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新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结
新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题归类总结

勾股定理典型例题归类总结

题型一:直接考查勾股定理

例1.在ABC ?中,90C ∠=?.

⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长

跟踪练习:

1.在ABC ?中,90C ∠=?.

(1)若a=5,b=12,则c= ;

(2)若a:b=3:4,c =15,则a = ,b = .

(3)若∠A=30°,BC=2,则A B= ,AC= .

2. 在Rt △A BC中,∠C =90°,∠A,∠B,∠C 分别对的边为a ,b ,c,则下列结论正确的是( ) A、 B 、 C 、 D 、 3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为( )

A 、2、4、6

B 、4、6、8

C 、6、8、10

D 、3、4、5

4.等腰直角三角形的直角边为2,则斜边的长为( )

A 、

B 、

C 、1

D 、2

5.已知等边三角形的边长为2cm ,则等边三角形的面积为( )

A 、

B 、

C 、1

D 、

6.已知直角三角形的两边为2和3,则第三边的长为___________.

7.如图,∠AC B=∠ABD=90°,AC=2,BC=1,,则BD=___________.?

8.已知△ABC 中,AB=AC=10,BD 是A C边上的高线,CD=2,那么BD 等于( )

A 、4 B、6 C、8 D、

9.已知R t△ABC 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积。

10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广.

(1)如图,以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系?并说明理由。

(2)如图,以Rt△A BC 的三边长为直径作三个半圆,则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系? (3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系,并说明理由。(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”)

题型二:利用勾股定理测量长度

例1. 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?

跟踪练习:

1.如图(8),水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D 点,并求水池的深度AC.

2.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米,消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是( )

A 、12米

B 、13米

C 、14米

D 、15米

3.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行( )?

A、8米 B 、10米 C、12米 D 、14米

题型三:勾股定理和逆定理并用——

例3. 如图3,正方形AB CD 中,E 是BC 边上的中点,F是AB 上一点,且AB FB 4

1 那么△D EF 是直角三角形吗?为什么?

注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。

跟踪练习:

0°?

题型四:利用勾股定理求线段长度——

例1.如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D 恰好落在BC边上的点F,求CE的长.

跟踪练习:

1.如图,将一个有45度角的三角板顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上,另一个顶点B在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,求三角板的最大边AB的

长.?

2.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D为AC的中点,DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,(1)求证:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的长.

3.如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上的一点.若AD=1,BD=3,求CD的

长.?

题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直——

例1.有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?

跟踪练习:

1.如图,每个小正方形的边长都是1,△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判断△ABC 的形状,并说明理由.(1)求证:∠ABD=90°;(2)求的值

2.下列各组数中,以它们边的三角形不是直角三角形的是( )

A、9,12,15

B、7,24,25C、D、,,

3.在△ABC中,下列说法①∠B=∠C-∠A;②;③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=5:4:

3;⑤::=1:2:3,其中能判断△ABC为直角三角形的条件有()

A、2个B、3个C、4个D、5个

4.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形?并判断哪一个是直角?

(1)a=26,b=10,c=24;(2)a=5,b=7,c=9;(3)a=2,,

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个

5.已知△ABC的三边长为a、b、c,且满足,则此时三角形一定是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形

6.在△A BC 中,若a=12-n ,b=2n ,c=12

+n ,则△ABC 是( )

A 、锐角三角形

B 、钝角三角形 C、等腰三角形 D 、直角三角形

7.如图,正方形网格中的△ABC 是( )

A 、直角三角形

B 、锐角三角形

C 、钝角三角形

D 、锐角三角形或钝角三角形

8.已知在△A BC 中,∠A、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b、c,下列说法中,错误的是( ) A、如果∠C -∠B=∠A,那么∠C =90° B 、如果∠C=90°,那么

C 、如果(a +b )(a-b )=,那么∠A =90° D、如果∠A=30°,那么AC =2BC

9.已知△AB C的三边分别为a,b,c,且a+b=3,ab=1,

,求的值,试判断△ABC 的形状,

并说明理由

10.观察下列各式:,,,……,根据其中规律,写出下一个式子为_____________ 11.已知,m >n,m 、n 为正整数,以,2m n,为边的三角形是___三角形.

12.一个直角三角形的三边分别为n+1,n-1,8,其中n +1是最大边,当n 为多少时,三角形为直角三角形? 题型六:旋转问题:

例题6. 如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△A BC 的边长.

跟踪练习

1.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且∠EAF =45°,试探究222BE CF EF 、、间的关系,并说明理由.

题型七:关于翻折问题

例题7.如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长.

跟踪练习

1.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻折,点C落在点C’的位置,BC=4,求BC’的长.

(一)折叠直角三角形

1.如图,在△ABC中,∠A =90°,点D为AB上一点,沿CD折叠△ABC,点A恰好落在BC边上的'A处,AB=4,AC=3,求BD的长。

2. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5.将△ABC折叠使C与A重合,折痕为DE,求BE的长.

(二)折叠长方形

1.如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=5,F为CD上一点,将长方形沿折痕AF折叠,点D恰好落在BC上的点E处,求CF的长。

2.如图,长方形ABCD中,AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠,使点D与点B重合,点C与C'重合.(1)求DE的长;(2)求折痕EF的长.

3. (2013?常德)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边CD落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处.若AB=3,AD=4,则ED的长为()

4. 如图,长方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A′处DA′交BC于F点. (1)求证:FB=FE (2)求证:CA′∥BD

(3)求△DBF的面积

7. 如图,正方形ABCD中,点E在边CD上,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC的中点,连结AG、CF. (1)求证:AG∥CF;(2)求的值.

题型八:关于勾股定理在实际中的应用:

例1、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?

例2.一辆装满货物高为1.8米,宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道,它能顺利通过吗?

跟踪练习:

1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处,以每小时26km的速度向北偏东60°方向

移动,距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响?如果受影响,请求出遭受风暴影响的时间;如果没有受影响,请说明理由。

2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

3.有一个边长为50dm的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少多长?(结果保留整数)

4.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,C B=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处?

题型九:关于最短性问题

例1、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(π取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算)

例2.

跟踪练习:

2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?

2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?

3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm,6cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?

4.如图将一根

13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中,

题型十:勾股定理与特殊角

(一)直接运用30°或45°的直角三角形

1.如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠B =30°,AD是△ABC的角平分线,若AC=23,求AD的长。

A 5

3

1

B

A A

3

A

2.如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,AD 是△A BC的角平分线,CD⊥AB 于D,∠A= 30°,CD=2,求AB 的长。

3.如图,在△AB C中,AD ⊥BC 于D,∠B= 60°,∠,C= 45°,AC=2,求B D的长。

(二) 作垂线构造30°或45°的直角三角形

(1) 将105°转化为45°和60°

1.如图,在△ABC 中,∠B= 45°,∠A=105°,AC =2,求B C的长。

2.如图,在四边形ABC D中,∠A=∠C= 45°,∠ADB =∠ABC =105°,⑴若AD=2,求AB 的长;⑵若AB +C D=32,求A B的长。

A B D

C

3. 如图,在△ABC 中,∠B= 45°,∠BAC=75°,AB=6 ,求BC 的长。

题型十一:运用勾股定理列方程

(一)直接用勾股定理列方程

1. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AD 平分∠CAB 交CB 于D,CD=3,BD=5,求AD 的长。

2. 如图,在△ABC 中,A D ⊥BC 于D,且∠CAD=2∠B AD,若BD=3,CD =8,求AB 的长。

(二)巧用“连环勾”列方程

1. 如图,在△A BC 中,AB=5,BC =7,AC=24,求ABC S .

2. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,C D ⊥A B于D,AC=3,B C=4,求AD 的长。

勾股定理题型归纳

勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠2 2b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足2 2 b a +=2 c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 勾股定理培优经典题型归纳 题型一:利用勾股定理解决实际问题 训练1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高4.5米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开? 训练2、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响 的时间为多少?

题型二、与勾股定理有关的图形问题 训练3.如图,直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ,点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____. 题型三、关于翻折问题 训练4、如图,折叠矩形纸片ABCD ,先折出折痕(对角线)BD ,再折叠,使AD 落在对角线BD 上,得折痕DG ,若AB = 2,BC = 1,求AG. 训练5、如图,把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处,EC 与AD 相交于点F.若AB=4,BC=6,求△FAC 的周长和面积. 训练6、如图,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上F 点处,已知cm CE 6=,cm AB 16=, 求BF 的长. G A B F E D C B A

勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容: 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠=?, 则 ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已 知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知△AC D中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD =1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=A D2 设水深AC= x 米,那么AD =A B=AC+CB =x +0.5 x2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

最新勾股定理知识点与常见题型总结(1)

《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三 角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的 边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 1、已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 2、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直角三形的有: ( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关

勾股定理经典例题(含答案)

类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,

. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三:勾股定理的实际应用(一) 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1)

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是() A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1)題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2)解題思器;可利用勾脸定理直接求出各边长,再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中,Af=l, AE=2,根据勾股定理,得昇 EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=(鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专:* 1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实,同样是S6

"不一罡就等于餌,疋不一罡就昱斜辺,KABC不一定就是直角三祐

3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形)到懺 y =沖十沪)的过程,而直角三角形的判定是一 ①从嗦(一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件)到偲个三角形是直角三角形)的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性,遊免漏辭.初 例玉如圏,有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于(、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析,本题着查勾股定理的应用刎 :)解龜思路;車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的,因为貝知遒一条边卫0的长,由题意可知,AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2>黄泱,则在Rt A ABO中,由勾股定 理可得^=^(^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl)2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。所以,在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系,这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想:通过列方程(组)解决问题,如:运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时,经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3:一场罕见的大风过后,学校那棵老杨树折断在地,此刻,张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道:“老师,那棵树看起来挺高的。” “是啊,有10米高呢,现在被风拦腰刮断,可惜呀!” “但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动,他说:“刚才我跑过时用脚步量了一下,发现树尖距离树根恰好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗?” 占明想了想说:“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/2613230293.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=? ,则22 c a b = +, 2 2 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/2613230293.html, 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ? +-=,化简可证. c b a H G F E D C B A

初二上勾股定理(经典题型)

初二上勾股定理(经典 题型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 第十九章 几何证明 ——勾股定理及两点之间的距离公式 【知识回顾】 1、勾股定理:对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么一定有222c b a =+(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。) 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 有关系,222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 4、常见的勾股数:(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n),(8n,15n,17n),(7n,24n,25n),(9n,40n,41n)….. 5、勾股定理的证明图 6、两点之间的距离公式:2 122 12)()(y y x x AB -+-= 【例题讲解】 例题1、细心观察下图,认真分析各式,然后解答问题 (1)请用含n (n 是整数数)的等式表示上述变化规律;

(2)求出的值。 例题3、已知等腰三角形的周长是16cm,底边上的高是4cm,根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长?若能,请把它们求出来,若不能,要说明理由。 例题2、如图所示,已知△ABC的三边 15= = =AC BC AB求△ABC , 20 25 , , 最长边上的高? 例题4、已知如图△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且 ∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2. - 3 -

- 4 - 例题5、如图,已知0090,60=∠=∠=∠D B A ,AB=2,CD=1,求BC 、AD 的长。 例题6、一只2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上,这时梯脚距离墙角0.7m ,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ,那么梯脚移动的距离是多少?

勾股定理题型总结83533

勾股定理知识技能和题型归纳(一)——知识技能 一、本章知识内容归纳 1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 (1)重视勾股定理的叙述形式: ①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看,有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用: ①已知直角三角形的两边,求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为n 的线段。(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来,进一步反映了数与形的互相表示,加深对无理数概念的认识。) 2、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的证明方法,通过构造一个三角形与直角三角形全等,达到证明某个角为直角的目的。 (2)逆定理的作用:判定一个三角形是否为直角三角形。 (3)勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下: ①首先确定最大的边(如c ) ②验证2 2 b a +与2 c 是否具有相等关系: 若2 2 2 c b a =+,则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2 2 2 c b a ≠+,则△ABC 不是直角三角形。 补充知识: 当222c b a >+时,则是锐角三角形;当2 22c b a <+时,则是钝角三角形。 (4)通过总结归纳,记住一些常用的勾股数。如:3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;9,40,41;……以及这些数组的倍数组成的数组。 勾股数组的一般规律: ① 丢番图发现的:式子n m n m mn n m >+-(,2,2 2 2 2 的正整数) ② 毕达哥拉斯发现的:122,22,122 2 ++++n n n n n (1>n 的整数) ③ 柏拉图发现的:1,1,222 +-n n n (1>n 的整数)

勾股定理典型题型

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题 一、经典例题精讲 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理 222a b c += 解:⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-= 题型二:利用勾股定理测量长度 例题1 如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少 米? 解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,. 已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理! 根据勾股定理AC 2+BC 2=AB 2, 即AC 2+92=152,所以AC 2 =144,所以AC=12. 例题2 如图(8),水池中离岸边D 点1.5米的C 处,直立长着一根芦苇,出水部分B C 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到 D 点,并求水池的深度AC. 解析:同例题1一样,先将实物模型转化为数学模型,如 图2. 由题意可知△ACD 中,∠ACD=90°,在Rt △ACD 中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾 股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下(仅供参考): 解:如图2,根据勾股定理,AC 2+CD 2=AD 2 设水深AC= x 米,那么AD=AB=AC+CB=x +0.5 x 2+1.52=( x +0.5)2 解之得x =2. 故水深为2米. 题型三:勾股定理和逆定理并用—— 例题3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1= 那么△DEF 是直角三角形吗?为什么? C B D A

勾股定理练习题及问题详解(共6套)

勾股定理课时练(1) 1. 在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2 2 2AC BC+ +的值是() A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是______ cm(结果不取近似值). 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______. 4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m? 5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。求CD的长. 9. 如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长. 10. 如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北 7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗?

勾股定理知识点与题型总结大全-勾股定理知识点总结

C A B D 勾股定理全章类题总结 类型一:等面积法求高 【例题】如图,△ABC中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,C D⊥AB于D。 (1)求AB的长; (2)求CD的长。 类型二:面积问题 【例题】如下左图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的 正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。 【练习1】如上右图,每个小方 格都是边长为1的正方形, (1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。 (2)求∠ADC的度数。 【练习2】如图,四边形ABCD是正方形,AE⊥ BE,且AE=3,BE=4,阴影部分的面积是______. 【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 类型三:距离最短问题 【例题】如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30 千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用 为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M ,使铺设水管的费用最节省,并求出 总费用是多少? A B C D 7cm A B D C E B 169 25 A B C D L

【练习1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的 直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程. 【练习2】如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 类型四:判断三角形的形状 【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2 +b 2 +c 2 +50=6a+8b+10c ,判断ΔABC 的形状。 【练习1】已知△ABC 的三边分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2 (m,n 为正整数,且m >n),判 断△ABC 是否为直角三角形. 【练习2】若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件 a 2+ b 2+ c 2+338=10a +24b +26c ,试判断△ABC 的形状. 【练习3】.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足 (a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0,则它的形状为( )三角形 A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角 【练习4】三角形的三边长为 ab c b a 2)(2 2+=+,则这个三角形是( ) 三角形 (A )等边(B )钝角(C ) 直角(D )锐角 类型五:直接考查勾股定理 【例题】在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b ; (2)已知a=40,b=9,求c ;(3)已知c=25,b=15,求a.。 小河 A B 东 北 牧童 小屋

勾股定理经典例题(含答案)A

勾股定理经典例题(含答案)A

经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。

类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从 营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到 达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

(二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 举一反三 【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

类型四:利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 类型五:逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1.原命题:猫有四只脚. 2.原命题:对顶角相等 3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等. 4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足

八年级下册勾股定理典型例题

D 人教版数学第十七章《勾股定理》必刷题 如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子靠墙的一端距地面24米. (1)这个梯子底端离墙有多少米? (2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 如图,在离水面高度为5米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC 的长为13米,此人以0.5米每秒的速度收绳,10秒后船移动到点D 的位置,问船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号) 细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. OA 22= 2 1+1=2,1S 1 ; OA 32=12+(2 2=3,2S 2 ; OA 42=12+(2 3=4,3S 3… (1)请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变规律:OA n 2= ;S n = . (2)求出OA 10的长. (35,计算说明他是第几个三角形? (4)求出S 12+S 22+S 32+…+S 102的值.

如图所示,在一次夏令营活动中,小明坐车从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 1003km到达B点,然 后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点,求出A、C两点之间的距离. 如图,小丽想知道自家门前小河的宽度,于是她按以下办法测出了如下数据:小丽在河岸边选取点A,在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°;小丽沿岸向前走30m选取点B,并测得∠CBD=60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮小丽计算小河的宽度. 60° 30° D B A C

小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高.小明说:“这楼起码20层!”小华却不以为然:“20层?我看没有,数数就知道了!”小明说:“有本事,你不用数也能明白!”小华想了想说:“没问题!让我们来量一量吧!”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点,测量数据如图,其中矩形CDEF 表示楼体,AB=150米,CD=10米,∠A=30°,∠B=45°,(A 、C 、D 、B 四点在同一直线上)问: (1)楼高多少米? (2)若每层楼按3米计算,你支持小明还是小华的观点呢?请说明理由. 1.73 ≈1.41 ≈2.24) B A C 如图,某城市接到台风警报,在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15km/h 的速度移动,已知城市A 到BC 的距离AD=100km . (1)台风中心经过多长时间从B 移动到D 点? (2)已知在距台风中心30km 的圆形区域内都会受到不同程度的影响,若在点D 的工作人员早上6: 00接到台风警报,台风开始影响到台风结束影响要做预防工作,则他们要在什么时间段内做预防工作? B A

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二:勾股定理的构造应用 2 、如图,已知:在中,, ,. 求:BC的长. 1、某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要() A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图,已知: ,,于P. 求证:. 150° 20m 30m

【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B 点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? (二)用勾股定理求最短问题 4、如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,

(完整版)勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1?勾股定理 内容:____________________________________________________________ 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a , b,斜边为c,那么__________________ 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 3 ?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC中,C 90 , 则 __________________________________________ ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定 理解决一些实际问题 4. 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2c,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过数转化为形”来确定三角形的可能 形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较,若它们相等时,以 a , b , c为三边 的三角形是直角三角形;若 _________ ,时,以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形;若__________________ ,时,以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长 a , b , c满足a2 c2 b2, 那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 5. 勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2 b2 c2中,a , b , c为正整数时,称a , b , c为 一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13; 7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数: 2 2 n 1,2n,n 1 (n 2, n 为正整数); 2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 (n为正整数)m2 n2,2mn,m2 n2(m n, m , n为正整数)7 .勾股定理的应用

勾股定理经典例题(含答案)29050

经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长 是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长.

思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长, 进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中, . ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD

最新勾股定理逆定理讲义(经典例题+详解+习题)

XX教育一对一个性化教案 授课日期:2014 年月日学生姓名许XX 教师姓名授课时段2h 年级8 学科数学课型VIP 教学内容勾股定理及逆定理 教学重、难点重点:运用勾股定理判定一个三角形是否为直角三角形。难点:运用用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题。 教学步骤及突出教学方法一、知识归纳 1、勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a,b,c满足222 a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若222 a b c +<,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若222 a b c +>,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a,b,c及222 a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足222 a c b +=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边。 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形。 2、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222 a b c +=中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数: 22 1,2,1 n n n -+(2, n≥n为正整数); 22 21,22,221 n n n n n ++++(n为正整数) 2222 ,2, m n mn m n -+(, m n >m,n为正整数)

勾股定理知识点与常见题型总结(1)

勾股定理知识点与常见题型总 结(1) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

《勾股定理分类练习》 题型一:直接考查勾股定理:直角三角形中,若a, b 分别为直角边,c 为斜边,那么直角三角形三边的关系为 a 2 +b 2 =c 2 注意:直角三角形中,最长的边为斜边,较短的两边为直角边 1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积,则图中A 字母所代表的正方形面积是 2、 如图4,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2。 3、在Rt △ABC 中,斜边AB 2 =3,则AB 2+BC 2+AC 2的值是______ “知二求一”的题,可以直接利用勾股定理! 4、在ABC ?中,90C ∠=?. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A .25 B .14 C .7 D .7或25 题型二:应用勾股定理建立方程(“知一求二”的题,应设未知数) 3:4152、已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 3、已知△ABC ,∠A=90 °, ∠B=30°,AB=5,求AC,BC 的值. 题型三:勾股定理的逆定理: 1、以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A .2,3,4 B .10,8,4 C .7,25,24 D .7,15,12 2、分别有下列几组数据:①6、8、10 ②12、1 3、5 ③ 17、8 、15 ④ 4、11、9其中能构成直 角三形的有:( ) A、4组 B、3组 C、2组 D、1组 3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形 4、请写出“对顶角相等”和“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的逆命题 题型四、与直角三角形面积相关 A B C D 7cm

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