2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_3三角函数的图像与性质教师用书文北师大版
2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角
函数的图像与性质教师用书 文 北师大版
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π
2，
－1)，(2π，0)．
余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1)，(π
2，0)，(π，－1)，
(
3π
2
，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质
函数
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图像
定义域 R R
{x |x ∈R 且x ≠π
2
＋
k π，k ∈Z }
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
在[－π2＋2k π，π2
＋
2k π](k ∈Z )上是增加的； 在[π2＋2k π，3π
2＋
2k π](k ∈Z )上是减少的
在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上是增加
的； 在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上是减少的
在(－π2＋k π，π
2
＋
k π)(k ∈Z )上是增加
的
最值 当x ＝π
2＋2k π(k ∈Z )时，
y max ＝1；
当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； 当x ＝π＋2k π(k ∈Z )
【知识拓展】 1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1
4
个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性
若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π
2＋k π(k ∈Z )；
(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >
22，则x >π
4
.( × )
1．函数f (x )＝cos(2x －π
6)的最小正周期是( )
A.π
2 B ．π C．2π D．4π 答案 B
解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π
2
＝π.故选B.
2．(教材改编)函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π
2]上的值域为( )
A ．[－32，3
2]
B ．[－3
2，3]
C ．[－332，332]
D ．[－332
，3]
答案 B
解析 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π
6]，
sin(2x －π6)∈[－1
2，1]，
故3sin(2x －π6)∈[－3
2，3]，
即f (x )的值域为[－3
2
，3]．
3．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )
A.??????????x ?
?? x ≠k π＋π
4，k ∈Z
B.?????????
?x ?
?? x ≠k π2＋π
8，k ∈Z
C.?
?????
????x ???
x ≠k π＋π8，k ∈Z D.?
?????
????x ???
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
答案 D
解析 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
4
，k ∈Z ，
∴y ＝tan 2x 的定义域为?
?????
???
?x ???
x ≠k π2＋π
4，k ∈Z
. 4．(2016·开封模拟)已知函数f (x )＝4sin(π
3－2x )，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递减区
间是( ) A ．[－712π，－π
12
]
B ．[－π，－π
2
]
C ．[－π，－712π]，[－π
12，0]
D ．[－π，－512π]，[－π
12
，0]
答案 C
解析 f (x )＝4sin(π3－2x )＝－4sin(2x －π
3)．
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，得
－π12＋k π≤x ≤5
12π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的递减区间是 [－π12＋k π，5
12π＋k π](k ∈Z )． 因为x ∈[－π，0]，
所以函数f (x )的递减区间是[－π，－712π]，[－π
12，0]．
5．y ＝sin(x －π
4)的图像的对称中心是____________．
答案 (k π＋π
4，0)，k ∈Z
解析 令x －π
4＝k π(k ∈Z )，
∴x ＝k π＋π
4
(k ∈Z )，
∴y ＝sin(x －π4)的图像的对称中心是(k π＋π
4
，0)，k ∈Z .
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数f (x )＝－2tan(2x ＋π
6
)的定义域是____________．
(2)(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π
3，a ]，若f (x )的值域是[－
1
2
，1]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1){x |x ≠
k π2＋π
6，k ∈Z } (2)[π
3
，π] 解析 (1)由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π
6
，k ∈Z ，
所以f (x )的定义域为{x |x ≠
k π2
＋π
6
，k ∈Z }． (2)∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π
6]，
∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－1
2，1]，
∴由函数的图像知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π
3≤a ≤π.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x 和cos x 的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．
(1)函数y ＝lg(sin x )＋
cos x －1
2
的定义域为 .
(2)函数y ＝2sin(πx 6－π
3
) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________．
答案 (1)????
??x |2k π＜x ≤π
3＋2k π，k ∈Z
(2)2－ 3
解析 (1)要使函数有意义必须有????
?
sin x ＞0，cos x －1
2≥0，
即?
???
?
sin x ＞0，cos x ≥1
2，解得????
?
2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3
＋2k π≤x ≤π
3＋2k πk ∈Z ，
∴2k π＜x ≤π
3
＋2k π(k ∈Z )，
∴函数的定义域为????
??x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .
(2)∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π
6，
∴－
32≤sin(πx 6－π
3
)≤1， 故－3≤2sin(πx 6－π
3
)≤2.
即函数y ＝2sin(πx 6－π
3)(0≤x ≤9)的最大值为2，最小值为－ 3.
∴最大值与最小值的和为2－ 3.
题型二 三角函数的单调性
例2 (1)函数f (x )＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是( ) A.??????k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z )
B.?
??
??k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.?
????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )
D.?
?????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4在? ????π2，π上单调递减，则ω的取值范围是
________．
答案 (1)B (2)????
??12，54
解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π
2(k ∈Z )，
得
k π2－π
12＜x ＜k π2＋5π
12
(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ?
????2x －π3的单调递增区间为
?
????k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.
(2)由π
2
＜x ＜π，ω＞0，得
ωπ2＋π
4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π
4
， 又y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2
]，
所以?????
ωπ2＋π4≥π
2＋2k π，ωπ＋π4≤3π
2
＋2k π，k ∈Z ，
解得4k ＋12≤ω≤2k ＋5
4
，k ∈Z .
又由4k ＋12－(2k ＋54)≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈[12，5
4]．
引申探究
本例(2)中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)在(π
2，π)上单调递增，则ω的取值范
围是____________．
答案 [32，7
4
]
解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，
则?????
ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π
4
≤2k π，k ∈Z ，
解得4k －52≤ω≤2k －1
4
，k ∈Z ，
又由4k －52－? ????2k －14≤0，k ∈Z 且2k －1
4
＞0，k ∈Z ，
得k ＝1，所以ω∈????
??32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
(1)函数f (x )＝sin ?
????－2x ＋π3的单调减区间为________．
(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π
2]上单调递减，
则ω等于( ) A.2
3 B.32 C ．2
D ．3
答案 (1)??????k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )＝－sin ?
????2x －π3，
欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ? ????2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .
故所给函数的单调减区间为??????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．
(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π
2ω
时，
y ＝sin ωx 是增加的；
当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π
2ω
时， y ＝sin ωx 是减少的．
由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在?
?????0，π3上是增加的，
在??
??
??π3，π2上是减少的，知π2ω＝π3，
∴ω＝3
2
.
题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性
例3 (1)(2016·北京东城区模拟)函数y ＝12sin 2x ＋3cos 2
x －32的最小正周期等于( )
A ．π B．2π C.π4 D.π
2
(2)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π
3
)的最小正周期T 满足1 解析 (1)y ＝12sin 2x ＋3×1＋cos 2x 2－32＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π 3)，所以函 数的最小正周期T ＝2πω＝2π 2＝π，故选A. (2)由题意得，1<π k <2， ∴k <π<2k ，即π 2 又k ∈Z ，∴k ＝2或3. 命题点2 对称性 例4 对于函数f (x )＝sin ? ????πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上是增加的 B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上是减少的 C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上是增加的 D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上是减少的 答案 B 解析 因为f (x )＝sin ? ????πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上是减少的，故选B. 命题点3 对称性的应用 例5 (1)已知函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3的图像关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈??????－π2，0，则x 0＝________. (2)若函数y ＝cos(ωx ＋π6) (ω∈N ＋)图像的一个对称中心是(π 6 ，0)，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 (1)－π 6 (2)B 解析 (1)由题意可知2x 0＋π 3 ＝k π，k ∈Z ， 故x 0＝ k π2 －π 6 ，k ∈Z ， 又x 0∈??????－π2，0，∴－23≤k ≤13，k ∈Z ， ∴k ＝0，则x 0＝－π 6 . (2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π 2 (k ∈Z )， ∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N ＋，∴ωmin ＝2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义． ②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y ＝tan(ωx ＋φ) 的最小正周期为π |ω| . (1)(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝2sin(π2x ＋π 5 )，若对任意的实数 x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．π D ．2π (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π 3 ，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案 (1)A (2)A 解析 (1)由题意可得|x 1－x 2|的最小值为半个周期， 即T 2＝π ω ＝2. (2)由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π 3＋φ＋2π) ＝3cos(2π 3＋φ)＝0， ∴ 2π3＋φ＝k π＋π 2 ，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. 5．三角函数的性质 考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分． 典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.? ????k π－14，k π＋34，k ∈Z B.? ????2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.? ????k －1 4，k ＋34，k ∈Z D.? ????2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )恒成立，且f (π 8) ＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．－1或3 D ．－3 (3)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间???? ??－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值为________． 解析 (1)由图像知，周期T ＝2×? ?? ??54－14＝2， ∴ 2π ω ＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π 4， ∴f (x )＝cos ? ????πx ＋π4. 由2k π<πx ＋ π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14 4 ，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ????2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π 8对称，又函数f (x ) 在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)∵ω＞0，－π3≤x ≤π 4， ∴－ ωπ 3 ≤ωx ≤ ωπ 4 .由已知条件知－ ωπ 3≤－π 2 ， ∴ω≥3 2 . 答案 (1)D (2)C (3)3 2 1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π 8)等于( ) A ．1 B.1 2 C ．－1 D ．－12 答案 A 解析 ∵T ＝π，∴ω＝2， ∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sin π 2 ＝1. 2．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( ) A ．(－π 4，0) B ．(0，π 2) C ．(π2，3π4) D ．(3π 4 ，π) 答案 B 解析 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[k π，k π＋π 2]，k ∈Z ，故只有B 项满足． 3．关于函数y ＝tan(2x －π 3)，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数 B ．在区间(0，π 3)上单调递减 C ．(π 6，0)为其图像的一个对称中心 D ．最小正周期为π 答案 C 解析 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π 3)上是增加的，B 错误； 最小正周期为π 2 ，D 错误． ∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π 3)＝0， ∴(π 6 ，0)为其图像的一个对称中心，故选C. 4．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx －π 6)＋1(x ∈R )的图像的一条对称轴为x ＝ π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为( ) A. 3π5 B.6π5 C.9π5 D.12π5 答案 B 解析 由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1 (x ∈R )的图像的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－ π6＝k π＋π 2，k ∈Z ， ∴ω＝k ＋23，∴ω＝5 3 ， 从而得函数f (x )的最小正周期为2π53 ＝6π 5. 5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ( π 8 )＝－2，则f (x )的一个单调递减区 间是( ) A ．[－π8，3π8] B ．[π8，9π8] C ．[－3π8，π 8] D ．[π8，5π8 ] 答案 C 解析 由f (π 8 )＝－2，得 f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4 ＋φ)＝－2， 所以sin(π 4＋φ)＝1. 因为|φ|<π，所以φ＝π 4 . 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π 8，k ∈Z . 当k ＝0时，－3π8≤x ≤π 8 ，故选C. 6．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π 3]上是单调减函数，且函数 值从1减少到－1，则f (π 4)等于( ) A.12 B.22 C.3 2 D ．1 答案 C 解析 由题意得函数f (x )的周期T ＝2(2π3－π 6)＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)， 将点(π6，1)代入上式得sin(π3＋φ)＝1 (|φ|<π2)，所以φ＝π 6， 所以f (x )＝sin(2x ＋π 6 )， 于是f (π4)＝sin(π2＋π6)＝cos π6＝3 2 . 7．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________． 答案 [2k π＋π6，2k π＋5 6π]，k ∈Z 解析 由2sin x －1≥0，得sin x ≥1 2， ∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5 6 π，k ∈Z . 8．函数y ＝cos 2 x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________． 答案 1－2 2 解析 令t ＝sin x ，∵|x |≤π 4， ∴t ∈???? ??－ 22，22. ∴y ＝－t 2 ＋t ＋1＝－? ????t －122＋54 ， ∴当t ＝－ 22时，y min ＝1－22 . 9．函数y ＝cos(π 4－2x )的单调减区间为______________． 答案 [k π＋π8，k π＋5π 8](k ∈Z ) 解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π 4)， 得2k π≤2x －π 4≤2k π＋π (k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π 8 (k ∈Z )， 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π 8 ](k ∈Z )． 10．(2016·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间[－π2，2π 3]上是增加的，则ω 的取值范围是__________． 答案 (0，3 4 ] 解析 方法一 由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π 2ω]，k ∈Z . 因为f (x )在[－π2，2π 3]上是增加的， 所以[－π2，2π3]?[－π2ω，π 2ω ]， 即－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，3 4]． 方法二 因为x ∈[－π2，2π 3]，ω>0. 所以ωx ∈[－ ωπ2， 2πω 3 ]， 又f (x )在区间[－π2，2π 3]上是增加的， 所以[－ ωπ2， 2πω 3]?[－π2，π2 ]， 则????? －ωπ2≥－π2，2πω3≤π2， 又ω>0，得0<ω≤3 4 . 11．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π 8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π 2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π 4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π 4. (2)由(1)得f (x )＝sin ? ????2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π 2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π 8 ＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调递增区间为??????π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 12．(2015·北京)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2 x 2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间? ?????0，2π3上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3 ＝2sin ? ????x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π 3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π 3 时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间??????0，2π3上的最小值为f ? ?? ??2π3＝－ 3. 13.已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ? ????2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈??????0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值； (2)设g (x )＝f ? ????x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈??????0，π2，∴2x ＋π6∈??????π6，7π6， ∴sin ? ????2x ＋π6∈??????－12，1， ∴－2a sin ? ????2x ＋π6∈[－2a ，a ]， ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ? ????2x ＋π6－1， g (x )＝f ? ? ??? x ＋π2＝－4sin ? ? ??? 2x ＋7π6－1 ＝4sin ? ????2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ? ????2x ＋π6－1>1，∴sin ? ????2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π 6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π 2 ，k ∈Z 时， g (x )是增加的，即k π 6 ，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为? ????k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π 6 ，k ∈Z 时， g (x )是减少的，即k π＋π6 ，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为? ????k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 1.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0． （1）求函数f（x）的表达式； （2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值． 解：（Ⅰ）． 依题意：函数． 所以． ， 所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0． ． （Ⅱ）∵，∴ ．． 在Rt△ABC中，∵， ∴． ∵0＜sinA＜1，∴． 2.已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为． （I）求y=f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c?cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（Ⅰ）∵ ， =， ∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为， ∴T=π，∴，∴ω=1，∴． ∵得：， ∴函数f（x）单调增区间为； （Ⅱ）∵（2b﹣a）cosC=c?cosA，由正弦定理， 得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）， ∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB， ∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，∵0＜C＜π，∴，∴， ∴．∴， 根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值y max=1， 此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形． 3.已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π： （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，?=，且a+c=4，试求b的值． 【解答】解：（1）f（x）=sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1 ==． ∵T=，∴ω=2． 则f（x）=2sin（2x）﹣1； （2）由f（B）==0，得． ∴或，k∈Z． ∵B是三角形内角，∴B=． 而=ac?cosB=，∴ac=3． 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度：高、中、低命题指数：☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝________. 2．(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.若a＝2，c＝2 3，c os A＝ 3 2 且b＜c，则b＝________. 3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝ 2π 3 ，则∠B＝ ________. 4．(2015·福建高考)若△ABC中，A C＝3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝________. 5．(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边， sin2B＝2sin A sin C. (1)若a＝b，求cos B；[来源:学科网ZXXK] (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析 教学过程 6．(2015·山东高考)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知cos B＝ 3 3 ，sin(A＋B)＝ 6 9 ，ac＝23，求sin A和c的值． 7．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝ 2DC. (1)求 sin B sin C ； (2)若∠BAC＝60°，求∠B. 8．(2015·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知tan ? ? ?? ? π 4 ＋A＝2. (1)求 sin 2A sin 2A＋cos2A 的值； (2)若B＝ π 4 ，a＝3，求△ABC的面积．[来源:学科 教 学 效 果 分 析 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210 7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:１、化为求得值域; ，引入辅助角,化为求解方法同类型。 ２、化为关于(或)得二次函数式; ,设，化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数，)、 ) ②y=taｎx图象得对称中心(，0) （二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出）周期 ３、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间，重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为，值域为，求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 ３、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ）求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、 7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x）得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,， ②，， ③== ④ (4)面积公式:S=ab*siｎC=bc＊siｎA＝cａ＊sinB 课堂练习: １、在中，角得对边分别为,已知,则（ ) Ａ、1 ?Ｂ.2 Ｃ、???D、 2、在△ABＣ中，AB=3，BＣ=，AC=4,则边AＣ上得高为( ) Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、 ３、在ΔＡＢC中,已知a=,b=,Ｂ=45°,求角A,角C得大小及边ｃ得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、ｂ、c,若a、b、c成等比数列，且,则（) A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,，,则___＿＿___＿_ 6、在锐角△ABＣ中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_＿____＿、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?Ａ、75°?Ｂ、60° ?C、４5°Ｄ、30° 8、在△中，若，则等于、 9、在中,已知，则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 １0、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形，就就是等腰直角三角形,∠=，交于,、 ?（1)求∠得得值; （2)求、 12、在中,角A、B、Ｃ所对得边分别为ａ,ｂ,ｃ,且满足 必修四三角函数与解三角形综合测试题 （本试卷满分150分，考试时间120分） 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在3 2π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则（ ） A ．47 B ．169- C ．329- D ．32 9 3.下列函数中，最小正周期为 2 π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ） A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z ) B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z ) C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z ) D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12π- B ．3π- C ．3 π D ．12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ．33 C ．33- D ．3- 8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ?中，π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） 三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ= 或3π2 ． （2）2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?． 因此，函数的值域是[1- +． 27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4 tan 3 α= ，cos()5αβ+=-． (1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α= ，sin tan cos ααα=，所以4 sin cos 3 αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29 cos 25 α= ， 因此，27cos22cos 125 αα=-=- ． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--， 因此，tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过 点3 4(,)55 P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-， 所以4 sin()sin 5απα+=-=． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-， 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-． 29．（2017浙江）已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ． （Ⅰ）求2( )3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】（Ⅰ）由2sin 32π=，21 cos 32 π=-， 高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草 图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进 行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2， ∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89 . 当sin θ=41时λ取最小值－89 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴－89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89 ，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：三角函数解三角形综合
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