2019-2020学年辽宁省本溪市本溪县高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省本溪市本溪县高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.

1．已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{y|y＝ln（|x|+1）}，则A∩B＝（）A．[0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，1}

2．若纯虚数z满足（1+i）z＝1﹣ai（i是虚数单位，a∈R），则在复平面内表示的点为（）A．（0，﹣1）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，2）

3．已知向量＝（1，3），＝（t，1），若（﹣）∥，则实数t的值为（）A．B．3C．﹣1D．﹣1或2

4．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼?春官?大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（p ào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A．B．C．D．

5．下列函数中，定义域与值域相同的是（）

A．B．y＝lnx C．D．

6．已知函数f（x）＝log a（|x﹣1|﹣a）（a＞0且a≠1），则“函数f（x）在（3，+∞）上单调递增”是“1＜a＜2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7．（）6的二项展开式中的常数项为（）

A．12B．240C．60D．160

8．某天某校的校园卫生清扫轮到高二（5）班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）

A．240种B．150种C．120种D．60种

9．已知函数f（x）＝sin（ωx）cos（ωx）+cos2ωx﹣（ω＞0），若f（x）在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）

A．（0，2]B．（0，1]C．（，1]D．（0，]

10．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（）

A．恰有1只是坏的B．4只全是好的

C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的

二、选择题:本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

11．若随机变量ξ～N（0，1），φ（x）＝P（ξ≤x），其中x＞0，下列等式成立有（）A．φ（﹣x）＝1﹣φ（x）B．φ（2x）＝2φ（x）

C．P（|ξ|＜x）＝2φ（x）﹣1D．P（|ξ|＞x）＝2﹣φ（x）

12．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）

A．y＝cos x B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是．

14．已知函数f（x）＝，则f（3）＝．

15．已知随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（a∈R，n＝1，2，3），则a＝，D（X）＝．

16．已知函数f（x）的定义域为[﹣3，3]，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f （x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞e x的解集为．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）已知曲线y＝x3+x﹣2在点P0处的切线l垂直于直线x+4y﹣1＝0，且点P0在第三象限，求点P0的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中，记曲线f（x）＝2x﹣（x∈R，m≠﹣2）在x＝1处的切线为直线l1，若直线l1在两坐标轴上的截距之和为12，求l1的方程．

18．微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同

时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人（男、女各25人），并记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：

0～30003001～60006001～90009001～12000＞12000步数

性别

男113155

女041182若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．

（1）利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率；

（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型懈怠型总计男

女

总计

附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．为了解某地区柑橘的年产量x（单位：万吨）对价格y（单位：千元/吨）和销售额z（万元）的影响，对2015年至2019年柑橘的年产量和价格统计如表：

年份20152016201720182019

x88.599.510

y 6.8 6.46 5.85已知x和y具有线性相关关系．（1）求y关于x 的线性回归方程＝x +；

（2）假设柑橘可全部卖出，预测2020年产量为多少万吨时，销售额z取到最大值？（保留两位小数）

参考公式：＝＝，＝﹣．

20．已知函数f（x）＝ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．

（1）求实数a，b的值；

（2）若不等式f（x）＜c在区间（0，3]上恒成立，求实数c的取值范围．

21．自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系．某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州﹣福州﹣广州﹣海口﹣北海（广西）﹣河内﹣吉隆坡﹣雅加达﹣科伦坡﹣加尔各答﹣内罗毕﹣雅典﹣威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13分城市．

（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；

（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万，该公司为了确定建设工业厂房的数目n（10≤n≤13，n∈N*），统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：

月需求量（单位：万件）100110120130月份数6241812若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？

22．已知函数f（x）＝（ax﹣2）e x﹣e（a﹣2）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x＞1时，f（x）＞0，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1．已知集合A＝{x∈Z|x2＜4}，B＝{y|y＝ln（|x|+1）}，则A∩B＝（）A．[0，2）B．[0，2]C．{0，1，2}D．{0，1}

【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．

解：∵集合A＝{x∈Z|x2＜4}＝{﹣1，0，1}，

B＝{y|y＝ln（|x|+1）}＝{y|y≥0}，

∴A∩B＝{0，1}．

故选：D．

2．若纯虚数z满足（1+i）z＝1﹣ai（i是虚数单位，a∈R），则在复平面内表示的点为（）A．（0，﹣1）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，2）

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值，进一步求出得答案．

解：由（1+i）z＝1﹣ai，得z＝，

又z为纯虚数，∴，即a＝1．

∴z＝﹣i，则．

∴在复平面内表示的点为（0，1）．

故选：C．

3．已知向量＝（1，3），＝（t，1），若（﹣）∥，则实数t的值为（）A．B．3C．﹣1D．﹣1或2

【分析】可以求出，然后根据即可得出1﹣t﹣2t＝0，然后解出t即可．

解：，且，

∴1﹣t﹣2t＝0，解得．

故选：A．

4．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进

行分类的方法，最先见于《周礼?春官?大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（p ào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A．B．C．D．

【分析】现从“八音”中任取不同的“两音”，基本事件总数n＝，含有打击乐器包含的基本事件个数m＝＝22，由此能求出含有打击乐器的概率．

解：八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，

分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音．

其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，

基本事件总数n＝，

含有打击乐器包含的基本事件个数m＝＝22，

∴含有打击乐器的概率为p＝＝．

故选：B．

5．下列函数中，定义域与值域相同的是（）

A．B．y＝lnx C．D．

【分析】分别求出四个函数的定义域及其值域分析得答案．

解：函数的定义域为[1，+∞），值域为[0，+∞），定义域与值域不同；

函数y＝lnx的定义域为（0，+∞），值域为R，定义域与值域不同；

函数的定义域为{x|x≠0}，由3x＞0，得3x﹣1＞﹣1，

∴∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），即函数的值域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），定义域与值域不同；

函数y＝的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），

由y＝＝≠1，可知函数y＝的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），定义域与值域相同．

故选：D．

6．已知函数f（x）＝log a（|x﹣1|﹣a）（a＞0且a≠1），则“函数f（x）在（3，+∞）上单调递增”是“1＜a＜2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】根据复合函数单调性之间的关系求出a的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解：设t＝|x﹣1|﹣a，则t＝|x﹣1|﹣a在（3，+∞）上单调递增，

要使函数f（x）在（3，+∞）上单调递增，

则，即，

即1＜a≤2，

则“函数f（x）在（3，+∞）上单调递增”是“1＜a＜2”的必要不充分条件，

故选：B．

7．（）6的二项展开式中的常数项为（）

A．12B．240C．60D．160

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．

解：（）6的二项展开式中，通项公式T r+1＝＝，令3﹣＝0，解得r＝2，

故展开式中的常数项为＝60．

故选：C．

8．某天某校的校园卫生清扫轮到高二（5）班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）

A．240种B．150种C．120种D．60种

【分析】根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，

②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，由分步计数原理计算可得

答案．

解：根据题意，分2步分析：

①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52＝10种选法，

②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33＝6种情况，

则有10×6＝60种不同的安排方法，

故选：D．

9．已知函数f（x）＝sin（ωx）cos（ωx）+cos2ωx﹣（ω＞0），若f（x）在[﹣，]上单调递增，则ω的取值范围为（）

A．（0，2]B．（0，1]C．（，1]D．（0，]

【分析】利用辅助角公式先进行化简，然后后利用三角函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．

解：f（x）＝sin2ωx+＝sin2ωx+cos2ωx＝sin（2ωx+），若f（x）在[﹣，]上单调递增，

则，得，得0＜ω≤，

故选：D．

10．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为（）

A．恰有1只是坏的B．4只全是好的

C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的

【分析】盒中有10只螺丝钉，从盒中随机地抽取4只的总数为：C104，其中有3只是坏的，则恰有1只坏的，恰有2只好的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73，C32C72，C74，C74+C31×C73+C32×C72，在根据古典概型的计算公式即可求解可得答案．

解：∵盒中有10只螺丝钉

∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104＝210，

∵其中有3只是坏的，

∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，

至多2只坏的取法数分别为：C31×C73＝105，C32C72＝63，C74＝35，C74+C31×C73+C32×C72＝203，

∴恰有1只坏的概率分别为：＝，

恰有2只好的概率为＝，

4只全是好的概率为，

至多2只坏的概率为＝；

故选：C．

二、选择题:本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

11．若随机变量ξ～N（0，1），φ（x）＝P（ξ≤x），其中x＞0，下列等式成立有（）A．φ（﹣x）＝1﹣φ（x）B．φ（2x）＝2φ（x）

C．P（|ξ|＜x）＝2φ（x）﹣1D．P（|ξ|＞x）＝2﹣φ（x）

【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于ξ＝0对称，再结合正态分布的密度曲线定义φ（x）＝P（ξ≤x，x＞0），由此逐一．分析四个选项得答案．

解：∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），

∴正态曲线关于ξ＝0对称，

∵Φ（x）＝P（ξ≤x，x＞0），根据曲线的对称性可得，φ（﹣x）＝1﹣φ（x），故A 正确；

φ（2x）＝P（ξ≤2x），2φ（x）＝2P（ξ≤x），φ（2x）≠2φ（x），故B错误；

P（|ξ|＜x）＝2φ（x）﹣1，故C正确；

P（|ξ|＞x）＝2[1﹣φ（x）]，故D错误．

故选：AC．

12．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）

A．y＝cos x B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x2

【分析】由题意可得y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．对选项一一分析，即可得到结论．

解：由题意函数y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．对于选项A，y＝cos x的导数为y′＝﹣sin x，存在x1＝，x2＝﹣，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；

对于选项B，y＝lnx的导数为y′＝＞0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；

对于选项C，y＝e x的导数y′＝e x＞0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；

对于选项D，y＝x2的导数为y′＝2x，存在x1＝1，x2＝﹣，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．

综上，具有性质T的函数为AD．

故选：AD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是8．

【分析】根据x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2，利用基本不等式求得它的最小值．

解：x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，

当且仅当＝时，等号成立，

故x+2y的最小值为8，

故答案为：8．

14．已知函数f（x）＝，则f（3）＝6．

【分析】结合已知函数解析式及递推关系即可直接求解．

解：因为f（x）＝，

所以f（3）＝f（2）+2＝f（1）＝2+2＝2+2+2＝6．

故答案为：6．

15．已知随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（a∈R，n＝1，2，3），则a＝，D（X）＝．

【分析】利用分布列的性质，求解a，然后求解期望与方程即可．

解：∵随机变量X的概率分布规律为P（X＝n）＝（a∈R，n＝1，2，3），∴＝1，解得a＝，

P（X＝1）＝，P（X＝2）＝．所以E（X）＝1×＝；

D（X）＝×+（2﹣）2×+（3﹣）2×＝．

故答案为：；．

16．已知函数f（x）的定义域为[﹣3，3]，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f （x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞e x的解集为（1，3]．

【分析】方法一：首先根据ef（x）＞e x，构造函数，对其求导判断单调性即可．

方法二：本题为填空题，我们不妨设f（x）＝xe x﹣1（﹣3≤x≤3），直接解不等式即可．解：方法一：令F（x）＝，因为f′（x）＞f（x），所以F′（x）＞0，即F（x）在区间[﹣3，3]上单调递增，因为ef（x）＞e x，所以

，

解得x＞1且﹣3≤x≤3，

即不等式ef（x）＞e x的解集为（1，3]．

方法二：不妨设f（x）＝xe x﹣1（﹣3≤x≤3），

则不等式ef（x）＞e x?x＞1且﹣3≤x≤3，

即不等式ef（x）＞e x的解集为（1，3]．

故答案为：（1，3]．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）已知曲线y＝x3+x﹣2在点P0处的切线l垂直于直线x+4y﹣1＝0，且点P0在第三象限，求点P0的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中，记曲线f（x）＝2x ﹣（x∈R，m≠﹣2）在x＝1处的切线为直线l1，若直线l1在两坐标轴上的截距之和为12，求l1的方程．

【分析】（1）求得y＝x3+x﹣2的导数，设P0（m，n），m＜0，n＜0，可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得m，进而得到所求点的坐标；

（2）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，然后求出切线的方程，再求得切线在两坐标轴上的截距，解方程可得m，进而得到直线方程．

解：（1）由y＝x3+x﹣2，得y′＝3x2+1，

设P0（m，n），m＜0，n＜0，可得切线l的斜率为1+3m2，

由切线l垂直于直线x+4y﹣1＝0，可得1+3m2＝4，

解得m＝﹣1（1舍去），n＝m3+m﹣2＝﹣1﹣1﹣2＝﹣4，即P0（﹣1，﹣4）；

（2）由f（x）＝2x ﹣，得f′（x）＝2+，

所以在x＝1处的切线的斜率为2+m，切点为（1，2﹣m），

则切线l1的方程为y﹣2+m＝（2+m）（x﹣1），

令x＝0，解得y＝﹣2m；令y＝0，解得x ＝，

由题意可得﹣2m +＝12，解得m＝﹣3或﹣4，

所以直线l1的方程为x+y﹣6＝0或2x+y﹣8＝0．

18．微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了50人（男、女各25人），并记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：

0～30003001～60006001～90009001～12000＞12000步数

性别

男113155

女041182

若某人一天走路的步数超过9000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”．

（1）利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率；

（2）根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型懈怠型总计男

女

总计

附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据表中数据计算对应的概率值；

（2）根据题意填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．

解：（1）根据表中数据可知，50位好友中走路步数超过12000步的有7人，

由此可估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过12000步的概率为P＝；

（2）根据题意填写列联表如下，

积极型懈怠型总计

男20525

女101525

总计302050

计算K2＝＝＝＞7.879，

所以有99.5%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．

19．为了解某地区柑橘的年产量x（单位：万吨）对价格y（单位：千元/吨）和销售额z（万元）的影响，对2015年至2019年柑橘的年产量和价格统计如表：

年份20152016201720182019

x88.599.510

y 6.8 6.46 5.85已知x和y具有线性相关关系．（1）求y关于x的线性回归方程＝x+；

（2）假设柑橘可全部卖出，预测2020年产量为多少万吨时，销售额z取到最大值？（保留两位小数）

参考公式：＝＝，＝﹣．

【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；

（2）写出销售额关于x的函数关系式，再由配方法求最值．

解：（1），．

＝（﹣1）×0.8+（﹣0.5）×0.4+0.5×（﹣0.2）+1×（﹣1）＝﹣

2.1，

．

，．

∴y关于x的线性回归方程为；

（2）销售额z＝

＝．

∴当x＝时，销售额z最大．

∴预测2020年产量为8.07万吨时，销售额z取到最大值．

20．已知函数f（x）＝ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．

（1）求实数a，b的值；

（2）若不等式f（x）＜c在区间（0，3]上恒成立，求实数c的取值范围．

【分析】（1）求出函数的导数f′（x），根据f（x）极值点为1，2，列出方程组，

即可解出a，b的值；

（2）先将“不等式f（x）＜c在区间（0，3]上恒成立”转化为“当x∈（0，3]时，c＞f （x）max”，再利用导数求出函数f（x）在（0，3]上的单调性，进而求出最大值．解：（1）由f（x）＝ax2+bx+4lnx，得，

依题意有．

（2）若不等式f（x）＜c在区间（0，3]上恒成立，即当x∈（0，3]时，c＞f（x）max，由（1）得，由f′（x）＞0?0＜x＜1 或2＜x＜3；f′（x）＜0?1＜x＜2，

所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，所以函数f（x）在区间（0，3]上的最大值为f（x）max＝max{f（1），f（3）}，

由f（1）＝﹣5，f（3）＝4ln3﹣9＞﹣5?f max（x）＝f（3）＝4ln3﹣9，

故实数c的取值范围为（4ln3﹣9，+∞）．

21．自2013年10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系．某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州﹣福州﹣广州﹣海口﹣北海（广西）﹣河内﹣吉隆坡﹣雅加达﹣科伦坡﹣加尔各答﹣内罗毕﹣雅典﹣威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13分城市．

（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；

（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万，该公司为了确定建设工业厂房的数目n（10≤n≤13，n∈N*），统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：

月需求量（单位：万件）100110120130月份数6241812若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？

【分析】（1）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，利用对立事件概率计算公式能求出所选的3个城市中至少有1个在国内的概率．

（2）设该产品每月的总利润为Y，分别求出当n＝10，n＝11，n＝12，n＝13时，Y的数学期望，从而求出欲使公司该产品的总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．

解：（1）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，

则P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝，

∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为．

（2）设该产品每月的总利润为Y，

①当n＝10时，Y＝1000万元，

②当n＝11时，Y的可能取值为950，1100，

P（Y＝950）＝＝0.1，P（Y＝1100）＝＝0.9，

Y的分布列为：

Y9501100

P0.10.9

∴E（Y）＝950×0.1+1100×0.9＝1085万元．

③当n＝12时，Y的可能取值为900，1050，1200，

P（Y＝900）＝＝0.1，P（Y＝1050）＝＝0.4，P（Y﹣1200）＝＝0.5，

Y的分布列为：

Y90010501200

P0.10.40.5

∴E（Y）＝900×0.1+1050×0.4+1200×0.5＝1110万元．

④当n＝13时，Y的可能取值为850，1000，1150，1300，

P（Y＝850）＝，P（Y＝1000）＝，

P（Y＝1150）＝＝0.3，P（Y＝1300）＝，

Y的分布列为：

Y850100011501300

P0.10.40.30.2

∴E（Y）＝850×0.1+1000×0.4+1150×0.3+1300×0.2＝1090万元．

综上，当n＝12时，E（Y）＝1110万元最大，

∴欲使公司该产品的总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．

22．已知函数f（x）＝（ax﹣2）e x﹣e（a﹣2）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x＞1时，f（x）＞0，求a的取值范围．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．

解：（1）f'（x）＝（ax﹣2+a）e x

当a＝0时，f'（x）＝﹣2e x＜0，∴f（x）在R上单调递减．

当a＞0时，令f'（x）＜0，得，令f'（x）＞0，得

∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为，当a＜0时，令f'（x）＜0，得，令f'（x）＞0，得

∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为

（2）当a＝0时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（1）＝0，不合题意．当a＜0时，f（2）＝（2a﹣2）e2﹣e（a﹣2）＝a（2e2﹣e）﹣2e2+2e＜0，不合题意，当a≥1时，f'（x）＝（ax﹣2+a）e x＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）＞f（1）＝0，故a≥1满足题意．

当0＜a＜1时，f（x）在上单调递减，在单调递增，∴，故0＜a＜1不满足题意．

综上，a的取值范围为[1，+∞）．