初2019届成都市郫都区中考数学九年级一诊数学试卷(含答案)

初2019届成都市郫都区中考数学九年级一诊数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

A卷（共100分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．《习近平总书记系列重要讲话读本》中讲到“绿水青山就是金山银山”，我们要尊重自然、顺应自然、保护自然的理念，贯彻节约资源和保护环境的基本国策．在下列环保标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．下列计算正确的是（）

A．a4+a4＝a8B．a5?a4＝a20C．a4÷a＝a3D．（﹣a3）2＝a5

3．中国高速路里程已突破13万公里，居世界第一位，将13万用科学记数法表示为（）

A．0.13×105B．1.3×104C．1.3×105D．13×104

4．把方程x﹣4x＝4的解用数轴上的点表示出来，那么该点在图中的（）

A．点M，点N之间B．点N，点O之间

C．点O，点P之间D．点P，点Q之间

5．如图，是一个几何体的三视图，则这个三视图，则这个几何体是（）

A．长方体B．圆柱体C．球体D．圆锥体

6．某地区汉字听写大赛中，10名学生得分情况如下表：

分数50 85 90 95

人数 3 4 2 1

那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（）

A．85和85 B．85.5和85 C．85和82.5 D．85.5和80

7．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣x+b上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2

8．如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作得AE，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．三角形的外心是指什么线的交点？（）

A．三边中线B．三内角的平分线

C．三边高线D．三边垂直平分线

10．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）

A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11．计算：＝．

12．如图，将香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转，当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为．

13．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8，若AA′＝1，则A′D的值为．

14．如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）

15．（12分）（1）计算：3tan30°﹣

（2）化简：

16．（6分）解不等式组：

17．（8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°

（温馨提示：sin53°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．

≈0.8，cos53°≈0.6）

18．（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“优”、“教”、“郫”、“都”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．

（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为多少？

（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出两个球上的汉字能组成“优教”或“郫都”的概率．

19．（10分）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．

（1）直接写出不等式y2＞y1的解集；

（2）求直线AB的解析式；

（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S的最大值．

20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；

（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．

B卷（50分）

一、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

21．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为．

22．设α、β是方程x2﹣x﹣2018＝0的两根，则α3+2019β﹣2018的值为．

23．从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中随机抽取一个数记为a，则使直线与双曲线有1个交点的概率为．

24．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是．

25．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A （1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．（8分）某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？

27．（10分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．

（1）求证：DG?BC＝DF?BG；

（2）连接CF，求∠CFB的大小；

（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．

28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+2m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，C是抛物线上一个动点（点C与点A、B不重合），D是OC的中点，连接BD并延长，交AC于点E．

（1）用含m的代数式表示点A、B的坐标；

（2）求证：；

（3）若点C、点A到y轴的距离相等，且s△CDE＝1.6时，求抛物线和直线BE的解析式．

参考答案与试题解析

一、选择题

1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项正确；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．

故选：B．

2．【解答】解：（A）a4+a4＝2a4，故A错误；

（B）a5?a4＝a9，故 B错误；

（C）a4÷a＝a3，故 B正确；

（D）（﹣a3）2＝a6，故D错误；

故选：C．

3．【解答】解：将13万用科学记数法表示为：1.3×105．

故选：C．

4．【解答】解：解方程x﹣4x＝4得到：x＝﹣，

∵﹣2＜﹣＜﹣1，

∴该点在图中的位置是点M与点N之间，

故选：A．

5．【解答】解：圆柱体的主视图和左视图均为矩形，俯视图是圆，

故选：B．

6．【解答】解：把这组数据从小到大排列，处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85；

在这一组数据中85出现的次数最多，则众数是85；

故选：A．

7．【解答】解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵﹣2＜﹣1＜1，

∴y1＞y2＞y3．

故选：A．

8．【解答】解：如图

由题意可得：AF＝AB，AE平分∠BAD

∴AE垂直平分BF

∴BO＝FO＝3

在Rt△ABO中，AO＝＝＝4

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠DAE＝∠BEA

∵∠DAE＝∠BAE

∴∠BAE＝∠BEA＝∠DAE

∴AB＝BE＝5

在Rt△BEO中，EO＝＝4

∵AE＝AO+EO

∴AE＝8

故选：C．

9．【解答】解：根据三角形的外心应到三角形三个顶点的距离相等和线段垂直平分线的性质知，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．

故选：D．

10．【解答】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，

则设抛物线的解析式为：

y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），

代入（3，0）求得：a＝﹣．

将a值代入得到抛物线的解析式为：

y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3），

令x＝0，则y＝＝2.25．

则水管长为2.25m，

故选：D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）11．【解答】解：原式＝＝＝8．

故答案是：8．

12．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为72°．

故答案为：72°．

13．【解答】解：如图，

∵S△ABC＝18、S△A′EF＝8，且AD为BC边的中线，

∴S△A′DE＝S△A′EF＝4，S△ABD＝S△ABC＝9，

∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，

∴A′E∥AB，

∴△DA′E∽△DAB，

则（）2＝，即（）2＝，

解得A′D＝2（负值舍去），

故答案为：2．

14．【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣2）＞0，

∴m＜3，

由于m﹣2≠0，

∴m≠2，

故答案为：m＜3且m≠2

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．【解答】解：（1）原式＝

＝

＝；

（2）原式＝

＝

＝．

16．【解答】解：

由①得 x≥﹣4；

由②得x≤3；

∴﹣4≤x≤3．

17．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．

在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，

∴CD＝AC＝40海里．

在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，

∴BC＝≈＝50（海里），

∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．

18．【解答】解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“优”的概率为；

（2）列出下表：

优教郫都优﹣﹣（优，教）（优，郫）（优，都）教（教，优）﹣﹣（教，郫）（教，都）郫（郫，优）（郫，教）﹣﹣（郫，都）都（都，优）（都，教）（都，郫）﹣﹣

∴共有12种可能的结果，其中能组成“优教”、“郫都”各有2种可能，

∴按要求能组成“优教”或“郫都”的概率为＝．

19．【解答】解：（1）∵A（1，m），B（2，1）．

根据函数图象得，不等式y2＞y1的解集为0＜x＜1或x＞2；

（2）∵点B（2，1）在双曲线上，

∴k2＝2×1＝2，

∴双曲线的解析式为y2＝，

∵A（1，m）在双曲线y2＝上，

∴m＝1×2＝2，

∴A（1，2），

∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；

（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，则S＝PD?OD＝＝

∵

∴当时，S有最大值，最大值为．20．【解答】证明：（1）如图1，连接OE．

∵BE⊥EF，

∴∠BEF＝90°，

∴BF是圆O的直径．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE＝∠OBE，

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB，

∴∠OEB＝∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO＝∠C＝90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连结DE．

∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH．

∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE．

在△CDE与△HFE中，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD＝HF．

（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1，

∴HF＝1，

∵EF⊥BE，

∴∠BEF＝90°，

∴∠EHF＝∠BEF＝90°，

∵∠EFH＝∠BFE，

∴△EHF∽△BEF，

∴，即，

∴BF＝10，

∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，

∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝，

∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，

∴，

∴OA＝，

∴AF＝．

一、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）21．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），

∴OC＝AB＝4，OA＝2，

∴点C的坐标为：（0，4），

∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2），∴位似比为1：2，

∴OP：AP＝OD：AB＝1：2，

设OP＝x，则，

解得：x＝2，

∴OP＝2，

即点P的坐标为：（﹣2，0）．

故答案为：（﹣2，0）．

22．【解答】解：由根与系数关系α+β＝1，

α3+2019β﹣2018

＝α3﹣2019α+（2019α+2019β）﹣2018

＝α3﹣2019α+2019（α+β）﹣2018

＝α3﹣2019α+2019﹣2018

＝α3﹣2019α+1

＝α（α2﹣2019）+1

＝α（α+2018﹣2019）+1

＝α（α﹣1）+1

＝α2﹣α+1

＝2018+1

＝2019．

故答案为2019．

23．【解答】解：∵直线与双曲线有1个交点，

∴x﹣a＝，整理得，x2﹣ax﹣（3a+2）＝0，

∴△＝（﹣a）2+（3a+2）＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣2，

∴使直线与双曲线有1个交点的概率为，

故答案为．

24．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．

∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，

∴CD2＝CF?CB，

∴＝，

∵∠FCD＝∠DCB，

∴△FCD∽△DCB，

∴＝＝，

∴DF＝BD，

∴BD+AD＝DF+AF，

∵DF+AD≥AF，AF＝＝2，

∴BD+AD的最小值是2，

故答案为2．

25．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），∴a+b+c＝﹣1 ①a﹣b+c＝1 ②

①+②得：a+c＝0 即a与c互为相反数，

①﹣②得：b＝﹣1；

所以抛物线表达式为y＝ax2﹣x﹣a（a≠0），

∴对称轴为x＝，

当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝＜0，

∵抛物线y＝ax2﹣x﹣a（a≠0）经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），

画图可知，当≤﹣1时符合题意，此时﹣≤a＜0，

当﹣1＜＜0时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去

同理，当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝＞0，

画图可知，当≥1时符合题意，此时0＜a≤，

当0＜＜1时，图象不符合﹣1≤y≤1的要求，舍去，

综上所述：a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤，

故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）26．【解答】解：（1）设每台电冰箱的进价m元，每台空调的进价（m﹣400）元

依题意得，，

解得：m＝2000，

经检验，m＝2000是原分式方程的解，

∴m＝2000；

∴每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元．

（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100﹣x）台，

根据题意得，总利润W＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000，∵﹣50＜0，

∴W随x的增大而减小，

∵33≤x≤40，

∴当x＝33时，W有最大值，

即此时应购进电冰箱33台，则购进空调67台．

27．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∵BF⊥DE，

∴∠GFD＝90°，

∴∠BCD＝∠GFD，

∵∠BGC＝∠FGD，

∴△BGC∽△DGF，

∴，

∴DG?BC＝DF?BG；

（2）解：如图1，连接BD，

∵△BGC∽△DGF，

∴，

∴，

∵∠BGD＝∠CGF，

∴△BGD∽△CGF，

∴∠BDG＝∠CFG，

∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，

∴∠BDG＝∠ADC＝45°，

∴∠CFB＝45°；

（3）解：BF＝CH+DF，

理由如下：如图2，在线段FB上截取FM，使得FM＝FD，连接DM，∵∠BFD＝90°，

∴∠MDF＝∠DMF＝45°，DM＝DF，

∵∠BDG＝45°，

∴∠BDM＝∠CDF，

∵△BGD∽△CGF，

∴∠GBD＝∠DCF，

∴△BDM∽△CDF，

∴，

∴BM＝CF，

∵∠CFB＝45°，BF⊥DE，

点C关于直线DE的对称点H，

∴∠EFG＝∠EFC＝45°，

∴∠CFG＝90°，

∵CF＝FG，

∴CH＝CF，

∴BM＝CH，

∴BF＝BM+FM＝CH+DF．