?l)|=|ll|?|l||l?l| =22=4

因为|l?l|=|

11

?11

|=2，所以|l|=2。

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算

(6)设随机变量l与l相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则

l{lll{l,l}≤1}=___________。

【答案】1

9

。

【解析】

本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件{lll{l,l}≤1}={l≤1,l≤1}={l≤1}∩{l≤1}, 又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

P{l≤1}=1

3

?

1

3

=

1

9

。

综上所述，本题正确答案是1

9

。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布

二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的。） (7) 设函数l =l (l )具有二阶导数，且l ′(l )>0,l ′′(l )>0，?l 为自变量l

在点l 0处的增量，?l 与ll 分别为l (l )在点l 0处对应的增量与微分，若?l >0，则

(A)0

由函数l =l (l )单调上升且凹，根据?l 和ll 的几何意义，得如下所示的图 由图可得0

由凹曲线的性质，得l (l 0+?l )>l (l 0)+l ′(l 0)?l ,?l ≠0，于是

l (l 0+?l )?l (l 0)>l ′(l 0)?l >0,?l >0，即0

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义

(8) 设l (l ,l )为连续函数，则∫ll l 4

0∫l (lllll ,lllll )lll 1

0等于

(A)∫ll √2

2

0∫l (l ,l )ll √1?l 2l

(B) ∫ll √2

2

0∫l (l ,l )ll √1?l 2

(C)∫ll √2

2

0∫l (l ,l )ll √1?l 2

l

(D)∫ll √2

2

0∫l (l ,l )ll √1?l 2

【答案】C 。 【解析】

如图所示，显然是l 型域，则原式=∫ll √2

20∫l (l ,l )ll √1?l 2

l

综上所述，本题正确答案是C

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (9) 若级数∑l l ∞l =1收敛，则级数

(A) ∑|l l |∞l =1收敛 (B) ∑(?1)l ∞l =1l l 收敛

(C) ∑l l l l +1∞l =1收敛 (D) ∑l l +l l +1

2

∞

l =1

收敛 【答案】D 。 【解析】

由∑l l ∞l =1收敛知∑l l +1∞l =1收敛，所以级数∑l l +l l +1

2

∞

l =1

收敛。 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念

(10)设l(l,l)与l(l,l)均为可微函数，且l l′(l,l)≠0。已知(l0,l0)是

l(l,l)在约束条件l(l,l)=0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A)若l l′(l0,l0)=0，则l l′(l0,l0)=0

(B)若l l′(l0,l0)=0，则l l′(l0,l0)≠0

(C)若l l′(l0,l0)≠0，则l l′(l0,l0)=0

(D)若l l′(l0,l0)≠0，则l l′(l0,l0)≠0

【答案】D。

【解析】

本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。

作拉格朗日函数l(l,l,l)=l(l,l)+ll(l,l), 并记对应l0,l0的参数

l的值为l0, 则{l l′(l0,l0,l0)=0

l l′(l0,l0,l0)=0

, 即

{l l′(l0,l0)+l0l

l

′(l0,l

)=0

l l′(l0,l0)+l0l l′(l0,l0)=0

, 消去l0得：

l l′(l0,l0)l l′(l0,l0)?l l′(l0,l0)l l′(l0,l0)=0, 整理得：

l l′(l0,l0)=1

l l′(l0,l0)

l l′(l0,l0)l l′(l0,l0) (因为l l′(l,l)≠0),若l l′(l0,l0)≠0, 则l l′(l0,l0)≠0。

综上所述，本题正确答案是D

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限

(11)设l1,l2,?,l l均为l维列向量，l是l×l矩阵，下列选项正确的是

(A)若l1,l2,?,l l线性相关，则ll1,ll2,?,ll l线性相关

(B)若l1,l2,?,l l线性相关，则ll1,ll2,?,ll l线性无关

(C)若l1,l2,?,l l线性无关，则ll1,ll2,?,ll l线性相关

(D)若l1,l2,?,l l线性无关，则ll1,ll2,?,ll l线性无关

【答案】A。

【解析】

【方法一】

因为l1,l2,?,l l线性相关，故存在不全为零的数l1,l2,?,l l使得l1l1+ l2l2+?+l l l l=0

从而有l(l

1

l1+l2l2+?+l l l l)=l0=0

即l1ll1+l2ll2+?+l l ll l=0, 由于l1,l2,?,l l不全为0而是上式成立，说明ll1,ll2,?,ll l线性相关。

【方法二】

利用秩来求解，利用分块矩阵有

(ll1,ll2,?,ll l)=l(l1,l2,?,l l)

那么l(ll1,ll2,?,ll l)≤l(l1,l2,?,l l)

因为l1,l2,?,l l线性相关，有l(l1,l2,?,l l)

从而l(ll1,ll2,?,ll l)

综上所述，本题正确答案是A

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩

(12)设l为三阶矩阵，将l的第2行加到第1行的l，再将l的第1列的?1倍加到第

2列得l，记l=[110

010

001

]，则

(A)l=l?1ll(B)l=lll?1 (C)l=l T ll(D)l=lll T 【答案】B。

【解析】

按已知条件，用初等矩阵描述有

l=[110

010

001

]l,l=l[

1?10

010

001

]

所以l=[110

010

001

]l[

1?10

010

001

]=lll?l。

综上所述，本题正确答案是B

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算

(13)设l,l为随机事件，且l(l)>0,l(l|l)=1,则必有

(A)l(l∪l)>l(l) (B)l(l∪l)>l(l)

(C)l(l∪l)=l(l) (D)l(l∪l)=l(l)

【答案】C。

【解析】

由l(l|l)=l(ll)

l(l)

=1，得到l(ll)=l(l)，又已知

l(l∪l)=l(l)+l(l)?l(ll)=l(l)综上所述，本题正确答案是C。

【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率的基本公式(14)设随机变量l服从正态分布l(l1,l12),l服从正态分布l(l2,l22), 且

l{|l?l1|<1}>l{|l?l2|<1}, 则必有

(A)l1l2

(C)l1l2

【答案】A。

【解析】

由于l与l的分布不同，不能直接判断l{|l?l1|<1}和l{|l?l2|<1}的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。

l{|l?l1|<1}=l{|l?l1

l1|<1

l1

}, 随机变量l?l1

l1

~l(0,1), 且其概率密度函数

为偶函数，故

l{|l?l1

l1|<1

l1

}=2l{0

l1

<1

l1

}=2[Φ(1

l1

)?Φ(0)]

=2Φ(1

l1

)?1

同理l{|l?l2|<1}=2Φ(1

l2

)?1。

因为Φ(x)是单调增函数，当l{|l?l1|<1}>l{|l?l2|<1}时，

2Φ(1

σ1)?1>2Φ(1

σ2

)?1, 即Φ(1

l1

)>Φ(1

l2

), 所以1

l1

>1

l2

, 即l1

综上所述，本题正确答案是A

【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用

三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

(15)（本题满分10分）

设区域l={(l,l)|l2+l2≤1,l≥0}，计算二重积分l=

?1+ll

1+l2+l2llll

l

.

【解析】

本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。

积分区域l如图所示，因为区域l关于l轴对称，函数l(l,l)=1

1+l2+l2

是变

量l的偶函数，函数g(l,l)=ll

1+l2+l2

是变量l的奇函数，则

?1

1+l2+l2llll=2?1

1+l2+l2

llll=2∫ll∫l

l2+1

ll

1

l

2

l1

l

=lll2

2

?ll

1+l+l llll=0

l

,

故?1+ll

1+l2+l2llll=?1

1+l2+l2

llll+?ll

1+l2+l2

llll=

l

l

l

lll2

2

。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

(16)（本题满分12分）

设数列l l满足0

(I)证明lll

l→∞l l存在，并求该极限；

l

(II)计算lll l →∞

(l

l +1l l )1

l l 2.

【解析】

本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。 (I)用归纳法证明{l l }单调减且有下界： 由于llll

则由0

lll l →∞

l l 存在。

记l =lll l →∞

l l , 由l l +1=llll l 知l =llll 所以，l =0, 即

lll l →∞

l l =0。

(II)由于lll l →∞

(

l l +1l l

)1

l l

2=lll l →∞

(

llll l l l

)1

l l

2, 所以，考虑函数极限

lll l →0

(llll

l )1

l 2=lll

l →0ll llll l

l ,

又lll

l →0

ll

llll

l l

2 =lll

l →0

ln ?(1+

llll ?l

l )l 2

=lll

l →0

llll ?l

l 2

=

lll l →0

llll ?1

3l 2=lll

l →0

?12

l

2

3l 2

=?1

6,

则lll l →0

(llll l )1

l

2

=l

?1

6

, 故lll l →∞

(l

l +1l l )1

l l

2=l ?

1

6

。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调有界准则 (17)（本题满分12分）

将函数l (l )=l

2+l ?l 2展成l 的幂级数 【解析】

l (l )=

l 2+l ?l 2=l (2?l )(1+l )=l 2?l +l

1+l

则l (1+l )+l (2?l )=l ?l =2

3,l =?1

3 即 l (l )=13(22?l ?11+l )=13(11?l 2

?1

1+l )

而11+l

=

∑(?1)l l l ∞l =0,l

∈(?1,1),1

1?l 2

=

∑(l 2

)l ∞l =0,l

∈(?2,2)

故l (l )=l

2+l ?l 2=1

3(?∑(?1)l l l ∞l =0+∑1

2l l l ∞l =0) =1

3∑((?1)l +1+1

2

l )l l ,l ∞l =0∈(?1,1) 【考点】高等数学—无穷级数—初等函数的幂级数展开式

(18)（本题满分12分）

设函数l(l)在(0,+∞)内具有二阶导数，且l=l(√l2+l2)满足等式?2l

?l

+

?2l

?l2

=0

(I)验证l′′(l)+l′(l)

l

=0；

(II)若l(1)=0,l′(1)=1，求函数l(l)的表达式。

【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。

(I)设l=√l2+l2, 则?l

?l =l′(l?l

?l

=l′(l

?2l ?l2=l′′(l)

√√

+l′(l)

√l2+l2?l2

l+l

l2+l2

,

=l′′(l)?l2

l2+l2

+l′(l)?l2

(l2+l2)

3

2

,

?2l ?l2=l′′(l)?l2

l2+l2

+l′(l)?l2

(l2+l2)

3

2

,将?

2l

?l2

,?2l

?l2

代入?

2l

?l2

+?2l

?l2

=0得

l′′(l)+l′(l)

l

=0。

(II)令l′(l)=l, 则l′+l

l =0?ll

l

=?ll

l

, 两边积分得：

lll=?lll+lll1, 即l=l1

l , 即l′(l)=l1

l

由l′(1)=1可得l1=1. 所以有l′(l)=1

l

, 两边积分得

l(l)=lll+l2,

由l(1)=0可得l2=0, 故l(l)=lll。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数

(19)（本题满分12分）

设在上半平面l={(l,l)|l>0}内，函数l(l,l)具有连续偏导数，且对任意的l>0都有l(ll,ll)=l?2l(l,l)

证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线l，都有

∮ll(l,l)ll?ll(l,l)ll

l

=0

【解析】

l(ll,ll)=l?2l(l,l)两边对l求导得

ll′l(ll,ll)+ll′l(ll,ll)=?2l?3l(l,l)

令l=1，则ll′l(l,l)+ll′l(l,l)=?2l(l,l)

设l(l,l)=ll(l,l),l(l,l)=?ll(l,l)，则

?l ?l =?l(l,l)?ll′l(l,l),?l

?l

=l(l,l)+ll′l(l,l)

?l ?l ??l

?l

=2l(l,l)+ll′l(l,l)+ll′l(l,l)=0

即?l

?l =?l

?l

，所以对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线l，都有∮ll(l,l)ll?ll(l,l)ll

l

=0

【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件(20)（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组{

l1+l2+l3+l4=?1, 4l1+3l2+5l3?l4=?1, ll1+l2+3l3+ll4=1

有三个线性无关的解。

(I)证明方程组系数矩阵l的秩l(l)=2；

(II)求l,l的值及方程组的通解。

【解析】

本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。

(I)设l1,l2,l3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么

l1?l2,l1?l3, 是l l=0线性无关的解，所以l?l(l)≥2,即l(l)≤2,显然矩阵l中有2阶子式不为0, 又有l(l)≥2, 从而秩

l(l)=2.

(II)对增广矩阵作初等行变换，有

l=[1111

435?1

l13l

|

?1

?1

1

]→[

1111

0?11?5

01?l3?l l?l

|

?1

3

l+1

] →[

1111

01?15

004?2l l+4l?5

|

?1

?3

4?2l

].

由题设和第一问知，l(l)=l(l)=2, 故有

4?2l=0,l+4l?5=0

解出l=2,l=?3, 此时l→[102?4

01?15 0000

|

2

?3

]

那么l=(2,?3,0,0)l是l l=l的解，且l l=(?2,1,1,0)l,

l l=(4,?5,0,1)l是l l=0的基础解系，所以方程组的通解是

l+l1l1+l2l2(l1,l2为任意常数)。

【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的通解

线性代数—矩阵—矩阵的秩

(21)（本题满分9分）

设三阶实对称矩阵l的各行元素之和均为3，向量l1=(?1,2,?1)T,l2= (0,?1,1)T是线性方程组ll=l的两个解。

(I)求l的特征值与特征向量；

(II)求正交矩阵l和对角矩阵l，使得l l ll=l;

【解析】本题中l未知，故用定义法求解。

(I)因为矩阵l的各行元素之和均为3, 即有l[1

1

1

]=[

3

3

3

]=3[

1

1

1

], 所以3是矩阵l的

特征值，l=(1,1,1)l是l属于3的特征向量。

又ll1=l=0l2, 故l1,l2是矩阵l属于l=0的两个线性无关的特征向量。因此矩阵l的特征值是3,0,0.

l=3的特征向量为l(1,1,1)l, 其中l≠0为常数；

l=0的特征向量为l1(?1,2,?1)l+l2(0,?1,1)l, 其中l1,l2是不全为0的常数。

(II)因为l1,l2不正交，故需要lllllll正交化，

l1=l1=(?1,2,?1)l,

l2=l2?(l2,l1)

(1,

1

)

l1=[

?1

1

]?

?3

[

?1

2

?1

]=

1

[

?1

1

],

单位化l1=

√6?1

2

?1

],l2=

√2

?1

1

],l3=

√3

1

1

1

].

那么令l=(l1,l2,l3)=

[

√6√2√3√6

√3√6√2√3

]

,

得l l ll=l=[0

3

]

【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算

(22)（本题满分9分）

设随机变量l的概率密度为l l(l)=

{1

2

?1

1

4

0≤l<2,

0其他 .

令l=l2,

l(l,l)为二维随机变量(l,l)的分布函数，求：

(I)l的概率密度l l(l);

(II)l(?1

2

,4).

【解析】

(I)设Y的分布函数为l l(l), 则l l(l)=l{l≤l}=l{l2≤l}

当l≤0时，l l(l)=0,l l(l)=0;

当0

l l(l)=l{?√l≤l≤√l}=l{?√l≤l<0}+l{0≤l≤√l}=

1 2√l+1

4

√l=3

4

√l,l l(l)=l′l(l)=

8l

当0≤l<4时，

l l(l)=l{?1≤l<0}+l{0≤l<√l}=1

2+1

4

√l,

l l(l)=l′l(l)=

8l

;

当y≥4时，l l(l)=1,l l(l)=0,

故l的概率密度为l l(l)=

{8l

0

1≤l<4, 0其他 .

(II)l(?1

2,4)=l{l≤?1

2

,l≤4}=l{l≤?1

2

,l2≤4}

=l{l≤?1

2

,?2≤l≤2},

=l{?2≤l≤?1

2

}=l{?1

2

}

=∫1

2

ll

?1

2

?1

=1

4

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维连续型

随机变量的概率密度、分布函数

概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、协方差(23)（本题满分9分）

设总体l的概率密度为l(l;l)={l0

其中l是未知参数(0

【解析】

似然函数为

l(l)=∏l(l l;l)=l l(1?l)l?l,

l

l=1

取对数,得

lll(l)=llll+(l?l)ll(1?l),

两边对l求导，得

llll(l)

ll =

l

l

?

l?l

1?l

令llll(l)

ll =0，得l=l

l

, 显然l=l

l

,l(l)最大，所以l的最大似然估计为

l?=l

l

。

【考点】概率论与数理统计—参数估计—最大似然估计法