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高考数学30道压轴题训练

2012年高考数学30道压轴题训练

1．椭圆的中心是原点O

，它的短轴长为(,)0F c （0>c

）的准线l 与x 轴相交于点

A ，2OF FA

=，过点

A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ?=u u u r u u u r

，求直线PQ 的方程；

（3）设AP AQ λ=u u u r u u u r

（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明

FM FQ λ=-u u u u r u u u r

. (14分)

2．已知函数

)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。

（1）)](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。（2）证明)(x f 是偶函数。

（3）试问方程01

log )(4

=+x

x f 是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。

3．（本题满分12

及圆C ：1)3(22

=-+y x

。（1）若动点M 到点F 点M 的轨迹E 的方程；

（2）过点F 的直线g 交轨迹E 点，求证：x 1x 2 为定值；（3）过轨迹E 上一点P 作圆C 边形PACB 的面积S 最小，

求点P 的坐标及S

4. 以椭圆2

22y a

x +＝1（a ＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能

作出多少个符合条件的三角形.

5. 已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.

（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B

两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范围.

6. 已知过函数f （x ）=123

++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。

（1）求a 、b 的值；

（2）求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立；（3）令()()132++--=tx x x f x g 。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大值

1？

7. 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→

→

?PN PM 的等比中项。

（1）求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；

（2）若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。

8．已知数列{a n }满足a

a a

a b a a a a a a a n n

n n n n +-=+=>=+设,2),0(322

（1）求数列{b n }的通项公式；

（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与

7的大小，并证明你的结论.

9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点

)2,0(A 为圆心，1

为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．

（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线

1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经

过M （-2，0）及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；

（3）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的平分线

的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．

10.

)(x f 对任意R x ∈都有.2

)1()(=-+x f x f

（1）求)21(f 和)( )1

()1(N n n

n f n f ?-+的值．

（2）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1

()2()1(f n

n f n f n f +-+++ΛΛ，数列}{n a 是等差数

列吗？请给予证明；（3）令.16

32,,1

232221n

S b b b b T a b n n n n n

=++++=-=

ΛΛ 试比较n T 与n S 的大小．

11. 如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.(13分)

12.知函数f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3

)的定义域为R

（1）求实数m 的取值集合M ；（2）求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.

13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=

42+-x t

x （1）求f()()βαf 和的值。

（2）证明：f(x)在[],βα上是增函数。（3）对任意正数x 1、x 2,求证：βαα

ββα-<++-++2)()(

1212121x x x x f x x x x f

14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*

n N ∈，都有()

41n n S a =+.

（1）求数列{}n a 的通项公式.

（2）若2n

n tS ≥对于任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.

15.( 12分)已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ

上，且满足

·=0，PM =－

，（1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），使得△ABE

为等边三角形，求x 0的值.

16.（14分）设f 1(x )=

+12

,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *.

（1）求数列｛a n ｝的通项公式；

（2）若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n =1

4442

2+++n n n

n ,其中n ∈N *,试比较9T 2n 与Q n 的大小.

17．已知→

a =（x,0），→

b =（1，y ），（→

a +

3→b ）⊥（→a –3→

b ）．

（1）求点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；（2）若直线L ：y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m 的取值范围．

18．已知函数

)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=?1

(1).3

f =且

（1）当n N +∈时，求

)(n f 的表达式；（2）设),()

(+∈=N n n nf a n 求证：1

;4n

k k a =<∑

（3）设1(1)

(),,()

n n k k nf n b n N S b f n +=+=

∈=∑试比较11n

k k

S =∑

与6的大小．

19．已知函数

),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列：),(),(,221a f a f …，

)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.

（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）若}{,10n a a 数列<<的前n 项和为S n ，求n n S ∞

→lim ；

（3）若)(,2n n n a f a b a ?==令，对任意)(,1

t f

b N n n -*>∈都有,求实数t 的取值范围.

20．已知△OFQ 的面积为.,62m =?且

（1）设

θ与求向量m ,646<<

正切值的取值范围；

（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），

2)14

(

,||c m c -==，当||取得最小值时，

求此双曲线的方程.

（3）设F 1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A 、B 分别为此双曲线渐近线l 1、l 2上的动点，且2|AB|=5|F 1F|，

求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

21、已知函数

13)(2++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满足

11211=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n

（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞

→lim .

22、直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝2

．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．

（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程；（2）若点E 满足2

，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且

||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．

23、．设函数

)(+=

x f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；

（2）记*),()

1()1

()2()1()0(N n f n

n f n f n f f a n

∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项

公式及前n 项和.

24. 已知函数

)(x f 是定义在R 上的偶函数.当X ≥0时, )(x f =1

++-

x x x

. （1）求当X<0时,

)(x f 的解析式;

（2）试确定函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1的单调性，并证明你的结论.

（3）若21≥x 且22≥x ，证明：|)(1x f －)(2x f |<2.

25、已知抛物线

x y 42=的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB

的垂直平分线与X 轴交于D (X 0,0) （1）求X 0的取值范围。

（2）△ABD 能否是正三角形？若能求出X 0的值，若不能，说明理由。

26、已知□ABCD ，A （-2，0），B （2，0），且∣AD ∣=2 （1）求□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程。

（2）过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，

且∣MN ∣=

238，

MN 的中点到Y 轴的距离为3

，求椭圆的方程。

（3）与E 点轨迹相切的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，求∣PQ ∣的最大值及此时l 的方程。

27．（14分）（理）已知椭圆)1(12

22>=+a y a

x ，直线l 过点

A （－a ，0）和点

B （a ，ta ）（t ＞0）交椭圆于M.直线MO 交椭圆于N.

（1）用a ，t 表示△AMN 的面积S ；（2）若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值.

28．已知函数f (x )=

bx +c

x +1

的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称. x

N B

（1）求函数f (x )的解析式；（2）若数列{a n }（n ∈N*）满足：a n >0，a 1=1，a n +1= [f (a n )]2

，求数列{a n }的通项公式a n ，并证明你的结论.

29、已知点集},|),{(y y x L ?==其中),1,1(),1,2(+=-=b b x 点列),(n n n b a P 在L

中，1P 为L 与

y 轴的交点，等差数列}{n a 的公差为1，+∈N n 。

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）若),2(|

1≥?=

n P P n c n n

求)(lim 21n n c c c +++∞→Λ；

（3）若

),()2()

12()(+∈???=-==N k k n b k n a n f n

n 是否存在+∈N k 使得),(2)11(k f k f =+若存在，

求出k 的值；若不存在，请说明理由。

30．经过抛物线

24y x =的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点. (12分)

（1）若线段AB 的中点为(,)M x y ,直线的斜率为k ,试求点M 的坐标,并求点M 的轨迹方程（2）若直线l 的斜率2k >,且点M 到直线340x y m ++=的距离为1

,试确定m 的取值范围.

“高考数学30道压轴题训练”答案

1（1

）解：由题意，可设椭圆的方程为(22

212

x y a a +=>。

由已知得,().

222

22a c a c c c ?-=?

?=-??

解得2a c == 所以椭圆的方程为22

162x y +=，

离心率e 。（2）解：由（1）可得A （3，0）。设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22

162

3x y y k x ?+

=???=-?

得()2

22231182760k

x k x k +-+-=，依题意()212230k ?=->

，得33

k -

。设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122

276

k x x k -=+。 ② 由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是

()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。 ③

∵0OP OQ ?=u u u r u u u r

，∴12120x x y y +=。 ④ 由①②③④得2

51k

，从而()533

k =±

-。所以直线PQ

的方程为30x -=

或30x +-=

（3，理工类考生做）证明：(,),(,)11

2233AP x y AQ x y =-=-u u u r u u u r 。由已知得方程组 (),

121

2221122

223316

216

2x x y y x y x y λλ-=-??=???+=???+=?注意1λ>，解得251

2x λλ-= 因(,),(,)1120F M x y -，故 (,)((),)1121231FM x y x y λ=--=-+-u u u u r (,)(,)121122y y λλλλ

--=-=-。

而(,)(,)222122FQ x y y λλ

-=-=u u u r ，所以FM FQ λ=-u u u u r u u u r 。

2 ①f(x)=

12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3 ①x 2

=4y ②x 1x 2=-4 ⑶P(±2,1) S MIN =

4 .解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）

设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0）则AB ∶y ＝－

x ＋1 把BC 方程代入椭圆，

是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0

∴|BC |＝

222

121k a k

a k

++，同理|AB |＝

21a k a k ++

由|AB |＝|BC |，得k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0

（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0

当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4

由Δ＜0，得1＜a ＜

3 由Δ＝0，得a ＝3，此时，k ＝1

故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解

由Δ＞0即a ＞

3时有三解

5 解：依题意，知a 、b ≠0

∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0∴a ＞0且c ＜0

（Ⅰ）令f （x ）＝g （x ），

得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*）

Δ＝4（b 2－ac ）

∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点

（Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知

|A 1B 1|2＝2

224)(444a

c a a ac b -+=- 2224()a c ac a =

++24()1(**)c c a

a ??

=++???? ∵0

20a b c a c a b

++=??+>?

>?，而a ＞0，∴

>- ∵020a b c a c c b

++=??+

c a <- ∴1

22c a -<<- ∴4［（a c ）2＋a

c ＋1］∈（3，12）

∴|A 1B 1|∈（

3，23）

6、解：（1）

()x f '=ax x 232+ 依题意得k=()1'f =3+2a=－3， ∴a=－3

()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f ∴a=－3，b=－1

（2）令

()x f '=3x 2－6x=0得x=0或x=2

∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17 ∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17

要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。

（1）已知g （x ）=－()

tx x tx x x x

+-=++-+-3223

1313

∴()t x x g

+-=2'

3 ∵0＜x ≤1， ∴－3≤－3x 2

＜0，

① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'

>x g

即

∴g （x ）在]1.0(上为增函数，g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去）

② 当0≤t ≤3时, ()t x x g +-=2'3 令()x g '=0,得x=

列表如下:

g （x ）在x=

处取最大值－3

3???

? ??t ＋t

∴t=3

427=

233＜

t 3 ∴x=

t ＜1

③当t ＜0时，()t x x g

+-=2'

3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数，

∴g （x ）在]1.0(上为增函数， ∴存在一个a=

33，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。

7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH

-=→

,→

PM =（－2－x,－y ）

→PN =（2－x,－y ） ∴→PM ·→

PN =（－2－x,－y ）

·（2－x,－y ）=2

24y x +-

PH =→

由题意得∣PH ∣2=2·→PM ·→

PN 即()2

42y x x

+-=

即14

2=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆（2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=

10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时

取“=”），此时，实轴长2a 最大为

所以，双曲线C 的实半轴长a=

又2

3,2212

22=-=∴==a c b NM c Θ ∴双曲线C 的方程式为12

32522=-y x 8.（1）1

1-=

n n

（2）0

11161

81)21212121161(81)212121(872441684=--=-+?+?+<-++++=-K K n S 9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0

∵该直线与圆1)2(22

=-+y x

相切，

∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．

故设双曲线C 的方程为122

22=-a

y a x ．

又双曲线C 的一个焦点为 )0,2( ∴222=a ，12

=a ．

∴双曲线C 的方程为12

2=-y x ．

（Ⅱ）由???=-+=1

2y x mx y 得022)1(2

2=---mx x m ．

令22)1()(2

2---=mx x m x f

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．

因此?????????

>--<->?012

01202

m m m 解得21<

,1(2

2m m m --，

∴直线l 的方程为)2(221

+++-=x m m y ．………………………………6分令x=0，得8

17)41(22

22222+

--=++-=m m m b ．

∵)2,1(∈m ， ∴)1,22(8

)41(22+-∈+--m

∴),2()22,(+∞---∞∈Y b ．

（Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =，

若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =．

根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹

方程是)0(4)2(22≠=+-

x y x ①

由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．

则???

????=-=222T

T y y x x ，即???=+=y y x x T T 222．

代入①并整理得点N 的轨迹方程为122

=+y x ．)2

≠x 10 解：（Ⅰ）因为

21)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以41)21(=f ．令n x 1=，得21)11()1(=-+n f n f ，即2

1)1()1(=-+n n f n f ．

（Ⅱ）)1()1

(

)1()0(f n n f n f f a n +-+++=Λ 又)0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+=Λ 两式相加

)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=

+++-+++=n f f n n f n f f f a n Λ．

所以N n n a n

∈+=

又41

414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列

（Ⅲ）n

a b n n 4

144=-=

2221n n b b b T +++=Λ)131211(16222n

++++=Λ

])

1(1

3212111[16-++?+?+≤n n Λ

)]111()3121()211(1[16n n --++-+-+=Λn S n

n =-=-=16

32)12(16

所以n n S T ≤

11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0

则OA 的方程为y ＝kx 由???y ＝kx

y 2＝2px

解得A (2p k 2，2p k )

又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1

由??

?y ＝－1k x

y 2＝2px

解得B (2pk 2，－2pk )

从而OA 的中点为A '(p k 2，p

k )，OB 的中点为B '(pk 2，－pk )

所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为 x 2＋y 2－

2px k 2－2py

＝0 ……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……②

∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0 由①－②并化简得y ＝(k －1

k )x ……③

将③代入①，并化简得x (k 2＋1

k 2－1)＝2p ……④

由③④消去k ，有x 2＋y 2－2px ＝0

∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点).

12．(1)由题意，有x 2－2mx ＋2m 2＋9

m 2－3

＞0对任意的x ∈R 恒成立

所以△＝4m 2－4(2m 2＋9

m 2－3

)＜0 即－m 2－9

m 2－3＜0

∴(m 2－3

)2＋27

m 2

－3

＞0 由于分子恒大于0，只需m 2－3＞0即可所以m ＜－3或m ＞ 3 ∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3}

(2)x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2＋9

m 2－3

当且仅当x ＝m 时等号成立.

所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2＋9

m 2－3

又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2＋9

m 2－3

)

∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2＋9

m 2－3)

又当m ∈M 时，m 2－3＞0 ∴m 2＋9m 2－3＝m 2－3＋9

m 2－3

＋3≥2

(m 2－3)·9

m 2－3

＋3＝9

当且仅当m 2－3＝9

m 2－3，即m ＝±6时，

log 3(m 2＋

m 2－3)有最小值log 3(6＋

6－3

)＝log 39＝2 ∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2. 13．解析：

（1）由根与系数的关系得，.1,2

-==+αββα

).16(2

11682)(2414)(2

222++-=+-==-+-=+-=

∴t t t t t f ααβαβααααα

同法得f().16(2

)2t t -+=

β (2)证明：Θf /(x)=

,)1()

22(2)1(2)4()1(42

22222+---=+--+x tx x x x t x x 而当x ],[βα∈时，

2x 2-tx-2=2(x-,0))(≤-βαx 故当x ],[βα∈时, f /(x)≥0, ∴函数f(x)在[],βα上是增函数。（3）证明：

,0)

(,0)(2

1121212122121<+-=-++>+-=-++x x x x x x x x x x x x x x βαββααβαβα

ββαα

<++<

∴2121x x x x , 同理βα

βα<++<2

121x x x x .

).()()(),()(

)(2

1212121αα

βββαβαf x x x x f f f x x x x f f -<++-<-<++<∴故

又f().()(

121ββ

ααf x x x x f <++<两式相加得:

),()()()(

)]()([2

1212121αβα

ββααβf f x x x x f x x x x f f f -<++-++<--

即

).()()()(

1212121αβα

ββαf f x x x x f x x x x f -<++-++

而由（1），f(αββα2)(,2)-=-=f 且f()()()()αβαβf f f -=-,

∴ βαα

ββα-<++-++2)()(

1212121x x x x f x x x x f .

14(I)2111144(1), 1.S a a a ==+∴=Q

当2n ≥时,()()

1144411n

n n n n a S S a a --=-=+-+,

()22

112n n n n a a a a --∴+=-,又{a n }各项均为正数,12n

n a a -∴-=.数列{}n a 是等差数列,

2 1.n a n ∴=-

(II)

n S n =,若2n

n tS ≥对于任意的*

n N ∈恒成立,则22min n t n ??

≤????

令2

n b n

=,.当3n ≥时,22122

2(1)1(1)21

n n b n n n n n

b n n n ++-+==>+++.又12382,1,9b b b ===，

∴{}228min min 9

n n b n ??==????.∴ t 的最大值是8

15.（1）设点M 的坐标为(x ,y )，由PM =－

23MQ ,得P (0,－2y ),Q (3x ,0), 由·PM =0，得（3，－2y ）(x ,2

)=0,又得y 2=4x ,

由点Q 在x 轴的正半轴上，得x ＞0,

所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.

（2）设直线l :y =k (x +1),其中k ≠0,代入y 2=4x ,得k 2x 2+2(k 2－2)x +k 2=0,①

设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),

则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－2

)

2(2k k 2-,x 1x 2=1,

所以，线段AB 的中点坐标为(2

22k k -,k 2

线段AB 的垂直平分线方程为y －k 2=－k 1

(x －2

22k k -),

令y =0,x 0=22k +1,所以点E 的坐标为(22

+1,0)

因为△ABE 为正三角形，所以点E （

2k +1,0）到直线AB 的距离等于23

｜AB ｜,

而｜AB ｜=2

212

21)()(y y x x -+-=2

214k

k -·2

1k +,

所以，24132k k -=k

k 2

12+,

解得k =±

23,得x 0=3

11.

16.（1）f 1(0)=2,a 1=

2212+-=4

,f n +1(0)=f 1［f n (0)］=)0(12n f +,

a n +1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2

)

0(121

)0(11

++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-=－212)0(1)0(+-n n f f =－2

1a n ,

∴数列｛a n ｝是首项为

41,公比为－21的等比数列，∴a n =41(－2

1)n －

（2）T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+(2n －1)a 2n －1+2na 2n , －

21T 2n =(－21a 1)+(－21)2a 2+(－21)3a 3+…+(－21)(2n －1)a 2n －1+(－2

)·2na 2n =a 2+2a 3+…+(2n －1)a 2n －na 2n ,

两式相减得

T 2n =a 1+a 2+a 3+…+a 2n +na 2n , 所以，23T 2n =2

11)21(1412+

????--n +n ×41(－21)2n －1=61－61(－21)2n +4n (－21)2n －1,

T 2n =91－91(－21)2n +6n (－21)2n －1=91(1－n n 2213+). ∴9T 2n =1－n

n 22

13+, Q n =1－

)

12(1

3++n n ,

当n =1时，22n =4,(2n +1)2=9,∴9T 2n ＜Q n ; 当n =2时，22n =16,(2n +1)2=25,∴9T 2n ＜Q n ;

当n ≥3时，22n =［（1+1）n ］2

=(C 0

n +C 1

n +C 2

n +…+C n

n )2＞(2n +1)2,∴9T 2n ＞Q n .

17．解（I ）→

a +

3→

b =（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),

→a –3→

b =（x, 0）-3(1,y)= (x -3,–3 y).Θ(→

a +3→

b )⊥(→

a -3→

b ),

∴(→

a +

3→

b )·(→

a -3→

b )=0, ∴(x+3)( x -3)+3y·(-3y)=0,

故P 点的轨迹方程为2

213

x y -=．

（II ）考虑方程组22

1,3

y kx m x y =+???-=?? 消去y ，得（1–3k 2）x 2-6kmx-3m 2-3=0 (*)

显然1-3k 2≠0,

?=(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2)>0.

设x 1,x 2为方程*的两根，则x 1+x 2=2316k km -，x 0=2

213132k

km x x -=+, y 0=kx 0+m=

31k m -,

故AB 中点M 的坐标为（2

313k km -，

31k

-）, ∴线段AB 的垂直平分线方程为y -

13m k -=（-k 1）23()13km x k --,

将D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2-1,

故m 、k 满足222

130,

431,

m k m k ?+->?=-? 消去k 2得 m 2-4m>0, 解得 m<0或m>4.

又Θ4m=3k 2-1>-1, ∴ 1,4

m >- 故m ∈(-41

,0)Y (4,+∞)．

18．(1)解由已知得211

()(1)(1)(1)()(2)33

n f n f f n f n =-?=?-=?-=L

111

()(1)()33

n n f -=?=．

(2)证明由(1)可知

(),3

n n a n =?设n T =

k a

=∑

则211112()().333

n n

T n =?+?++?L

()231111111()2()1()33333n

n n T n n +??

∴=?+?++-+? ???

L ．

两式相减得

232111()()3333n T =+++…+111()()33

n n n +-?

11111()(),233n n n +??=--?∴????

n T =11

31113

()()443234

n n k k n a -==

--?<∑．（3）解

由（1）可知1

11(1)

.(12),336n

n n k k n n b n S b n =+=∴==+++=

∑L 则

16(1)n S n n =+ =11

6(),1

n n -+

故有

k k

=∑111116(1)2231n n =-+-++-+L =61(1)61

n -<+．

19．（1）22,222)11(2)(,2,)12(24

2+=∴+=?-++=∴=∴-++=+n n n a a n n a f d d n n

（2）.11)1(lim lim 24

224a

a a a a S n n n n -=--=∞→∞→ （3）.2)1(2)22()22()(322222+++?+=?+=+=?=n n n n n n

n n a n a f a b

.141

11n n n n b b n n b b >∴>?++=++

}{n b ∴为递增数列 n b ∴中最小项为.6,22,2)(,22261

651<∴>∴==?=-t t f

b t t

20．（1）??

???=?=-??m θθπcos ||||62)sin(||||21

646,64tan <<∴=∴m m θ .4tan 1<<∴θ .4arctan 4

<<∴

θπ

（2）设所求的双曲线方程为),(),,(),0,0(1111122

22y c x FQ y x Q b a b

y a x -=>>=-则

y y OF S OFQ 6

4,62||||2111±=∴=?=

∴?

又由=-?=?),()0,(11y c x c

.128396||,46,)146()(22

121121≥+=+=∴=∴-=?-c c

y x c x c c c x 当且仅当c =4时，||最小，此时Q 的坐标为)6,6()6,6(

-或

∴?????==∴??

??=+=-∴12

416166

2222

2b a b a b a 所求方程为

.112

2=-y x

（3）设),(),,(2211y x B y x A

1l 的方程为2,3l x y =的方程为x y 3-= 则有113x y =①

223x y -= ② ||5||21FF AB =Θ 4025)()(2221221=?=-+-∴c y y x x

20)()(221221=-+-∴y y x x ③ 设),(y x M 由①②得)(32121x x y y -=+

)(32121x x y y +=-x y y x x y 32),(322121=--=∴ 3

221y x x =

-∴，

x y y 3221=-代入③得400)32()3

22=+x y

x y ∴=+∴.13

100300

22的轨迹为

焦点在y 轴上的椭圆.

21、解：（1）)(x f Θ

为偶函数 )()(x f x f =-∴ 0=∴b 13)(2+=x x f

)(x g Θ为奇函数 )()(x g x g -=-∴ 0=∴c x x g 5)(=

1)(51)(3)()(2

121211=+?-++=+?-+∴++++n n n n n n n n n n a a a a a a a a g a a f

0232

121=-?+∴++n n n n a a a a 0)23)((11=-+∴++n n n n a a a a 3

1=∴

+n n a a }a {n ∴是以1=n a 为首项，公比为

32的等比数列. 1

2(-=n n a （2）∞

→n lim

11=-=

n s

22、解析：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系， ?A （-1，0），B （1，0）

设椭圆方程为：122

22=+b

y a x

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学中的放缩技巧

高考数学中的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i

高考数学选择题之压轴题

高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭

高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)

放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i