第四章 一元函数积分学
不定积分部分
一.原函数的概念
例1.下列等式成立色是( )
()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =?
()()().
;d
C f x dx f x dx
=? ()()()..D d f x dx f x =? 例2.下列写法是否有误,为什么?
()1
.ln c dx e e x
x +=?(c 为任意正常数)
()2 ).0(1
3
3
2
≠+=?c c
dx x
x ()3 .arccos arcsin 12
c x c x dx dx x
+-=+=-?
例3.下列积分结果正确吗?
()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21
2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√
()1
3sin .cos cos 2.2
x xdx x C =-+?√
例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法
利用不定积分的性质及基本积分表,我们就可以计算较简单的函数的积分,这种方法称做直接积分法. 例4.求().arctan 3
1111113
2
2
24
2
4
c x x dx
dx dx dx x
x
x x
x x
x ++-=
+
+-=
++-=
+????
例5.求.sin 21
2cos 212cos 12sin
2
c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6.求.tan 44422csc sin cos sin 2
222c x c xdx x dx x
x dx +-===??? 例7.已知某个函数的导数是x x cos sin +,又知当2
π=x 时,这函数值为2,求
此函数.
解:因为()
.sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?, 所以,可设().sin cos c x x x f ++-=
又因为1212=?=+=??
?
??c c f π.
所以,().1sin cos ++-=x x x f 例8.设())0.(12/
>=x x
x f
,求()x f .
解:
()())0(1
1
/
2
2
/
>=
?
=
x x
x f x
x f , ()).0(2121
>+===??
-
x c x dx dx x
x f x 二.不定积分的第一换元法
利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数 的不定积分,还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公 式.这种方法是通过适当的变量替换,把所求的不定积分化为较易积分的形式. 若已知()()C u F du u f +=?,()x u ?=可微,则有换元公式: ()[]()()[]./
C x F dx x x f +=?
???
例9.求()c x x x d x dx ++=++=+??
|23|ln 3
1
23233123. 例10.求()
c x
d x dx x x
e x e e +-=--=---??222
2
1212
.
例11.求()()()()c x d dx x x x x +==??ln ln ln 3
2
2
3
1ln . 例12.求()()
()()
()()c x f x f x f d dx x f x f +==
??
||ln /
.
例13.求()c x x x d dx x x xdx +-=-==???
|cos |ln cos cos cos sin tan . 例14.求()c x x x d dx x x xdx c +===???|sin |ln sin sin sin cos tan . 例15.c a x a a x ad dx dx a x a a x a a x +=+?
??
??=+=+??
?
? ??????? ??arctan 11111112
22222.
例16.求c a
x
a x ad a dx a dx
a x a x x
a
+=-??? ??=
-=-?
??
?
???
?
??
?
??arcsin 11112
2
2
2
.
例17.()()
2
2
1
1111ln ||.22dx
x a
dx dx C x a x a a x a x a a x a x
a
-??==-=+??-+-++??
-?
?
?
例18.c a
x a
x a dx x
a +-+=-?
||ln 211
2
2
. 2
2212sec cos 21222
sec cos sec
x
dx dx
xdx dx x x
x ===--???? 22tan tan 1
22ln ||1tan 1
22
tan x x d c x
x ??+ ??
?==+--?. 注意:进一步化简可得到c x x xdx ++=?|tan sec |ln sec . 例19.?+-=c x c x xdx |tan csc |ln csc 。————(26)
例20.c x x dx x xdx ++=+=?
?2sin 41
222cos 1cos 2
。 例21.c x x dx x x xdx +-=-=??3cos 1214sin 343cos cos 3cos 3
另解:()
()c x x x d x xdx x xdx +-
=-==???sin sin cos cos 3
2
2
3
3
1sin sin 1cos 。 例22 .
[]...22cos 2141cos 22cos 1cos 2
2
4
=+
+==????
?
??+?dx x x dx xdx x 例23.()c x x dx x x xdx x ++=+=??sin 2
1105sin cos 5cos 21
2cos 3cos 。 例24.()()()x d x xd xdx x x x sec 2
sec 1sec sec
tan sec tan 2
2
43
5
?
-??===...
例25.()
()
c d xdx x x x x
+=
+
=+?
?
2
2
2
4
arctan 2
12
1211
例26.()()
()
()
????+--=????????+--=-x
x x x x x x d d dx x xdx
21212112212111
1
12122
22448
=c x x x +-+-2
22
arctan 41|11|
ln 2
1.41
例27.()()dx dx dx dx x x x x x
x x x ????
++++-=+++-=+4
24
2
4
2
2
4
112111********* =???
? ??-?
??
? ??+++
+--
-2
1
1212
1
12
1
112
22
2x x x x x x
=()
()
?
??
?
??-?
??
?
??++
?
?? ?
?
-+
-
?
?? ?
?
+-
21212
2
2
2
121121x x x x x x d x x d
=.21arctan 2121|2121|ln 221.
21c x x x
x x x +-
+++-+
- 例28.(
)
.|1|ln 51115115
5
5
56
6
c d dx x dx x x x x
x x ++-=++-=+=+-----??? 例29.(
).1|ln 11111c d dx dx e
e
e e
e
e
x
x
x
x
x
x
+++
=++-=+=+-----???
三不定积分的第二换元法
前面我们讲了第一换元法(又称凑微分法),但并非对所有的不定积分都能使用此方法,即凑微分法失效.有时对有些不定积分采用相反的变量替换,将会达到简化计算的目的.这就是第二换元法.
.设()t x ψ=是单调(保证它有反函数)可导的,并且()0/
≠t ψ,又设
()[]()()c t dt t t f +=?
φψψ/
,则
()().1
c x dx x f +??
????=-?
ψφ 例30.求)0(2
2
>-?a dx x a
解:令??
?
??-∈=2,2(,sin ππt t a x ,则tdt a dx cos =
原式=tdt t tdt a t a
a
a
cos cos cos sin
2
2
2
2
2
??=-
=c t t dt t
tdt a a a a ++=+=??2sin 4
222cos 12
2
222cos
=c x
a x x a
a +-+2
2
2
2
1
arcsin 2.
注意:因为t a x sin =为周期函数,故如限制??
?
??∈2
3,
2π
πt 也行.以后作题,我 们不再指明t 的限制范围. 例31.求?
+a
x dx
2
2
解:令??
?
??-∈=2,2,tan ππt t a x ,则tdt a dx sec 2=
原式=()
.||ln |tan sec |ln sec 11
2
2
2
2
2
sec tan c x t t dt t tdt a t a x
a +++
=+==+??
注意:这里的最后一步在换回用原变量表示时,要借助于直角三角形。称此法为整体代换法. 例32.求?
-a
x dx
2
2
解:令,sec t a x =,则tdt t a dx tan sec = 原式=
sec tan sec ln |sec tan |t tdt tdt t t ==+
?
ln |x c =+.
例33.求)1(12
>-?x x
dx x
解:.1
arcsin arcsin 1112
2
c x
c t dt t
x x
dx t
x
+-=+-=--=
-?
?
===
==========
四.分部积分法
分部积分公式()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ??-=. 使用此法的关键是正确选择()x u 和().v x
例34.求dx x e x
?
解:取x u =,则c dx v dx dv e e e x
x
x
+==?=?. 所以,c x dx x xd dx x e e e e e e x
x
x
x
x
x
+-=-==???。 注意:(1)如果取e x
u =,则c dx x v xdx dv x
+==?=?2
2
。
所以, (22)
222
2
2
222
=-=-=
=????dx d d
dx x e x e x e x e x x
e e x
x
x
x
x x
显然,会愈加麻烦。可见,用分部积分法,最关键的是要选择好合适的函数作为()x u .
(2)根据我多年做题经验的总结,选u 的优先顺序是:反→对→多→三→
指,按此顺序选择u ,一般都可行.
例35.求.cos sin .sin sin .sin cos c x x x xdx x x x xd dx x x ++=-==??? 例36.求
(
)
.1arcsin .1121arcsin .1arcsin .arcsin 2
22
2c x x d x x dx x
x x dx x x x x x +-+=--+=--=??
?例37.2
x
dx x e ?
解:
2
2
2
2
2222x
x
x x
x x
x x
x
x e dx d x dx xd x dx x e x
e
e x
e
e x
e
e e ??==-=-=--??
?????
=
().22
c x e e x x
x
+--
例38.求??+e
x e
x
x
dx
x dx 2
解:????
--=???
??+-=-=---e
x e e e e e x x x x x x
dx x x d x d x x dx 21111, 所以,原式=.12c x dx
x dx e
e
x e
x
x
x
+-
=+??
例39.求()dx x e x
1tan 2
2+?
解:()2
2tan 1x
dx x e
+?
()22
22
212tan 2tan tan sec
x
x
x
x x dx xdx xdx e
e
e =++=+???
其中,
xdx x xd x x d xdx e e e e e e x
x
x
x
x x tan 2tan .tan tan .tan 222222
2sec
????-=-==
所以,()c x dx e
x e
x
x
+=+?tan 22
21tan .
注意:上述例5、例6的解法称为“相克法”法.
例40.设()
)2,0(2
2≥>=?+n a dx
a x I n
n ,试给出递推公式。 解:
(
)()(
)()
()
dx
n x
xd x
dx a x x
a x a x a x a x I
n n
n n n n
?
++?++?
+++=
??
??
?
????
?-==2222
2
2212
2221
2
=
()
()()
()
I
a I a x a x a a x a x n n n
n n
n n x
dx n x
1
2
1
2
2
2
222222222++++=
-+++?++,
所以,()
I
a
a x a
I n
n
n n n n x
2
2
12122
2
2-+
=
++.
例41.求)2(cos ≥=?n xdx n
n I
解:(
)
???----===x xd x x x xd xdx n n n n
n I cos
cos cos cos 1
1
1
sin .sin sin
()()(
)xdx
x
n x six xdx x n x x n n n n cos
cos cos
cos
sin cos 2
2
1
2
2
1
11.1.sin ----??--+=-+==()()I I n n n n n x x 11.sin 21
cos
---+--
所以,.1
.sin 2
1
cos I I n n n n n n
x
x ---+
=
注意:一般地,与递推公式有关的证明题都是用分部积分法得到的.
定积分部分
一.定积分的七大性质 例42.估值dx x I e
x ?-=02
2
解:dx x I e
x ?
--=20
2
令()[]2,0,2
∈=-x x x f e x
.
()()122
/
-=-x x x e f
x ,令
()()2
10122/
=?=-=-x x x x e f
x .
()().2,21,10221e e f f f ==??
?
??=-
所以,设m M ,分别是函数()x f 在区间[]2,0上的最大值()e f M 2
2==与最小值
()10==f m .
因此,e e
e dx x x 22
2
12
22
≤≤?--
,所以,e
e
e
dx x I x 2
12
2
2
22
-
--≤-=≤-?
.
例43.比较dx e x ?
1
与()dx x ?+10
1的大、小.
解:令()[]1,0,1∈--=Φx x x e x
. 则
()()1,0,01/
∈>-=Φx x e x
,所以,()x Φ在[]1,0单调增加。因此, ()()[][].1,0,11,0,001∈+>?∈=Φ>--=Φx x x x x e e x
x
.
例44.求dx x e
x n n
n 2
1
2lim -
=∞→?
解:02lim
lim
lim
lim 22
2
2
2
2
2
1
2
====+∞
→+∞
→-
+∞
→-
=∞→?
e
e
e
e
x dx x n n
n ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξ.
例45.证明:(
)
()211112ln
1
≥≤+≤+?
n dx x n
证明:因为,10≤≤x 所以,
11111
2
≤+≤+x x
n
,
所以:(
)
()211111112ln
1
01
1
2
≥=≤+≤+=+??
?
n dx dx dx x
x
n
.
练习:(1)设()x f 是连续函数,且()()1
2,f x x f t dt =+?求()x f 。(研89)
解:此题的条件是关于()x f 的一个关系式,()10
f t dt ?无法直接计算。但()1
f t dt
?是一个确定的常数。若设()1
,a f t dt =?则有()2,f x x a =+再考虑
就可解出.a
令()1
,a f t dt =?则()2,f x x a =+
()()11
11
22.22
a f x dx x a dx a a ==+=
+?=-??故()2 1.f x x a x =+=- (2)设()()()2120
2,f x x x f t dt f t dt =-+??求()x f 。 解:设()2
,a f t dt =?()1
,b f t dt =?则()22.f x x ax b =-+
则()()()()222
0011200
8224,3122.32a f x dx x ax b dx a b a b f x dx x ax b dx b ?==-+=-+????==-+=-+??
????
解上述方程组,得:()24142,,.3333
a b f x x x ===-+
二.积分上限函数及其导数
先回顾一个重要结论:如果函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则积分上限函数
()()dt t f x x
a
?
=Φ在区间[]b a ,上具有导数,且()()(),,b
x f t dt f x x a b '??=∈????
?. 例46.设(),110
2
2
dt t t x f x
t
t ?+++-=求()1/
f .
解:
()x
x f x x x 2
2
/
11+++-=
,所以,().3
1
1/=f 例47.设(),112
dt x f x
t ?-+=求
()0/
f . 解:(),112
dt x f x t ?--+-=所以,()x f x 2
/
1+-
=,所以
()10/
-=f .
例48.(),125
2
dt x f x
t ?+=求
()x f /
解:
()x f x 2
/
412
+=.
注意:一般地,()()()[]()[]()()[]()x x f x x f x x
dt t f ?ψ?ψψ?/
/
/
-=?.
例49.求11
lim lim
cos
cos 2
2
==→→?x
x
xdx
x x
x .
例50.4
1lim 1lim
2
2
2
02
2
arctan arctan
π=+=+→+∞
→?x
x
x
x
tdt
x x
x .
练习:证明()()()()0lim
x
a
h f t h f t dt
f x f a h
→+-????=-?
提示:()()()x x h
x h
a
a h
a h
f t h dt u t h f u du f t dt ++++=============+=+=??
?
,
()()()()()()
00
lim
lim lim
1
x
x h x
a
a h a
h x x f t h f t dt f t dt f t dt f x h f a h h h
++→→→========
+--??+-+??=???()()f x f a =-.
三.牛——莱公式
如果()x F 是()x f 在区间[]b a ,上的一个原函数,则()()()b F a F dx x f b
a -=?.
例51.求.
例52.求
例53.求{}
23
8
22,2min 2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
=
++=??
?
?----dx dx dx dx x x . 例54.假设()x f 在1≥x 上是正值连续函数,试求
()()dt t f t t x x
x F x ????
?????? ??+-??? ??+=1
ln 2ln 2的极小值.
解:,
所以,()()()??
??????????? ??++???? ??+-=?x f x x dt t f x x x x F
ln 21212/
-()()dt t f x x f x x x x ?-=???
??+1
22ln 2 令(),1,2021/
==?=x x F x 在03=x 处不可导.
经判定:()x F 在2=x 处取得极小值()2F .
()()12
222|2|22223
2
2
1
`3
2
2
1
3
1
=+=-+-=-??
????-???
???-???x x x x dx x dx x dx x ()()
()()().1arctan 3arctan arctan 1|3
1
31
2
/
f f x f dx x x f f -==+?
()()()dt t f t t
dt t f x x
x F x
x
????
?
??+-??
? ??+=11ln 2ln 2
例55..假设对于所有的实数x ,连续函数满足方程
()()C dt t f dt t f x
t x x
++=??2
2
12
,求()x f 及常数C.
解:方程两边对x 求导: ()()().12
2
x
x x x f x x f x f +=
?+-=
在原方程中,令,1=x 则()C dt t f +=
?2
1
1
, 所以2
1
2ln 2111
2
-=
-+=?
dx x
C x
. 例56.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()0/
≤x f ,
()()dt t f a
x x F x a ?-=
1.试证:()()b a x x F ,,0/
∈≤. 证明:()()()()()
a x F x
a
dt
t f a x x f x -?--=
2
/
-----------(1)
上式中的分子()()()()()()[]()a x f x f a x f a x x f --=---=ξξ---(2) 又因为
()0/
≤x f ,所以()x f 在[]b a ,上单调减少,故()()x f f ≥ξ,
所以,()()b a x x F ,,0/
∈≤.
练习:证明:当0x ≥时,()()220
sin x
n f x t t tdt =-?的最大值不超过
()()
1
.2223n n ++
证明:()()22sin ,n f x x x x '=-由()0f x '=得 1.x =
当01x <<时,()0;f x '≥而当1x >时,()0f x '≤,故1x =是()x f 唯一的极大值点,从而也是最大值点,即最大值为()1.f 注意到当0x ≥时,sin x x ≤,
()()()1
1
22220
111
1sin .2223(22)(23)
n n f t t tdt t t t dt n n n n =-≤-=
-=++++?? 四.定积分的换元积分法
直接利用微积分基本公式计算定积分的前提是可以先求出被积函数的原函数,
然后再代入上、下限求值,但在许多情况下,这样计算比较复杂;甚至有时原函数根本不能用积分法的一般法则求出来,也就无法直接引用微积分基本公式.为了进一步解决定积分的计算问题,考虑到不定积分的基本方法是换元积分法和分部积分法,这就启发我们能否直接将这两种方法用到定积分的计算上来?回答是肯定的.
换元积分公式:设函数()x f y =在[]b a ,上连续,且满足条件: (1)()t x ?=在[]βα,上是单值的且有连续导数()t ?/
; (2)当t 在[]βα,上变化时,x 在[]b a ,上变化; (3)()()b a ==β?α?,.
则有:()()[]()dt t t f dx x f b
a ?βα
?/
??=(相当于不定积分中的第二换元法)
注意:(1)换元公式中要求下限小于上限,其实,这是不必要的; (2)公式也可以反过来用:
()[]()=
?dt t t f ?β
α
?/
()du u f b
a
?;
(相当与不定积分法中的第一换元法); 例57.求;6
1sin sin 0
15
20
5
cos -==??-============du u
x xdx x u π
或换一种写法:.6
16
cos sin |cos cos
cos 2
6
2
5
20
5
-=-=-=??ππ
π
x x xd xdx x (3)被积函数开方时要注意积分区间; 例58.dx x x ?
-π
5
3
sin sin
解一:
()()
().05
2
sin cos |sin sin sin sin sin
250
2
30
230
5
3
==
==-??
?ππ
π
π
x x x x d xdx dx x x 其实,上述解法是错误的.正确解法是
()()().
54
sin sin |cos |2
2
32
2
30
2
30
5
3
sin sin sin sin sin
=-==-???
?x d x d dx
x dx x x x x x ππ
π
π
π
(4)在运用换元公式时,()t x ?=要满足换元的条件,否则可能会出错. 反例: (1)dx x ?
-21
2
解一:dx x ?
-2
1
2
.
解二:3
7214
1
2
2
1
2
=
=?
?
==========
-dt t
t
t
dx
x
x 。(解二是错的,因为t x =2不是单值函数.) (2)?-+1
1
2
1x dx
解一:.2
arctan 1|1
1
1
1
2
π
=
=+--?
x dx
x
解二:(倒代换)2
111
111
11
1
2
1
1
2
1
1
2
π
-=+-=+
=
+?
?
?
--========
-dt dt t
x dx t
t
x
(解二是错的,因
为[]1,1,1
-∈=t t
x 在x=0处不连续.
(3)dx x x ?-3
02
1如果用代换t x sin =,再用换元公式,显然不行?因为不满
足条件(3). 要熟记几个结论
(1)对称区间上的函数
()()()[]dx x f x f dx x f a
a a
??-+=-0
特别地:(1)()()()为偶,x f dx x f dx x f a
a
a ,20
??=-
(2)()=?-dx x f a
a
0,()x f 为奇.
(2)周期函数积分
.设函数()x f 是以T 为周期的函数,则:
()()??
=+T
T
a a
dx x f dx x f 0
.(即结果与a 无关)
(3).两个重要结论:
(1)(令t x -=
2
π
即可)
例59.求.4
cos sin cos sin 21cos sin sin 202
0ππ
π
=??????++=+??dx x x x x dx x x x (2)()().sin 2sin 0
dx x f dx x xf ??=
π
π
π
(令t x -=π即可)。
()()dx x x f dx x x f ??=20
20
sin ,cos cos ,sin π
π
例60.求().4
cos arctan 21sin 21sin 2
0020
2
|cos cos ππ
π
π
π
π
==
+=+??
x dx x
x
dx x x x
例61.设(),0,1ln 1
>+=?
x dt t t x f x 求()??
?
??+x f x f 1 解:dt t t du u u du u
u t u x f x x x t u u ???+=+=???
? ??-+=??? ??=======121221ln ln 1111
ln
11————(1) 所以,()()x t td dt t t t t x f x f x x ln 21121ln ln )1(1ln 1==??
????++=???
??+??. 例62.设函数()x f y =在[]1,0上连续且单调不增,证明:对于()1,0∈a 都有;
()().1
00
dx x f a dx x f a ??≥
解:()()()().1
1
1
dx x f a dt t f a dt at af at x dx x f a ????=≥=========
例63.设()..0,11,0,11
????
??
?<+≥+=x x x x f e
x 求()dx x f ?-201 解:()() (111)
1
20
=-=-??-===========dt t f x t dx x f 。
五.定积分的分部积分法
1.分部积分公式:??-=b
a
b
a
b
a
x u d x v x v x u x v d x u ))(()()()())(()(|.
例64.求1cos cos cos sin 20
20
20
20
|=+-=-=???π
πππxdx x x x xd xdx x .
例
65.1
11222000
arcsin .arcsin |xdx x x x =-??
()
(
)
112
2
20
121 1.12
22
2
1d x x π
π
-
=
+
-=
+
--?
例66.设函数()x f y =在[]1,0上具有三阶连续导数,且有
()()/
/
01,
12f
f ==
()()010,f f ==求()()dx x x f f ///
1
0?.
解:()
()()()()()()()dx x x x x f x d x f dx x x f f f f f f /
1
//
1
//
//
1
///
1
0|???-==
=()()()[].2
32
/
|
1
02
/
1
/-=-
=-?x f f f x d x 练习:设()0
sin ,x t
f x dt t
π=-?
求()0.f x dx π?
解:()()()()0
sin |x x
f x dx xf x xf x dx f dx
x
πππ
ππππ'=-=--???
(注意到()f x 的定义) ()0
000sin sin sin sin 2.t t t
t t dt dt dt tdt t t t
π
ππππππππ-=-===---?
???
记住一个重要的递推公式
)(20
20
cos sin xdx xdx n
n
n I ??==π
π
=1331......,2422
(2)1342.....,253
n n n n n n n n n n n π--???-≥?
--??-?为偶,为奇. 例67.求xdx ?20
9
sin π
解:xdx ?209
sin π
=!
!9!!832.54.76.98=.
例68.求xdx ?20
8
sin π
.2
!!8!!7221.43.65.87π
π= 例69.求()dx x m ?
-1
2
21.
解:()()
?=+==========
?-dt
m t t x dx
m x cos sin 21
10
2
1
=()()!!
,1!!(2)!!,1!!
m m m n m m m ??+?
≥???+?为奇,为偶.
六.广义积分
在一些实际问题中,我们常遇到积分区间为无穷区间积分,它已经不属于前面所
说的定积分,因此我们需要对定积分作推广,从而形成了广义积分的概念. 无穷区间上的广义积分
定义1.设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续,取a b >.如果极限
()dx x f b
a
b ?+∞→lim
存在,则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分,记作()dx x f a
?
+∞.
即:()dx x f a
?
+∞()dx x f b
a
b ?+∞→=lim
————(1)
这时,也称广义积分()dx x f a
?
+∞
收敛;如果上述极限不存在,函数()x f 在区间
[)+∞,a 上的广义积分就没有意义,习惯上称为广义积分()dx x f a
?+∞
发散.
设函数()x f 在区间(]b ,∞-上连续,取b a <.如果极限 ()dx x f b
a
a ?-∞→lim
存在,则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分,记作()dx x f b ?
∞
-.
即:()dx x f b ?
∞
-()dx x f b
a
a ?-∞→=lim
————(2)
这时,也称广义积分()dx x f b
?
∞
-收敛;如果上述极限不存在,函数()x f 在区间
(]b ,∞-上的广义积分就没有意义,习惯上称为广义积分()dx x f b
?∞-发散.
设函数()x f 在区间()-+∞∞,上连续,如果广义积
()dx x f ?
∞
-0
和()dx x f ?
+∞
都收敛,则称上述两广义积分之和为函数()x f 在区间()+∞∞-,上的广义积分,记作:
()()()dx x f dx x f dx x f ?
?
?
+∞
∞-+∞
∞
-+=0
。------(3)
这时,也称广义积分()dx x f ?
+∞
∞
-收敛;否则,就称()dx x f ?
+∞∞
-发散.
上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分. 例1. 求.44arctan lim arctan lim 1lim
1|11
2
1
2
ππ=?????
?
-==+
=++∞→+∞→+∞→∞
+??
b x dx
dx b b b b
b x
x
注意:表面上是代入上、下限作差,其实,这里的上限值是函数的极限.上题中
每一步都要带上极限号,太过麻烦了,因此,我们借鉴牛-莱公式的格式,介绍一种简单的写法. 例70.的另一写法:.4
.4
2
arctan 1|1
1
2
π
π
π
=
-
=
=++∞
+∞
?
x dx x
例71.求|00
sin .cos +∞
+∞
=?x xdx 不存在!
例72.求dx a
p
x
?
+∞
1
()0>a .
解:(1)当p=1时,+∞==+∞+∞
?
|||ln 1
a a
x dx x
;
(2)当p<1时,+∞=-=+∞
-+∞
?|1111
a p a
p
x x
p
dx ; (3)当p>1时,1
11
1
11|
-=
-=-∞
+-∞
+?
p p dx a
x x
p
a
p a
p
.
总之,?????≤∞+>-=-∞
+?
.
1,,1,111p p p dx a x p
a
p
例73.求dx x dx x dx x x
x
x
?
??
+∞
∞
-+∞
∞
-+++=+0
2
2
2
111,
由于,+∞=+=++∞
+∞?|
20
2
11x
x
dx x
,
所以,dx x x
?
+∞
∞
-+2
1发散!
注意:(1)没有必要再计算dx x x
?
∞
-+0
2
1,即可断定dx x x
?
+∞
∞
-+2
1发散! (2)如果这样做则是错的,请同学们务必要小心:因为x
x
2
1+是奇函数,
所以原式=0.
例74.利用递推公式计算dx x e I n
x n ?+∞-=0
解:! (10)
10
|
n n dx n d dx I e
x e x
e x x e
I n x
n x n
x
n
n
x
n ===+-=-==--+∞
-+∞
--+∞
+∞-?
?
?
七.平面图形的面积与旋转体的体积
首先介绍一下定积分应用的一个核心思想:元素法。一般地,如果某一实际问题中所求的量U 符合下列条件: (1)U 与变量x 的变化区间有关; (2)U 对区间[],a b 具有可加性;
(3)在代表区间[],x x x +?上U 的部分量可近似表示为().U f x dx ?≈ 那么所求量().b
a U f x dx =?
记住几个常用求面积公式(1)x 轴上的曲边梯形的面积().b
a
A f x dx =?
(2)y 轴上的曲边梯形的面积()d
c
A g y dy =?
例74.计算由曲线22,y x y x ==所围成平面图形的面积。
解:)
120
1
.3
A x dx ==?
例75.计算由曲线22,4y x y x ==-所围成平面图形的面积。
解:由22,8,
2, 2. 4.4.x x y x y y y x ==?=??????
=-==-???或,故两曲线的交点为()()2,2,8,4.A B - 若以x 为积分变量,则
(
)
())
28
2
418.A dx x dx =+--=?
?
若以y 为积分变量,则
24
2418.2y A y dy -??
=+-=???
??
例76.求椭圆22
221x y a b
+≤的面积。
.A ab π=
例77.求曲线y =的一条切线L ,使该曲线与切线L 及直线x=0,x=2所围成的平面图形的面积最小。
解:设y =上任意一点(M t ,则过M 点的切线方程为
)
y x t -=
-,即y =
则()2
03A t dx ==+?
令()0,
A t '=+
=
=得 1.t =
当01t <<时,()0;A t '<当1t >时,()0.A t '>所以,当1t =时,()A t 为最小值。
此时,所求切线方程为 1
.22
x y =
+ 下面再举一个参数方程下求面积的例子。 例78.求星形线2223
3
3
x y a +=所围成的面积
解:()00
3
3
23212
2
44sin .cos 12sin .cos .sin A A a td a t a t t tdt ππ===-??
()2
42220
3
12sin 1sin .8
a
t t dt a π
π=-=?
极坐标下求平面图形的面积一般不会出题,不过还是应该提一提,毕竟这个知识点大纲是要求了解的.
首先要记住曲边扇形的面积公式()212A r d β
α
θθ=?
例79.求曲线2cos r a θ=所围成的平面图形(圆)的面积。 解:所求平面图形的面积为
()22222222
1
2cos .2A r d a d a ππ
ππθθθθπ--===??
例80.求曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围成的平面图形的公共部分的面积.
解:()()
22
2303
1121cos 23cos 22A d d π
ππθθθθ=++??
()2
2230
3
12cos cos 9cos d d π
ππθθθθθ=+++??
23033sin 2sin 252sin 9.242
44||π
ππθθθπθθ????=++++=
? ????? 用定积分所能直接计算其体积的立体仅限于旋转体和平行截面面积已知的立体.
先回顾三个经典公式:
(1)由x 轴上的曲边梯形(即由曲线()0,0,,y f x x x a x b =≥===所围成的平面图形)绕x 轴旋转,()2b
x a V f x dx π=?;
(2)由y 轴上的曲边梯形(即由曲线()0,,,0x g y y c y d x =≥===所围成的平面图形)绕y 轴旋转,()2d
y c V g y dy π=?;
(3)由x 轴上的曲边梯形(即由曲线()0,0,,y f x x x a x b =≥===所围成的平面图形)绕y 轴旋转,()2.b
xy a V x f x dx π=?。
例81.求曲线3y x =与2,0x y ==所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积。 解:(一)绕x 轴
()2
2
3
128;7
x V x
dx ππ==? (二)绕y 轴
2
30
642..5
xy V x x dx ππ==
? 例82.证明半径为,R 高为H 的球缺的体积为2.3H V H R π?
?=- ??
?
证明:2
2.3R
R H
H V dy H R ππ-?
?==- ??
??
例83.求圆盘222x y a +≤绕(0)x b b a =->>旋转所成旋转体的体积. 解:方法一(选y 为积分变量)
右半圆 1x =左半圆 2x = 取 [],y y dy +上的体积元素
()()22
124dV x b x b dy πππ??=+-+=??
故0
48a
a
V b ππ-==??
2
22018arcsin 2.22|a a y b a b a ππ??=+=????
方法二(选x 为积分变量) 取 [],x x dx +上的体积元素
()(2.|2|4dV x b y dx x b ππ=+=+
故(220
482.a
a V x
b b a b πππ-=+==??
2
22018arcsin 2.2
2|a a y b a b a ππ??=+=????
例84.设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0.y ≥又已知该抛物线与x
轴及直线1x =所围图形的面积为1
,3
使确定,,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成
的旋转体的体积最小。(研89)
解:抛物线过原点,则0.c =又由题意有
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分. 2、重要定理 (1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 (2)(二元函数)极值的必要、充分条件 二、基本计算 (一) 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ') (1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d = (2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==') (3)定义法(),(00y x f x '=x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ') (1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导 (2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式) (3) 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示,以及求导顺序 (二) 全微分的计算 1、 叠加原理
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限, ● 极限x x e lim 1 →, x x sin lim x 0 →,x tan lim x 2 π→,x cot lim x 0→,x cot arc lim x 0→,x arctan lim x 1 0→都不存在, ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?,e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?,A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义:如果1=α β lim ,则称β与α失等价无穷小,记为α∽β, ● 0→x 时,(1)n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时,)x (sin ?∽)x (?,11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明:极限n n x lim ∞→存在,计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤:1。证明数列或函数单调;2。证明 数列或函数是有界;3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限,或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0;6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续,下列命题错误的是: (A) 若0()lim x f x x →存在,则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在,则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在,则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在,则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→,则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤:求函数在该点的极限;求函数在该点的函数值;判断 二者是否相等,相等则连续,否则间断。 6.导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数,且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义: ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的,因此只要能正确的得出各累次积分的积分限,便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域,当其形状较复杂时,要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难,此时,可以借助MATLAB 的三维绘图命令,先在屏幕上绘出Ω的三维立体图,然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转,并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影: view(0,0),向XOZ 平面投影; view(90,0),向YOZ 平面投影; view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法,一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???,其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形,画圆锥曲面的命令可以是: syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前,为保持先画的图形不会被清除,需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内: [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分: 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分: clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分,其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分,因此可完全类似的使用int 命令进行计算,并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简: factor (ans ) ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
第二章 一元函数微分学 一、 导数 (一)、导数概念 1、导数的定义: 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,当自变量在点0x 处取得改变量x ?时,函数)(x f 取得相应的改变量,)()(00x f x x f y -?+=?,如果当0→?x 时,x y ??的极限存在,即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在,则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数,可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤(即三步曲) ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1:根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解:223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 =当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义: 如果当)0(0-+→?→?x x 时,x y ??的极限存在,则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数(左
第三章 一元函数积分学 一.不定积分 例1:设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ,且x x f ln )]([=?,求?dx x )(?(答案: C x x +-+1ln 2) 例2:已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数,求?dx x f x )('3(答案: C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2) 例3:设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ,求?dx x f )( 例4:设)(x F 是)(x f 的一个原函数,π4 2 )1(= F ,若当0>x 时,有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ,求)(x f 。(答案:) 1(21)(x x x f += ) 例5:求? dx x x )1,,max(23 例6:求?dx e e x x 2arctan 二.定积分 例1:求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2:设)(x f 在]1,0[上连续,且 )(1 =?dx x f ,试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3:已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ,求??? ??+x f x f 1)((答案:x 2ln 21)
例4:设函数)(x f 连续,且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ,求?2 1 )(dx x f 的 值。(答案: 4 3 ) 例5:已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6:求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(,其中当0≥x 时x x f =)(,而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7:设)(x f 在],[b a 上连续,且0)(>x f ,证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8:设)('x f 在]1,0[上连续,求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9:设)(x f 在]1,0[上连续,且0)(≥x f ,0)1(=f ,求证: 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10:设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数,周期为T ,并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-; 0)()2(0 =?T dx x f 求证:LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11:设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数,证明在),(b a 内存在一点ξ,使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=?
习题课:多元函数求偏导,多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续,二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微,且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性:设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===,均为连续可微, 则将z 看成y x ,的函数,有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,,代人, dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ,求y z x z ????,。
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0
)(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x
第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一.原函数的概念 例1.下列等式成立色是( ) ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2.下列写法是否有误,为什么? ()1 .ln c dx e e x x +=?(c 为任意正常数) ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗? ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表,我们就可以计算较简单的函数的积分,这种方法称做直接积分法. 例4.求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5.求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6.求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7.已知某个函数的导数是x x cos sin +,又知当2 π=x 时,这函数值为2,求 此函数. 解:因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?, 所以,可设().sin cos c x x x f ++-=
2.多元函数积分学 K考试内容》(数学一) 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》(数学一) 1 ?理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3?理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件,会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念,并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。 K考试要求』(数学二) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 K考试要求》(数学三) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》(数学四) 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法(x型简单区域;y型简单区域)极坐标法(r型简单区 域;&型简单区域)一般变换法 几何应用:面积、曲顶柱体体积物理应用:质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法:x型简单区域;y型简单区域;z型简单区域 投影法(先定积分后二重积分) 截面法(先二重积分后定积分)柱坐标法;球坐标法;一般变换法 儿何应用:体积物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:参数化法 儿何应用:弧长 物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念:定义、基本性质计算方法:参数化法 曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件(平面情形,空间情形); 全微分的原函数;场论基本概念与计算格林公式(平面曲线积分);斯托克 斯公式(空间曲线积分)物理应用:功,环流量,通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ,求(),f x y ,(),f x y xy -。 解:()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ,故得 ()2 1,1y f x y x y -=+,()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限: 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意:在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时,θ也是变量。本题中,0r →时,2r 为无穷小量,而2 sin 2θ为有界变量,故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明:当2 y kx =时,()2242,1xy k f x y x y k ==++,故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见,(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时,函数极限不同,故极限不存在。(两路径判别法) 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性: (1)()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解: ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
数学考研:一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义(数三经济意义),会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解),了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题,主要是确定目标函数和约束条件,判定所讨论区间。
一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态,一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说,不定积分是已知导数求原函数,也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C 的导数也是f(x)(C 是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积,可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间,所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷,能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时,首先要建立积分表达式,一般情况下,只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述(以下的讨论都是建立在这两个条件下,因此不再提示此条件)。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤:(1)任意分割区间[]b a ,为若干子区间,任取一个子区间[]dx x x +,,求Q
在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=;(2)以dx x f )(为被积式,在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。(分割,近似,求和,取极限) 在实际应用中,通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点,用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值,即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中,定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论: 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用,因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况:直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形(能让函数图像与之重合)的面时只要建立合适的直角坐标系,再使用微元法建立积分表达式,运用微积分基本公式计算定积分,便可求出平面图形的面积。如设曲 y O
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ,则b =________. 2. 若当0x →时,1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小,则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续,则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时,1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤=≤?-≤≤? ,()f x 在 处间断 9 当0x →时,arctan x 是x 的 阶无穷小量 10 极限2352lim sin 53x x x x →∞+=+ 二、 选择题 1. 设数列1,1,1 n n n u n n -??=??+?为奇数,为偶数, 则当n →∞时,n u 是( ) A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量 2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的( ) A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x x ββ→+-的值是 ( ) A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在
一元函数积分相关问题 前言: 考虑到学习的效率问题,我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点,同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点,不做无用的重复。 一.考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系,知道求不定积分与求微分是互逆的关系,理解不定积分的线性性质。 问题1: 若)(x f 的导函数是x sin ,则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二.考查定积分的概念和基本性质 讲解:需要掌握定积分的定义与几何意义,了解可积的充分条件和必要条件,掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点: 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理(及其三个推论) 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续,若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(,则当 ],[b a x ∈时,0)(≡x f 问题2: 设? = 2 )sin(sin π dx x M ,?=20 )cos(cos π dx x N ,则有() (A )N M <<1 (B )1< 分的关系,了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来,需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导,当],[βα∈x 时, b x x a ≤≤)(),(ψ?,则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导,且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3: 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ,求)('x f )0(≥x 四.考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解:需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质,学会用性质化简积分。 问题4: 设)(x f 在]1,0[上连续, A dx x f =? 2 )cos (π ,则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五.利用定积分的定义求某些数列极限 讲解:需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有: ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5: 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六.考察基本积分表 讲解:需要掌握基本初等函数的积分公式。 七.考察分项积分方法 第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础,要求在掌握基本积分法的基础上,更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系(互为逆运算) 3. 不定积分的性质 4.基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求,因 当时 ;当时 ; 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ,,, 二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法(凑微分法) ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若,则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数,且,又具有原函数,则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于,(其中,表示关于,的有理函数),可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例 第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ,几何意义:代表由),(y x f ,D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质: (1)=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( (2)[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( (3)、D d x d y D =?? (4)21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤,则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( (6)若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续,则至少存在一点D ∈),(ηξ,使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 (1) D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? (2) D :)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤, ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧:“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围,然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 (3)极坐标下:θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 (1)若积分路径为L :b x a x y ≤≤=),(φ,则 第五部分 多元函数微分学(1) [选择题] 容易题1—36,中等题37—87,难题88—99。 1.设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π,则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答:C 2.二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 答:C 3.设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定,则当v u ≠时,=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答:B 4.设),(y x f 是一二元函数,),(00y x 是其定义域内的一点,则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续,则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在,则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微,则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答:D 5.函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答:A 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限: 1.93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2.01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3.x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4.0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5.21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6.x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7.0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8.943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9.2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10.21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11.01 sin lim 20=→x x x (无穷小的性质)第三章-一元函数积分学
第八讲 多元函数积分学知识点
多元函数微分学习题
一元函数微分学练习题(答案)