高三数学期中测试试卷 文
2016下学期 浏阳一中高三年级期中测试卷
文 科 数 学
时量： 120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}1
x
A x x =≤-,2{|2}
B x x x =<,则A B = （ ）
A.{|01}x x <<
B.{|01}x x ≤<
C.{|01}x x <≤
D.{|01}x x ≤≤ 2.已知复数12312z bi z i =-=-，,若1
2
z z 是实数，则实数b 的值为 （ ）
A ．0
B ．32
-
C ．6-
D ．6
3. 在平面直角坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??
-+≥??≤?
表示的平面区域面积是（ ）．
A ．9
B ．6
C ．
9
2
D ．3 4. 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①()sin f x x =，②()cos f x x =， ③1()f x x =
， ④1()lg 1x f x x
-=+，则输出的函数是 ( ) A.()sin f x x = B.()cos f x x = C.1()f x x =
D.1()lg 1x f x x
-=+ 5.以下判断正确的是 ( )
A.函数()y f x =为R 上可导函数，则()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的充要条件
B.命题“存在2
,10x R x x ∈+-<”的否定是“任意2
,10x R x x ∈+->” C.“()2
k k Z π
?π=+
∈”是“函数()sin()f x x ω?=+是偶函数”的充要条
C M N
O
B
A
件
D.命题“在ABC ?中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题
6.一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 则该几何体的体积为
A.120 cm 3
B.100 cm 3
C.80 cm 3
D.60 cm 3
7.若数列n
a 的通项公式为221n n
a n ，则数列n a 的前n 项和为
（ ） A.22
1n
n B.1221n n C.1222n n D.22n n
8.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 9.函数sin(2),()y x ?π?π=+-≤<的图象向右平移
4π个单位后，与函数sin(2)3
y x π=+ 的图象重合，则?的值为 ( ) A. 56π-
B. 56π
C. 6
π D. 6π
- 10.如图所示,两个不共线向量,OA OB 的夹角为，,M N 分别为,OA OB 的中点,点C 在直
线MN 上,且(,)OC xOA yOB x y R =+∈,则22
x y +的最小值为（ ）
A.2
B.18
C.2
D.12
11.在ABC ?中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23ABC S ?=6a b +=，
cos cos 2cos a B b A
C c
+=，则c =（ ）
A ． 23．7．3312.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(,0)-∞
B ．1(0,)2
C ．(0,1)
D ．(0,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是 。
14.已知向量()()()()
1,1,2,2,,==+=++⊥-m n m n m n λλλ若则 .
15正四棱锥S ABCD -2,,,,S A B C D 都在同一球面上，则该球的体积为 ．
16.设函数[],0
()(1),0
x x x f x f x x -≥?=?+
[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，
则k 的取值范围是_____________
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分） 已知函数2
()2sin 23cos 1f x x x x =-++.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63
x ππ
∈-，求()f x 的最大值和最小值.
18.（本小题12分）某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为
]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用
分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本. （1）求每个分组所抽取的学生人数；
（2）从数学成绩在)150,110[的样本中任取2人，求恰有1人成绩在)130,110[的概率.
19.（本小题12分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．
a
（1）求证：AF ∥平面PCE ；（2）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；
20（本小题12分）已知美国苹果公司生产某款iphone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元．设苹果公司一年内共生产该款iphone 手机x 万只并全部销售
完，每万只的销售收入为R （x ）万美元，且R （x ）=
（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万只）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21（本小题12分）设同时满足条件：①2
12
n n n b b b +++≥；②n b M ≤（*,n N M ∈是常数）的无穷数列{}n b 叫做P 数列，已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)1
n n a
S a a =
--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n n
S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；并证明数列1
{}n b 为P 数列.
22（本小题12分）设函数2
()ln f x a x bx =-. （1）若函数)(x f 在1x =处与直线2
1
-=y 相切， ①求实数a ，b 的值；
②求函数()f x 在1[,]e e
上的最大值；
（2）当0b =时，若不等式x m x f +≥)(对所有的3[0,]2
a ∈，(
2
1,x e ?∈?都成立，
求实数m 的取值范围.
E
F
A
C
D
P
π3
4
高三文科数学答案
A D A D C,
B
C
D B B, A B
11[,)43
26, -3,
17 已知函数2
()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心； （Ⅱ）若[,]63
x ππ
∈-
，求()f x 的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）()3sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=+=+ …4分
∴()f x 的最小正周期为22
T π
π==， ……5分 令ππ
k x =+
6
2，则()212
k x k Z ππ
=
-∈， ∴()f x 的对称中心为(
,0),()212
k k Z ππ
-∈ ……6分 （Ⅱ）∵[,]63x ππ∈- ∴52666
x πππ
-≤+≤ ......8分
∴1sin(2)126
x π
-≤+≤ ∴1()2f x -≤≤ .......10分
∴当6
x π
=-时，()f x 的最小值为1-；当6x π=时，()f x 的最大值为2
18.（1）2,3,4,1；（2）3
5
.
19（1）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ， ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG 2
1
//
CD …………1分 ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点 ∴AB 2
1
//
CD ∴FG //AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF ∥EG ………3分 又EG ?平面PCE ，AF ?平面PCE ∴AF ∥平面PCE …………6分
（2）∵ PA ⊥底面ABCD
∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，PA AD=A
∴CD ⊥平面ADP ，又AF ?平面ADP ∴CD ⊥AF …………8分 直角三角形PAD 中，∠PDA=45°
∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA ＝AD=2 ∵F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又CD PD=D
∴AF ⊥平面PCD …………11分
∵AF ∥EG ∴EG ⊥平面PCD …………12分
又EG ?平面PCE ∴平面PCE ⊥平面PCD ……… 20解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得 当0＜x ≤40时，W=xR （x ）﹣（16x+40）=﹣6x 2+384x ﹣40；当x ＞40时，W=xR （x ）﹣（16x+40）=
∴W=；
（2）当0＜x ≤40时，W=﹣6x 2+384x ﹣40=﹣6（x ﹣32）2
+6104，∴x=32时，W max =W （32）=6104； 当x ＞40时，W=≤﹣2
+7360，
当且仅当
，即x=50时，W max =W （50）=5760
∵6104＞5760
∴x=32时，W 的最大值为6104万美元． 21.(1)当1n =时，()11111
a
a S a a ==
--，所以1a a =。 当2n ≥时，()111
n n n n n a
a S S a a a --=-=
--，整理得1n n a a a -=，
即数列{}n a 是以a 为首项、a 为公比的等比数列，所以1
n n n a a a
a -==。
(2)由(1)知，()()()()21312111n n n n n
a
a a a a a
b a a a ?
----=
+=*- 由数列{}n b 是等比数列，则2
213b b b =?，故2
22
323223a a a a a +++??
=? ???
，解得13a =， 再将13
a =
代入()*式得3n
n b =。 由于222111111112113333223n n n n n n n n b b b ++++++?+=>==，满足条件①；又由于11133n n b =≤，故存在1
3M ≥满足条件②。故数列1n b ??????
为P 数列.
22.解：（1）①
'()2
a
f x bx
x
=-
∵函数
()
f x在1
x=处与直线
1
2
y=-
相切
'(1)20
,
1
(1)
2
f a b
f b
=-=
?
?
∴?
=-=-
??
解得
1
1
2
a
b
=
?
?
?
=
??
(3)
分
②
2
2
111 ()ln,'()
2
x f x x x f x x
x x
-=-=-=
当1
x e
e
≤≤
时，令
'()0
f x>得
1
1
<
≤x
e；
令
'()0
f x<，得e
x≤
<
1??
?
??
?
∴1,
1
)
(
e
x
f在
上单调递增，在[1，e]上单调递减，max
1
()(1)
2
f x f
∴==-
…………8分